వర్గ సమీకరణాలు (Quadratic Equations)

2వ అధ్యాయంలో బహుపదులు (Polynomials) చదివాం. ax² + bx + c, a ≠ 0 రూపంలోని బహుపదిని సున్నాకు సమానం చేస్తే వర్గ సమీకరణం (Quadratic equation) వస్తుంది. నిజ జీవిత సందర్భాల్లో (వైశాల్యం, వయసులు, వేగం, ఖర్చులు) ఇది తరచూ వస్తుంది.

పాఠ్యపుస్తక ఉదాహరణ (ప్రార్థనా మందిరం)

• కార్పెట్ వైశాల్యం 300 చ.మీ.
• పొడవు = వెడల్పుకు రెట్టింపు కంటే 1 మీ. ఎక్కువ.
• వెడల్పు = x మీ. అనుకుంటే పొడవు = (2x + 1) మీ.
• వైశాల్యం: (2x + 1)·x = 2x² + x = 300 ⇒ 2x² + x − 300 = 0 (ఇదే వర్గ సమీకరణం).

చారిత్రక నేపథ్యం (పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం – GK ప్రశ్నలకు ఉపయోగం)

• బాబిలోనియన్లు: వర్గ సమీకరణాలను మొదట సాధించినవారని చాలామంది నమ్మకం. ఇచ్చిన ధన మొత్తం, ధన లబ్ధం గల రెండు ధన సంఖ్యలను కనుగొనే సమస్య x² − px + q = 0 కు సమానమని వారికి తెలుసు.
• యూక్లిడ్ (Euclid): పొడవులను కనుగొనే జ్యామితీయ పద్ధతిని అభివృద్ధి చేశాడు (నేటి భాషలో వర్గ సమీకరణ సాధనలు).
• ప్రాచీన భారతీయ గణితవేత్తలు: సాధారణ రూపంలో వర్గ సమీకరణ సాధనకు ఘనత వీరిదే.
• బ్రహ్మగుప్తుడు (Brahmagupta, క్రీ.శ. 598–665): ax² + bx = c రూప సమీకరణానికి స్పష్ట సూత్రం ఇచ్చాడు.
• శ్రీధరాచార్య (Sridharacharya, క్రీ.శ. 1025): వర్గం పూర్తి చేసే పద్ధతితో వర్గ సూత్రం (Quadratic formula) రాబట్టాడు (భాస్కరాచార్య-II ఉటంకించారు).
• అల్-ఖ్వారిజ్మి (Al-Khwarizmi, సుమారు క్రీ.శ. 800): వివిధ రకాల వర్గ సమీకరణాలను అధ్యయనం చేశాడు.
• అబ్రహాం బార్ హియ్యా హ-నాసి: 'Liber embadorum' (యూరప్, క్రీ.శ. 1145) గ్రంథంలో వివిధ వర్గ సమీకరణాలకు సంపూర్ణ సాధనలు ఇచ్చాడు.

నిర్వచనం: చరరాశి x లో వర్గ సమీకరణం అంటే ax² + bx + c = 0, ఇక్కడ a, b, c వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు a ≠ 0.

• p(x) = 0 లో p(x) అనేది పరిమాణం (degree) 2 గల బహుపది అయితే అది వర్గ సమీకరణమే.
• పదాలను అవరోహణ క్రమంలో (x², x, స్థిరాంకం) రాస్తే వచ్చే రూపమే ప్రామాణిక రూపం (Standard form).
• a = x² గుణకం (coefficient), b = x గుణకం, c = స్థిర పదం (constant term).

