నిరూపక జ్యామితి (Coordinate Geometry)

సమతలంలో (plane) ఒక బిందువు స్థానాన్ని చెప్పడానికి పరస్పరం లంబంగా ఉండే రెండు అక్షాలు (coordinate axes) కావాలి. ఈ అధ్యాయం 9వ తరగతి పాఠాల ఆధారంగా మొదలవుతుంది.

బీజగణితాన్ని (algebra) రేఖాగణితంతో (geometry) కలిపి అధ్యయనం చేసే సాధనమే నిరూపక రేఖాగణితం (Coordinate Geometry); దీనిని భౌతికశాస్త్రం, ఇంజినీరింగ్, నావిగేషన్, భూకంప శాస్త్రం (seismology), కళలలో వాడతారు.

ప్రాథమిక పదాలు

• x-నిరూపకం (abscissa): బిందువు y-అక్షం నుండి ఉన్న దూరం.
• y-నిరూపకం (ordinate): బిందువు x-అక్షం నుండి ఉన్న దూరం.
• x-అక్షంపై బిందువు రూపం (x, 0)
• y-అక్షంపై బిందువు రూపం (0, y)
• మూలబిందువు (origin) = (0, 0).

పాదాలలో గుర్తులు (Signs in quadrants)

• I పాదం: (+, +) • II పాదం: (−, +) • III పాదం: (−, −) • IV పాదం: (+, −)

శీఘ్ర సూత్రాలు (షార్ట్‌కట్స్)

• P(x, y) నుండి x-అక్షానికి దూరం = |y|
• y-అక్షానికి దూరం = |x|.
• x-అక్షంపై (x₁, 0), (x₂, 0) మధ్య దూరం = |x₂ − x₁|
• y-అక్షంపై (0, y₁), (0, y₂) అయితే |y₂ − y₁|.

దూర సూత్రం పైథాగరస్ సిద్ధాంతం (Pythagoras Theorem) నుండే పుడుతుంది. పాఠ్యపుస్తకంలోని మొదటి దశలు ఇవి.

1) పట్టణాల ఉదాహరణ: పట్టణం B, పట్టణం A కి 36 కి.మీ. తూర్పున, 15 కి.మీ. ఉత్తరాన ఉంది. A ను మూలబిందువుగా తీసుకుంటే B = (36, 15). దూరం AB = √(36² + 15²) = √(1296 + 225) = √1521 = 39 కి.మీ. (ఇదే Exercise 7.1 Q2).

2) అక్షాలపై బిందువులు

• A(4, 0), B(6, 0) → AB = 6 − 4 = 2 యూనిట్లు.
• C(0, 3), D(0, 8) → CD = 8 − 3 = 5 యూనిట్లు.
• A(4, 0), C(0, 3) → AC = √(3² + 4²) = 5. అలాగే B(6, 0), D(0, 8) → BD = √(36 + 64) = 10.

3) ఒకే పాదంలో రెండు బిందువులు: P(4, 6), Q(6, 8). PR, QS లను x-అక్షానికి లంబాలుగా గీసి, P నుండి QS పైకి PT లంబం గీస్తే RS = 2, QS = 8, TS = PR = 6. కాబట్టి QT = 8 − 6 = 2, PT = RS = 2. PQ² = PT² + QT² = 4 + 4 = 8 → PQ = 2√2 యూనిట్లు.

4) వేర్వేరు పాదాల్లో బిందువులు: P(6, 4) (I పాదం), Q(−5, −3) (III పాదం). PT = 6 − (−5) = 11, QT = 4 − (−3) = 7.

PQ = √(11² + 7²) = √(121 + 49) = √170. (పుస్తకంలో "PT = 11, QT = 7 ఎందుకు?" అని అడిగారు – ఋణ నిరూపకం ఉన్నప్పుడు తేడా = రెండింటి పరమ విలువల మొత్తం.)

ఉత్పాదన (Derivation): P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) అనుకోండి. P, Q నుండి x-అక్షానికి లంబాలు PR, QS గీయండి; P నుండి QS పై లంబం PT గీయండి.

• OR = x₁, OS = x₂ → RS = x₂ − x₁ = PT.
• SQ = y₂, ST = PR = y₁ → QT = y₂ − y₁.
• లంబకోణ త్రిభుజం PTQ లో: PQ² = PT² + QT² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

దూర సూత్రం (Distance Formula) PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] దూరం ఋణం కాదు కాబట్టి ధన వర్గమూలమే తీసుకుంటాం.

