త్రికోణమితి అనువర్తనాలు (Some Applications of Trigonometry)

గత అధ్యాయంలో నేర్చుకున్న త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను మన చుట్టూ ఉన్న జీవితంలో ఉపయోగించే విధానమే "ఎత్తులు – దూరాలు" (Heights and Distances). ఒక మినార్ ఎత్తును నేరుగా కొలవకుండానే, దూరం, కోణం తెలిస్తే లెక్కించవచ్చు.

ముఖ్య నిర్వచనాలు

• దృష్టి రేఖ (Line of Sight): పరిశీలకుడి కన్ను నుండి, అతడు చూస్తున్న వస్తువు మీది బిందువుకు గీసిన రేఖ.
• ఉన్నతి కోణం (Angle of Elevation): చూస్తున్న బిందువు క్షితిజ సమాంతర మట్టం (horizontal level) కంటే పైన ఉన్నప్పుడు, దృష్టి రేఖ క్షితిజ సమాంతరంతో చేసే కోణం. అంటే తల పైకెత్తి చూసినప్పుడు ఏర్పడే కోణం.
• నిమ్న కోణం (Angle of Depression): చూస్తున్న బిందువు క్షితిజ సమాంతర మట్టం కంటే కింద ఉన్నప్పుడు, దృష్టి రేఖ క్షితిజ సమాంతరంతో చేసే కోణం. అంటే తల దించి చూసినప్పుడు ఏర్పడే కోణం.

పాఠ్యపుస్తకంలోని మినార్ చిత్రంలో (విద్యార్థి కన్ను A, మినార్ పై బిందువు C, క్షితిజ రేఖపై B) మినార్ ఎత్తు CD కనుక్కోవడానికి మూడు విలువలు కావాలి.

అవసరమైన సమాచారం

• (i) విద్యార్థి మినార్ పాదం నుండి నిలబడిన దూరం DE
• (ii) మినార్ పై భాగం యొక్క ఉన్నతి కోణం ∠BAC
• (iii) విద్యార్థి ఎత్తు (కంటి ఎత్తు) AE

సూత్రం మరియు పద్ధతి

• CD = CB + BD, ఇక్కడ BD = AE (విద్యార్థి ఎత్తు).
• △ABC లో కోణం A కి BC ఎదుటి భుజం (opposite), AB ఆసన్న భుజం (adjacent). కాబట్టి tan A = BC/AB లేదా cot A = AB/BC.
• BC కనుక్కుని, దానికి AE కలిపితే మినార్ ఎత్తు వస్తుంది.

అడుగులవారీ పద్ధతి (Steps)

1. సమస్యకు సరళ పటం గీయండి; లంబ కోణ త్రిభుజం గుర్తించండి.
2. తెలిసిన, తెలియని భుజాలను గుర్తించండి.
3. రెండింటినీ కలిపే నిష్పత్తిని ఎంచుకోండి (ఎత్తు + ఆసన్న భుజం → tan; ఎత్తు + కర్ణం → sin; ఆసన్న భుజం + కర్ణం → cos).
4. విలువ ప్రతిక్షేపించి సాధించండి; చివరిలో కంటి ఎత్తు వంటివి కలపండి.

ప్రామాణిక విలువల పట్టిక (వేగంగా గుర్తుంచుకోండి)

• 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = 1/√3, cot = √3
• 45°: sin = cos = 1/√2, tan = cot = 1
• 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3, cot = 1/√3
• √3 ≈ 1.732, √2 ≈ 1.414 (లెక్కల్లో ఇచ్చినప్పుడు మాత్రమే వాడండి)

సమస్య: నేలపై నిలువుగా ఉన్న టవర్ పాదం నుండి 15 m దూరంలో నేలపై ఉన్న బిందువు నుండి టవర్ పై భాగం ఉన్నతి కోణం 60°. టవర్ ఎత్తు ఎంత?

పటం ఏర్పాటు: AB = టవర్, CB = బిందువు నుండి టవర్ పాదానికి దూరం (15 m), ∠ACB = ఉన్నతి కోణం = 60°. △ACB లో ∠B = 90°.

