అంకశ్రేఢులు (Arithmetic Progressions)

ప్రకృతిలో, దైనందిన జీవితంలో అనేక విషయాలు ఒక క్రమాన్ని (pattern) అనుసరిస్తాయి – ఉదా: పొద్దుతిరుగుడు పూరేకులు, తేనెపట్టులో రంధ్రాలు, మొక్కజొన్న కంకిలో గింజలు, అనాస పండు మీది సర్పిలాలు. పాఠ్యపుస్తకం 5.1లో ఇచ్చిన క్రమాల్లో ఏది AP, ఏది కాదు అని పరీక్షలో గుర్తించగలగాలి.

పుస్తకంలోని ఆరు ఉదాహరణలు

• (i) రీనా జీతం: ₹8000 తో మొదలై ఏడాదికి ₹500 పెరుగుదల → 8000, 8500, 9000, … → AP (+500)
• (ii) నిచ్చెన రాడ్ల పొడవులు: 45, 43, 41, 39, 37, 35, 33, 31 cm (ప్రతిసారి 2 cm తగ్గుదల) → AP (−2)
• (iii) పొదుపు పథకం: ప్రతి 3 ఏళ్లకు మొత్తం 5/4 రెట్లు: 10000, 12500, 15625, 19531.25 → AP కాదు (ఒకే సంఖ్యతో గుణించడం)
• (iv) భుజం 1, 2, 3, … ఉన్న చతురస్రాల్లో ప్రమాణ చతురస్రాలు: 1², 2², 3², … → AP కాదు (వర్గాలు)
• (v) షకీలా కూతురి హుండీ: మొదటి పుట్టినరోజుకు ₹100, ఆపై ఏటా ₹50 పెంపు: 100, 150, 200, 250, … → AP (+50)
• (vi) కుందేళ్ల జతలు: 1, 1, 2, 3, 5, 8 → AP కాదు (వరుస భేదాలు 0, 1, 1, 2, 3 సమానం కావు)

గుర్తింపు నియమం (Rule)

• ప్రతి పదాన్ని దాని ముందు పదానికి స్థిరమైన సంఖ్యను కూడటం ద్వారా పొందితే అది AP.
• గుణించడం ద్వారా, వర్గాలు తీసుకోవడం ద్వారా పొందే క్రమాలు AP కావు.
• ఈ అధ్యాయంలో: "కూడటం ద్వారా వచ్చే క్రమం", దాని n-వ పదం, మొదటి n పదాల మొత్తం (sum), దైనందిన సమస్యలు.

నిర్వచనం: మొదటి పదం మినహా ప్రతి పదాన్ని, దాని ముందు పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను కూడటం ద్వారా పొందే సంఖ్యల జాబితాను అంక శ్రేఢి (Arithmetic Progression, AP) అంటారు. ఈ స్థిర సంఖ్యను సామాన్య భేదం (common difference, d) అంటారు. d ధనాత్మకం, ఋణాత్మకం లేదా సున్నా కావచ్చు.

పుస్తకంలోని ఐదు జాబితాలు (5.2)

• (i) 1, 2, 3, 4, … → d = 1
• (ii) 100, 70, 40, 10, … → d = −30
• (iii) −3, −2, −1, 0, … → d = 1
• (iv) 3, 3, 3, 3, … → d = 0 (అన్ని పదాలు సమానం – ఇదీ AP)
• (v) −1.0, −1.5, −2.0, −2.5, … → d = −0.5

సంకేతాలు

• మొదటి పదం a₁ (= a), రెండవ పదం a₂, …, n-వ పదం aₙ
• సామాన్య భేదం d.
• a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = … = aₙ − aₙ₋₁ = d.
• సాధారణంగా d = a(k+1) − a(k) (ఏ వరుస రెండు పదాలైనా).

వర్గీకరణ (d గుర్తు ఆధారంగా)

• d > 0 → పదాలు పెరుగుతాయి (increasing AP)
• d < 0 → పదాలు తగ్గుతాయి (decreasing AP)
• d = 0 → అన్ని పదాలు సమానం (constant AP)

సాధారణ రూపం (General form): మొదటి పదం a, సామాన్య భేదం d అయిన AP:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …

ఒక AP ని పూర్తిగా తెలుసుకోవడానికి కనీస సమాచారం a మరియు d – రెండూ అవసరం; ఒకటి మాత్రమే సరిపోదు.

a, d నుంచి AP రాయడం (పుస్తక ఉదాహరణలు)

• a = 6, d = 3 → 6, 9, 12, 15, …
• a = 6, d = −3 → 6, 3, 0, −3, …
• a = −7, d = −2 → −7, −9, −11, −13, …
• a = 1.0, d = 0.1 → 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, …
• a = 0, d = 1½ → 0, 1½, 3, 4½, 6, …
• a = 2, d = 0 → 2, 2, 2, 2, …

పరిమిత AP (Finite AP) – చివరి పదం ఉంటుంది. పుస్తకంలోని ఉదాహరణలు:

• (a) క్యూలో విద్యార్థుల ఎత్తులు 147, 148, 149, …, 157 cm
• (b) వారం కనిష్ఠ ఉష్ణోగ్రతలు −3.1, −3.0, −2.9, …, −2.5
• (c) లోన్ ₹1000లో ప్రతినెల 5% (₹50) చెల్లించగా మిగిలే మొత్తం: 950, 900, 850, 800, …, 50
• (d) I–XII తరగతుల టాపర్లకు బహుమతులు: 200, 250, 300, 350, …, 750
• (e) నెలకు ₹50 పొదుపు → 50, 100, 150, …, 500 (10 నెలలు)

అపరిమిత AP (Infinite AP) – చివరి పదం ఉండదు (1, 2, 3, 4, …; 100, 70, 40, 10, …).

