త్రిభుజాలు (Triangles)

ఈ అధ్యాయంలో ఆకారం ఒకటే, పరిమాణం మాత్రం ఒకటే కానవసరం లేని పటాల (figures) గురించి చదువుతాం. ఇలాంటి పటాలను సరూప పటాలు (Similar Figures) అంటారు. 9వ తరగతిలో చదివిన సర్వసమానత్వం (Congruence) = ఆకారం, పరిమాణం రెండూ సమానం.

ముఖ్య నిర్వచనాలు

• సర్వసమాన పటాలు (Congruent): ఆకారం + పరిమాణం రెండూ సమానం.
• సరూప పటాలు (Similar):
  1. ఆకారం సమానం
  2. పరిమాణం సమానం కానవసరం లేదు.
• అన్ని సర్వసమాన పటాలు సరూపాలే
• కానీ సరూప పటాలన్నీ సర్వసమానాలు కావు.

ఏవి ఎల్లప్పుడూ సరూపాలు? (వ్యాయామం 6.1 ప్ర.1)

• అన్ని వృత్తాలు (circles) – వ్యాసార్థాలు వేరైనా సరూపాలే.
• అన్ని చతురస్రాలు (squares) – సరూపాలు.
• అన్ని సమబాహు త్రిభుజాలు (equilateral triangles) – సరూపాలు.
• వృత్తం–చతురస్రం, త్రిభుజం–చతురస్రం సరూపాలు కావు (ఆకారం వేరు).
• ఒకే వ్యక్తి 10 ఏళ్ల వయసు, 40 ఏళ్ల వయసు ఫోటోలు ఒకే సైజులో ఉన్నా ఆకారం వేరు కాబట్టి సరూపాలు కావు
• తాజ్‌మహల్ ఫోటోలు వేర్వేరు సైజుల్లో ఉన్నా ఆకారం ఒకటే కాబట్టి సరూపాలు.

ఫోటో పెంపుడు ఉదాహరణ (Enlargement)

• 35 mm నెగెటివ్‌ను 45 mm (లేదా 55 mm)కు పెంచితే, చిన్న ఫోటోలోని ప్రతి రేఖాఖండం 35 : 45 (లేదా 35 : 55) నిష్పత్తిలో పెరుగుతుంది
• పెద్ద ఫోటో నుంచి చిన్నదానికి 45 : 35.
• రెండు ఫోటోలలో ఏ రెండు రేఖాఖండాల మధ్య కోణమైనా సమానమే. ఇదే సరూపతకు సారాంశం.

పరోక్ష కొలత (Indirect Measurement)

• ఎవరెస్ట్ ఎత్తు, చంద్రుడికి దూరం వంటివి కొలిచే టేప్‌తో కొలవలేం
• సరూపత సూత్రం ఆధారంగా పరోక్షంగా కనుగొంటారు (ఉదాహరణ 7, వ్యాయామం 6.3 ప్ర.15, 8-9 అధ్యాయాలు).

నిర్వచనం: సమాన భుజాల సంఖ్య గల రెండు బహుభుజులు సరూపాలు కావాలంటే

1. వాటి అనురూప కోణాలు సమానం (corresponding angles equal) మరియు
2. వాటి అనురూప భుజాలు అనుపాతంలో (corresponding sides in the same ratio) ఉండాలి.

• ఆ స్థిర నిష్పత్తిని స్కేల్ ఫ్యాక్టర్ (Scale Factor) లేదా ప్రాతినిధ్య భిన్నం (Representative Fraction) అంటారు. ప్రపంచ పటాలు, భవన బ్లూప్రింట్లు స్కేల్ ఫ్యాక్టర్‌తోనే తయారవుతాయి.

కృత్యం 1 – నీడ (Shadow Activity)

• పైకప్పుపై బల్బు O
• దాని కింద కార్డ్‌బోర్డ్ చతుర్భుజం ABCD (భూమికి సమాంతరంగా)
• బల్బు కాంతి సరళరేఖలో ప్రయాణిస్తుంది కాబట్టి టేబుల్‌పై పడే నీడ A′B′C′D′ దాని పెద్ద రూపం.
• A′ కిరణం OA పై, B′ కిరణం OB పై, … ఉంటాయి. కాబట్టి ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′, ∠C = ∠C′, ∠D = ∠D′ మరియు AB/A′B′ = BC/B′C′ = CD/C′D′ = DA/D′A′.
• అందుకే ABCD ~ A′B′C′D′.

రెండు షరతులూ తప్పనిసరి (ఒక్కటి సరిపోదు)

• చతురస్రం vs దీర్ఘచతురస్రం: కోణాలు సమానం (అన్నీ 90°) కానీ భుజాలు అనుపాతంలో లేవు ⇒ సరూపం కాదు.
• చతురస్రం vs సమచతుర్భుజం (rhombus): భుజాలు అనుపాతంలో (అన్నీ సమానం) కానీ కోణాలు సమానం కావు ⇒ సరూపం కాదు.
• గమనిక: ఒక బహుభుజి రెండవదానికి, రెండవది మూడవదానికి సరూపమైతే మొదటిది మూడవదానికి సరూపం (పారదర్శక ధర్మం – transitivity).

