ఉపరితల వైశాల్యాలు & ఘనపరిమాణాలు (Surface Areas and Volumes)

రోజువారీ జీవితంలో మనం చూసే అనేక వస్తువులు ఒకటి కంటే ఎక్కువ మూల ఘనాలతో (cuboid, cone, cylinder, sphere, hemisphere) తయారవుతాయి. ఈ అధ్యాయంలో అలాంటి సమ్మేళన ఘనాల (combination of solids) ఉపరితల వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం కనుక్కునే పద్ధతి నేర్చుకుంటాం.

పాఠ్యపుస్తకంలోని ఉదాహరణలు

• ట్రక్కు వెనుక నూనె/నీరు తీసుకెళ్లే కంటైనర్ = సిలిండర్ + రెండు అర్ధగోళాలు (two hemispheres) చివర్లలో.
• ప్రయోగశాలలోని పరీక్ష నాళిక (test tube) = సిలిండర్ + అర్ధగోళం.
• బొంగరం (lattu), బొమ్మలు = శంకువు + అర్ధగోళం.
• భవనాలు, స్మారక కట్టడాలు కూడా ఇలాంటి సమ్మేళనాలే.

సమస్య పరిష్కార సూత్రం: కొత్త సమస్య వచ్చినప్పుడు దాన్ని ముందే తెలిసిన చిన్న సమస్యలుగా విడగొట్టాలి. సమ్మేళన ఘనాన్ని మూల ఘనాలుగా విడగొట్టి, ప్రతిదానికీ సూత్రం వాడాలి.

9వ తరగతిలో నేర్చిన సూత్రాలే ఈ అధ్యాయానికి పునాది. (π = 22/7 ఇక్కడ వాడతాం; r = వ్యాసార్థం, h = ఎత్తు, l = ఏటవాలు ఎత్తు, a = భుజం)

1. ఘనం (Cube): CSA (పార్శ్వ) = 4a²; TSA = 6a²; ఘనపరిమాణం V = a³. 2. దీర్ఘఘనం (Cuboid) l × b × h: TSA = 2(lb + bh + hl); V = lbh. 3. లంబ వృత్తాకార సిలిండర్ (Cylinder): CSA = 2πrh; TSA = 2πr(r + h); V = πr²h. **4.

లంబ వృత్తాకార శంకువు (Cone): ఏటవాలు ఎత్తు l = √(r² + h²); CSA = πrl; TSA = πr(l + r); V = ⅓πr²h. 5. గోళం (Sphere): CSA = TSA = 4πr²; V = ⁴⁄₃πr³. 6. అర్ధగోళం (Hemisphere): CSA = 2πr²; TSA = 3πr² (వృత్తాకార ముఖం సహా); V = ⅔πr³.

గుర్తుంచుకోండి

• అర్ధగోళం CSA = గోళం CSA లో సగం (2πr²)
• V కూడా సగం (⅔πr³).
• శంకువు V = అదే ఆధారం, అదే ఎత్తు గల సిలిండర్ V లో ⅓.
• పైథాగొరియన్ త్రిపదులు: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17), (1.5, 2, 2.5), (2.5, 6, 6.5) – l త్వరగా వస్తుంది.

ఉపరితల వైశాల్యం (TSA): రెండు ఘనాలను అతికినప్పుడు అతికిన ముఖాలు లోపలికి వెళ్లిపోతాయి, కాబట్టి కొంత వైశాల్యం మాయమవుతుంది. అందువల్ల సమ్మేళనం TSA ≠ రెండు ఘనాల TSA ల మొత్తం.

• TSA (సమ్మేళనం) = కనిపించే ఉపరితలాల వైశాల్యాల మొత్తం.
• ఉదా. సిలిండర్ + 2 అర్ధగోళాలు: TSA = అర్ధగోళం CSA + సిలిండర్ CSA + మరో అర్ధగోళం CSA (సిలిండర్ ముఖాలు, అర్ధగోళ వృత్తాకార ముఖాలు లోపలే).
• బొమ్మ = అర్ధగోళం + శంకువు: TSA = అర్ధగోళం CSA + శంకువు CSA.

