విచక్షణి అనువర్తనాలు – k విలువలు, సాధ్యాసాధ్యాలు (Exercise 4.3)

Correct: A — 0

D = (−4√3)² − 4(3)(4) = 48 − 48 = 0 ⇒ రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు (x = 4√3/6 = 2/√3).

Correct: B — వాస్తవ మూలాలు లేవు

D = (−3)² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31 < 0 ⇒ వాస్తవ మూలాలు ఉండవు.

Correct: D — ±2√6

D = k² − 4(2)(3) = k² − 24 = 0 ⇒ k² = 24 ⇒ k = ±√24 = ±2√6.

Correct: A — 6

kx² − 2kx + 6 = 0 ⇒ D = 4k² − 24k = 4k(k − 6) = 0 ⇒ k = 0 లేదా 6. k = 0 అయితే వర్గ సమీకరణం కాదు (a ≠ 0) ⇒ k = 6.

Correct: B — 40 మీ.

వెడల్పు x ⇒ x · 2x = 800 ⇒ x² = 400 ⇒ x = 20 మీ. పొడవు = 40 మీ.; 20 × 40 = 800 ✔.

Correct: C — −48

(x − 4)(16 − x) = 48 ⇒ x² − 20x + 112 = 0. D = 400 − 448 = −48 < 0 ⇒ వాస్తవ మూలాలు లేవు ⇒ ఈ పరిస్థితి సాధ్యం కాదు.

Correct: D — 20 మీ. భుజం గల చతురస్రం

పొడవు x ⇒ వెడల్పు 40 − x ⇒ x(40 − x) = 400 ⇒ x² − 40x + 400 = 0 ⇒ D = 1600 − 1600 = 0 ⇒ x = 20. కాబట్టి 20 × 20 చతురస్రం మాత్రమే సాధ్యం. (25 × 16 = 400 కానీ చుట్టుకొలత 82.)

Correct: A — 4

D = 16 − 4k(1) = 0 ⇒ k = 4. సమీకరణం 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)² ⇒ x = −1/2 (రెండుసార్లు).

Correct: B — 3 మరియు 4

D = 4k² − 4(7k − 12) = 0 ⇒ k² − 7k + 12 = 0 ⇒ (k − 3)(k − 4) = 0 ⇒ k = 3 లేదా 4.

Correct: C — 6

వాస్తవ మూలాలకు D ≥ 0 ⇒ k² − 36 ≥ 0 ⇒ |k| ≥ 6. కనిష్ఠ ధన పూర్ణాంకం k = 6 (అప్పుడు D = 0, x = −3 రెండుసార్లు).