పాఠ్యపుస్తక ఉదాహరణలు (అన్నీ వర్గ సమీకరణాలే)

• 2x² + x − 300 = 0 → a = 2, b = 1, c = −300
• 2x² − 3x + 1 = 0 → a = 2, b = −3, c = 1
• 4x − 3x² + 2 = 0 → ప్రామాణిక రూపం: −3x² + 4x + 2 = 0 (a = −3, b = 4, c = 2)
• 1 − x² + 300 = 0 → −x² + 301 = 0 (b = 0 అయినా వర్గ సమీకరణమే)

గుర్తుంచుకోండి

• a = 0 అయితే x² పదం పోతుంది → అది రేఖీయ సమీకరణం (Linear equation), వర్గ సమీకరణం కాదు.
• b = 0 లేదా c = 0 అయినా (a ≠ 0 ఉంటే) వర్గ సమీకరణమే. ఉదా: x² − 9 = 0, x² + 5x = 0.
• వర్గ సమీకరణానికి గరిష్ఠంగా 2 మూలాలు (roots) ఉంటాయి.

ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని ముందు సరళీకరించి (expand & simplify), RHS ను LHS కు తెచ్చి, ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) రూపం వస్తుందో లేదో చూడాలి.

పాఠ్యపుస్తకం – ఉదాహరణ 2

• (x − 2)² + 1 = 2x − 3 ⇒ x² − 4x + 5 = 2x − 3 ⇒ x² − 6x + 8 = 0 ✔ వర్గ సమీకరణం.
• x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2) ⇒ x² + x + 8 = x² − 4 ⇒ x + 12 = 0 ✘ (x² పదాలు రద్దయి రేఖీయం అయింది).
• x(2x + 3) = x² + 1 ⇒ 2x² + 3x = x² + 1 ⇒ x² + 3x − 1 = 0 ✔
• (x + 2)³ = x³ − 4 ⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ − 4 ⇒ 6x² + 12x + 12 = 0 ⇒ x² + 2x + 2 = 0 ✔ (ఘన సమీకరణంలా కనిపించినా x³ రద్దయి వర్గ సమీకరణం అయింది).

అభ్యాసం 4.1 (Q1) సమాధానాలు

• (i) (x + 1)² = 2(x − 3) ⇒ x² + 7 = 0 → అవును
• (ii) x² − 2x = −2(3 − x) ⇒ x² − 4x + 6 = 0 → అవును
• (iii) (x − 2)(x + 1) = (x − 1)(x + 3) ⇒ −3x + 1 = 0 → కాదు (రేఖీయం)
• (iv) (x − 3)(2x + 1) = x(x + 5) ⇒ x² − 10x − 3 = 0 → అవును
• (v) (2x − 1)(x − 3) = (x + 5)(x − 1) ⇒ x² − 11x + 8 = 0 → అవును
• (vi) x² + 3x + 1 = (x − 2)² ⇒ 7x − 3 = 0 → కాదు
• (vii) (x + 2)³ = 2x(x² − 1) ⇒ −x³ + 6x² + 14x + 8 = 0 → కాదు (ఘన సమీకరణం, x³ మిగిలింది)
• (viii) x³ − 4x² − x + 1 = (x − 2)³ ⇒ 2x² − 13x + 9 = 0 → అవును

త్వరిత నియమం (Shortcut): ఇరువైపులా ఉన్న అత్యధిక ఘాత పదాలు రద్దవుతాయో చూడండి; రద్దయ్యాక మిగిలిన అత్యధిక ఘాతమే సమీకరణం ఘాతం.

పదాల సమస్యను (word problem) సాధించే మొదటి మెట్టు: తెలియని రాశిని x గా తీసుకుని సమీకరణం రాయడం.

ఉదాహరణ 1(i) – గోళీలు (marbles)

• జాన్ + జీవంతి = 45 గోళీలు. జాన్ వద్ద x ⇒ జీవంతి వద్ద 45 − x.
• ఇద్దరూ 5 చొప్పున కోల్పోతే: (x − 5) మరియు (40 − x). లబ్ధం = 124.
• (x − 5)(40 − x) = 124 ⇒ −x² + 45x − 200 = 124 ⇒ x² − 45x + 324 = 0
• సాధన: (x − 9)(x − 36) = 0 ⇒ జాన్ వద్ద 36 లేదా 9 (తనిఖీ: 31 × 4 = 124 ✔).