వ్యాయామం 6.1 జవాబులు

• ప్ర.1: (i) సరూపాలు (ii) సరూపాలు (iii) సమబాహు (iv) సమానం, అనుపాతం.

త్రిభుజం కూడా ఒక బహుభుజి కాబట్టి అవే రెండు షరతులు వర్తిస్తాయి. ΔABC మరియు ΔDEF సరూపాలు కావాలంటే

1. ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F మరియు
2. AB/DE = BC/EF = CA/FD.

• అనురూప కోణాలు సమానమైన త్రిభుజాలను సమకోణీయ త్రిభుజాలు (Equiangular Triangles) అంటారు.

థేల్స్ (Thales, క్రీ.పూ. 640–546) – గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త

• రెండు సమకోణీయ త్రిభుజాలలో ఏ రెండు అనురూప భుజాల నిష్పత్తి అయినా ఎల్లప్పుడూ సమానం.
• దీనికి ఆయన ఉపయోగించిన ఫలితమే ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం (BPT) – ఇప్పుడు థేల్స్ సిద్ధాంతం అంటారు.

సంకేత నియమం (Correct Correspondence)

• ΔABC ~ ΔDEF అంటే A↔D, B↔E, C↔F. "~" చిహ్నం = "సరూపం"
• "≅" = సర్వసమానం.
• శీర్షాల అనురూపత సరిగా రాయాలి. Fig. 6.22 లో ΔABC ~ ΔEDF ✘, ΔABC ~ ΔFED ✘
• కానీ ΔBAC ~ ΔEDF ✔ (B↔E, A↔D, C↔F).
• సరైన అనురూపత కనుగొనే షార్ట్‌కట్:
  1. సమాన కోణాలను జతచేయండి
  2. పెద్ద భుజం–పెద్ద భుజం, చిన్న–చిన్న భుజం.

అనుపాత భుజాల నుంచి నిష్పత్తి

• AB/DE = BC/EF = CA/FD = k అయితే k = స్కేల్ ఫ్యాక్టర్. ఉదా: AB = 6, DE = 9, BC = 12 ⇒ k = 6/9 = 2/3 ⇒ EF = 12 × 3/2 = 18.

సిద్ధాంతం 6.1: ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగతా రెండు భుజాలను భిన్న బిందువులలో ఖండిస్తే, ఆ రెండు భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో విభజింపబడతాయి.

సూత్రం: ΔABC లో DE ∥ BC అయితే AD/DB = AE/EC.

కృత్యం 2

• కోణం XAY, AX పై AP = PQ = QD = DR = RB
• B ద్వారా AY ను C వద్ద కలిపే రేఖ
• D ద్వారా BC కి సమాంతర DE.
• AD = 3 భాగాలు, DB = 2 భాగాలు ⇒ AD/DB = 3/2
• కొలిస్తే AE/EC కూడా 3/2.

నిరూపణ రూపురేఖ (Proof Outline)

1. BE, CD కలపాలి; DM ⊥ AC, EN ⊥ AB గీయాలి.
2. ar(ADE) = ½·AD·EN, ar(BDE) = ½·DB·EN ⇒ ar(ADE)/ar(BDE) = AD/DB … (1)
3. ar(ADE) = ½·AE·DM, ar(DEC) = ½·EC·DM ⇒ ar(ADE)/ar(DEC) = AE/EC … (2)
4. ΔBDE, ΔDEC ఒకే భూమి DE పై, ఒకే సమాంతరాల (BC, DE) మధ్య ఉన్నాయి ⇒ ar(BDE) = ar(DEC) … (3)
5. (1), (2), (3) నుంచి AD/DB = AE/EC. ∎

ఫలితాలు (Corollaries)

• ఉదాహరణ 1: DE ∥ BC అయితే AD/AB = AE/AC. (నిరూపణ: DB/AD = EC/AE ⇒ రెండు వైపులా 1 కూడితే (DB+AD)/AD = (EC+AE)/AE ⇒ AB/AD = AC/AE ⇒ AD/AB = AE/AC.)
• ఉదాహరణ 1 ఆధారంగా మూడు రూపాలు:
  1. AD/DB = AE/EC
  2. AD/AB = AE/AC
  3. DB/AB = EC/AC.
• వ్యాయామం 6.2 ప్ర.7: త్రిభుజంలో ఒక భుజం మధ్య బిందువు ద్వారా మరో భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మూడో భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుంది (AD/DB = 1 ⇒ AE/EC = 1).

సంఖ్యా ఉదాహరణ

• DE ∥ BC
• AD = 4 సెం.మీ, DB = 6 సెం.మీ, AE = 2 సెం.మీ ⇒ EC = AE × DB/AD = 2 × 6/4 = 3 సెం.మీ.

సిద్ధాంతం 6.2: ఒక రేఖ త్రిభుజంలోని ఏ రెండు భుజాలనైనా ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తే, ఆ రేఖ మూడో భుజానికి సమాంతరం.