వ్యాఖ్యలు (Remarks)

1. మూలబిందువు O(0, 0) నుండి P(x, y) కి దూరం: OP = √(x² + y²).
2. PQ = √[(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²] అని కూడా రాయవచ్చు (వర్గం చేస్తే గుర్తు పోతుంది: (a − b)² = (b − a)²).

సాధన విధానం (Steps): (i) x లు, y లు జాగ్రత్తగా గుర్తించండి; (ii) తేడాలు తీయండి; (iii) వర్గం చేసి కూడండి; (iv) వర్గమూలం తీయండి.

Exercise 7.1 Q1 సమాధానాలు

• (2, 3), (4, 1): √(4 + 4) = 2√2
• (−5, 7), (−1, 3): √(16 + 16) = 4√2
• (a, b), (−a, −b): √(4a² + 4b²) = 2√(a² + b²)

నియమం (Collinearity test by distances): A, B, C మూడు బిందువులలో

• ఏ రెండు దూరాల మొత్తమైనా మూడోదానికంటే ఎక్కువ అయితే → అవి త్రిభుజం ఏర్పరుస్తాయి.
• ఒక దూరం = మిగతా రెండు దూరాల మొత్తం అయితే (ఉదా: AB + BC = AC) → మూడూ ఒకే రేఖపై (collinear) ఉంటాయి.

Example 1: (3, 2), (−2, −3), (2, 3) త్రిభుజం ఏర్పరుస్తాయా? PQ = √(25 + 25) = √50 ≈ 7.07; QR = √(16 + 36) = √52 ≈ 7.21; PR = √(1 + 1) = √2 ≈ 1.41. ఏ రెండింటి మొత్తం మూడోదాని కంటే ఎక్కువ → త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది.

ఇంకా PQ² + PR² = 50 + 2 = 52 = QR² → ∠P = 90° (పైథాగరస్ విలోమం) → లంబకోణ త్రిభుజం.

Example 3: తరగతి గదిలో అషిమా A(3, 1), భారతి B(6, 4), కామెల్లా C(8, 6) – ఒకే వరుసలో ఉన్నారా? AB = √(9 + 9) = 3√2; BC = √(4 + 4) = 2√2; AC = √(25 + 25) = 5√2. AB + BC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = AC → ఒకే రేఖపై ఉన్నారు.

Exercise 7.1 Q3: (1, 5), (2, 3), (−2, −11) collinear? d₁ = √(1 + 4) = √5 ≈ 2.24; d₂ = √(16 + 196) = √212 ≈ 14.56; d₃ = √(9 + 256) = √265 ≈ 16.28. 2.24 + 14.56 = 16.80 ≠ 16.28 → collinear కావు.

మూడు శీర్షాల నిరూపకాలు ఇచ్చినప్పుడు మూడు భుజాల పొడవులను దూర సూత్రంతో కనుక్కుని రకం చెబుతాం.

• మూడూ సమానం → సమబాహు త్రిభుజం (Equilateral)
• రెండు సమానం → సమద్విబాహు త్రిభుజం (Isosceles)
• a² + b² = c² → లంబకోణ త్రిభుజం (Right-angled)
• రెండు సమానం + a² + b² = c² → లంబకోణ సమద్విబాహు (Right isosceles)
• మూడూ వేరు → విషమబాహు (Scalene)

Exercise 7.1 Q4: (5, −2), (6, 4), (7, −2) సమద్విబాహువా? AB = √(1 + 36) = √37; BC = √(1 + 36) = √37; AC = √(4 + 0) = 2. AB = BC → సమద్విబాహు త్రిభుజం. (AB² + BC² = 74 ≠ 4 → లంబకోణం కాదు.)

సాధన క్రమం

1. మూడు దూరాల వర్గాలు (AB², BC², CA²) కనుక్కోండి.
2. రెండు సమానమా? → isosceles.
3. చిన్న రెండింటి మొత్తం = పెద్దది? → right-angled (లంబకోణం ఆ రెండు భుజాల మధ్య శీర్షం వద్ద).
4. అన్నీ సమానమా? → equilateral.

Example 1 గుర్తు: (3, 2), (−2, −3), (2, 3): భుజాల వర్గాలు 50, 52, 2 → 50 + 2 = 52 → P వద్ద లంబకోణం.

నాలుగు శీర్షాలు ఇచ్చినప్పుడు నాలుగు భుజాలు + రెండు కర్ణాలను కనుక్కుంటాం. క్రమం (taken in order) చాలా ముఖ్యం: AB, BC, CD, DA భుజాలు; AC, BD కర్ణాలు.