సాధన

• AB, BC లను కలిపే నిష్పత్తి tan 60° (లేదా cot 60°).
• tan 60° = AB/BC ⇒ √3 = AB/15 ⇒ AB = 15√3 m (≈ 25.98 m).

అదే పద్ధతిలో వేగంగా

• ఎత్తు = దూరం × tan θ. ఇక్కడ దూరం 15, θ = 60° ⇒ 15 × √3.
• దూరం కావాలంటే: దూరం = ఎత్తు × cot θ. ఉదా: ఎత్తు 20 m, θ = 30° అయితే దూరం = 20√3 m.
• θ = 45° అయితే ఎత్తు = దూరం (tan 45° = 1).

సమస్య: 5 m ఎత్తు స్తంభంపై, పై భాగం నుండి 1.3 m కింద ఉన్న బిందువు వద్ద ఎలక్ట్రీషియన్ మరమ్మతు చేయాలి. నిచ్చెన నేలతో 60° కోణం చేస్తూ ఆ బిందువు చేరాలి. నిచ్చెన పొడవు ఎంత? నిచ్చెన పాదాన్ని స్తంభం నుండి ఎంత దూరంలో ఉంచాలి? (√3 = 1.73)

పటం ఏర్పాటు: స్తంభం AD, చేరవలసిన బిందువు B. నిచ్చెన BC (కర్ణం), △BDC లో ∠D = 90°, ∠C = 60°.

• BD = AD − AB = 5 − 1.3 = 3.7 m (నేల నుండి B ఎత్తు).

నిచ్చెన పొడవు (కర్ణం)

• BD/BC = sin 60° ⇒ BC = 3.7 ÷ (√3/2) = 3.7 × 2/√3 = 4.28 m (సుమారు).

పాదం దూరం

• DC/BD = cot 60° = 1/√3 ⇒ DC = 3.7/√3 = 2.14 m (సుమారు). కాబట్టి నిచ్చెన పాదాన్ని స్తంభం నుండి 2.14 m దూరంలో ఉంచాలి.

సూత్రాలు

• నిచ్చెన పొడవు = ఎత్తు ÷ sin θ.
• పాదం దూరం = ఎత్తు ÷ tan θ (లేదా నిచ్చెన × cos θ).

సమస్య: 1.5 m ఎత్తు గల పరిశీలకురాలు పొగ గొట్టం (chimney) నుండి 28.5 m దూరంలో ఉంది. ఆమె కళ్ల నుండి గొట్టం పై భాగం ఉన్నతి కోణం 45°. గొట్టం ఎత్తు ఎంత?

పటం ఏర్పాటు: AB = పొగ గొట్టం, CD = పరిశీలకురాలు, ∠ADE = ఉన్నతి కోణం. △ADE లో ∠E = 90°.

• DE = CB = 28.5 m. AB = AE + BE = AE + 1.5.

సాధన

• tan 45° = AE/DE ⇒ 1 = AE/28.5 ⇒ AE = 28.5 m.
• గొట్టం ఎత్తు AB = 28.5 + 1.5 = 30 m.

ఎత్తు కొలిచే సమీకరణం: మొత్తం ఎత్తు = దూరం × tan θ + కంటి ఎత్తు.

సమస్య: నేలపై P బిందువు నుండి 10 m ఎత్తు భవనం పై భాగం ఉన్నతి కోణం 30°. భవనం పైన జెండా కర్ర ఉంది; జెండా కర్ర పై చివర ఉన్నతి కోణం (అదే P నుండి) 45°. జెండా కర్ర పొడవు, భవనానికి P నుండి దూరం కనుక్కోండి. (√3 = 1.732)

పటం ఏర్పాటు: AB = భవనం (10 m), BD = జెండా కర్ర (x), P = బిందువు. రెండు లంబ త్రిభుజాలు: PAB, PAD.

దూరం (△PAB)

• tan 30° = AB/AP ⇒ 1/√3 = 10/AP ⇒ AP = 10√3 = 17.32 m.

జెండా కర్ర (△PAD)

• BD = x అనుకుంటే AD = 10 + x.
• tan 45° = AD/AP ⇒ 1 = (10 + x)/(10√3) ⇒ x = 10√3 − 10 = 10(√3 − 1) = 7.32 m.