ఘనపరిమాణం (Volume): ఇక్కడ ఏమీ మాయం కాదు, కాబట్టి ఘనపరిమాణం = భాగాల ఘనపరిమాణాల మొత్తం (కలిపితే కూడిక; తొలగిస్తే తీసివేత).

మూడు దశల పద్ధతి (Three-step method)

1. ఘనాలను గుర్తించు; సాధారణ వ్యాసార్థం r, ప్రతి భాగం ఎత్తు రాసుకో.
2. TSA అయితే – ఏ ముఖాలు కనిపిస్తాయో జాబితా వేయి (ఆధారం అతికినదా, తెరచినదా, తవ్వినదా).
3. లెక్కించి యూనిట్లు వేయి (సెం.మీ², సెం.మీ³ మొదలైనవి).

ఘనం లోపల తవ్వడం (scooped/hollowed): తవ్విన భాగానికి బదులు కొత్త లోపలి ఉపరితలం వస్తుంది (ఉదా. శంకు గుంట → శంకు CSA; అర్ధగోళ గుంట → 2πr²).

రెండింటి వ్యాసార్థం సమానంగా (r) తీసుకుంటే ఉపరితలం నునుపుగా ఉంటుంది. కనిపించే ఉపరితలాలు: అర్ధగోళ వంపు తలం, శంకువు వంపు తలం.

TSA = అర్ధగోళం CSA + శంకువు CSA = 2πr² + πrl = πr(2r + l)

ఉదాహరణ 1 (లట్టు): బొంగరం మొత్తం ఎత్తు 5 సెం.మీ., వ్యాసం 3.5 సెం.మీ. రంగు వేయవలసిన వైశాల్యం?

• r = 3.5/2 = 1.75 సెం.మీ.
• అర్ధగోళ CSA = 2πr² = 2 × 22/7 × 1.75 × 1.75
• శంకువు ఎత్తు h = 5 − 1.75 = 3.25 సెం.మీ.
• l = √(1.75² + 3.25²) = √(3.0625 + 10.5625) = √13.625 ≈ 3.7 సెం.మీ.
• శంకువు CSA = 22/7 × 1.75 × 3.7
• మొత్తం = 22/7 × 1.75 × (3.5 + 3.7) = 5.5 × 7.2 = 39.6 సెం.మీ² (సుమారు).

ముఖ్యం: బొంగరం TSA = శంకువు TSA + అర్ధగోళ TSA కాదు.

TSA = ఘనం TSA − అర్ధగోళ ఆధార వైశాల్యం (πr²) + అర్ధగోళం CSA (2πr²) = 6a² + πr²

ఉదాహరణ 2: ఘన భుజం 5 సెం.మీ.; పైన అర్ధగోళం వ్యాసం 4.2 సెం.మీ.

• ఘనం TSA = 6 × 5 × 5 = 150 సెం.మీ²
• r = 2.1
• అతికిన చోట ఘన ఉపరితలంలో πr² కప్పబడుతుంది, అందుకే తీసివేత.
• బ్లాక్ TSA = 150 − πr² + 2πr² = 150 + πr² = 150 + 22/7 × 2.1 × 2.1 = 150 + 13.86 = 163.86 సెం.మీ²

గరిష్ఠ వ్యాసం: భుజం a గల ఘనంపై అమర్చగల అతిపెద్ద అర్ధగోళ వ్యాసం = a (అంటే r = a/2).

