వృత్తాలు (Circles)

ఒక తలంలో వృత్తం, ఒక రేఖ PQ ఇచ్చినప్పుడు మూడు సందర్భాలు మాత్రమే సాధ్యం (నాలుగో స్థితి లేదు):

• ఛేదించని రేఖ (Non-intersecting line): రేఖకు, వృత్తానికి ఉమ్మడి బిందువు ఉండదు.
• ఛేదనరేఖ (Secant): రేఖ వృత్తాన్ని రెండు బిందువుల వద్ద (A, B) ఖండిస్తుంది. A, B లను కలిపే రేఖాఖండం AB ను జ్య (Chord) అంటారు.
• స్పర్శరేఖ (Tangent):
  1. రేఖ వృత్తాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది. ఆ ఉమ్మడి బిందువు స్పర్శ బిందువు (Point of Contact)
  2. స్పర్శరేఖ వృత్తాన్ని ఆ బిందువు వద్ద "స్పృశిస్తుంది (touches)".

నిత్య జీవిత ఉదాహరణలు: బావి కప్పి (pulley) పై ఉన్న తాడు రెండు వైపులా కప్పికి స్పర్శరేఖల్లా ఉంటుంది. సైకిల్/బండి చక్రం నేలపై కదిలే రేఖ చక్రానికి స్పర్శరేఖ; చక్రపు ఆకులు (spokes) వ్యాసార్థాల వెంబడి ఉంటాయి.

పదం మూలం: Tangent అనే పదం లాటిన్ tangere (తాకడం) నుండి వచ్చింది; 1583లో డానిష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు థామస్ ఫింకె (Thomas Fineke) దీన్ని ప్రవేశపెట్టాడు.

ఉమ్మడి బిందువుల లెక్క: 0 → ఛేదించదు; 1 → స్పర్శరేఖ; 2 → ఛేదనరేఖ.

కృత్యం 1 (Activity 1): వృత్తాకార తీగపై బిందువు P వద్ద ఒక సరళ తీగ AB ని తిరిగేలా అమర్చి, P చుట్టూ తిప్పండి. చాలా స్థానాల్లో AB వృత్తాన్ని P వద్ద, మరో బిందువు (Q₁, Q₂, Q₃…) వద్ద ఖండిస్తుంది.

ఒకే ఒక స్థానంలో (A₁B₁) మాత్రమే P వద్ద మాత్రమే ఖండిస్తుంది – అదే స్పర్శరేఖ.

• AB ఒక వైపు తిరిగేటప్పుడు రెండో ఖండన బిందువు Q P కి దగ్గరవుతూ చివరకు P తో ఏకీభవిస్తుంది
• మరో వైపు తిప్పినా R బిందువు కూడా P తో ఏకీభవిస్తుంది.
• నిర్ధారణ: వృత్తంపై ఒక బిందువు వద్ద ఒకే ఒక స్పర్శరేఖ ఉంటుంది.

కృత్యం 2 (Activity 2): ఛేదనరేఖ PQ కి సమాంతరంగా రెండు వైపులా రేఖలు గీస్తే, వృత్తం కత్తిరించే జ్య పొడవు క్రమంగా తగ్గుతూ ఒక వైపు సున్నా అవుతుంది (P₁Q₁), మరో వైపూ సున్నా అవుతుంది (P₂Q₂). ఆ రెండు స్థానాలే ఛేదనరేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న స్పర్శరేఖలు.

• అందువల్ల ఇచ్చిన ఛేదనరేఖకు సమాంతరంగా రెండు కంటే ఎక్కువ స్పర్శరేఖలు ఉండవు.

ప్రధాన భావన: స్పర్శరేఖ అంటే ఛేదనరేఖ యొక్క సంబంధిత జ్య రెండు చివరలు ఏకీభవించిన ప్రత్యేక సందర్భం.

సిద్ధాంతం 10.1 (Theorem 10.1): వృత్తానికి ఒక బిందువు వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ, ఆ స్పర్శ బిందువు గుండా పోయే వ్యాసార్థానికి లంబంగా (perpendicular) ఉంటుంది.

ఇవ్వబడినది: కేంద్రం O గల వృత్తానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ XY. నిరూపించాలి: OP ⟂ XY.