• AP లో m పదాలుంటే చివరి పదం aₘ ను l తో కూడా సూచిస్తారు.

పరీక్షా పద్ధతి: ఇచ్చిన జాబితాలో a₂ − a₁, a₃ − a₂, a₄ − a₃, … అన్నీ సమానమైతే AP; ఒక్కటి భిన్నమైనా AP కాదు.

పుస్తక ఉదాహరణలు (Example 1, 2)

• 3/2, 1/2, −1/2, −3/2, … → a = 3/2, d = 1/2 − 3/2 = −1
• 4, 10, 16, 22, … → భేదాలు 6, 6, 6 → AP, d = 6
• తర్వాతి రెండు పదాలు 28, 34
• 1, −1, −3, −5, … → భేదాలు −2, −2, −2 → AP, d = −2
• తర్వాతి పదాలు −7, −9
• −2, 2, −2, 2, −2, … → భేదాలు 4, −4 → AP కాదు
• 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, … → భేదాలు 0, 0, 1 → AP కాదు

Exercise 5.1 ఆధారిత వర్గాలు

• టాక్సీ ఛార్జీ: మొదటి km కు ₹15, తర్వాత ప్రతి km కు ₹8 → 15, 23, 31, 39, … → AP (d = 8)
• సిలిండర్ నుండి వాక్యూమ్ పంప్ ప్రతిసారి గాలిలో 1/4 వంతు తొలగిస్తే మిగిలే గాలి → AP కాదు (గుణకారం)
• బావి తవ్వకం ఖర్చు: మొదటి మీటరుకు ₹150, ఆ తర్వాత ప్రతి మీటరుకు ₹50 పెరుగుదల → 150, 200, 250, … → AP (d = 50)
• ₹10000 పై 8% చక్రవడ్డీతో ఖాతాలో మొత్తం → AP కాదు
• Exercise 5.1 Q4 జాబితాలు:
  1. 2, 4, 8, 16 – కాదు (గుణకారం)
  2. −1.2, −3.2, −5.2, −7.2 → AP (d = −2)
  3. −10, −6, −2, 2 → AP (d = 4)
  4. 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2 → AP (d = √2)
  5. 0.2, 0.22, 0.222 → కాదు
  6. 0, −4, −8, −12 → AP (d = −4)
  7. −1/2, −1/2, −1/2, −1/2 → AP (d = 0)
  8. 1, 3, 9, 27 → కాదు
  9. a, 2a, 3a, 4a → AP (d = a)
  10. a, a², a³ → కాదు
  11. √2, √8, √18, √32 (= √2, 2√2, 3√2, 4√2) → AP (d = √2)
  12. √3, √6, √9, √12 → కాదు
  13. 1², 3², 5², 7² (1, 9, 25, 49) → కాదు

శీఘ్ర పరీక్ష (shortcut)

• 3 సంఖ్యలు AP లో ఉన్నాయా? 2 × మధ్య సంఖ్య = మొదటి + మూడవది.
• మొదటి కొన్ని భేదాలు సమానమైనా, అన్ని వరుస భేదాలు సమానమని నిర్ధారించాలి.

ఉత్పత్తి (Derivation) – రీనా జీతం ఉదాహరణ: మొదటి ఏడాది ₹8000, పెంపు ₹500.

• 2వ ఏడాది = 8000 + 500 = 8000 + (2 − 1)×500 = 8500
• 3వ ఏడాది = 8000 + 2×500 = 8000 + (3 − 1)×500 = 9000
• 4వ ఏడాది = 8000 + (4 − 1)×500 = 9500
• 5వ ఏడాది = 8000 + (5 − 1)×500 = 10000
• 15వ ఏడాది = 8000 + (15 − 1)×500 = ₹15000
• 25వ ఏడాది = 8000 + 24×500 = ₹20000

సాధారణ రూపంలో: a₁ = a, a₂ = a + d, a₃ = a + 2d, a₄ = a + 3d, … కాబట్టి

aₙ = a + (n − 1) d

• aₙ ను సాధారణ పదం (general term) అంటారు.
• AP లో m పదాలుంటే aₘ = l (చివరి పదం) = a + (m − 1)d.

నాలుగు రాశులు: aₙ, a, d, n – వీటిలో ఏ మూడు తెలిసినా నాలుగోది కనుగొనవచ్చు.

• aₙ కావాలంటే: నేరుగా ప్రతిక్షేపించండి.
• d కావాలంటే: d = (aₙ − a)/(n − 1)
• n కావాలంటే: n = (aₙ − a)/d + 1 ← పరీక్షల్లో అత్యంత ఉపయోగకరం
• a కావాలంటే: a = aₙ − (n − 1)d

ఏ రెండు పదాల మధ్యనైనా: aₚ − a_q = (p − q)d (a తో పని లేకుండా d పొందే shortcut).