ఉదాహరణ 1(ii) – బొమ్మల తయారీ

• x బొమ్మలు తయారు
• ఒక్కో బొమ్మ ఖర్చు = ₹(55 − x)
• మొత్తం ఖర్చు ₹750.
• x(55 − x) = 750 ⇒ x² − 55x + 750 = 0 ⇒ (x − 25)(x − 30) = 0 ⇒ x = 25 లేదా 30.

అభ్యాసం 4.1 (Q2) – సమీకరణాల ఏర్పాటు

• (i) స్థలం వైశాల్యం 528 చ.మీ., పొడవు = 2 × వెడల్పు + 1: వెడల్పు x ⇒ 2x² + x − 528 = 0 (x = 16, పొడవు 33).
• (ii) వరుస ధన పూర్ణాంకాల లబ్ధం 306: x² + x − 306 = 0 (17, 18).
• (iii) రోహన్ తల్లి అతనికంటే 26 ఏళ్లు పెద్ద
• 3 ఏళ్ల తర్వాత వయసుల లబ్ధం 360: రోహన్ వయసు x ⇒ (x + 3)(x + 29) = 360 ⇒ x² + 32x − 273 = 0 (x = 7).
• (iv) రైలు 480 కి.మీ. ఏకరీతి వేగం x
• వేగం 8 తగ్గితే 3 గంటలు ఎక్కువ: 480/(x − 8) − 480/x = 3 ⇒ x² − 8x − 1280 = 0 (x = 40 కి.మీ./గం.).

సామాన్య మోడల్స్ (Shortcuts)

• వరుస సంఖ్యలు: x, x + 1 | లబ్ధం ఇస్తే x(x + 1) = P.
• దీర్ఘచతురస్రం: వైశాల్యం = lb, చుట్టుకొలత = 2(l + b).
• వేగం-సమయం:
  1. సమయం = దూరం ÷ వేగం
  2. సమయ తేడా ఇస్తే రెండు భిన్నాల తేడా.
• వయసులు:
  1. "n ఏళ్ల తర్వాత" ⇒ ప్రతి వయసుకు +n
  2. "n ఏళ్ల క్రితం" ⇒ −n.

నిర్వచనం: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) లో x = α ను ప్రతిక్షేపిస్తే aα² + bα + c = 0 అయితే α ను ఆ సమీకరణ మూలం (root) అంటారు. α సమీకరణాన్ని "తృప్తిపరుస్తుంది (satisfies)" అని, x = α "సాధన (solution)" అని కూడా అంటారు.

ఉదాహరణ: 2x² − 3x + 1 = 0 లో x = 1 ఉంచితే (2 × 1²) − (3 × 1) + 1 = 0 = RHS ⇒ 1 ఒక మూలం.

ముఖ్య సంబంధాలు

• బహుపది ax² + bx + c యొక్క శూన్యాలు (zeroes) మరియు సమీకరణం ax² + bx + c = 0 యొక్క మూలాలు ఒకటే.
• వర్గ బహుపదికి గరిష్ఠంగా 2 శూన్యాలు (2వ అధ్యాయం) ⇒ వర్గ సమీకరణానికి గరిష్ఠంగా 2 మూలాలు.

• a + b + c = 0 అయితే x = 1 తప్పనిసరిగా ఒక మూలం. (ఉదా:
  1. 2x² − 5x + 3 = 0 → 2 − 5 + 3 = 0 ⇒ x = 1 ఒక మూలం
  2. రెండవ మూలం c/a = 3/2.)
• a − b + c = 0 అయితే x = −1 ఒక మూలం.

9వ తరగతిలో నేర్చిన మధ్య పద విభజన (splitting the middle term) ను ఉపయోగించి ax² + bx + c ను రెండు రేఖీయ కారణాంకాలుగా విడగొట్టి, ప్రతి కారణాంకాన్ని 0 కు సమానం చేసి మూలాలు కనుగొనవచ్చు.