నిరూపణ (Proof):

• XY పై P కాకుండా మరో బిందువు Q తీసుకొని OQ కలపండి.
• Q వృత్తం బయట ఉండాలి (లోపల ఉంటే XY ఛేదనరేఖ అవుతుంది, స్పర్శరేఖ కాదు).
• కాబట్టి OQ > OP (OP = వ్యాసార్థం).
• P తప్ప XY పై ప్రతి బిందువుకు ఇది నిజం కాబట్టి, O నుండి XY పై బిందువులకు ఉన్న దూరాల్లో OP అత్యల్పం.
• కేంద్రం నుండి రేఖకు అత్యల్ప దూరం లంబ దూరం → OP ⟂ XY. ∎

వ్యాఖ్యలు (Remarks):

1. వృత్తంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఒకే ఒక స్పర్శరేఖ ఉంటుంది.
2. స్పర్శ బిందువు గుండా పోయే వ్యాసార్థం ఉన్న రేఖను అభిలంబం (Normal) అంటారు.

1) స్పర్శరేఖ పొడవు – పైథాగరస్ సూత్రం: P స్పర్శ బిందువు, Q బాహ్య బిందువు అయితే ∠OPQ = 90°. కాబట్టి

PQ² = OQ² − OP², అంటే స్పర్శరేఖ పొడవు = √(d² − r²) (d = కేంద్రం నుండి బాహ్య బిందువు దూరం, r = వ్యాసార్థం).

పాఠ్యపుస్తకం లెక్కలు:

• అభ్యాసం 10.1 ప్ర.3:
  1. r = 5, OQ = 12 → PQ = √(144 − 25) = √119 సెం.మీ. (సరైన జవాబు D). ఇది ≈ 10.9 సెం.మీ.
  2. 12, 13, 8.5 లు తప్పు (కర్ణం 12 అయినప్పుడు లంబ భుజం 12 కంటే చిన్నది).
• అభ్యాసం 10.2 ప్ర.1: స్పర్శరేఖ 24, d = 25 → r = √(25² − 24²) = √49 = 7 సెం.మీ.
• అభ్యాసం 10.2 ప్ర.6: d = 5, స్పర్శరేఖ = 4 → r = √(25 − 16) = 3 సెం.మీ.

షార్ట్‌కట్ – పైథాగరియన్ త్రిపదులు: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) – r, tangent, d లు ఈ త్రిపదుల్లో ఉంటే వెంటనే జవాబు.

2) వ్యాసం చివరల వద్ద స్పర్శరేఖలు సమాంతరం (Ex 10.2 ప్ర.4): AB వ్యాసం; A, B వద్ద స్పర్శరేఖలు l, m. OA ⟂ l, OB ⟂ m (సిద్ధాంతం 10.1). A, O, B ఒకే సరళరేఖపై ఉన్నాయి కాబట్టి l, m లు ఒకే రేఖకు లంబాలు ⇒ l ∥ m. (ఏకాంతర కోణాలు 90° = 90°).

3) స్పర్శ బిందువు వద్ద లంబం కేంద్రం గుండా పోతుంది (Ex 10.2 ప్ర.5): స్పర్శ బిందువు P వద్ద స్పర్శరేఖకు గీసిన లంబరేఖ కేంద్రం O గుండా పోతుంది. కారణం: P వద్ద స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఒకే రేఖ ఉంటుంది; OP ఇప్పటికే లంబం (10.1), కాబట్టి ఆ లంబమే OP.

కృత్యం 3: వృత్తం గీసి, P బిందువును మూడు చోట్ల తీసుకోండి.

సందర్భం 1 – P వృత్తం లోపల: P గుండా పోయే ప్రతి రేఖ వృత్తాన్ని రెండు బిందువుల్లో ఖండిస్తుంది → స్పర్శరేఖ ఉండదు (0). సందర్భం 2 – P వృత్తంపై: P గుండా ఒకే ఒక స్పర్శరేఖ (1). సందర్భం 3 – P వృత్తం బయట: P గుండా సరిగ్గా రెండు స్పర్శరేఖలు (2).