Example 3: 2, 7, 12, … 10వ పదం: a = 2, d = 5, n = 10 → a₁₀ = 2 + 9×5 = 47.

రకం 1 – ఇచ్చిన సంఖ్య ఎన్నో పదం? (Example 4): 21, 18, 15, … లో −81 ఎన్నో పదం?

• a = 21, d = −3, aₙ = −81 → −81 = 21 + (n − 1)(−3) = 24 − 3n → −105 = −3n → n = 35.
• 0 ఏదైనా పదమా? 21 + (n − 1)(−3) = 0 → 3(n − 1) = 21 → n = 8 → 8వ పదం 0.

రకం 2 – ఇచ్చిన సంఖ్య ఆ AP లో పదమేనా? (Example 6): 5, 11, 17, 23, … లో 301?

• d = 6
• 301 = 5 + (n − 1)6 → 301 = 6n − 1 → n = 302/6 = 151/3 → n పూర్ణాంకం కాదు → 301 పదం కాదు.
• Exercise 5.2 Q6: 11, 8, 5, 2, … లో −150: −150 = 11 − 3(n − 1) → n − 1 = 161/3 → n పూర్ణాంకం కాదు → పదం కాదు.
• శీఘ్ర పరీక్ష: (ఇచ్చిన సంఖ్య − a) ను d తో భాగిస్తే శేషం 0 కావాలి (భాగఫలం ధనాత్మకం, తర్వాత +1).

రకం 3 – రెండు పదాలు ఇచ్చి AP కనుగొనడం (Example 5): 3వ పదం 5, 7వ పదం 9.

• a + 2d = 5, a + 6d = 9 → 4d = 4 → d = 1, a = 3 → AP: 3, 4, 5, 6, 7, …
• Shortcut: d = (a₇ − a₃)/(7 − 3) = (9 − 5)/4 = 1.

Exercise 5.2 లోని ఇతర రకాలు (లెక్కించిన సమాధానాలు)

• a₁₁ = 38, a₁₆ = 73 → d = 35/5 = 7
• a = 38 − 70 = −32
• a₃₁ = −32 + 30×7 = 178
• 50 పదాల AP:
  1. a₃ = 12, a₅₀ = 106 → 47d = 94 → d = 2, a = 8
  2. a₂₉ = 8 + 28×2 = 64
• a₃ = 4, a₉ = −8 → d = −2, a = 8
• సున్నా పదం: 8 − 2(n − 1) = 0 → n = 5
• a₁₇ − a₁₀ = 7 → 7d = 7 → d = 1
• 3, 15, 27, 39, … లో a₅₄ + 132: 132 ÷ 12 = 11 పదాలు ముందుకు → 54 + 11 = 65వ పదం
• రెండు APలకు సమాన d
• 100వ పదాల భేదం 100 → 1000వ పదాల భేదం కూడా 100 (భేదం మారదు)
• 63, 65, 67, … మరియు 3, 10, 17, … లో n-వ పదాలు సమానం: 63 + 2(n − 1) = 3 + 7(n − 1) → 5n = 65 → n = 13
• a₃ = 16, a₇ − a₅ = 12 → 2d = 12 → d = 6, a = 4 → AP: 4, 10, 16, …
• a₄ + a₈ = 24, a₆ + a₁₀ = 44 → 2a + 10d = 24, 2a + 14d = 44 → d = 5, a = −13 → −13, −8, −3
• −3, −1/2, 2, … 11వ పదం = −3 + 10×(5/2) = 22
• 10, 7, 4, … 30వ పదం = 10 + 29(−3) = −77

ఖాళీ పదాలు (Exercise 5.2 Q3): మొదటి, చివరి పదాలతో d కనుగొని నింపాలి.

• 2, , 26 → d = 12 → 14
• , 13, , 3 → d = −5 → 18, 8
• 5, , , 9½ → d = 1.5 → 6.5, 8
• −4, , , , , 6 → d = 2 → −2, 0, 2, 4
• , 38, , , , −22 → d = −15 → 53, 23, 8, −7

పట్టిక (Exercise 5.2 Q1): (a = 7, d = 3, n = 8 → aₙ = 28); (a = −18, n = 10, aₙ = 0 → d = 2); (d = −3, n = 18, aₙ = −5 → a = 46); (a = −18.9, d = 2.5, aₙ = 3.6 → n = 10); (a = 3.5, d = 0, n = 105 → aₙ = 3.5).

పదాల సంఖ్య సూత్రం: AP లో a, d, చివరి పదం l తెలిస్తే

n = (l − a)/d + 1

Example 7: రెండంకెల సంఖ్యల్లో 3 చే భాగింపబడేవి ఎన్ని? AP: 12, 15, 18, …, 99 → a = 12, d = 3, l = 99 → n = (99 − 12)/3 + 1 = 29 + 1 = 30.