దశలు (Steps)

1. సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో రాయండి.
2. a × c లబ్ధం కనుగొనండి.
3. లబ్ధం = a·c మరియు మొత్తం = b అయ్యే రెండు సంఖ్యలు వెతికి, bx ను ఆ రెండు పదాలుగా విభజించండి.
4. జతలుగా సాధారణ కారణాంకం తీయండి ⇒ (px + q)(rx + s) = 0.
5. px + q = 0 లేదా rx + s = 0 ⇒ మూలాలు.

ఉదాహరణ 3: 2x² − 5x + 3 = 0

• a·c = 6
• −5 = (−2) + (−3), లబ్ధం (−2)(−3) = 6 ✔
• 2x² − 2x − 3x + 3 = 2x(x − 1) − 3(x − 1) = (2x − 3)(x − 1)
• 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3/2
• x − 1 = 0 ⇒ x = 1. మూలాలు: 3/2 మరియు 1.

ఉదాహరణ 4: 6x² − x − 2 = 0

• a·c = −12
• −1 = 3 + (−4), లబ్ధం −12 ✔
• 6x² + 3x − 4x − 2 = 3x(2x + 1) − 2(2x + 1) = (3x − 2)(2x + 1)
• మూలాలు: x = 2/3, x = −1/2.

ఉదాహరణ 5: 3x² − 2√6 x + 2 = 0

• 3x² − √6x − √6x + 2 = √3x(√3x − √2) − √2(√3x − √2) = (√3x − √2)(√3x − √2)
• √3x − √2 = 0 ⇒ x = √2/√3. ఈ మూలం రెండుసార్లు (repeated root) వస్తుంది, ప్రతి కారణాంకానికి ఒకటి.

శూన్య లబ్ధ నియమం (Zero Product Property): AB = 0 అయితే A = 0 లేదా B = 0.

గుర్తుల షార్ట్‌కట్ (మూలాలు వాస్తవమైనపుడు)

• c > 0, b > 0 ⇒ రెండు మూలాలూ ఋణం
• c > 0, b < 0 ⇒ రెండూ ధనం
• c < 0 ⇒ ఒక ధన, ఒక ఋణ మూలం.

అభ్యాసం 4.2 – Q1 సమాధానాలు (సోపానాలతో)

• (i) x² − 3x − 10 = 0: లబ్ధం −10, మొత్తం −3 ⇒ −5, +2 ⇒ (x − 5)(x + 2) = 0 ⇒ x = 5, −2.
• (ii) 2x² + x − 6 = 0:
  1. a·c = −12
  2. +4 మరియు −3 ⇒ 2x² + 4x − 3x − 6 = 2x(x + 2) − 3(x + 2) = (2x − 3)(x + 2) ⇒ x = 3/2, −2.
• (iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0:
  1. √2x² + 2x + 5x + 5√2 = √2x(x + √2) + 5(x + √2) = (√2x + 5)(x + √2) ⇒ x = −5/√2, −√2. (a·c = 10
  2. 2 + 5 = 7 ✔)
• (iv) ఈ సమీకరణం ప్రతిలో ముద్రణ స్పష్టంగా లేదు (భిన్న గుణకం కోల్పోయినట్లు కనిపిస్తుంది)
• కాబట్టి పరీక్ష సన్నద్ధతకు ఈ రకంలో (v) వంటి పరిపూర్ణ వర్గ రూపాలపై దృష్టి పెట్టండి.
• (v) 100x² − 20x + 1 = 0: (10x)² − 2(10x)(1) + 1 = (10x − 1)² ⇒ x = 1/10, 1/10 (సమాన మూలాలు).

పరిపూర్ణ వర్గ గుర్తింపు (Shortcut): A² ± 2AB + B² రూపం వస్తే రెండు సమాన మూలాలు (D = 0). ఉదా: 100x² − 20x + 1 → (10x)², 1², మధ్య పదం 2·10x·1 = 20x ✔.