సూత్రం: ΔABC లో D ∈ AB, E ∈ AC మరియు AD/DB = AE/EC అయితే DE ∥ BC.

కృత్యం 3

• కోణం XAY, AX పై AB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B
• AY పై AC₁ = C₁C₂ = … = C₄C.
• AB₁/B₁B = AC₁/C₁C = 1/4 ⇒ B₁C₁ ∥ BC
• అలాగే AB₂/B₂B = AC₂/C₂C = 2/3 ⇒ B₂C₂ ∥ BC
• AB₃/B₃B = 3/2 ⇒ B₃C₃ ∥ BC
• AB₄/B₄B = 4/1 ⇒ B₄C₄ ∥ BC.

నిరూపణ రూపురేఖ (విరుద్ధ పద్ధతి – Contradiction)

1. AD/DB = AE/EC అని ఇవ్వబడింది; DE ∥ BC కాదని అనుకుందాం.
2. D ద్వారా BC కి సమాంతరంగా DE′ గీయాలి (E′ ∈ AC). BPT ప్రకారం AD/DB = AE′/E′C.
3. కాబట్టి AE/EC = AE′/E′C. రెండు వైపులా 1 కూడితే AC/EC = AC/E′C ⇒ EC = E′C ⇒ E, E′ ఏకీభవిస్తాయి ⇒ DE ∥ BC. ∎

సమాంతరత తనిఖీ పద్ధతి (వ్యాయామం 6.2 ప్ర.2) ΔPQR లో E ∈ PQ, F ∈ PR. PE/EQ మరియు PF/FR లెక్కించి పోల్చండి.

• (i) PE = 3.9, EQ = 3, PF = 3.6, FR = 2.4 ⇒ 3.9/3 = 1.3
• 3.6/2.4 = 1.5 ⇒ సమానం కాదు ⇒ EF ∦ QR.
• (ii) PE = 4, QE = 4.5, PF = 8, RF = 9 ⇒ 4/4.5 = 8/9
• 8/9 = 8/9 ⇒ సమానం ⇒ EF ∥ QR.
• (iii) PQ = 1.28, PR = 2.56, PE = 0.18, PF = 0.36 ⇒ EQ = 1.10, FR = 2.20 ⇒ 0.18/1.10 = 0.36/2.20 ⇒ EF ∥ QR (లేదా PE/PQ = PF/PR = 0.140625).
• గమనిక: PQ, PR ఇచ్చినప్పుడు EQ = PQ − PE, FR = PR − PF మరచిపోకండి.

అనువర్తనాలు (6.2 ప్ర.8): త్రిభుజంలో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖ మూడో భుజానికి సమాంతరం (AD/DB = AE/EC = 1 ⇒ Theorem 6.2).

ఉదాహరణ 2 – ట్రాపీజియంలో నిష్పత్తి ABCD ట్రాపీజియం, AB ∥ DC; E ∈ AD, F ∈ BC; EF ∥ AB. నిరూపించండి: AE/ED = BF/FC.

సాధన: AC ను కలిపి EF ను G వద్ద ఖండించండి.

1. AB ∥ DC, EF ∥ AB ⇒ EF ∥ DC (ఒకే రేఖకు సమాంతరాలు పరస్పరం సమాంతరం).
2. ΔADC లో EG ∥ DC ⇒ AE/ED = AG/GC … (1).
3. ΔCAB లో GF ∥ AB ⇒ CG/AG = CF/BF ⇒ AG/GC = BF/FC … (2).
4. (1), (2) ⇒ AE/ED = BF/FC. ∎

• సంఖ్యా ఉదాహరణ: AE = 6, ED = 4, BF = 9 ⇒ FC = BF × ED/AE = 9 × 4/6 = 6.

ఉదాహరణ 3 – సమద్విబాహు నిరూపణ ΔPQR లో S ∈ PQ, T ∈ PR; PS/SQ = PT/TR మరియు ∠PST = ∠PRQ. నిరూపించండి ΔPQR సమద్విబాహు.

1. PS/SQ = PT/TR ⇒ ST ∥ QR (సిద్ధాంతం 6.2).
2. ∠PST = ∠PQR (అనురూప కోణాలు) … (1); ఇవ్వబడింది ∠PST = ∠PRQ … (2).
3. ⇒ ∠PRQ = ∠PQR ⇒ PQ = PR (సమాన కోణాల ఎదుటి భుజాలు సమానం) ⇒ ΔPQR సమద్విబాహు. ∎

వ్యాయామం 6.2 సాధనలు (నిరూపణ రూపురేఖలు)