• లోపల (d < r) → 0
• వృత్తంపై (d = r) → 1
• బయట (d > r) → 2

స్పర్శరేఖ పొడవు (Length of the Tangent): బాహ్య బిందువు P నుండి స్పర్శ బిందువు (T₁, T₂) వరకు ఉన్న స్పర్శరేఖా ఖండం పొడవు. PT₁, PT₂ లు స్పర్శరేఖల పొడవులు.

గమనించండి: PT₁ = PT₂ (ఎల్లప్పుడూ) – దీనిని సిద్ధాంతం 10.2 నిరూపిస్తుంది.

సిద్ధాంతం 10.2 (Theorem 10.2): బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన రెండు స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం.

ఇవ్వబడినది: కేంద్రం O; బాహ్య బిందువు P; స్పర్శరేఖలు PQ, PR. నిరూపించాలి: PQ = PR.

నిరూపణ: OP, OQ, OR కలపండి. సిద్ధాంతం 10.1 వల్ల ∠OQP = ∠ORP = 90°. లంబకోణ త్రిభుజాలు OQP, ORP లలో:

• OQ = OR (ఒకే వృత్తం వ్యాసార్థాలు)
• OP = OP (ఉమ్మడి భుజం – కర్ణం)
• ∴ △OQP ≅ △ORP (RHS)
• ∴ PQ = PR (CPCT). ∎

ప్రత్యామ్నాయ నిరూపణ (పైథాగరస్): PQ² = OP² − OQ² = OP² − OR² = PR² (OQ = OR) ⇒ PQ = PR.

వ్యాఖ్య 2: ∠OPQ = ∠OPR (CPCT) ⇒ OP కోణ ∠QPR యొక్క సమద్విఖండన రేఖ, అంటే కేంద్రం రెండు స్పర్శరేఖల మధ్య కోణ సమద్విఖండనపై ఉంటుంది.

బాహ్య బిందువు T నుండి TP, TQ స్పర్శరేఖలు; కేంద్రం O (P, Q స్పర్శ బిందువులు).

1) ∠OPT = ∠OQT = 90° (సిద్ధాంతం 10.1) 2) చతుర్భుజం OPTQ లో నాలుగు కోణాల మొత్తం 360° ⇒ 90° + 90° + ∠POQ + ∠PTQ = 360° ⇒

∠POQ + ∠PTQ = 180° (స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం, స్పర్శ బిందువులు కేంద్రం వద్ద చేసే కోణానికి సంపూరకం (supplementary) – Ex 10.2 ప్ర.10).

ఉదాహరణ 2 (Example 2): ∠PTQ = 2∠OPQ నిరూపణ.

• TP = TQ (సిద్ధాంతం 10.2) ⇒ △TPQ సమద్విబాహు.
• ∠TPQ = ∠TQP = ½(180° − ∠PTQ) = 90° − ½∠PTQ.
• ∠OPT = 90° ⇒ ∠OPQ = ∠OPT − ∠TPQ = 90° − (90° − ½∠PTQ) = ½∠PTQ.
• ∴ ∠PTQ = 2∠OPQ. ∎

లెక్కలు (పాఠ్యపుస్తకం):

• Ex 10.2 ప్ర.2: ∠POQ = 110° ⇒ ∠PTQ = 180° − 110° = 70°.
• Ex 10.2 ప్ర.3: ∠APB = 80° ⇒ ∠POA = ½∠POB = ½(180° − 80°) = 50° (OP కోణ సమద్విఖండన కాబట్టి).
• ∠PTQ = 60° అయితే ∠OPQ = 30°, ∠POQ = 120°, ∠POT = 60°.

ఫార్ములా పట్టిక:

• ∠PTQ = θ → ∠POQ → 180° − θ
• ∠PTQ = θ → ∠OPQ → θ/2
• ∠PTQ = θ → ∠TPQ = ∠TQP → 90° − θ/2
• ∠POQ = φ → ∠POT → φ/2

ఉదాహరణ 1: రెండు ఏకకేంద్రక వృత్తాలలో, పెద్ద వృత్తం యొక్క జ్య చిన్న వృత్తాన్ని స్పృశిస్తే, ఆ జ్య స్పర్శ బిందువు వద్ద సమద్విఖండన అవుతుంది.