ఇతర సమస్యలు (Q3–Q6)

• Q3: మొత్తం 27, లబ్ధం 182: x(27 − x) = 182 ⇒ x² − 27x + 182 = 0 ⇒ (x − 13)(x − 14) = 0 ⇒ 13 మరియు 14.
• Q4: వరుస ధన పూర్ణాంకాల వర్గాల మొత్తం 365: x² + (x + 1)² = 365 ⇒ 2x² + 2x − 364 = 0 ⇒ x² + x − 182 = 0 ⇒ (x + 14)(x − 13) = 0 ⇒ 13, 14 (−14 తిరస్కరణ).
• **Q5:
  1. లంబకోణ త్రిభుజం – ఎత్తు, భూమి కంటే 7 సెం.మీ. తక్కువ
  2. కర్ణం 13: భూమి x ⇒ x² + (x − 7)² = 169 ⇒ x² − 7x − 60 = 0 ⇒ (x − 12)(x + 5) = 0 ⇒ భూమి 12 సెం.మీ., ఎత్తు 5 సెం.మీ. (5, 12, 13 త్రికం).
• **Q6:
  1. కుండల తయారీ: ఒక్కో వస్తువు ఖర్చు = 2n + 3 (n = వస్తువుల సంఖ్య)
  2. మొత్తం ఖర్చు ₹90 ⇒ n(2n + 3) = 90 ⇒ 2n² + 3n − 90 = 0 ⇒ D = 729 = 27² ⇒ n = (−3 + 27)/4 = 6 ⇒ 6 వస్తువులు, ఒక్కొక్కటి ₹15.

ఉదాహరణ 6: ప్రార్థనా మందిర కొలతలు

• సమీకరణం: 2x² + x − 300 = 0 (x = వెడల్పు, మీ.)
• మధ్య పద విభజన:
  1. 2x² − 24x + 25x − 300 (a·c = −600
  2. −24 + 25 = 1, (−24)(25) = −600 ✔)
• 2x(x − 12) + 25(x − 12) = 0 ⇒ (x − 12)(2x + 25) = 0
• x = 12 లేదా x = −12.5
• వెడల్పు ఋణం కాదు కాబట్టి x = 12 మీ.
• పొడవు = 2x + 1 = 25 మీ. (తనిఖీ: 12 × 25 = 300 ✔)

సమస్య సాధనలో 4 దశలు (Exam routine)

1. తెలియని రాశిని x అనుకోండి (యూనిట్‌తో).
2. షరతు నుండి సమీకరణం రాయండి.
3. ప్రామాణిక రూపానికి తెచ్చి కారణాంక విభజన / సూత్రం వాడండి.
4. వాస్తవిక షరతు (ధనాత్మకం, పూర్ణ సంఖ్య) తో అసంభవ మూలాన్ని తిరస్కరించండి.

ఎక్కువగా వచ్చే రకాలు

• సంఖ్యల సమస్యలు: మొత్తం S, లబ్ధం P ⇒ x² − Sx + P = 0.
• జ్యామితి: దీర్ఘచతురస్రం, లంబకోణ త్రిభుజం (పైథాగరస్).
• వయసులు: ఇప్పుడు / తర్వాత / క్రితం.
• రైలు/ప్రయాణం: వేగం, సమయ తేడా (అభ్యాసం 4.1 Q2(iv): వేగం 40 కి.మీ./గం.).
• ఉత్పత్తి వ్యయం: ఒక్కో వస్తువు ఖర్చు సంఖ్యపై ఆధారపడినపుడు.

పాఠ్యపుస్తకం (పరిచయం) ప్రకారం శ్రీధరాచార్యుడు వర్గం పూర్తి చేసే పద్ధతితోనే వర్గ సూత్రాన్ని రాబట్టాడు. కారణాంక విభజన కుదరని సమీకరణాలకు ఇది సార్వత్రిక పద్ధతి. (గమనిక: ఈ పాఠ్య భాగంలో ఈ పద్ధతికి ప్రత్యేక శీర్షిక లేదు; సూత్ర ఉత్పాదన అర్థం కోసం ఇక్కడ సంక్షిప్తంగా ఇస్తున్నాం.)

చిత్ర భావన: x భుజం గల చతురస్రం (వైశాల్యం x²) + రెండు దీర్ఘచతురస్రాలు (ప్రతిదీ x × b/2 ⇒ మొత్తం bx) ⇒ మూలన లోపించిన చిన్న చతురస్రం (b/2)² కలిపితే భుజం (x + b/2) గల పూర్ణ చతురస్రం వస్తుంది.