• ప్ర.3:
  1. LM ∥ CB, LN ∥ CD ⇒ ΔABC లో AM/AB = AL/AC
  2. ΔACD లో AN/AD = AL/AC ⇒ AM/AB = AN/AD.
• ప్ర.5:
  1. ΔOPQ లో DE ∥ OQ ⇒ PE/EQ = PD/DO
  2. ΔOPR లో DF ∥ OR ⇒ PF/FR = PD/DO ⇒ PE/EQ = PF/FR ⇒ EF ∥ QR.
• ప్ర.6:
  1. ΔOPQ లో AB ∥ PQ ⇒ OA/AP = OB/BQ
  2. ΔOPR లో AC ∥ PR ⇒ OA/AP = OC/CR ⇒ OB/BQ = OC/CR ⇒ BC ∥ QR.
• ప్ర.9 (ట్రాపీజియం కర్ణాలు): AB ∥ DC ⇒ AO/BO = CO/DO.
• ప్ర.10 (విపర్యయం): చతుర్భుజం ABCD కర్ణాలు O వద్ద కలిసి AO/BO = CO/DO అయితే ABCD ట్రాపీజియం (O ద్వారా AB కి సమాంతర రేఖ గీసి Thm 6.2 ఉపయోగించి).

సిద్ధాంతం 6.3 (AAA): రెండు త్రిభుజాలలో అనురూప కోణాలు సమానమైతే, వాటి అనురూప భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి; కాబట్టి ఆ త్రిభుజాలు సరూపాలు.

కృత్యం 4: BC = 3 సెం.మీ, EF = 5 సెం.మీ గీసి, B, E వద్ద 60°, C, F వద్ద 40° కోణాలు నిర్మించండి. ∠A = ∠D = 80°. BC/EF = 3/5 = 0.6; కొలిస్తే AB/DE, CA/FD కూడా 0.6 (లేదా దాదాపు 0.6).

నిరూపణ రూపురేఖ

1. ΔABC, ΔDEF లో ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F. DP = AB, DQ = AC తీసుకుని PQ కలపండి.
2. ΔABC ≅ ΔDPQ (SAS) ⇒ ∠B = ∠P = ∠E ⇒ PQ ∥ EF (అనురూప కోణాలు సమానం).
3. BPT ప్రకారం DP/PE = DQ/QF ⇒ AB/DE = AC/DF. అలాగే AB/DE = BC/EF. ∎

AA నియమం (6.3 పై గమనిక)

• ఒక త్రిభుజంలోని రెండు కోణాలు మరో త్రిభుజంలోని రెండు కోణాలకు సమానమైతే, కోణాల మొత్తం ధర్మం (180°) ప్రకారం మూడో కోణాలు కూడా సమానం ⇒ త్రిభుజాలు సరూపం.
• ఆచరణలో AA నియమమే ఎక్కువగా వాడతాం.

వాడే సందర్భాలు (AA కోసం కోణాలు ఎక్కడ దొరుకుతాయి?)

• శీర్షాభిముఖ కోణాలు (vertically opposite) – రెండు రేఖలు ఖండించుకున్నప్పుడు.
• ఏకాంతర కోణాలు / అనురూప కోణాలు – సమాంతర రేఖలున్నప్పుడు.
• ఉమ్మడి కోణం (common angle).
• లంబకోణాలు – 90° = 90° (ఉదా: స్తంభం, మనిషి, చెట్టు నేలకు లంబం).

సిద్ధాంతం 6.4: రెండు త్రిభుజాలలో ఒక త్రిభుజపు భుజాలు, మరో త్రిభుజపు భుజాలకు అనుపాతంలో ఉంటే, వాటి అనురూప కోణాలు సమానం; కాబట్టి ఆ త్రిభుజాలు సరూపాలు.

సూత్రం: AB/DE = BC/EF = CA/FD ⇒ ΔABC ~ ΔDEF.

కృత్యం 5: AB = 3, BC = 6, CA = 8; DE = 4.5, EF = 9, FD = 12 సెం.మీ.

• AB/DE = 3/4.5 = 2/3
• BC/EF = 6/9 = 2/3
• CA/FD = 8/12 = 2/3 – అన్నీ 2/3 ⇒ కొలిస్తే ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.

నిరూపణ రూపురేఖ (నిష్పత్తి < 1 అనుకుని)

1. DP = AB, DQ = AC తీసుకుని PQ కలపండి.
2. ఇచ్చిన నిష్పత్తి నుంచి DP/DE = DQ/DF ⇒ PQ ∥ EF (సిద్ధాంతం 6.2).
3. ΔDPQ ~ ΔDEF (AA: ∠P = ∠E, ∠Q = ∠F) ⇒ DP/DE = DQ/DF = PQ/EF.
4. కాబట్టి BC = PQ ⇒ ΔABC ≅ ΔDPQ (SSS) ⇒ ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F. ∎

SSS వాడే విధానం (షార్ట్‌కట్)

• రెండు త్రిభుజాల భుజాలను చిన్నది–చిన్నదానితో, మధ్యది–మధ్యదానితో, పెద్దది–పెద్దదానితో అమర్చి నిష్పత్తులు తీయండి. మూడూ సమానమైతే సరూపం.
• ఉదాహరణ 5:
  1. AB = 3.8, RQ = 7.6, BC = 6, QP = 12, CA = 3√3, PR = 6√3 ⇒ మూడు నిష్పత్తులు ½ ⇒ ΔABC ~ ΔRQP (గమనిక: ΔPQR కాదు
  2. అనురూపత A↔R, B↔Q, C↔P). ∠A = 80°, ∠B = 60° ⇒ ∠C = 180° − 80° − 60° = 40° ⇒ ∠P = ∠C = 40°.