షార్ట్‌కట్: 45° వద్ద ఎత్తు = దూరం. కాబట్టి (భవనం + కర్ర) = AP = 10√3 ⇒ కర్ర = 10√3 − 10.

సమస్య: సమతల నేలపై ఉన్న టవర్ నీడ, సూర్యోన్నతి 30° ఉన్నప్పుడు, సూర్యోన్నతి 60° ఉన్నప్పటి కంటే 40 m ఎక్కువ. టవర్ ఎత్తు కనుక్కోండి.

పటం ఏర్పాటు: AB = టవర్ (h), BC = 60° వద్ద నీడ (x), BD = 30° వద్ద నీడ. సూర్యోన్నతి = నీడ చివర నుండి టవర్ పై భాగం ఉన్నతి కోణం. BD = BC + 40 = (x + 40).

సాధన

• △ABC లో tan 60° = AB/BC ⇒ √3 = h/x ... (1)
• △ABD లో tan 30° = AB/BD ⇒ 1/√3 = h/(x + 40) ... (2)
• (1) నుండి h = x√3. (2) లో ప్రతిక్షేపిస్తే x√3/√3 ... అంటే: x√3 × √3 = x + 40 ⇒ 3x = x + 40 ⇒ x = 20.
• h = 20√3 m (≈ 34.64 m).

సూచనలు

• "సూర్యోన్నతి" పెరిగితే నీడ తగ్గుతుంది
• 60° లో నీడ 20 m, 30° లో 60 m (= 20√3 × √3).
• సాధారణ సూత్రం: h (cot 30° − cot 60°) = 40 ⇒ h × 2/√3 = 40 ⇒ h = 20√3.

సమస్య: బహుళ అంతస్తుల భవనం పై నుండి, 8 m ఎత్తు భవనం పై భాగం, అడుగు భాగాల నిమ్న కోణాలు వరుసగా 30°, 45°. బహుళ అంతస్తుల భవనం ఎత్తు, రెండు భవనాల మధ్య దూరం కనుక్కోండి.

పటం ఏర్పాటు: PC = పెద్ద భవనం, AB = 8 m భవనం. P నుండి క్షితిజ రేఖ PQ. PB ఛేదక రేఖ, PQ ∥ BD కాబట్టి ∠QPB = ∠PBD = 30° (ఏకాంతర కోణాలు). అలాగే ∠PAC = 45°.

సాధన

• △PBD లో: PD/BD = tan 30° = 1/√3 ⇒ BD = PD√3.
• △PAC లో: PC/AC = tan 45° = 1 ⇒ PC = AC.
• PC = PD + DC
• AC = BD, DC = AB = 8 m (ఎందుకంటే ABDC దీర్ఘచతురస్రం).
• కాబట్టి PD + 8 = BD = PD√3 ⇒ PD(√3 − 1) = 8 ⇒ PD = 8/(√3 − 1) = 4(√3 + 1) m.
• భవనం ఎత్తు PC = PD + 8 = 4(√3 + 1) + 8 = 4(3 + √3) m (= 4√3 + 12 ≈ 18.93 m, √3 = 1.732 తో).
• రెండు భవనాల మధ్య దూరం AC = PC = 4(3 + √3) m.

సమస్య: నదిపై వంతెన మీది ఒక బిందువు నుండి, నది ఎదురెదురు ఒడ్డుల నిమ్న కోణాలు వరుసగా 30°, 45°. వంతెన ఒడ్డు కన్నా 3 m ఎత్తులో ఉంది. నది వెడల్పు ఎంత?

పటం ఏర్పాటు: A, B = ఎదురెదురు ఒడ్డుల బిందువులు, AB = నది వెడల్పు. P = వంతెన మీది బిందువు, DP = 3 m (D = P కింద ఒడ్డు మట్టంలో బిందువు, AB పై). AB = AD + DB.

సాధన

• లంబ △APD లో ∠A = 30°: tan 30° = PD/AD ⇒ 1/√3 = 3/AD ⇒ AD = 3√3 m.
• లంబ △PBD లో ∠B = 45°: BD = PD = 3 m.
• AB = BD + AD = 3 + 3√3 = 3(1 + √3) m (≈ 8.196 m).