దశలు (x² + bx + c = 0 కు)

1. స్థిరపదాన్ని కుడివైపుకు: x² + bx = −c
2. రెండు వైపులా (b/2)² కలపండి: x² + bx + (b/2)² = (b/2)² − c
3. ఎడమవైపు (x + b/2)² ⇒ వర్గమూలం తీసి x కనుగొనండి.

ఉదాహరణ: x² − 6x + 8 = 0

• x² − 6x = −8 ⇒ (b/2)² = 9 కలపండి ⇒ (x − 3)² = 1 ⇒ x − 3 = ±1 ⇒ x = 4 లేదా 2. (కారణాంకాలతో (x − 2)(x − 4) = 0 కూడా అదే.)

సాధారణ రూపంలో (ax² + bx + c = 0): a తో భాగించి వర్గం పూర్తి చేస్తే (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a² ⇒ x + b/2a = ±√(b² − 4ac)/2a ⇒ x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. ఇదే వర్గ సూత్రం.

సూత్రం: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) మూలాలు x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, షరతు: b² − 4ac ≥ 0.

అంటే రెండు మూలాలు:

• x₁ = (−b + √(b² − 4ac)) / 2a
• x₂ = (−b − √(b² − 4ac)) / 2a

ఉపయోగించే విధానం

1. ప్రామాణిక రూపంలో a, b, c గుర్తించండి (గుర్తులతో).
2. D = b² − 4ac లెక్కించండి.
3. D ≥ 0 అయితే సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించండి.

ఉదాహరణ 1: x² + 7x − 60 = 0 (పాఠ్యపుస్తక ఉదాహరణ 8)

• a = 1, b = 7, c = −60 ⇒ D = 49 + 240 = 289 = 17²
• x = (−7 ± 17)/2 ⇒ x = 5 లేదా x = −12.

ఉదాహరణ 2: 2x² − 6x + 3 = 0 (అభ్యాసం 4.3 Q1(iii))

• D = 36 − 24 = 12 ⇒ √12 = 2√3 ⇒ x = (6 ± 2√3)/4 = (3 ± √3)/2.

ఉదాహరణ 3: 3x² − 4√3x + 4 = 0

• D = (4√3)² − 4·3·4 = 48 − 48 = 0 ⇒ x = 4√3/6 = 2/√3 (రెండుసార్లు).

ఏ పద్ధతి వాడాలి?

• సంఖ్యల జతలు సులభంగా దొరికితే → కారణాంక విభజన.
• లేకపోతే → వర్గ సూత్రం (ఎల్లప్పుడూ పని చేస్తుంది, D ≥ 0 అయితే).
• D పరిపూర్ణ వర్గం (1, 4, 9, 16, 25, … 289) మరియు a, b, c అకరణీయం అయితే మూలాలు అకరణీయ సంఖ్యలు.

మొత్తం-లబ్ధ షార్ట్‌కట్ (2వ అధ్యాయం సంబంధం): మూలాల మొత్తం = −b/a, లబ్ధం = c/a. ఫలితాన్ని త్వరగా సరిచూడడానికి ఉపయోగించండి.

వర్గ సూత్రంలో √ లోపలి భాగం D = b² − 4ac ను విచక్షణి (Discriminant) అంటారు. ఇది మూలాలు వాస్తవమా (real) కాదా అని నిర్ణయిస్తుంది.

మూడు సందర్భాలు

• D > 0 ⇒ రెండు భిన్న వాస్తవ మూలాలు: (−b + √D)/2a మరియు (−b − √D)/2a.
• D = 0 ⇒ రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు (coincident): x = −b/2a (రెండుసార్లు).
• D < 0 ⇒ ఏ వాస్తవ సంఖ్య వర్గం ఋణం కాదు ⇒ వాస్తవ మూలాలు లేవు.