సిద్ధాంతం 6.5: ఒక త్రిభుజంలోని ఒక కోణం, మరో త్రిభుజంలోని ఒక కోణానికి సమానమై, ఆ కోణాలను ఏర్పరచే (అంతర్గత – included) భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటే, ఆ త్రిభుజాలు సరూపాలు.

సూత్రం: AB/DE = AC/DF మరియు ∠A = ∠D ⇒ ΔABC ~ ΔDEF.

కృత్యం 6: AB = 2, ∠A = 50°, AC = 4; DE = 3, ∠D = 50°, DF = 6 సెం.మీ.

• AB/DE = 2/3
• AC/DF = 4/6 = 2/3 – సమానం
• ∠A = ∠D = 50° (అంతర్గత కోణం).
• కొలిస్తే ∠B = ∠E, ∠C = ∠F ⇒ ΔABC ~ ΔDEF.

నిరూపణ రూపురేఖ (AB/DE < 1)

1. DP = AB, DQ = AC తీసుకుని PQ కలపండి.
2. AB/DE = AC/DF ⇒ DP/DE = DQ/DF ⇒ PQ ∥ EF.
3. ΔABC ≅ ΔDPQ (SAS) ⇒ ∠A = ∠D, ∠B = ∠P, ∠C = ∠Q.
4. PQ ∥ EF ⇒ ∠P = ∠E, ∠Q = ∠F ⇒ ∠B = ∠E, ∠C = ∠F ⇒ ΔABC ~ ΔDEF. ∎

గమనించండి

• SAS సరూపతలో కోణం తప్పనిసరిగా ఆ రెండు భుజాల మధ్య ఉండాలి (included angle).
• ఉదాహరణ 6:
  1. OA·OB = OC·OD ⇒ OA/OC = OD/OB
  2. ∠AOD = ∠COB (శీర్షాభిముఖ) ⇒ ΔAOD ~ ΔCOB (SAS) ⇒ ∠A = ∠C, ∠D = ∠B. (లబ్ధాల సమానత్వాన్ని నిష్పత్తిగా మార్చుకోవడమే ట్రిక్.)

నాలుగు నియమాలు (త్రిభుజాలకు)

• AAA / AA – కోణాలు సమానం (రెండు కోణాలు చాలు).
• SSS – మూడు జతల భుజాలు అనుపాతం.
• SAS – ఒక కోణం సమానం + అంతర్గత భుజాలు అనుపాతం.
• RHS (పాఠ్యపుస్తకంలో "పాఠకునికి గమనిక") – రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలలో కర్ణం, ఒక భుజం ఒక త్రిభుజంలో మరొక త్రిభుజపు కర్ణం, ఒక భుజానికి అనుపాతంలో ఉంటే ఆ త్రిభుజాలు సరూపం.

బహుభుజులు vs త్రిభుజాలు (పాఠ్య వ్యాఖ్య)

• బహుభుజులకు "కోణాలు సమానం" లేదా "భుజాలు అనుపాతం" – ఏదో ఒకటి సరిపోదు (చతురస్రం–దీర్ఘచతురస్రం, చతురస్రం–సమచతుర్భుజం).
• త్రిభుజాలకు మాత్రం ఒక షరతు మరొకదాన్ని సూచిస్తుంది (Theorems 6.3, 6.4 ఆధారంగా) – రెండింటినీ తనిఖీ చేయనక్కర్లేదు.

సర్వసమానత్వం → సరూపత పోలిక

• SSS – భుజాలు సమానం → SSS – భుజాలు అనుపాతం
• SAS – 2 భుజాలు + అంతర్గత కోణం సమానం → SAS – 2 భుజాల నిష్పత్తి సమానం + అంతర్గత కోణం సమానం
• ASA / AAS → AA (లేదా AAA)
• RHS → RHS (కర్ణం, ఒక భుజం అనుపాతం)

ఏ నియమం ఎప్పుడు? (త్వరిత మార్గదర్శి)

• రెండు కోణాలు తెలిస్తే → AA.
• మూడు భుజాలు తెలిస్తే → SSS (నిష్పత్తులు తీయండి).
• రెండు భుజాలు + మధ్య కోణం → SAS.
• సమాంతర రేఖలు/లంబాలు కనిపిస్తే → కోణాల జతలు వెతికి AA.

ఉదాహరణ 4: PQ ∥ RS అయితే ΔPOQ ~ ΔSOR నిరూపించండి (PS, QR లు O వద్ద ఖండించుకుంటాయి).

• ∠P = ∠S (ఏకాంతర కోణాలు), ∠Q = ∠R (ఏకాంతర కోణాలు), ∠POQ = ∠SOR (శీర్షాభిముఖ) ⇒ ΔPOQ ~ ΔSOR (AA/AAA).

ఉదాహరణ 5: ΔABC ~ ΔRQP (SSS) ⇒ ∠C = ∠P = 180° − 80° − 60° = 40°.