• నాలుగు భుజాలు సమానం + కర్ణాలు సమానం → చతురస్రం (Square)
• నాలుగు భుజాలు సమానం + కర్ణాలు అసమానం → సమచతుర్భుజం (Rhombus)
• ఎదుటి భుజాలు సమానం + కర్ణాలు సమానం → దీర్ఘచతురస్రం (Rectangle)
• ఎదుటి భుజాలు సమానం + కర్ణాలు అసమానం → సమాంతర చతుర్భుజం (Parallelogram)

Example 2: (1, 7), (4, 2), (−1, −1), (−4, 4) చతురస్రమా? AB = √(9 + 25) = √34; BC = √(25 + 9) = √34; CD = √(9 + 25) = √34; DA = √(25 + 9) = √34; AC = √(4 + 64) = √68; BD = √(64 + 4) = √68.

నాలుగు భుజాలు సమానం, కర్ణాలు సమానం → చతురస్రం. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి: నాలుగు భుజాలు సమానం + ఒక కోణం 90°: AD² + DC² = 34 + 34 = 68 = AC² → ∠D = 90° → చతురస్రం.

Exercise 7.1 Q6

1. (−1, −2), (1, 0), (−1, 2), (−3, 0): నాలుగు భుజాలు = √8 = 2√2; కర్ణాలు AC = 4, BD = 4 → చతురస్రం.
2. (−3, 5), (3, 1), (0, 3), (−1, −4): A, B, C లో AB = √52 = 2√13, BC = √13, AC = √13 → AC + BC = AB → A, C, B collinear; కాబట్టి ఇవి ఏ చతుర్భుజాన్నీ ఏర్పరచవు.
3. (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2): AB = √10, BC = √18, CD = √10, DA = √18; కర్ణాలు AC = 2, BD = √52 → ఎదుటి భుజాలు సమానం, కర్ణాలు అసమానం → సమాంతర చతుర్భుజం.

Exercise 7.1 Q5: తరగతిలో నలుగురు స్నేహితులు A, B, C, D (Fig 7.8) కూర్చున్నారు; చంపా "ABCD చతురస్రం" అంటే చమేలీ ఒప్పుకోలేదు. ఎవరు సరైనవారో అదే పద్ధతిలో – నాలుగు భుజాలు + కర్ణాలు పోల్చి తేలుస్తాం. (బొమ్మలోని నిరూపకాలు ఇచ్చిన టెక్స్ట్‌లో లేవు.)

ఒక బిందువు P రెండు బిందువులు A, B లకు సమదూరం అయితే PA = PB ⇒ PA² = PB². వర్గాలు రాస్తే √ వదిలించుకుంటాం. అలాంటి P లు AB యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ (perpendicular bisector) పై ఉంటాయి.

Example 4: (x, y) బిందువు (7, 1), (3, 5) లకు సమదూరం – x, y ల సంబంధం? (x − 7)² + (y − 1)² = (x − 3)² + (y − 5)² x² − 14x + 49 + y² − 2y + 1 = x² − 6x + 9 + y² − 10y + 25 −14x − 2y + 50 = −6x − 10y + 34 → −8x + 8y + 16 = 0 → x − y = 2. ఈ సరళరేఖ AB కి లంబ సమద్విఖండన రేఖ.

Example 5: A(6, 5), B(−4, 3) లకు సమదూరంలో y-అక్షంపై ఉన్న బిందువు? P(0, y): 6² + (5 − y)² = 4² + (3 − y)² 36 + 25 + y² − 10y = 16 + 9 + y² − 6y → 61 − 10y = 25 − 6y → 4y = 36 → y = 9. P(0, 9). పరిశీలన: AP = √(36 + 16) = √52 = BP.

Exercise 7.1 Q7: x-అక్షంపై (2, −5), (−2, 9) లకు సమదూర బిందువు: (x, 0): (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81 → −4x + 29 = 4x + 85 → −8x = 56 → x = −7. (−7, 0).

Q8: P(2, −3), Q(10, y) మధ్య దూరం 10: 8² + (y + 3)² = 100 → (y + 3)² = 36 → y + 3 = ±6 → y = 3 లేదా y = −9.

Q9: Q(0, 1) బిందువు P(5, −3), R(x, 6) లకు సమదూరం: QP² = 25 + 16 = 41; QR² = x² + 25 → x² = 16 → x = ±4. QR = √41. PR: x = 4 అయితే PR = √(1 + 81) = √82; x = −4 అయితే PR = √(81 + 81) = 9√2.