నిరూపణ: కేంద్రం O; పెద్ద వృత్తం C₁ జ్య AB, చిన్న వృత్తం C₂ ను P వద్ద స్పృశిస్తుంది. OP కలపండి.

• AB, C₂ కు స్పర్శరేఖ
• OP వ్యాసార్థం ⇒ OP ⟂ AB (10.1).
• AB, C₁ యొక్క జ్య, OP ⟂ AB. కేంద్రం నుండి జ్యకు గీసిన లంబం జ్యను సమద్విఖండిస్తుంది ⇒ AP = BP. ∎

సంఖ్యా లెక్క (Ex 10.2 ప్ర.7): R = 5, r = 3. △OPA లో ∠OPA = 90°: AP = √(5² − 3²) = 4 ⇒ AB = 2 × 4 = 8 సెం.మీ.

సాధారణ సూత్రం: స్పర్శ జ్య పొడవు = 2√(R² − r²). ఉదా: R = 13, r = 5 ⇒ 2×12 = 24; R = 17, r = 8 ⇒ 2×15 = 30; R = 10, r = 6 ⇒ 2×8 = 16.

ఉదాహరణ 3: 5 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల వృత్తంలో జ్య PQ = 8 సెం.మీ. P, Q ల వద్ద స్పర్శరేఖలు T వద్ద ఖండిస్తే TP = ?

సాధన: OT కలపండి; అది PQ ను R వద్ద ఖండిస్తుంది.

• TP = TQ (10.2) ⇒ △TPQ సమద్విబాహు, TO కోణ సమద్విఖండన ⇒ OT ⟂ PQ మరియు R మధ్య బిందువు ⇒ PR = RQ = 4.
• OR = √(OP² − PR²) = √(25 − 16) = 3 సెం.మీ.
• ∠TPR + ∠RPO = 90° = ∠TPR + ∠PTR ⇒ ∠RPO = ∠PTR.
• ∴ లంబకోణ △TRP ~ △PRO (AA).
• TP/PO = RP/RO ⇒ TP/5 = 4/3 ⇒ TP = 20/3 సెం.మీ. (≈ 6.67)

ప్రత్యామ్నాయం (పైథాగరస్): TP = x, TR = y. x² = y² + 16 … (1); x² + 25 = (y + 3)² … (2). (2) − (1): 25 = 6y − 7 ⇒ y = 16/3, x² = 256/9 + 16 = 400/9 ⇒ x = 20/3.

షార్ట్‌కట్ సూత్రాలు (జ్య పొడవు c, వ్యాసార్థం r, h = c/2):

• OR = √(r² − h²)
• TP = r·h / OR
• OT = r² / OR (△OPT ~ △ORP నుండి: OP² = OR·OT)
• ఇక్కడ: OR = 3, TP = 5×4/3 = 20/3, OT = 25/3.

మరో ఉదా: r = 13, c = 24 ⇒ h = 12, OR = 5, TP = 13×12/5 = 31.2, OT = 169/5 = 33.8.

చతుర్భుజం ABCD భుజాలన్నీ ఒక వృత్తాన్ని స్పృశిస్తే (వృత్తం చతుర్భుజానికి అంతర్లిఖితం), అది వృత్తాన్ని పరిబద్ధం (circumscribe) చేస్తుందంటారు.

1) AB + CD = AD + BC (Ex 10.2 ప్ర.8): స్పర్శ బిందువులు P (AB), Q (BC), R (CD), S (DA). ప్రతి శీర్షం నుండి స్పర్శరేఖలు సమానం (10.2): AP = AS, BP = BQ, CR = CQ, DR = DS.

కూడితే: AB + CD = (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + BQ) + (CQ + DS) = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC. ∎

2) పరిబద్ధ సమాంతర చతుర్భుజం సమ చతుర్భుజం (Rhombus) (ప్ర.11): ABCD సమాంతర చతుర్భుజం: AB = CD, AD = BC. AB + CD = AD + BC ⇒ 2AB = 2BC ⇒ AB = BC ⇒ అన్ని భుజాలు సమానం ⇒ రాంబస్. ∎ (కాబట్టి పరిబద్ధ దీర్ఘచతురస్రం → చతురస్రం.)