ఉదాహరణ 7: 2x² − 4x + 3 = 0

• a = 2, b = −4, c = 3 ⇒ D = (−4)² − 4·2·3 = 16 − 24 = −8 < 0 ⇒ వాస్తవ మూలాలు లేవు.

ఉదాహరణ 9: 3x² − 2x + 1/3 = 0

• D = (−2)² − 4·3·(1/3) = 4 − 4 = 0 ⇒ సమాన మూలాలు
• x = −b/2a = 2/6 = 1/3, 1/3.

ముఖ్య ఉపయోగాలు

• a, c వ్యతిరేక గుర్తులు (ac < 0) ⇒ −4ac > 0 ⇒ D > 0 ⇒ మూలాలు ఎల్లప్పుడూ వాస్తవం, భిన్నం.
• D పరిపూర్ణ వర్గం మరియు a, b, c అకరణీయం ⇒ మూలాలు అకరణీయం.
• గ్రాఫ్ దృష్టిలో (బోనస్):
  1. D > 0 ⇒ పరావలయం x-అక్షాన్ని 2 బిందువుల్లో
  2. D = 0 ⇒ ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది
  3. D < 0 ⇒ కలవదు.

Q1: స్వభావం మరియు మూలాలు

• (i) 2x² − 3x + 5 = 0: D = 9 − 40 = −31 < 0 ⇒ వాస్తవ మూలాలు లేవు.
• (ii) 3x² − 4√3x + 4 = 0:
  1. D = 48 − 48 = 0 ⇒ సమాన మూలాలు
  2. x = 4√3/6 = 2/√3, 2/√3.
• (iii) 2x² − 6x + 3 = 0:
  1. D = 36 − 24 = 12 > 0 ⇒ భిన్న మూలాలు
  2. x = (3 ± √3)/2.

Q2: సమాన మూలాలకు k విలువ (D = 0 పెట్టండి)

• (i) 2x² + kx + 3 = 0: D = k² − 24 = 0 ⇒ k² = 24 ⇒ k = ±2√6.
• (ii) kx(x − 2) + 6 = 0 ⇒ kx² − 2kx + 6 = 0: D = 4k² − 24k = 4k(k − 6) = 0 ⇒ k = 0 లేదా 6. k = 0 అయితే సమీకరణం వర్గ సమీకరణమే కాదు (a ≠ 0 షరతు) ⇒ k = 6.

Q3: మామిడి తోట (పొడవు = 2 × వెడల్పు, వైశాల్యం 800 చ.మీ.): వెడల్పు x ⇒ 2x² = 800 ⇒ x² = 400 ⇒ x = 20. సాధ్యమే; వెడల్పు 20 మీ., పొడవు 40 మీ. (సమీకరణం 2x² − 800 = 0; D = 6400 > 0).

Q4: ఇద్దరు మిత్రుల వయసులు (మొత్తం 20, 4 ఏళ్ల క్రితం లబ్ధం 48): ఒకరి వయసు x ⇒ మరొకరు 20 − x; (x − 4)(16 − x) = 48 ⇒ −x² + 20x − 64 = 48 ⇒ x² − 20x + 112 = 0. D = 400 − 448 = −48 < 0 ⇒ సాధ్యం కాదు.

Q5: పార్కు (చుట్టుకొలత 80 మీ., వైశాల్యం 400 చ.మీ.) పొడవు + వెడల్పు = 40; పొడవు x ⇒ x(40 − x) = 400 ⇒ x² − 40x + 400 = 0. D = 1600 − 1600 = 0 ⇒ సాధ్యమే; 20 మీ. × 20 మీ. (చతురస్రం).

షార్ట్‌కట్: సాధ్యాసాధ్యాల ప్రశ్న = సమీకరణం రాసి D గుర్తు చూడండి: D ≥ 0 ⇒ సాధ్యం (మూలాలు ధనాత్మకమో చూడండి); D < 0 ⇒ అసాధ్యం.

• చుట్టుకొలత P ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాల్లో గరిష్ఠ వైశాల్యం చతురస్రానికి: (P/4)². P = 80 ⇒ గరిష్ఠం 400 – అందుకే D = 0 వచ్చింది.