Exercise 5.2 లెక్కలు

• 7, 13, 19, …, 205 → n = (205 − 7)/6 + 1 = 33 + 1 = 34
• 18, 15½, 13, …, −47 → d = −2.5
• n = (−47 − 18)/(−2.5) + 1 = 26 + 1 = 27
• 3, 8, 13, 18, … లో 78 → n = (78 − 3)/5 + 1 = 16వ పదం
• మూడంకెల సంఖ్యల్లో 7 చే భాగింపబడేవి: 105, 112, …, 994 → (994 − 105)/7 + 1 = 127 + 1 = 128
• 10, 250 మధ్య 4 గుణిజాలు: 12, 16, …, 248 → (248 − 12)/4 + 1 = 59 + 1 = 60

గుణిజాల లెక్కింపు shortcut

• m గుణిజాలు x నుండి y వరకు (రెండూ గుణిజాలే అయితే): (y − x)/m + 1.
• మొదటి k ధన గుణిజాల మొత్తం: m × k(k+1)/2.

చివరి నుండి n-వ పదం (Example 8): AP 10, 7, 4, …, −62 లో చివరి నుండి 11వ పదం?

• పద్ధతి 1: మొత్తం పదాలు: −62 = 10 + (n − 1)(−3) → n − 1 = 24 → n = 25. చివరి నుండి 11వ పదం = మొదటి నుండి (25 − 11 + 1) = 15వ పదం (14వ కాదు). a₁₅ = 10 + 14(−3) = −32.
• పద్ధతి 2 (AP ని తిరగరాయడం): a = −62, d = +3 → a₁₁ = −62 + 10×3 = −32.
• సూత్రం:
  1. చివరి నుండి k-వ పదం = l − (k − 1)d
  2. లేదా మొత్తం n అయితే మొదటి నుండి (n − k + 1)-వ పదం.
• Exercise 5.2 Q17:
  1. 3, 8, 13, …, 253 లో చివరి నుండి 20వ పదం: n = (253 − 3)/5 + 1 = 51
  2. చివరి నుండి 20వ = మొదటి నుండి 32వ పదం = 3 + 31×5 = 158 (లేదా 253 − 19×5 = 158).

ఆలోచనా విధానం: సమస్యలో "ప్రతిసారి సమాన పెరుగుదల/తరుగుదల" కనపడితే → a = మొదటి విలువ, d = పెరుగుదల; అడిగిన దాన్ని aₙ లేదా n గా మార్చండి.

Example 9 – సరళ వడ్డీ: ₹1000 ను సంవత్సరానికి 8% సరళ వడ్డీతో పెడితే ఏడాది చివర వడ్డీ: ₹80, ₹160, ₹240, … (I = PRT/100). ఇది AP (a = 80, d = 80). 30 ఏళ్ల చివర వడ్డీ = a₃₀ = 80 + 29×80 = ₹2400.

• గుర్తు:
  1. సరళ వడ్డీ → AP
  2. చక్రవడ్డీ → AP కాదు.

Example 10 – పూల మడి: వరుసల్లో గులాబీ మొక్కలు 23, 21, 19, …, 5. a = 23, d = −2, aₙ = 5 → 5 = 23 + (n − 1)(−2) → n = 10 వరుసలు.

Example 16(i), (ii) – TV ఉత్పత్తి: 3వ ఏడాది 600, 7వ ఏడాది 700 (ఏటా సమాన పెరుగుదల). a + 2d = 600, a + 6d = 700 → d = 25, a = 550. 1వ ఏడాది 550; 10వ ఏడాది = 550 + 9×25 = 775.

Exercise 5.2 వ్యవహార సమస్యలు

• సుబ్బారావు: 1995లో జీతం ₹5000, ఏటా ₹200 పెంపు. ₹7000 అయ్యేది ఏ ఏడాది? 5000 + 200(n − 1) = 7000 → n = 11 → 1995 + 10 = 2005.
• రామ్‌కలి: మొదటి వారం ₹5, ఆపై వారానికి ₹1.75 పెంపు. n-వ వారం పొదుపు ₹20.75 → 5 + 1.75(n − 1) = 20.75 → n − 1 = 9 → n = 10.

సంవత్సరం/వారం/నెల సమస్యల tip

• మొదటి విలువ = a (1వ పదం)
• "n-వ ఏడాది" అంటే aₙ. సందర్భం చదివి a ను నిర్ణయించండి.
• సంవత్సరాల తేడా = పదాల సంఖ్య తేడా: 1995 → 2005 అంటే 11వ పదం (n − 1 = 10 ఏళ్లు).

ప్రశ్న: షకీలా కూతురి హుండీలో 1వ పుట్టినరోజుకు ₹100, తర్వాత ఏటా ₹50 పెంపు (100, 150, 200, 250, …). 21వ పుట్టినరోజున మొత్తం ఎంత? 21 సంఖ్యలను రాసి కూడటం చాలా సమయం పడుతుంది – సూత్రం అవసరం.