Q10: (x, y) బిందువు (3, 6), (−3, 4) లకు సమదూరం: (x − 3)² + (y − 6)² = (x + 3)² + (y − 4)² → −6x − 12y + 45 = 6x − 8y + 25 → 3x + y = 5.

సందర్భం: B, A నుండి 36 కి.మీ. తూర్పు, 15 కి.మీ. ఉత్తరం. టవర్ P, AB పై B నుండి దూరం A నుండి దూరానికి రెట్టింపు ఉండాలి → P, AB ని 1 : 2 లో విభజిస్తుంది.

A = O(0, 0), B = (36, 15). ΔPOD ~ ΔBPC (AA సామ్యం) కాబట్టి x/(36 − x) = 1/2, y/(15 − y) = 1/2 ⇒ x = 12, y = 5; P(12, 5).

సాధారణ సూత్రం: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂); P(x, y) AB ని m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో అంతర్విభజన చేస్తే (PA : PB = m₁ : m₂): P = ( (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂) , (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂) )

ఉత్పాదన సారాంశం: A, P, B ల నుండి x-అక్షానికి లంబాలు; AA సామ్యంతో ΔPAQ ~ ΔBPC. అప్పుడు PA/BP = AQ/PC = PQ/BC, అంటే m₁/m₂ = (x − x₁)/(x₂ − x) = (y − y₁)/(y₂ − y). అడ్డ గుణకారంతో x, y వస్తాయి.

k : 1 రూపం: నిష్పత్తి k : 1 అయితే P = ( (kx₂ + x₁)/(k + 1) , (ky₂ + y₁)/(k + 1) ).

గుర్తుంచుకునే ట్రిక్ (Cross-multiply): m₁ ను రెండో బిందువు (B) తో, m₂ ను మొదటి బిందువు (A) తో గుణించండి (అడ్డంగా). హారం = m₁ + m₂.

బాహ్య విభజన (External division): P, AB రేఖపై ఉండి A, B ల మధ్య లేకపోతే "బాహ్యంగా విభజిస్తుంది" అంటారు; దీని సూత్రం ఉన్నత తరగతుల్లో చదువుతారని పుస్తకంలో గమనిక ఉంది (ఈ అధ్యాయం పరిధిలో లేదు).

ప్రత్యేక సందర్భం: మధ్యబిందువు రేఖాఖండాన్ని 1 : 1 లో విభజిస్తుంది. సూత్రంలో m₁ = m₂ = 1 పెడితే M = ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 )

ముఖ్య ఉపయోగాలు

1. సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేస్తాయి → AC, BD మధ్యబిందువులు ఒకటే.
2. వృత్త వ్యాసం: కేంద్రం = వ్యాసం AB యొక్క మధ్యబిందువు.

Example 10: A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4), D(p, 3) క్రమంగా సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షాలు – p? AC మధ్యబిందువు = ((6 + 9)/2, (1 + 4)/2) = (15/2, 5/2); BD మధ్యబిందువు = ((8 + p)/2, (2 + 3)/2) = ((8 + p)/2, 5/2). 15/2 = (8 + p)/2 → p = 7.

Exercise 7.2 Q6: (1, 2), (4, y), (x, 6), (3, 5) సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షాలు (క్రమంలో) – x, y? A(1, 2), B(4, y), C(x, 6), D(3, 5). AC మధ్య = BD మధ్య: (1 + x)/2 = (4 + 3)/2 → x = 6; (2 + 6)/2 = (y + 5)/2 → y = 3. x = 6, y = 3.

Q7: AB వ్యాసం, కేంద్రం (2, −3), B(1, 4); A = ? (x + 1)/2 = 2 → x = 3; (y + 4)/2 = −3 → y = −10. A(3, −10).

Q10: శీర్షాలు (3, 0), (4, 5), (−1, 4), (−2, −1) సమచతుర్భుజం (rhombus) వైశాల్యం = ½ × (కర్ణాల లబ్ధం): d₁ = (3, 0)–(−1, 4): √(16 + 16) = 4√2; d₂ = (4, 5)–(−2, −1): √(36 + 36) = 6√2. వైశాల్యం = ½ × 4√2 × 6√2 = ½ × 48 = 24 చ.యూ.

Example 6: (4, −3), (8, 5) లను 3 : 1 లో అంతర్విభజన చేసే బిందువు? x = (3·8 + 1·4)/(3 + 1) = 28/4 = 7; y = (3·5 + 1·(−3))/4 = 12/4 = 3 → (7, 3).