సమస్య: 13 మీ. వ్యాసం గల వృత్తాకార పార్కు సరిహద్దుపై ఒక స్తంభం నాటాలి. వ్యాసానికి రెండు చివరల ఉన్న గేట్లు A, B నుండి దాని దూరాల భేదం 7 మీ. ఇది సాధ్యమా? సాధ్యమైతే ఏ దూరాల్లో?

సాధన

• BP = x మీ. ⇒ AP = (x + 7) మీ.
• AB వ్యాసం ⇒ ∠APB = 90° (అర్ధవృత్తంలో కోణం).
• పైథాగరస్: AP² + BP² = AB² ⇒ (x + 7)² + x² = 13²
• x² + 14x + 49 + x² = 169 ⇒ 2x² + 14x − 120 = 0 ⇒ x² + 7x − 60 = 0
• D = 7² − 4·1·(−60) = 49 + 240 = 289 > 0 ⇒ వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి ⇒ సాధ్యమే.
• x = (−7 ± 17)/2 ⇒ x = 5 లేదా x = −12. దూరం ఋణం కాదు ⇒ x = 5.
• ⇒ గేటు B నుండి 5 మీ., గేటు A నుండి 12 మీ. (5² + 12² = 13² ✔)

ఉపయోగ సూత్రాలు

• అర్ధవృత్తంలో కోణం లంబకోణం + పైథాగరస్ + వర్గ సమీకరణం – మూడూ కలిసే సమస్య.
• x² + 7x − 60 = (x + 12)(x − 5): కారణాంక విభజన ద్వారా కూడా తేలుతుంది (12 × 5 = 60, 12 − 5 = 7).

పాఠ్యపుస్తక సారాంశం (Summary)

1. చరరాశి x లో వర్గ సమీకరణం: ax² + bx + c = 0 (a, b, c వాస్తవ సంఖ్యలు, a ≠ 0).
2. aα² + bα + c = 0 అయితే α మూలం; బహుపది శూన్యాలు = సమీకరణ మూలాలు.
3. ax² + bx + c ను రెండు రేఖీయ కారణాంకాలుగా విడగొట్టగలిగితే, ప్రతి కారణాంకాన్ని 0 కు సమానం చేసి మూలాలు.
4. వర్గ సూత్రం: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, b² − 4ac ≥ 0 అయితే.
5. (i) b² − 4ac > 0 ⇒ రెండు భిన్న వాస్తవ మూలాలు; (ii) = 0 ⇒ రెండు సమాన మూలాలు; (iii) < 0 ⇒ వాస్తవ మూలాలు లేవు.

ఫార్ములా కార్డ్

• D = b² − 4ac
• మూలాల మొత్తం = −b/a
• లబ్ధం = c/a
• సమాన మూలాలు: x = −b/2a (D = 0)
• a + b + c = 0 ⇒ x = 1 మూలం
• a − b + c = 0 ⇒ x = −1 మూలం
• మూలాల భేదం = √D / |a|

త్వరిత పద్ధతులు

• మొత్తం S, లబ్ధం P గల సంఖ్యలు ⇒ x² − Sx + P = 0 సాధించండి (27, 182 ⇒ 13, 14).
• D పరిపూర్ణ వర్గం ⇒ అకరణీయ మూలాలు.
• ac < 0 ⇒ ఎల్లప్పుడూ వాస్తవ, భిన్న మూలాలు.
• k సమస్యలు: D = 0 / D > 0 / D < 0 సమీకరణం ఏర్పాటు చేసి సాధించండి.

సాధారణ తప్పులు

• −b లో గుర్తు మార్చడం మరచిపోవడం.
• వాక్య సమస్యల్లో ఋణ మూలం తిరస్కరించకపోవడం.
• సరళీకరించకుండానే సమీకరణాన్ని "వర్గం / వర్గం కాదు" అనడం.
• D = 0 లో "రెండు సమాన మూలాలు" బదులు "ఒకే ఒక్క మూలం" అనడం.