గాస్ కథ: గాస్ 10 ఏళ్ల వయసులో 1 నుండి 100 వరకు పూర్ణాంకాల మొత్తం అడిగితే వెంటనే 5050 అని చెప్పాడు. పద్ధతి:

• S = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100
• S = 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1 (తిరగరాయడం)
• కూడగా 2S = (100 + 1) + (99 + 2) + … + (1 + 100) = 101 + 101 + … + 101 (100 సార్లు)
• S = 100 × 101 / 2 = 5050

AP కి సాధారణీకరణ (a, d)

• S = a + (a + d) + (a + 2d) + … + [a + (n − 1)d] …(1)
• తిరగరాస్తే S = [a + (n − 1)d] + [a + (n − 2)d] + … + (a + d) + a …(2)
• (1) + (2): ప్రతి జత = 2a + (n − 1)d, ఇలాంటి జతలు n ఉన్నాయి
• 2S = n [2a + (n − 1)d] ⟹ Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]

మరో రూపం: Sₙ = n/2 [a + a + (n − 1)d] = n/2 (a + aₙ); పరిమిత AP లో aₙ = l అయితే Sₙ = n/2 (a + l).

షకీలా సమాధానం: a = 100, d = 50, n = 21 → S = 21/2 [200 + 20×50] = 21/2 × 1200 = 21 × 600 = ₹12600.

రెండు సూత్రాలు

• (A) Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] – a, d, n తెలిసినప్పుడు (చివరి పదం తెలియనప్పుడు).
• (B) Sₙ = n/2 (a + l) – మొదటి, చివరి పదాలు తెలిసినప్పుడు (d అవసరం లేదు).

నాలుగు రాశులు: Sₙ, a, d, n – ఏ మూడు తెలిసినా నాలుగోది కనుగొనవచ్చు. చివరి పదం l ఉంటే l = a + (n − 1)d కూడా.

ప్రత్యేక సంకేతం: Sₙ బదులు S అని కూడా రాస్తారు; S₂₀ అంటే మొదటి 20 పదాల మొత్తం.

ఉదాహరణలు

• Example 11: 8, 3, −2, … మొదటి 22 పదాల మొత్తం: a = 8, d = −5, n = 22 → S = 11[16 + 21(−5)] = 11(16 − 105) = 11 × (−89) = −979.
• Exercise 5.3 Q1:
  1. (i) 2, 7, 12, … 10 పదాలు: 5[4 + 45] = 245
  2. (ii) −37, −33, −29, … 12 పదాలు: 6[−74 + 44] = −180
  3. (iii) 0.6, 1.7, 2.8, … 100 పదాలు: 50[1.2 + 99×1.1] = 50 × 110.1 = 5505
  4. (iv) 1/15, 1/12, 1/10, … 11 పదాలు: d = 1/60, S = 11/2 (2/15 + 10/60) = 11/2 × 3/10 = 33/20.
• Q2:
  1. (i) 7 + 10½ + 14 + … + 84: d = 3.5, n = 23, S = 23/2 (7 + 84) = 1046.5
  2. (ii) 34 + 32 + … + 10: d = −2, n = 13, S = 13/2 × 44 = 286
  3. (iii) −5 + (−8) + … + (−230): d = −3, n = 76, S = 38 × (−235) = −8930.
• Q6:
  1. 17 నుండి 350 వరకు, d = 9: n = (350 − 17)/9 + 1 = 38
  2. S = 19 × 367 = 6973.
• Q7:
  1. d = 7, a₂₂ = 149 → a = 149 − 147 = 2
  2. S₂₂ = 11 × (2 + 149) = 1661.
• Q8:
  1. a₂ = 14, a₃ = 18 → d = 4, a = 10
  2. S₅₁ = 51/2 [20 + 200] = 5610.

ఏ సూత్రం ఎంచుకోవాలి?

• d ఇచ్చి aₙ (లేదా l) ఇవ్వకపోతే → (A).
• a, l, n ఇచ్చి d ఇవ్వకపోతే → (B) (ఉదా: ఒక సంఖ్య నుండి ఇంకో సంఖ్య వరకు మొత్తం).

రకం 1 – d కనుగొని మరో పదం (Example 12): మొదటి 14 పదాల మొత్తం 1050, మొదటి పదం 10; 20వ పదం ఎంత?

• 1050 = 14/2 [20 + 13d] = 140 + 91d → 910 = 91d → d = 10
• a₂₀ = 10 + 19×10 = 200.

రకం 2 – n కనుగొనడం (వర్గ సమీకరణం) (Example 13): 24, 21, 18, … ఎన్ని పదాలు తీసుకుంటే మొత్తం 78?

• 78 = n/2 [48 + (n − 1)(−3)] = n/2 (51 − 3n) → 3n² − 51n + 156 = 0 → n² − 17n + 52 = 0 → (n − 4)(n − 13) = 0
• n = 4 లేదా 13 – రెండు విలువలూ సరైనవే.
• కారణం:
  1. a ధనాత్మకం, d ఋణాత్మకం → కొన్ని పదాలు ధన, కొన్ని ఋణ
  2. 5వ నుండి 13వ పదం వరకు పదాల మొత్తం 0 (S₄ = S₁₃ = 78).