ఈ లెక్కల్లో ఒక్క లంబ కోణ త్రిభుజమే ఏర్పడుతుంది. పద్ధతి: పటం → నిష్పత్తి → సాధన.

Q1: సర్కస్ తాడు: 20 m తాడు నేలతో 30° చేస్తూ కర్ర పైభాగం నుండి నేలకు బిగించారు. కర్ర ఎత్తు?

• sin 30° = h/20 ⇒ h = 20 × 1/2 = 10 m.

Q2: విరిగిన చెట్టు: తుఫానుకు చెట్టు విరిగి, విరిగిన భాగం పై చివర నేలను తాకి నేలతో 30° చేస్తోంది. చెట్టు పాదం నుండి ఆ బిందువుకు దూరం 8 m. చెట్టు మొత్తం ఎత్తు?

• నిలబడి ఉన్న భాగం x: tan 30° = x/8 ⇒ x = 8/√3.
• విరిగిన భాగం y (కర్ణం): cos 30° = 8/y ⇒ y = 16/√3.
• మొత్తం ఎత్తు = x + y = 24/√3 = 8√3 m (≈ 13.86 m).

Q3: జారుడు బండలు (Slides): 5 ఏళ్ల లోపు పిల్లలకు: ఎత్తు 1.5 m, కోణం 30°; పెద్దలకు: ఎత్తు 3 m, కోణం 60°. పొడవులు?

• చిన్నవాళ్లకు: sin 30° = 1.5/L ⇒ L = 1.5 ÷ 0.5 = 3 m.
• పెద్దలకు: sin 60° = 3/L ⇒ L = 3 × 2/√3 = 2√3 m (≈ 3.46 m).

Q4: టవర్: పాదం నుండి 30 m దూరం, ఉన్నతి 30° ⇒ ఎత్తు = 30 tan 30° = 30/√3 = 10√3 m (≈ 17.32 m).

Q5: గాలిపటం (Kite): 60 m ఎత్తులో గాలిపటం, దారం నేలతో 60° కోణం (slack లేదు). దారం పొడవు?

• sin 60° = 60/L ⇒ L = 60 × 2/√3 = 120/√3 = 40√3 m (≈ 69.28 m).

ఇక్కడ పరిశీలకుడు కదులుతాడు, లేదా రెండు బిందువుల నుండి కోణాలు ఇస్తారు. టవర్ ఎత్తు రెండు త్రిభుజాలకూ ఒకటే.

Q6: పిల్లవాడు భవనం వైపు నడవడం: 1.5 m బాలుడు, 30 m భవనం. ఉన్నతి 30° నుండి 60° అయింది. నడిచిన దూరం?

• కంటి పైన ఎత్తు = 30 − 1.5 = 28.5 m.
• మొదటి దూరం = 28.5 cot 30° = 28.5√3
• తర్వాత = 28.5 cot 60° = 28.5/√3.
• నడక = 28.5(√3 − 1/√3) = 28.5 × 2/√3 = 19√3 m (≈ 32.91 m).

Q10: రోడ్డు ఇరువైపులా సమాన స్తంభాలు: రోడ్డు వెడల్పు 80 m. రెండు స్తంభాల మధ్య ఒక బిందువు నుండి ఉన్నతి కోణాలు 60°, 30°.

• ఎత్తు h
• దూరాలు x (60° వైపు), y (30° వైపు): x + y = 80.
• h = x tan 60° = y tan 30° ⇒ x√3 = y/√3 ⇒ y = 3x.
• 4x = 80 ⇒ x = 20, y = 60
• ఎత్తు h = 20√3 = 34.64 m. దూరాలు 20 m, 60 m.

Q11: కాలువ ఒడ్డున TV టవర్: ఎదురొడ్డు బిందువు నుండి ఉన్నతి 60°; అదే రేఖపై 20 m వెనుక బిందువు నుండి 30°.

• h = x tan 60° = (x + 20) tan 30° ⇒ 3x = x + 20 ⇒ x = 10.
• కాలువ వెడల్పు = 10 m
• టవర్ ఎత్తు = 10√3 m (≈ 17.32 m).