Example 8 (త్రిధా విభజన – Trisection): A(2, −2), B(−7, 4) ల త్రిధా విభజన బిందువులు P, Q (AP = PQ = QB). P → 1 : 2: x = (1(−7) + 2(2))/3 = −1; y = (1(4) + 2(−2))/3 = 0 → P(−1, 0).

Q → 2 : 1: x = (2(−7) + 1(2))/3 = −4; y = (2(4) + 1(−2))/3 = 2 → Q(−4, 2). షార్ట్‌కట్: Q అనేది PB యొక్క మధ్యబిందువు కూడా.

Exercise 7.2 Q1: (−1, 7), (4, −3) లను 2 : 3 లో విభజించే బిందువు: x = (2·4 + 3(−1))/5 = 1; y = (2(−3) + 3·7)/5 = 3 → (1, 3).

Q2: (4, −1), (−2, −3) త్రిధా విభజన బిందువులు: P (1 : 2): x = (−2 + 8)/3 = 2, y = (−3 − 2)/3 = −5/3; Q (2 : 1): x = (−4 + 4)/3 = 0, y = (−6 − 1)/3 = −7/3. → (2, −5/3), (0, −7/3).

Q8: A(−2, −2), B(2, −4); AP = (3/7)AB, P రేఖాఖండంపై. అంటే AP : PB = 3 : 4. x = (3·2 + 4(−2))/7 = −2/7; y = (3(−4) + 4(−2))/7 = −20/7 → P(−2/7, −20/7).

Q9: A(−2, 2), B(2, 8) లను నాలుగు సమభాగాలు చేసే బిందువులు: మధ్యబిందువు (0, 5); A, (0, 5) ల మధ్యబిందువు (−1, 7/2); (0, 5), B ల మధ్యబిందువు (1, 13/2). → (−1, 7/2), (0, 5), (1, 13/2).

ఇచ్చిన బిందువు రేఖాఖండాన్ని ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుక్కునే పద్ధతి: నిష్పత్తిని k : 1 గా తీసుకుని, సూత్రంలో ఒక నిరూపకాన్ని ఇచ్చిన విలువతో సమానం చేసి k కనుక్కోవాలి. రెండో నిరూపకంతో సరిచూడవచ్చు.

Example 7: బిందువు (−4, 6), A(−6, 10), B(3, −8) ల రేఖాఖండాన్ని ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది? k : 1: x: (3k − 6)/(k + 1) = −4 → 3k − 6 = −4k − 4 → 7k = 2 → k = 2/7 → 2 : 7. y సరిచూపు: (−8k + 10)/(k + 1) = (−16/7 + 10)/(9/7) = (54/7)/(9/7) = 6 ✓.

Example 9 (y-అక్షం విభజన): (5, −6), (−1, −4) లను y-అక్షం ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది? ఖండన బిందువు? y-అక్షంపై x = 0: (−k + 5)/(k + 1) = 0 → k = 5 → 5 : 1. y = (−4k − 6)/(k + 1) = (−20 − 6)/6 = −13/3 → బిందువు (0, −13/3).

Exercise 7.2 Q4: (−3, 10), (6, −8) లను (−1, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది? (6k − 3)/(k + 1) = −1 → 7k = 2 → 2 : 7. సరిచూపు: y = (−8·2 + 10·7)/9 = 6 ✓.

Q5: A(1, −5), B(−4, 5) లను x-అక్షం విభజన: y = 0: (5k − 5)/(k + 1) = 0 → k = 1 → నిష్పత్తి 1 : 1; బిందువు x = (−4 + 1)/2 = −3/2 → (−3/2, 0) (మధ్యబిందువు).

షార్ట్‌కట్ (అక్షం విభజన) (పై సూత్రం నుండి వచ్చేది)

• x-అక్షం విభజన నిష్పత్తి = |y₁| : |y₂| (y-నిరూపకాలు వ్యతిరేక గుర్తులు ఉంటేనే అక్షం రేఖాఖండాన్ని దాటుతుంది). Q5: 5 : 5 = 1 : 1 ✓.
• y-అక్షం విభజన నిష్పత్తి = |x₁| : |x₂|. Example 9: 5 : 1 ✓.

గమనిక: దూరాలు PA, PB ల నిష్పత్తి తీసుకోవడం కూడా సాధ్యమే, కానీ A, P, B collinear అని తెలిసినప్పుడే.