Exercise 5.3 Q3 పరిష్కారాలు

• (i) a = 5, d = 3, aₙ = 50 → n = 16, Sₙ = 8 × 55 = 440
• (ii) a = 7, a₁₃ = 35 → 35 = 7 + 12d → d = 7/3
• S₁₃ = 13/2 (7 + 35) = 273
• (iii) a₁₂ = 37, d = 3 → a = 37 − 33 = 4
• S₁₂ = 6 × (4 + 37) = 246
• (iv) a₃ = 15, S₁₀ = 125 → a + 2d = 15, 2a + 9d = 25 → d = −1, a = 17
• a₁₀ = 8
• (v) d = 5, S₉ = 75 → 9/2 (2a + 40) = 75 → a = −35/3
• a₉ = a + 40 = 85/3
• (vi) a = 2, d = 8, Sₙ = 90 → n(4n − 2) = 90 → 2n² − n − 45 = 0 → n = 5
• a₅ = 34
• (vii) a = 8, aₙ = 62, Sₙ = 210 → n/2 × 70 = 210 → n = 6
• d = 54/5 = 10.8
• (viii) aₙ = 4, d = 2, Sₙ = −14 → a = 6 − 2n
• n/2 (10 − 2n) = −14 → n² − 5n − 14 = 0 → n = 7, a = −8
• (ix) a = 3, n = 8, S = 192 → 4(6 + 7d) = 192 → d = 6
• (x) l = 28, S = 144, n = 9 → 9/2 (a + 28) = 144 → a = 4

ఇతర లెక్కలు (Exercise 5.3)

• Q4: 9, 17, 25, … మొత్తం 636 కావడానికి n: n(4n + 5) = 636 → 4n² + 5n − 636 = 0 → n = 12
• Q5:
  1. a = 5, l = 45, S = 400 → n/2 × 50 = 400 → n = 16
  2. d = 40/15 = 8/3
• Q9: S₇ = 49, S₁₇ = 289 → a + 3d = 7, a + 8d = 17 → d = 2, a = 1 → Sₙ = n²

మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం (Example 14)

• a = 1, l = n, d = 1 → Sₙ = n(n + 1)/2
• మొదటి 1000 ధన పూర్ణాంకాలు: 1000/2 × (1 + 1000) = 500 × 1001 = 500500
• 1 + 2 + … + 100 = 5050

ఇతర ఉపయోగకర రూపాలు (పుస్తక సూత్రం నుండి ఉత్పన్నం)

• మొదటి n సరి సంఖ్యలు 2 + 4 + … + 2n = n(n + 1)
• మొదటి n బేసి సంఖ్యలు 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² (a = 1, d = 2 → n/2 [2 + 2(n − 1)] = n²)
• m యొక్క మొదటి k గుణిజాలు: m × k(k+1)/2

Exercise 5.3 లెక్కలు

• Q12: 6 చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధన పూర్ణాంకాల మొత్తం: 6 + 12 + … + 240 = 6 × (40 × 41/2) = 6 × 820 = 4920
• Q13: 8 యొక్క మొదటి 15 గుణిజాలు: 8 × (15 × 16/2) = 8 × 120 = 960
• Q14: 0, 50 మధ్య బేసి సంఖ్యలు 1, 3, …, 49 → n = 25 → 625 (= 25²)
• Q17:
  1. ప్రతి తరగతి ప్రతి సెక్షన్ తన తరగతి సంఖ్యకు సమాన చెట్లు నాటాలి
  2. I నుండి XII వరకు, ప్రతి తరగతికి 3 సెక్షన్లు → 3 × (1 + 2 + … + 12) = 3 × 78 = 234 చెట్లు.

పుస్తకంలో AM గమనిక: a, b, c AP లో ఉంటే b = (a + c)/2; b ను a, c ల అంక మధ్యమం (arithmetic mean) అంటారు.

పరీక్షా shortcut పట్టిక

• 1 నుండి n వరకు: n(n+1)/2 • మొదటి n సరి: n(n+1) • మొదటి n బేసి: n²
• మొదటి + చివరి పదాల జతలు సమానం
• మొత్తం = (n/2)(a + l)

పుస్తక Remark: AP యొక్క n-వ పదం = మొదటి n పదాల మొత్తం − మొదటి (n − 1) పదాల మొత్తం:

aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2), మరియు a₁ = S₁

Exercise 5.3 Q11: Sₙ = 4n − n² అయితే

• మొదటి పదం S₁ = 4 − 1 = 3
• S₂ = 8 − 4 = 4 → మొదటి రెండు పదాల మొత్తం 4
• రెండవ పదం = S₂ − S₁ = 1
• S₃ = 12 − 9 = 3 → మూడవ పదం = 3 − 4 = −1
• S₁₀ = 40 − 100 = −60, S₉ = 36 − 81 = −45 → పదవ పదం = −60 − (−45) = −15
• సాధారణ పదం: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = (4n − n²) − [4(n−1) − (n−1)²] = 5 − 2n
• గమనిక: a = 3, d = −2 → aₙ = 3 − 2(n−1) = 5 − 2n ✓.

త్వరిత నియమం: Sₙ = An² + Bn (స్థిర పదం లేకుండా) రూపంలో ఉంటే అది AP; అప్పుడు a = A + B, d = 2A. (పై ఉదాహరణ: A = −1, B = 4 → a = 3, d = −2). Exercise 5.3 Q9 లో Sₙ = n² (A = 1, B = 0) → a = 1, d = 2 ✓. (ఈ రూపం Sₙ సూత్రాన్ని విస్తరిస్తే వస్తుంది: Sₙ = (d/2)n² + (a − d/2)n.)

aₙ సూత్రం ఇచ్చి AP నిరూపణ (Example 15, Exercise 5.3 Q10)

• Example 15:
  1. aₙ = 3 + 2n → a₁ = 5, a₂ = 7, a₃ = 9, … భేదాలు 2 → AP (d = 2)
  2. S₂₄ = 12[10 + 46] = 672.
• Q10 (i) aₙ = 3 + 4n: a₁ = 7, d = 4 (aₙ₊₁ − aₙ = 4 స్థిరం) → S₁₅ = 15/2 [14 + 56] = 525.
• Q10 (ii) aₙ = 9 − 5n: a₁ = 4, d = −5 → S₁₅ = 15/2 [8 − 70] = −465.
• నియమం:
  1. aₙ = pn + q (n లో ఘాతం 1) రూపం AP
  2. d = p, a = p + q.