ఉదాహరణ 6: OA·OB = OC·OD ⇒ ∠A = ∠C మరియు ∠B = ∠D (SAS ద్వారా).

వ్యాయామం 6.3 ప్ర.2 (సంఖ్యా సాధన) ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125°, ∠CDO = 70°. కనుగొనండి ∠DOC, ∠DCO, ∠OAB.

1. B, O, D ఒకే రేఖపై ⇒ ∠DOC + ∠BOC = 180° ⇒ ∠DOC = 55°.
2. ΔODC లో ∠DCO = 180° − 70° − 55° = 55°.
3. ΔODC ~ ΔOBA (O↔O, D↔B, C↔A) ⇒ ∠OAB = ∠OCD = 55°.

ప్ర.3: ABCD ట్రాపీజియం, AB ∥ DC; కర్ణాలు O వద్ద. ΔOAB ~ ΔOCD (AA: ∠OAB = ∠OCD, ∠OBA = ∠ODC ఏకాంతర కోణాలు; లేదా శీర్షాభిముఖ కోణాలు) ⇒ OA/OC = OB/OD.

• సంఖ్యా: OA = 6, OC = 9, OB = 4 ⇒ OD = OB × OC/OA = 4 × 9/6 = 6.

ప్ర.5: S ∈ PR, T ∈ QR, ∠P = ∠RTS ⇒ ΔRPQ ~ ΔRTS (ఉమ్మడి ∠R + ∠P = ∠RTS ⇒ AA).

ప్ర.6: ΔABE ≅ ΔACD ⇒ AB = AC, AE = AD (CPCT) ⇒ AD/AB = AE/AC, ఉమ్మడి ∠A ⇒ ΔADE ~ ΔABC (SAS). (పాఠ్య చిత్రం 6.37 ఆధారంగా; సంకేతం స్పష్టంగా లేని చోట సర్వసమానత్వంగా భావించాం.)

ప్ర.8: ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో AD ను E వరకు పొడిగించి BE, CD ను F వద్ద కలిపితే ΔABE ~ ΔCFB: ∠A = ∠C (ఎదుటి కోణాలు), ∠AEB = ∠CBF (AE ∥ BC, ఏకాంతర కోణాలు) ⇒ AA.

వ్యాయామం 6.3 లోని ముఖ్య నిరూపణ నమూనాలు (అన్నీ AA ఆధారితమే).

ప్ర.7 – లంబాలు (Altitudes): ΔABC లో AD ⊥ BC, CE ⊥ AB; AD, CE లు P వద్ద ఖండిస్తాయి.

• (i) ΔAEP ~ ΔCDP: ∠AEP = ∠CDP = 90°
• ∠APE = ∠CPD (శీర్షాభిముఖ).
• (ii) ΔABD ~ ΔCBE: ∠ADB = ∠CEB = 90°
• ∠B ఉమ్మడి.
• (iii) ΔAEP ~ ΔADB: ∠AEP = ∠ADB = 90°
• ∠PAE = ∠DAB (ఉమ్మడి ∠A).
• (iv) ΔPDC ~ ΔBEC: ∠PDC = ∠BEC = 90°
• ∠C ఉమ్మడి.

ప్ర.9 – లంబకోణ త్రిభుజాలు: ΔABC (లంబం B వద్ద), ΔAMP (లంబం M వద్ద), ∠A ఉమ్మడి ⇒ (i) ΔABC ~ ΔAMP (AA) ⇒ (ii) CA/PA = BC/MP.

ప్ర.10 – కోణ సమద్విఖండనలు: CD, GH లు ∠ACB, ∠EGF ల సమద్విఖండనలు; ΔABC ~ ΔFEG. (ఇక్కడ C↔G, A↔F, B↔E.)

• ∠ACB = ∠FGE ⇒ సగాలు ∠ACD = ∠FGH ⇒ ΔDCA ~ ΔHGF (AA: ∠A = ∠F) ⇒ (iii).
• ఇదే విధంగా ∠B = ∠E, ∠DCB = ∠HGE ⇒ ΔDCB ~ ΔHGE ⇒ (ii).
• అనురూప భుజాలు: CD/GH = AC/FG ⇒ (i).

ప్ర.11 – సమద్విబాహు: AB = AC, AD ⊥ BC, EF ⊥ AC, E ∈ CB పొడిగింపు ⇒ AB = AC కాబట్టి ∠B = ∠C (= ∠ACB = ∠ECF), ∠ADB = ∠EFC = 90° ⇒ ΔABD ~ ΔECF (AA).

ప్ర.13 – ఫలిత సూత్రం: D ∈ BC, ∠ADC = ∠BAC ⇒ ΔCAD ~ ΔCBA (AA: ∠C ఉమ్మడి) ⇒ CA/CB = CD/CA ⇒ CA² = CB·CD.

• సంఖ్యా: CB = 16, CD = 9 ⇒ CA² = 144 ⇒ CA = 12.
• D ∈ BC, BD = 5, CD = 4 ⇒ CB = 9 ⇒ CA² = 36 ⇒ CA = 6.