Q13: లైట్‌హౌస్ – రెండు ఓడలు: 75 m ఎత్తు లైట్‌హౌస్ పై నుండి ఒకే వైపు రెండు ఓడల నిమ్న కోణాలు 30°, 45°.

• దూరాలు: 75 cot 30° = 75√3, 75 cot 45° = 75.
• ఓడల మధ్య దూరం = 75(√3 − 1) = 54.9 m (≈, √3 = 1.732).

Q14: బెలూన్: కంటి ఎత్తు 1.2 m, బెలూన్ ఎత్తు 88.2 m; ఉన్నతి 60° నుండి 30°కు తగ్గింది.

• కంటి మట్టానికి పైన ఎత్తు = 88.2 − 1.2 = 87 m.
• క్షితిజ దూరాలు:
  1. 87 cot 60° = 29√3
  2. 87 cot 30° = 87√3.
• బెలూన్ ప్రయాణం = 87√3 − 29√3 = 58√3 m (≈ 100.46 m).

Q15: టవర్ నుండి కారు: టవర్ పై నుండి కారు నిమ్న కోణం 30°; ఏకరీతి వేగంతో టవర్ వైపు వస్తోంది; 6 సెకన్ల తర్వాత 60°. టవర్ పాదం చేరడానికి పట్టే సమయం?

• 30° వద్ద దూరం = h√3
• 60° వద్ద దూరం = h/√3. 6 సెకన్లలో ప్రయాణించిన దూరం = h√3 − h/√3 = 2h/√3.
• మిగిలిన దూరం h/√3 = (ప్రయాణించినదానిలో సగం) ⇒ మిగిలిన సమయం = 6/2 = 3 సెకన్లు.

ఇక్కడ ఒకే బిందువు నుండి రెండు ఎత్తుల కోణాలు, లేదా భవనం పైన నుండి టవర్ పాదం, శిఖరం కోణాలు ఇస్తారు.

Q7: భవనంపై ట్రాన్స్‌మిషన్ టవర్: 20 m భవనం పైన టవర్. నేలపై బిందువు నుండి భవనం పై (టవర్ అడుగు) ఉన్నతి 45°, టవర్ పై భాగం 60°.

• భూమి దూరం = 20 (45° లో ఎత్తు = దూరం). మొత్తం ఎత్తు = 20 tan 60° = 20√3.
• టవర్ ఎత్తు = 20√3 − 20 = 20(√3 − 1) m (≈ 14.64 m).

Q8: పీఠంపై విగ్రహం: విగ్రహం 1.6 m. పీఠం పైభాగం ఉన్నతి 45°, విగ్రహం పైభాగం 60°. పీఠం ఎత్తు h?

• దూరం = h (45°). h + 1.6 = h√3 ⇒ h = 1.6/(√3 − 1) = 0.8(√3 + 1) = ≈ 2.19 m.

Q9: టవర్ పాదం – భవనం పాదం: టవర్ పాదం నుండి భవనం పై భాగం ఉన్నతి 30°; భవనం పాదం నుండి టవర్ పై భాగం ఉన్నతి 60°; టవర్ 50 m. భవనం ఎత్తు?

• టవర్–భవనం మధ్య దూరం d: 50 = d tan 60° ⇒ d = 50/√3.
• భవనం ఎత్తు = d tan 30° = (50/√3)(1/√3) = 50/3 m (≈ 16.67 m).

Q12: భవనం పై నుండి కేబుల్ టవర్: భవనం 7 m. భవనం పై నుండి టవర్ పై ఉన్నతి 60°, టవర్ పాదం నిమ్న కోణం 45°.

• 45° నిమ్న కోణం ⇒ దూరం = 7 m (భవనం ఎత్తుకు సమానం).
• టవర్ లో భవనం పైన భాగం = 7 tan 60° = 7√3.
• టవర్ ఎత్తు = 7 + 7√3 = 7(1 + √3) m (≈ 19.12 m).

పాఠ్యపుస్తక పద్ధతికే ఇవి సంక్షిప్త రూపాలు – పోటీ పరీక్షల్లో సమయం ఆదా చేస్తాయి (అన్నీ పై ఉదాహరణలు, లెక్కల నుండి ఉత్పన్నం).