Example 16(iii) – TV ఉత్పత్తి: a = 550, d = 25 → మొదటి 7 ఏళ్ల మొత్తం ఉత్పత్తి S₇ = 7/2 [1100 + 150] = 4375.

Exercise 5.3 సమస్యలు (ప్రతిదీ లెక్కించిన సమాధానం)

• Q15 – జరిమానా:
  1. ఆలస్యమైన రోజులకు ₹200, ₹250, ₹300, … (d = 50)
  2. 30 రోజులకు S₃₀ = 15[400 + 29×50] = 15 × 1850 = ₹27750.
• Q16 – బహుమతులు: ₹700 తో 7 బహుమతులు, ప్రతి బహుమతి ముందుదానికంటే ₹20 తక్కువ → 7/2 (2a − 120) = 700 → a = 160 → 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40.
• Q17 – చెట్లు: 3 సెక్షన్లు × (1 + 2 + … + 12) = 3 × 78 = 234.
• Q18 – సర్పిలం:
  1. A, B కేంద్రాలుగా వరుస అర్ధవృత్తాలు, వ్యాసార్ధాలు 0.5, 1.0, 1.5, … cm
  2. అర్ధవృత్త పొడవు = π r. 13 అర్ధవృత్తాల మొత్తం పొడవు = π (0.5 + 1.0 + … + 6.5) = π × 0.5 × (1 + … + 13) = 22/7 × 45.5 = 143 cm.
• Q19 – దుంగల రాశి:
  1. 200 దుంగలు
  2. అడుగు వరుసలో 20, తర్వాత 19, 18, … → n/2 [40 − (n − 1)] = 200 → n² − 41n + 400 = 0 → n = 16 లేదా 25. n = 25 అయితే పై వరుస 20 − 24 = −4 (అసాధ్యం) కాబట్టి 16 వరుసలు, పై వరుసలో 5 దుంగలు (20 − 15 = 5).
• Q20 – బంగాళదుంప పందెం:
  1. బకెట్ మొదటి దుంపకు 5 m, దుంపల మధ్య 3 m, మొత్తం 10 దుంపలు
  2. ప్రతి దుంపకు వెళ్లి రావాలి → దూరాలు 2×5, 2×(5+3), 2×(5+6), … = 10, 16, 22, … (d = 6). S₁₀ = 5[20 + 9×6] = 5 × 74 = 370 m.

Exercise 5.4 (ఐచ్ఛికం – పరీక్ష దృష్ట్యా కాదని పుస్తకం పేర్కొంది; అయినా పోటీ పరీక్షలకు ఉపయోగకరం)

• Q1: 121, 117, 113, … మొదటి ఋణ పదం: 121 − 4(n − 1) < 0 → n > 31.25 → n = 32, a₃₂ = −3.
• Q2:
  1. a₃ + a₇ = 6, a₃·a₇ = 8 → a₃, a₇ = 2, 4 (లేదా 4, 2). (2, 4): d = 0.5, a = 1 → S₁₆ = 8[2 + 7.5] = 76
  2. (4, 2): d = −0.5, a = 5 → S₁₆ = 20.
• Q3:
  1. నిచ్చెన – రాడ్లు 25 cm దూరంలో, పొడవు 45 నుండి 25 cm కు సమానంగా తగ్గుతూ
  2. పై-కింద రాడ్ల మధ్య దూరం 2½ m → రాడ్లు = 250/25 + 1 = 11
  3. కలప పొడవు = 11/2 (45 + 25) = 385 cm.
• Q4:
  1. ఇంటి నంబర్లు 1 నుండి 49
  2. x కు ముందున్న నంబర్ల మొత్తం = తర్వాతివాటి మొత్తం → S(x−1) = S₄₉ − Sₓ → x² = 49 × 50/2 = 1225 → x = 35.
• Q5:
  1. 15 మెట్ల ఫుట్‌బాల్ టెర్రస్ (ఒక్కొక్క మెట్టు 50 m పొడవు, ఎత్తు 1/4 m, వెడల్పు 1/2 m) → k-వ మెట్టుకు ఘనపరిమాణం k × (1/4 × 1/2 × 50) = 6.25k m³
  2. మొత్తం = 6.25 × 120 = 750 m³.

షకీలా (పునఃస్మరణ): a = 100, d = 50, n = 21 → ₹12600.