దూర సూత్రం, విభాగ సూత్రాలను గ్రిడ్ లేదా మ్యాప్ రూపంలో ఉండే సందర్భాలకు వాడతాం. ప్రతి కథనంలో మొదటి అడుగు స్థానాలను నిరూపకాలుగా మార్చడం.

1) రిలే టవర్ (Section 7.3): A = మూలబిందువు, B(36, 15); టవర్ దూరం B నుండి A నుండి దూరానికి రెట్టింపు → 1 : 2 → P(12, 5). సరిచూపు: OP = √(144 + 25) = 13; PB = √(24² + 10²) = 26 = 2 × 13 ✓.

2) తరగతి గది వరుస (Example 3): డెస్క్ స్థానాలు A(3, 1), B(6, 4), C(8, 6) → AB + BC = AC → ఒకే వరుసలో.

3) క్రీడా మైదానం (Exercise 7.2 Q3): దీర్ఘచతురస్రాకార మైదానం ABCD లో 1 మీ. దూరంలో గీతలు గీసి ఉన్నాయి; AD వెంట 100 కుండీలు 1 మీ. దూరంలో ఉంచారు (AD = 100 మీ. అని తీసుకోవడం).

నిహారిక 2వ గీతపై AD లో 1/4 వంతు దూరం పరిగెత్తి ఆకుపచ్చ జెండా → (2, 25). ప్రీత్ 8వ గీతపై AD లో 1/5 వంతు → (8, 20).

జెండాల మధ్య దూరం = √((8 − 2)² + (20 − 25)²) = √(36 + 25) = √61 మీ. రష్మీ నీలి జెండాను వాటి మధ్యలో ఉంచాలంటే మధ్యబిందువు = ((2 + 8)/2, (25 + 20)/2) = (5, 22.5), అంటే 5వ గీతపై, 22.5 మీ.

దూరంలో. (గమనిక: ఇక్కడ Fig 7.12 చిత్రం లేనందున AD = 100 మీ. అనే ఊహతో చేశాం.)

4) పరిచయంలో చిత్రం గీసే ఆట: పుస్తకం ప్రారంభంలో A(4, 8), B(3, 9), C(3, 8)... బిందువులను వరుసగా కలిపితే ఒక చిత్రం ఏర్పడుతుంది – నిరూపక తలంలో బిందువులను గుర్తించి కలపడమే నిరూపక జ్యామితి ప్రాథమిక భావన.

పాఠ్యపుస్తక సారాంశం (Summary)

1. P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) మధ్య దూరం = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
2. మూలబిందువు నుండి P(x, y) దూరం = √(x² + y²).
3. AB ని m₁ : m₂ లో అంతర్విభజన చేసే బిందువు = ( (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂), (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂) ).
4. మధ్యబిందువు = ( (x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2 ).

ప్రశ్న రకం → పద్ధతి పట్టిక

• రెండు బిందువుల మధ్య దూరం → దూర సూత్రం
• మూడు బిందువులు collinear? → చిన్న రెండు దూరాల మొత్తం = పెద్దది
• త్రిభుజ/చతుర్భుజ రకం → భుజాలు + కర్ణాలు (వర్గాలు)
• సమదూర బిందువు → PA² = PB²
• అక్షంపై బిందువు → (x, 0) లేదా (0, y)
• ఇచ్చిన నిష్పత్తిలో బిందువు → section formula
• ఏ నిష్పత్తిలో విభజన? → k : 1 వేసి ఒక నిరూపకం సమీకరించండి
• సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షం → కర్ణాల మధ్యబిందువులు సమానం

పరీక్ష షార్ట్‌కట్స్

• సమాంతర చతుర్భుజం ABCD లో మిగిలిన శీర్షం: D = A + C − B (నిరూపకం వారీగా).
• త్రిధా విభజన:
  1. 1 : 2 మరియు 2 : 1
  2. నాలుగు సమభాగాలు: మధ్యబిందువు + రెండు మధ్యబిందువులు.
• అక్షం విభజన నిష్పత్తి:
  1. x-అక్షం → |y₁| : |y₂|
  2. y-అక్షం → |x₁| : |x₂|.

పాఠ్యపుస్తకంలో గమనించదగిన విషయాలు

• పరిచయంలో త్రిభుజ వైశాల్యం ప్రస్తావించారు కానీ ఈ అధ్యాయంలో అది లేదు.
• Section formula ప్రస్తుతానికి అంతర్విభజన మాత్రమే
• బాహ్య విభజన ఉన్నత తరగతుల్లో.