ఉదాహరణ 3: రాకెట్ మొత్తం ఎత్తు 26 సెం.మీ.; శంకు భాగం ఎత్తు 6 సెం.మీ.; శంకువు ఆధార వ్యాసం 5 సెం.మీ., సిలిండర్ ఆధార వ్యాసం 3 సెం.మీ. శంకు భాగానికి నారింజ, సిలిండర్‌కు పసుపు రంగు. (π = 3.14)

• శంకువు: R = 2.5, h = 6 → l = √(2.5² + 6²) = 6.5 సెం.మీ.
• సిలిండర్: r = 1.5, ఎత్తు = 26 − 6 = 20 సెం.మీ.
• శంకువు ఆధారం సిలిండర్ ఆధారం కంటే పెద్దది, కాబట్టి ఆధారంలోని వలయం (ring) కూడా కనిపిస్తుంది.

నారింజ వైశాల్యం = శంకువు CSA + శంకు ఆధార వైశాల్యం − సిలిండర్ ఆధార వైశాల్యం = πRl + πR² − πr² = π[(2.5 × 6.5) + 2.5² − 1.5²] = π[16.25 + 4] = 3.14 × 20.25 = 63.585 సెం.మీ²

పసుపు వైశాల్యం = సిలిండర్ CSA + ఒక ఆధారం = 2πrh + πr² = πr(2h + r) = (3.14 × 1.5)(40 + 1.5) = 4.71 × 41.5 = 195.465 సెం.మీ²

ఉదాహరణ 4: సిలిండర్ ఆకారపు పక్షుల నీటి తొట్టి; ఒక చివర అర్ధగోళ గుంట, మరో చివర తెరచి ఉంది. సిలిండర్ ఎత్తు 1.45 మీ., వ్యాసార్థం 30 సెం.మీ. TSA?

• h = 145 సెం.మీ., r = 30 సెం.మీ. (ఒకే యూనిట్‌కు మార్చాలి!)
• TSA = సిలిండర్ CSA + అర్ధగోళం CSA = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)
• = 2 × 22/7 × 30 × (145 + 30) = 2 × 22/7 × 30 × 175 = 33000 సెం.మీ² = 3.3 మీ²

వైవిధ్యాలు (Variants): తొట్టి ఆకారం సిలిండర్ + అర్ధగోళ గుంటే. గుంట ఉంటే దాని వంపు తలం (2πr²) ఉపరితలంగా కనిపిస్తుంది కాబట్టి కూడాలి; తెరచిన చివర ఉంటే ఆ చివర వృత్తం ఉండదు.

రెండు చివరలూ మూసి ఉంటే 2πr(h + r) కు బదులు మూసిన చివర πr² కూడా చేరుతుంది.

వృత్త ముఖం ఎందుకు లేదు? ఒక చివర తెరచి ఉంది (వృత్త ముఖం లేదు), రెండో చివర గుంట అర్ధగోళం (దాని వంపు ఉపరితలమే వైశాల్యం).

(π = 22/7)

1. రెండు ఘనాలు (ఒక్కొక్కటి 64 సెం.మీ³) చివర్లు కలిపితే వచ్చే దీర్ఘఘన TSA: భుజం = ∛64 = 4. దీర్ఘఘనం 8 × 4 × 4. TSA = 2(32 + 32 + 16) = 2 × 80 = 160 సెం.మీ².

2. అర్ధగోళంపై సిలిండర్ ఉన్న ఖాళీ పాత్ర (వ్యాసం 14, మొత్తం ఎత్తు 13) – లోపలి వైశాల్యం: r = 7; సిలిండర్ ఎత్తు = 13 − 7 = 6. లోపలి వైశాల్యం = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h) = 2 × 22/7 × 7 × 13 = 572 సెం.మీ².

3. శంకువు (r = 3.5) అర్ధగోళంపై; మొత్తం ఎత్తు 15.5 – TSA: శంకు ఎత్తు = 15.5 − 3.5 = 12; l = √(3.5² + 12²) = √156.25 = 12.5. TSA = πr(2r + l) = 22/7 × 3.5 × (7 + 12.5) = 11 × 19.5 = 214.5 సెం.మీ².