పాఠ్యపుస్తకంలోని a, d సూత్రాల నుండి నేరుగా వచ్చే ఉపయోగకరమైన shortcuts:

1. అంక మధ్యమం (Arithmetic Mean): a, b, c AP లో ఉంటే b = (a + c)/2; ఇది పుస్తకంలోని "పాఠకునికి గమనిక". ఉపయోగాలు:

• 3 సంఖ్యలు AP లో ఉన్నాయా? → 2 × మధ్య సంఖ్య = మొదటి + మూడవది.
• ఉదా: x, 2x+1, 4x−3 AP అయితే 2(2x + 1) = x + 4x − 3 → 4x + 2 = 5x − 3 → x = 5 (పదాలు 5, 11, 17).
• ఏ AP లోనైనా aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2.

2. మూడు పదాలను ఎంచుకునే విధానం: మొత్తం/లబ్ధం ఇస్తే పదాలను a − d, a, a + d గా తీసుకోండి → మొత్తం = 3a (d మాయం).

• ఉదా:
  1. మూడు పదాల మొత్తం 27, లబ్ధం 693 → పదాలు 9 − d, 9, 9 + d
  2. 9(81 − d²) = 693 → 81 − d² = 77 → d = ±2 → AP: 7, 9, 11 (లేదా 11, 9, 7).

3. నాలుగు పదాలు: a − 3d, a − d, a + d, a + 3d (సామాన్య భేదం 2d); మొత్తం = 4a.

4. ఐదు పదాలు: a − 2d, a − d, a, a + d, a + 2d; మొత్తం = 5a.

5. పదాల జతల లక్షణాలు

• aₚ + a_q = aᵣ + aₛ, p + q = r + s అయితే. (ఉదా: a₄ + a₈ = a₆ + a₆ = 2a₆.)
• మొదటి నుండి, చివరి నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పదాల మొత్తం స్థిరం (= a + l) – గాస్ జతల పద్ధతికి ఆధారం.
• బేసి సంఖ్యలో పదాలుంటే Sₙ = n × (మధ్య పదం).

6. ఉపయోగకరమైన లెక్కలు

• a₁₀ = 2a₅ అయితే (a + 9d = 2a + 8d) a = d.
• S₇, S₁₇ లు ఇచ్చినప్పుడు: S₇ = 7·a₄, S₁₇ = 17·a₉ (బేసి n కి మధ్యపదం) → a₄ = 7, a₉ = 17 → d = 2 → పుస్తక Q9 (Sₙ = n²) సులువుగా వస్తుంది.

7. aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁, Sₙ = An² + Bn (విభాగం "aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁" చూడండి) – a = A + B, d = 2A.

ముఖ్య సూత్రాలు (పుస్తక సారాంశం 5.5 + సాధన)

• AP:
  1. a, a + d, a + 2d, a + 3d, … (d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = …
  2. aₖ₊₁ − aₖ స్థిరం)
• n-వ పదం: aₙ = a + (n − 1)d
• పదాల సంఖ్య: n = (l − a)/d + 1
• మొత్తం (a, d, n): Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
• మొత్తం (a, l, n): Sₙ = n/2 (a + l)
• పద–మొత్తం సంబంధం:
  1. aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
  2. a₁ = S₁
• అంక మధ్యమం: b = (a + c)/2
• సహజ సంఖ్యలు: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
• రెండు పదాల భేదం: aₚ − a_q = (p − q)d

గుర్తుంచుకోవలసిన ఫలితాలు (పుస్తకం నుండి)

• 1 + 2 + … + 100 = 5050
• 1 + … + 1000 = 500500
• 8000, 8500, … లో 15వ పదం ₹15000, 25వ పదం ₹20000
• షకీలా 21 ఏళ్ల మొత్తం ₹12600
• 24, 21, 18, … : S₄ = S₁₃ = 78 (n = 4 లేదా 13)
• 21, 18, 15, … : 35వ పదం −81, 8వ పదం 0
• 5, 11, 17, … :
  1. 301 పదం కాదు
  2. 2 అంకెల 3 గుణిజాలు 30
  3. 10, 7, 4, …, −62 లో చివరి నుండి 11వ పదం −32
• వ్యవహార సమస్యలు:
  1. జరిమానా ₹27750
  2. బంగాళదుంప పందెం 370 m
  3. దుంగలు 16 వరుసలు
  4. చెట్లు 234

సాధారణ తప్పులు

1. d = ముందు − తర్వాత అని తీసుకోవడం (సరైనది: తర్వాత − ముందు).
2. aₙ లో (n − 1) బదులు n వాడటం; Sₙ లో 2a మరచిపోవడం.
3. పదాల సంఖ్యలో +1 మరచిపోవడం; చివరి నుండి k-వ పదాన్ని (n − k)గా తీసుకోవడం.
4. n భిన్నంగా/ఋణంగా వస్తే దాన్ని పదంగా అంగీకరించడం.
5. సరళ వడ్డీ (AP) – చక్రవడ్డీ (AP కాదు) గందరగోళం.
6. వర్గ సమీకరణంలో రెండు మూలాలనూ సందర్భంలో పరీక్షించకపోవడం (Q19 దుంగలు: n = 25 తిరస్కరణ; Example 13: 4, 13 రెండూ సరైనవి).

అధ్యాయం ఒక్క చూపులో

• గుర్తించు (d స్థిరమా?) → a, d రాయి → aₙ లేదా n → Sₙ → సమస్యలో అర్థం సరిచూడు.