వర్గ సమీకరణాలు (Quadratic Equations) · Practice MCQs

Correct: A — a ≠ 0

వర్గ సమీకరణంలో x² పదం ఉండాలి కాబట్టి x² గుణకం a ≠ 0 కావాలి. a = 0 అయితే అది రేఖీయ సమీకరణం అవుతుంది. b లేదా c సున్నా అయినా వర్గ సమీకరణమే (ఉదా: x² − 9 = 0).

Correct: B — 2, −3, 1

ప్రామాణిక రూపం ax² + bx + c = 0 తో పోలిస్తే x² గుణకం a = 2, x గుణకం b = −3 (గుర్తుతో సహా), స్థిరపదం c = +1.

Correct: C — −3x² + 4x + 2 = 0

పదాలను x² నుండి అవరోహణ క్రమంలో రాయాలి: −3x² + 4x + 2 = 0 (a = −3, b = 4, c = 2). మిగిలిన ఎంపికల్లో గుణకాల గుర్తులు/స్థానాలు మారాయి.

Correct: D — x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2)

x(x+1) + 8 = x² + x + 8 మరియు (x+2)(x−2) = x² − 4. ఇవి సమానం చేస్తే x² రద్దయి x + 12 = 0 (రేఖీయం) వస్తుంది. మిగిలిన మూడూ సరళీకరణ తర్వాత ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) రూపంలో ఉంటాయి; చివరిది x² + 2x + 2 = 0 అవుతుంది.

Correct: A — x² + 2x + 2 = 0

(x+2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8. x³ − 4 తో సమానం చేస్తే 6x² + 12x + 12 = 0. 6 తో భాగిస్తే x² + 2x + 2 = 0. కాబట్టి ఘన సమీకరణంలా కనిపించినా అది వర్గ సమీకరణమే.

Correct: B — aα² + bα + c = 0

x స్థానంలో α ఉంచినప్పుడు LHS = 0 అయితే (aα² + bα + c = 0) α ఆ సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తుంది; ఆ α నే మూలం (root) అంటారు.

Correct: C — 2

వర్గ బహుపదికి గరిష్ఠంగా 2 శూన్యాలు ఉంటాయి; శూన్యాలు, మూలాలు ఒకటే కాబట్టి వర్గ సమీకరణానికి గరిష్ఠంగా 2 మూలాలు.

Correct: D — 1

x = 1 ఉంచితే 2(1) − 3(1) + 1 = 0 ✔. x = 2 ఉంచితే 8 − 6 + 1 = 3 ≠ 0; x = −1 ఉంచితే 2 + 3 + 1 = 6 ≠ 0; x = 3 ఉంచితే 18 − 9 + 1 = 10 ≠ 0. (a + b + c = 2 − 3 + 1 = 0 ⇒ x = 1 మూలం.)

Correct: A — 5, −2

లబ్ధం −10, మొత్తం −3 అయ్యే జత −5 మరియు +2. x² − 5x + 2x − 10 = (x − 5)(x + 2) = 0 ⇒ x = 5 లేదా x = −2.

Correct: B — 3/2, 1

a·c = 6; −5 = −2 + (−3). 2x² − 2x − 3x + 3 = (2x − 3)(x − 1) = 0 ⇒ x = 3/2 లేదా 1. (షార్ట్‌కట్: a + b + c = 0 ⇒ x = 1; రెండవ మూలం c/a = 3/2.)