4. భుజం 7 సెం.మీ. ఘనంపై అర్ధగోళం: గరిష్ఠ వ్యాసం = 7 సెం.మీ. (r = 3.5). TSA = 6a² + πr² = 294 + 22/7 × 3.5 × 3.5 = 294 + 38.5 = 332.5 సెం.మీ².

5. ఘనం ఒక ముఖంపై అర్ధగోళ గుంట (వ్యాసం = ఘన భుజం l): r = l/2. TSA = 6l² − πr² + 2πr² = 6l² + πl²/4 = (l²/4)(24 + π).

(π = 22/7)

6. క్యాప్సూల్ (సిలిండర్ + 2 అర్ధగోళాలు): మొత్తం పొడవు 14 మి.మీ., వ్యాసం 5 మి.మీ.: r = 2.5; సిలిండర్ ఎత్తు = 14 − 2(2.5) = 9. వైశాల్యం = 2πrh + 4πr² = 2πr(h + 2r) = 2 × 22/7 × 2.5 × 14 = 220 మి.మీ².

7. గుడారం (సిలిండర్ + శంకు పైకప్పు): సిలిండర్ ఎత్తు 2.1 మీ., వ్యాసం 4 మీ. (r = 2); పైకప్పు ఏటవాలు ఎత్తు 2.8 మీ. అడుగు భాగానికి గుడ్డ లేదు.

• గుడ్డ వైశాల్యం = 2πrh + πrl = πr(2h + l) = 22/7 × 2 × (4.2 + 2.8) = 22/7 × 2 × 7 = 44 మీ².
• ఖరీదు = 44 × ₹500 = ₹22,000.

8. ఘన సిలిండర్ (ఎత్తు 2.4, వ్యాసం 1.4) నుండి అదే ఎత్తు, వ్యాసం గల శంకు గుంట తవ్వితే TSA: r = 0.7; l = √(0.7² + 2.4²) = √6.25 = 2.5.

TSA = సిలిండర్ CSA + ఒక ఆధారం + శంకు CSA = πr(2h + r + l) = 22/7 × 0.7 × (4.8 + 0.7 + 2.5) = 2.2 × 8 = 17.6 ≈ 18 సెం.మీ².

9. ఘన సిలిండర్ (ఎత్తు 10, r = 3.5) రెండు చివరల నుండి అర్ధగోళాలు తవ్వితే TSA: సిలిండర్ CSA + 2 అర్ధగోళ లోపలి ఉపరితలాలు = 2πrh + 4πr² = 2πr(h + 2r) = 2 × 22/7 × 3.5 × 17 = 374 సెం.మీ².

ఉదాహరణ 5 (షెడ్): దీర్ఘఘనం (ఆధారం 7 మీ. × 15 మీ., ఎత్తు 8 మీ.) పైన అర్ధ సిలిండర్ (వ్యాసం 7 మీ., పొడవు 15 మీ.).

• V = దీర్ఘఘనం + ½ సిలిండర్ = 15 × 7 × 8 + ½ × 22/7 × 3.5 × 3.5 × 15 = 840 + 288.75 = 1128.75 మీ³.
• యంత్రాలు 300 మీ³, 20 కార్మికులు × 0.08 = 1.6 మీ³ ఆక్రమిస్తే గాలి = 1128.75 − (300 + 1.6) = 827.15 మీ³.

ఉదాహరణ 6 (జ్యూస్ గ్లాసు): అంతర్గత వ్యాసం 5 సెం.మీ., ఎత్తు 10 సెం.మీ.; అడుగున అర్ధగోళ ఉబ్బెత్తు. (π = 3.14)

• స్పష్ట (apparent) సామర్థ్యం = πr²h = 3.14 × 2.5 × 2.5 × 10 = 196.25 సెం.మీ³.
• అర్ధగోళ ఘనపరిమాణం = ⅔πr³ = ⅔ × 3.14 × 2.5³ = 32.71 సెం.మీ³.
• వాస్తవ (actual) సామర్థ్యం = 196.25 − 32.71 = 163.54 సెం.మీ³.