ప్ర.4: ΔABC లో DE ∥ AC, DF ∥ AE ⇒ BF/FE = BE/EC. (ΔBDE లో DF-సమాంతరం, ΔBAC లో DE-సమాంతరం; BPT రెండుసార్లు: BE/EC = BD/DA = BF/FE.) సంఖ్యా: BF = 2, FE = 3, BE = BF + FE = 5 ⇒ EC = BE × FE/BF = 5 × 3/2 = 7.5.

సూత్రం: ఒకే సమయంలో వేర్వేరు నిలువు వస్తువుల ఎత్తులు, వాటి నీడల పొడవులకు అనుపాతం (సూర్యకిరణాలు సమాంతరం ⇒ ఒకే కోణం). కాబట్టి ఎత్తు₁/నీడ₁ = ఎత్తు₂/నీడ₂.

వ్యాయామం 6.3 ప్ర.15: 6 మీ స్తంభం నీడ 4 మీ; అదే సమయంలో టవర్ నీడ 28 మీ.

• 6/4 = H/28 ⇒ H = 6 × 28/4 = 42 మీ.

ఉదాహరణ 7 – దీపస్తంభం & అమ్మాయి

90 సెం.మీ ఎత్తైన అమ్మాయి 3.6 మీ ఎత్తు గల దీపస్తంభం నుంచి సెకనుకు 1.2 మీ వేగంతో దూరంగా నడుస్తోంది. 4 సెకన్ల తర్వాత ఆమె నీడ పొడవు?

1. BD = 1.2 × 4 = 4.8 మీ; నీడ DE = x మీ.
2. ΔABE, ΔCDE లో ∠B = ∠D = 90°, ∠E ఉమ్మడి ⇒ ΔABE ~ ΔCDE (AA).
3. BE/DE = AB/CD ⇒ (4.8 + x)/x = 3.6/0.9 = 4 (90 సెం.మీ = 0.9 మీ).
4. 4.8 + x = 4x ⇒ 3x = 4.8 ⇒ x = 1.6 మీ.

దీపస్తంభం సమస్యకు షార్ట్‌కట్ సూత్రం

• స్తంభం ఎత్తు H, మనిషి ఎత్తు h, స్తంభం–మనిషి దూరం d, నీడ x ⇒ (d + x)/x = H/h ⇒ x = d·h/(H − h).
• ఉదాహరణ 7 ధృవీకరణ: x = 4.8 × 0.9/(3.6 − 0.9) = 4.32/2.7 = 1.6 మీ ✔.
• ఇదే సూత్రంతో మరికొన్ని: H = 6, h = 1.5, d = 9 ⇒ x = 9 × 1.5/4.5 = 3 మీ. H = 7.2, h = 1.2, వేగం 1.5 మీ/సె, 4 సెకన్లు ⇒ d = 6 ⇒ x = 6 × 1.2/6 = 1.2 మీ.
• నీడ ఇచ్చి దూరం అడిగితే: d = x(H − h)/h. ఉదా: H = 3.6, h = 0.9, x = 2.4 ⇒ d = 2.4 × 2.7/0.9 = 7.2 మీ ⇒ వేగం 1.2 మీ/సె అయితే సమయం = 7.2/1.2 = 6 సెకన్లు.

గమనిక: దీపస్తంభం (బిందు కాంతి) సమస్యలో నీడ పొడవు మనిషి నడిచే కొద్దీ పెరుగుతుంది; సూర్యకాంతి సమస్యలో ఎత్తు/నీడ నిష్పత్తి స్థిరం.

ఉదాహరణ 8: CM, RN లు వరుసగా ΔABC, ΔPQR ల మధ్యగతాలు (medians); ΔABC ~ ΔPQR. నిరూపించండి: (i) ΔAMC ~ ΔPNR, (ii) CM/RN = AB/PQ, (iii) ΔCMB ~ ΔRNQ.

సాధన

1. ΔABC ~ ΔPQR ⇒ AB/PQ = BC/QR = CA/RP … (1); ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R … (2).
2. AB = 2AM, PQ = 2PN (మధ్యగతాలు) ⇒ (1) నుంచి 2AM/2PN = CA/RP ⇒ AM/PN = CA/RP … (3).
3. (2) లో ∠MAC = ∠NPR … (4). (3), (4) ⇒ ΔAMC ~ ΔPNR (SAS). … (5)
4. (5) నుంచి CM/RN = CA/RP … (6); (1) నుంచి CA/RP = AB/PQ ⇒ CM/RN = AB/PQ … (7), అంటే = BC/QR … (8).
5. (iii): CM/RN = AB/PQ = 2BM/2QN = BM/QN ⇒ CM/RN = BC/QR = BM/QN ⇒ ΔCMB ~ ΔRNQ (SSS). ∎ (లేదా (i) లాగే SAS ద్వారా.)

సారాంశం: సరూప త్రిభుజాల అనురూప మధ్యగతాల నిష్పత్తి = అనురూప భుజాల నిష్పత్తి.