ప్రాథమిక సూత్రాలు

• ఎత్తు = దూరం × tan θ
• దూరం = ఎత్తు × cot θ (= ఎత్తు/tan θ).
• కర్ణం (నిచ్చెన, తాడు) = ఎత్తు ÷ sin θ = దూరం ÷ cos θ.
• 45° వద్ద ఎత్తు = దూరం
• 30° వద్ద దూరం = ఎత్తు × √3
• 60° వద్ద దూరం = ఎత్తు ÷ √3.

రెండు పరిశీలనల సూత్రాలు (ఒకే వైపు, దూరం s)

• h(cot α − cot β) = s, α < β
• 30° → 60°: h = (√3/2) s. ఉదా: s = 10 ⇒ h = 5√3
• 30° → 45°: h = s/(√3 − 1) = s(√3 + 1)/2. ఉదా: s = 20 ⇒ h = 10(√3 + 1)
• 45° → 60°: h = s/(1 − 1/√3) = s(3 + √3)/2

వ్యతిరేక వైపులు / రెండు ఒడ్డులు

• ఎత్తు h, కోణాలు α, β (రెండు వైపులా):
  1. మొత్తం దూరం = h(cot α + cot β). ఉదా: 30°, 45° ⇒ h(√3 + 1)
  2. 30°, 60° ⇒ h × 4/√3.
• సమాన ఎత్తు రెండు స్తంభాలు (మధ్య బిందువు నుండి కోణాలు 60°, 30°): దూరాల నిష్పత్తి 1 : 3.

నిమ్న కోణాల సమస్యలు (చిన్న భవనం ఎత్తు b)

• దూరం d = b ÷ (tan β − tan α) (β = అడుగు భాగం కోణం, α = పై భాగం కోణం).

విరిగిన చెట్టు (కోణం θ, నేల దూరం d)

• మొత్తం ఎత్తు = d(tan θ + sec θ). θ = 30° ⇒ d√3
• θ = 60° ⇒ d(√3 + 2).

అధ్యాయ సారాంశం (పాఠ్యపుస్తకం)

1. (i) దృష్టి రేఖ: పరిశీలకుడి కన్ను నుండి చూస్తున్న వస్తువు మీది బిందువుకు గీసిన రేఖ.
2. ఉన్నతి కోణం: బిందువు క్షితిజ మట్టం కంటే పైన ఉన్నప్పుడు (తల పైకెత్తితే) దృష్టి రేఖ క్షితిజంతో చేసే కోణం.
3. నిమ్న కోణం: బిందువు క్షితిజ మట్టం కంటే కింద ఉన్నప్పుడు (తల దించితే) దృష్టి రేఖ క్షితిజంతో చేసే కోణం.
4. వస్తువు ఎత్తు, పొడవు, లేదా రెండు దూర వస్తువుల మధ్య దూరాన్ని త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల సహాయంతో కనుక్కోవచ్చు.

సాధారణ పొరపాట్లు

• నిమ్న కోణాన్ని నిలువు రేఖ నుండి కొలవడం (క్షితిజ రేఖ నుండే కొలవాలి).
• కంటి ఎత్తు కలపడం మర్చిపోవడం, లేదా కంటి మట్టం నుండి లెక్కించాల్సిన చోట మొత్తం ఎత్తు వాడటం (ఉదా: Q14 లో 88.2 − 1.2).
• రెండు పరిశీలనల్లో కదిలిన దూరం అడిగినప్పుడు తీసివేత/కూడిక తప్పుగా ఎంచుకోవడం.
• నిమ్న కోణాన్ని పై బిందువు వద్ద ఉపయోగించి త్రిభుజంలో కోణం తప్పుగా పెట్టడం – ఏకాంతర కోణం చేసుకుని కింద బిందువు వద్ద వాడండి.
• √3 విలువ ఇవ్వకుండా సరళీకరించి అడిగితే √ రూపంలో (15√3 వంటివి) ఇవ్వండి
• అంకెల్లో అడిగితేనే 1.732 వాడండి.