ఉదాహరణ 7: అర్ధగోళంపై లంబ వృత్తాకార శంకువు ఉన్న ఘన బొమ్మ. శంకు ఎత్తు 2 సెం.మీ., ఆధార వ్యాసం 4 సెం.మీ. బొమ్మ ఘనపరిమాణం? ఈ బొమ్మను సరిగ్గా చుట్టే (circumscribing) సిలిండర్ ఉంటే సిలిండర్, బొమ్మ ఘనపరిమాణాల భేదం? (π = 3.14)

• r = 2 సెం.మీ. (శంకు, అర్ధగోళం రెండింటికీ).
• బొమ్మ V = ⅔πr³ + ⅓πr²h = ⅔ × 3.14 × 8 + ⅓ × 3.14 × 4 × 2 = 16.75 + 8.37 = 25.12 సెం.మీ³.
• సిలిండర్ ఆధార వ్యాసార్థం = 2 సెం.మీ.
• ఎత్తు = h + r = 2 + 2 = 4 సెం.మీ.
• సిలిండర్ V = 3.14 × 2² × 4 = 50.24 సెం.మీ³.
• భేదం = 50.24 − 25.12 = 25.12 సెం.మీ³.

గమనిక: ఇక్కడ సిలిండర్ V బొమ్మ V కు రెట్టింపు. కారణం: సిలిండర్ = πr²(2r) = 2πr³, బొమ్మ (h = r) = ⅔πr³ + ⅓πr³ = πr³.

(π = 22/7)

1. శంకువు అర్ధగోళంపై, r = 1 సెం.మీ., శంకు ఎత్తు = r = 1: V = ⅔πr³ + ⅓πr²h = ⅔π + ⅓π = π సెం.మీ³.

2. రేచల్ నమూనా (సిలిండర్ + రెండు శంకువులు): వ్యాసం 3 సెం.మీ. (r = 1.5), మొత్తం పొడవు 12; ప్రతి శంకు ఎత్తు 2.

• సిలిండర్ ఎత్తు = 12 − 2 − 2 = 8.
• V = πr²(8) + 2 × ⅓πr² × 2 = π × 2.25 × 8 + (4/3)π × 2.25 = 18π + 3π = 21π = 21 × 22/7 = 66 సెం.మీ³.

3. గులాబ్‌జామూన్ (సిలిండర్ + 2 అర్ధగోళాలు), పొడవు 5 సెం.మీ., వ్యాసం 2.8; 30% సిరప్; 45 గులాబ్ జామూన్లు: r = 1.4; సిలిండర్ ఎత్తు = 5 − 2.8 = 2.2.

• ఒకటి V = πr²h + (4/3)πr³ = 22/7 × 1.96 × 2.2 + 4/3 × 22/7 × 2.744 = 13.552 + 11.498 ≈ 25.05 సెం.మీ³.
• 45 అయితే మొత్తం ≈ 1127.28
• 30% సిరప్ ≈ 338 సెం.మీ³ (సుమారు).

4. పెన్ స్టాండ్ (దీర్ఘఘనం 15 × 10 × 3.5, నాలుగు శంకు గుంటలు r = 0.5, లోతు 1.4):

• దీర్ఘఘనం V = 15 × 10 × 3.5 = 525.
• 4 శంకు గుంటలు = 4 × ⅓ × 22/7 × 0.25 × 1.4 ≈ 1.47.
• చెక్క V = 525 − 1.47 = 523.53 సెం.మీ³.

5. తలకిందులు శంకు పాత్ర (ఎత్తు 8, పై వ్యాసార్థం 5) నిండా నీరు; r = 0.5 సీసపు గోళాలు వేస్తే ¼ వంతు నీరు పొంగుతుంది – గోళాల సంఖ్య?