• సంఖ్యా: AB = 8, PQ = 12, CM = 6 ⇒ RN = CM × PQ/AB = 6 × 12/8 = 9.

వ్యాయామం 6.3 ప్ర.16: ΔABC ~ ΔPQR; AD, PM మధ్యగతాలు ⇒ AB/PQ = AD/PM. (∠B = ∠Q; BD = BC/2, QM = QR/2 ⇒ AB/PQ = BD/QM ⇒ ΔABD ~ ΔPQM (SAS) ⇒ AB/PQ = AD/PM.)

ప్ర.12 & 14 – విపర్యయం (భుజాలు, మధ్యగతం అనుపాతం ⇒ సరూపం)

• AB/PQ = BC/QR = AD/PM (ప్ర.12) లేదా AB/PQ = AC/PR = AD/PM (ప్ర.14).
• ఎత్తుగడ:
  1. AD ను E వరకు (DE = AD), PM ను N వరకు (MN = PM) పొడిగించి BE, CE, QN, RN కలపండి
  2. ABEC, PQNR సమాంతర చతుర్భుజాలు (కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన).
• ΔABE ~ ΔPQN (SSS) ⇒ ∠BAE = ∠QPN
• అలాగే ∠CAE = ∠RPN ⇒ ∠A = ∠P
• ప్ర.14 లో ఇప్పటికే AB/PQ = AC/PR ⇒ ΔABC ~ ΔPQR (SAS)
• ప్ర.12 లో SSS/AA ఉపయోగించి.

అధ్యాయ సారాంశం (పాఠ్యపుస్తకం 6.5)

1. ఆకారం సమానమై పరిమాణం సమానం కానవసరం లేని పటాలు సరూపాలు.
2. సర్వసమాన పటాలన్నీ సరూపాలు; విపర్యయం సత్యం కాదు.
3. బహుభుజులు సరూపం ⇔ కోణాలు సమానం మరియు భుజాలు అనుపాతం.
4. BPT: సమాంతర రేఖ ⇒ భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో విభజన.
5. BPT విపర్యయం: ఒకే నిష్పత్తిలో విభజన ⇒ మూడో భుజానికి సమాంతరం.
6. AAA: కోణాలు సమానం ⇒ సరూపం. 7. AA: రెండు కోణాలు సమానం ⇒ సరూపం.
7. SSS: భుజాలు అనుపాతం ⇒ సరూపం. 9. SAS: ఒక కోణం + అంతర్గత భుజాలు అనుపాతం ⇒ సరూపం.

గమనిక: RHS సరూపత పాఠ్యపుస్తకంలో "పాఠకునికి గమనిక".

త్వరిత సూత్రాల పట్టిక

• BPT (DE ∥ BC) → AD/DB = AE/EC
• BPT రూపాంతరం → AD/AB = AE/AC
• DB/AB = EC/AC
• BPT విపర్యయం → AD/DB = AE/EC ⇒ DE ∥ BC
• ΔABC ~ ΔDEF → AB/DE = BC/EF = CA/FD
• ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
• ట్రాపీజియం కర్ణాలు → AB ∥ DC ⇒ OA/OC = OB/OD
• ట్రాపీజియంలో EF ∥ AB → AE/ED = BF/FC
• ∠ADC = ∠BAC (D ∈ BC) → CA² = CB · CD
• అనురూప మధ్యగతాలు → CM/RN = AB/PQ
• దీపస్తంభం నీడ → (d + x)/x = H/h ⇒ x = d·h/(H − h)
• సూర్యకాంతి నీడ → ఎత్తు₁/నీడ₁ = ఎత్తు₂/నీడ₂

తప్పిదాలు (Traps)

• BPT లో భాగం/భాగం (AD/DB) ను భాగం/మొత్తం (AD/AB) తో కలపవద్దు
• AD/DB = AE/EC ✔, AD/DB = AE/AC ✘.
• సమాంతర తనిఖీలో EQ = PQ − PE లెక్కించడం మరచిపోవడం.
• శీర్షాల అనురూపత తప్పుగా రాయడం (ΔABC ~ ΔEDF ✘).
• SAS లో కోణం భుజాల మధ్య లేకపోవడం.
• బహుభుజులకు ఒక షరతు చాలనుకోవడం (త్రిభుజాలకే చెల్లుతుంది).
• దీపస్తంభం సమస్యలో BE = BD + DE (4.8 + x) అని కాకుండా BD మాత్రమే తీసుకోవడం
• యూనిట్ల మార్పిడి మరవడం.

పాఠ్యపుస్తక వివరణ గమనిక: ఈ అధ్యాయ పాఠ్యభాగం 6.1 – 6.5 (సరూపత, BPT, AA/SSS/SAS, సారాంశం) వరకు ఉంది; ఇందులో సరూప త్రిభుజాల వైశాల్య నిష్పత్తి, పైథాగరస్ సిద్ధాంత నిరూపణ ఇవ్వలేదు (పరిచయంలో మాత్రం పైథాగరస్ సిద్ధాంతానికి సరళ నిరూపణ ఇస్తామని ప్రస్తావించారు).