3) అభిముఖ భుజాలు కేంద్రం వద్ద సంపూరక కోణాలు చేస్తాయి (ప్ర.13): ∠AOB + ∠COD = 180° మరియు ∠BOC + ∠DOA = 180°. (OA, OB, OC, OD లు కోణ సమద్విఖండనలు; శీర్ష కోణాల సగాల మొత్తం 360°/2 = 180°.)

లెక్కల పద్ధతి:

• AB = 12, BC = 15, CD = 14 ⇒ AD = 12 + 14 − 15 = 11.
• చుట్టుకొలత = 2(AB + CD) = 2(AD + BC).
• సమీకరణాలు: AB = 2x + 1, CD = x + 8, AD = 3x − 1, BC = x + 6 ⇒ 3x + 9 = 4x + 5 ⇒ x = 4 (భుజాలు 9, 12, 11, 10).

త్రిభుజం ABC భుజాలను వృత్తం స్పృశిస్తే, శీర్షం నుండి వృత్తానికి గీసిన రెండు స్పర్శ ఖండాలు సమానం (10.2).

అభ్యాసం 10.2 ప్ర.12: r = 4 సెం.మీ., BC పై స్పర్శ బిందువు D; BD = 8, DC = 6. AB, AC = ?

సాధన: A నుండి స్పర్శ ఖండం x (AE = AF = x). B నుండి 8, C నుండి 6.

• AB = x + 8, AC = x + 6, BC = 14
• అర్ధ పరిధి s = (14 + 2x + 14)/2 = x + 14.
• వైశాల్యం (హీరో సూత్రం) = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) = √((x+14)·x·6·8).
• వైశాల్యం = r·s = 4(x + 14) (త్రిభుజాలు OAB, OBC, OCA ల మొత్తం).
• 48x(x + 14) = 16(x + 14)² ⇒ 3x = x + 14 ⇒ x = 7.
• ∴ AB = 15 సెం.మీ., AC = 13 సెం.మీ. (BC = 14
• వైశాల్యం = 4 × 21 = 84).

ఉపయోగపడే సూత్రాలు:

• అంతర్వృత్త వ్యాసార్థం r = వైశాల్యం ÷ s.
• లంబకోణ త్రిభుజం (లంబం B వద్ద) లో r = (AB + BC − AC)/2: ఉదా. 6, 8, 10 ⇒ r = (6 + 8 − 10)/2 = 2
• 5, 12, 13 ⇒ r = 2.
• స్పర్శ ఖండాలు: A వద్ద s − a, B వద్ద s − b, C వద్ద s − c.

అభ్యాసం 10.2 ప్ర.9: XY, X′Y′ సమాంతర స్పర్శరేఖలు; మూడో స్పర్శరేఖ AB (స్పర్శ బిందువు C) XY ను A వద్ద, X′Y′ ను B వద్ద ఖండిస్తే ∠AOB = 90° నిరూపించండి.

నిరూపణ: A బాహ్య బిందువు; స్పర్శ బిందువులు P (XY పై), C. OA కోణ ∠POC ని సమద్విఖండిస్తుంది ⇒ ∠AOC = ½∠POC. అదే విధంగా B వద్ద ∠COB = ½∠COQ (Q = X′Y′ పై స్పర్శ బిందువు).

• PQ వ్యాసం (సమాంతర స్పర్శరేఖలు వ్యాసం చివరల వద్ద) ⇒ ∠POC + ∠COQ = 180°.
• ∠AOB = ∠AOC + ∠COB = ½(∠POC + ∠COQ) = ½ × 180° = 90°. ∎

ప్రత్యామ్నాయ నిరూపణ: ∠OAB = ∠OAP, ∠OBA = ∠OBQ. (XY ∥ X′Y′) ⇒ ∠PAB + ∠QBA = 180° ⇒ ∠OAB + ∠OBA = 90° ⇒ ∠AOB = 180° − 90° = 90°.

సంఖ్యా అనువర్తనం: △AOB లో O వద్ద లంబకోణం, OC ⟂ AB (10.1) ⇒ OC² = AC × CB (లంబకోణ త్రిభుజంలో ఎత్తు). AC = 4, CB = 9 అయితే r = √36 = 6.