• శంకు V = ⅓π × 25 × 8 = 200π/3. పొంగిన నీరు = ¼ × 200π/3 = 50π/3.
• ఒక గోళం V = 4/3π(0.5)³ = π/6.
• సంఖ్య = (50π/3) ÷ (π/6) = 100.

6. ఇనుప స్తంభం (π = 3.14): సిలిండర్ 1 (ఎత్తు 220, వ్యాసం 24 → r = 12) + సిలిండర్ 2 (ఎత్తు 60, r = 8); 1 సెం.మీ³ ఇనుము ≈ 8 గ్రా.

• V = π(144 × 220 + 64 × 60) = π(31680 + 3840) = π × 35520 = 3.14 × 35520 = 111532.8 సెం.మీ³.
• ద్రవ్యరాశి = 111532.8 × 8 = 892262.4 గ్రా ≈ 892.26 కి.గ్రా.

7. శంకువు (h = 120, r = 60) అర్ధగోళం (r = 60) పై ఉన్న ఘనం, నీటితో నిండిన సిలిండర్ (r = 60, h = 180) లో పడేస్తే మిగిలే నీరు:

• సిలిండర్ V = π × 3600 × 180 = 648000π.
• ఘనం V = ⅓π × 3600 × 120 + ⅔π × 216000 = 144000π + 144000π = 288000π.
• మిగిలిన నీరు = 360000π = 360000 × 22/7 ≈ 1,131,428.57 సెం.మీ³ ≈ 1.131 మీ³.

8. గోళాకార గాజు పాత్ర + సిలిండర్ మెడ (మెడ పొడవు 8, వ్యాసం 2; గోళ వ్యాసం 8.5); బాలిక కొలిచిన 345 సెం.మీ³ సరైనదా? (π = 3.14)

• గోళం V = 4/3 × 3.14 × 4.25³ ≈ 321.39.
• మెడ V = 3.14 × 1² × 8 = 25.12.
• మొత్తం ≈ 346.51 సెం.మీ³. బాలిక 345 అని చెప్పింది – సుమారుగా దగ్గరే, కానీ ఖచ్చితంగా 346.51.

ఫార్ములా షార్ట్‌కట్లు

• సిలిండర్ + 2 అర్ధగోళాలు (క్యాప్సూల్):
  1. TSA = 2πr(h + 2r)
  2. V = πr²h + 4/3πr³ = πr²(h + 4r/3).
• అర్ధగోళం + శంకువు:
  1. TSA = πr(2r + l)
  2. V = ⅓πr²(2r + h).
• శంకువు h = r అయితే, అర్ధగోళం + శంకువు V = πr³.
• ఘనం + అర్ధగోళం:
  1. TSA = 6a² + πr²
  2. (r ≤ a/2).
• ఘన సిలిండర్ నుండి రెండు అర్ధగోళ గుంటలు: TSA = 2πr(h + 2r).

సాధారణ తప్పులు (Common traps)

• మొత్తం ఎత్తు నుండి r తీసివేయడం మరచిపోవడం (శంకు ఎత్తు, సిలిండర్ ఎత్తు కోసం).
• వ్యాసం ఇచ్చినప్పుడు r = d/2 చేయకపోవడం.
• మీటర్లు, సెంటీమీటర్లు కలపడం (ఉదా. బర్డ్ బాత్: 1.45 మీ. = 145 సెం.మీ.).
• ఖర్చు/ద్రవ్యరాశి ప్రశ్నలలో చివరి దశ (× రేటు, × సాంద్రత) విస్మరించడం.
• TSA లో అతికిన ముఖాలను (అంతర్గత) కూడా కలపడం.
• ప్రశ్న చెప్పిన π విలువ (22/7 లేదా 3.14) మార్చి వాడటం.

త్వరిత పరిశీలన: అర్ధగోళ CSA కి 2πr², TSA కి 3πr²; గోళానికి 4πr².