ప్ర.10: బాహ్య బిందువు నుండి రెండు స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం, స్పర్శ బిందువులను కలిపే ఖండం కేంద్రం వద్ద చేసే కోణానికి సంపూరకం (∠PTQ + ∠POQ = 180°) – 'కోణ సంబంధాలు' విభాగంలో నిరూపణ ఉంది.

• స్పర్శరేఖ పొడవు t → t = √(d² − r²)
• కేంద్రం నుండి దూరం d → d = √(r² + t²)
• వ్యాసార్థం r → r = √(d² − t²)
• ఏకకేంద్రక వృత్తాల స్పర్శ జ్య → 2√(R² − r²)
• ∠PTQ, ∠POQ → ∠PTQ + ∠POQ = 180°
• ∠OPQ → ½∠PTQ
• పరిబద్ధ చతుర్భుజం → AB + CD = AD + BC
• లంబకోణ త్రిభుజం అంతర్వృత్తం → r = (a + b − c)/2
• అంతర్వృత్త వ్యాసార్థం → r = వైశాల్యం/s
• జ్య చివరల స్పర్శరేఖ (r, c) → TP = r(c/2)/√(r² − (c/2)²)

త్రిభుజంలో ఖండాలు: స్పర్శరేఖ ఖండాలు s − a, s − b, s − c.

మూడో స్పర్శరేఖ ట్రిక్: బాహ్య బిందువు P నుండి PA = PB = 12; మరో స్పర్శరేఖ AP, BP లను Q, R వద్ద ఖండిస్తే △PQR చుట్టుకొలత = PA + PB = 24 (QA = QC, RB = RC కాబట్టి).

30°–60° ట్రిక్: ∠APB = 60° అయితే ∠OPA = 30°, OP = 2r, PA = r√3. (r = 6 ⇒ PA = 6√3 ≈ 10.39.) మరియు △PAB సమబాహు ⇒ AB = PA.

కాంటాక్ట్ ఛేదన జ్య (chord of contact): AB = 2·PA·r/OP. (d = 10, r = 6, PA = 8 ⇒ AB = 2×8×6/10 = 9.6.)

పాఠ్యపుస్తకం సారాంశం (10.4):

1. వృత్తానికి స్పర్శరేఖ (tangent) అంటే ఏమిటో – వృత్తాన్ని ఒకే బిందువు వద్ద ఖండించే రేఖ.
2. వృత్తానికి స్పర్శరేఖ, స్పర్శ బిందువు గుండా పోయే వ్యాసార్థానికి లంబం.
3. బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన రెండు స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం.

సంక్షిప్త పునశ్చరణ:

• సిద్ధాంతం 10.1: tangent ⟂ radius (నిరూపణ: OQ > OP ⇒ OP అత్యల్ప దూరం).
• సిద్ధాంతం 10.2:
  1. PQ = PR (RHS ద్వారా లేదా పైథాగరస్ ద్వారా)
  2. ∠OPQ = ∠OPR.
• స్పర్శరేఖల సంఖ్య: లోపల 0, వృత్తంపై 1, బయట 2.
• సమాంతర స్పర్శరేఖలు గరిష్ఠం 2 (వ్యాసం చివరల వద్ద).
• ఇచ్చిన అభ్యాసాల ఫలితాలు:
  1. 10.1 ప్ర.3 → √119
  2. 10.2 ప్ర.1 → 7 సెం.మీ.
  3. ప్ర.2 → 70°
  4. ప్ర.3 → 50°
  5. ప్ర.6 → 3 సెం.మీ.
  6. ప్ర.7 → 8 సెం.మీ.
  7. ప్ర.12 → AB = 15, AC = 13
  8. ఉదా.3 → TP = 20/3.

పరీక్ష సన్నద్ధత చిట్కాలు:

• 'ఎన్ని స్పర్శరేఖలు?' ప్రశ్నలకు స్థానం (లోపల/పై/బయట) గుర్తించండి.
• కోణాల ప్రశ్నలకు చతుర్భుజం OPTQ లో 360° ఉపయోగించండి.
• పరిబద్ధ బహుభుజాల్లో స్పర్శ ఖండాలను x, y, z అనే చరరాశులతో రాయండి.