వాస్తవ సంఖ్యలు (Real Numbers)

9వ తరగతిలో వాస్తవ సంఖ్యలు (Real Numbers), అకరణీయం కాని సంఖ్యలు (Irrational Numbers) పరిచయమయ్యాయి. ఈ అధ్యాయం వాటిని కొనసాగిస్తూ ధన పూర్ణాంకాల రెండు ముఖ్య ధర్మాలతో మొదలవుతుంది.

అధ్యాయంలో ఉన్న అంశాలు

• యూక్లిడ్ భాగహార శాస్త్రం (Euclid's Division Algorithm): ఏ ధన పూర్ణాంకం a నైనా మరో ధన పూర్ణాంకం b తో భాగిస్తే, b కంటే చిన్న శేషం r వస్తుంది (a = bq + r, 0 ≤ r < b). ఇది మనం వాడే సాధారణ భాగహారమే. దీని ప్రధాన ఉపయోగం రెండు ధన పూర్ణాంకాల HCF కనుగొనడం.
• అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం (Fundamental Theorem of Arithmetic): ఇది ధన పూర్ణాంకాల గుణకారానికి సంబంధించినది – ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా ఒకే విధంగా రాయవచ్చు.
• ఈ సిద్ధాంతానికి రెండు ప్రధాన అనువర్తనాలు: (1) √2, √3, √5 వంటి సంఖ్యలు అకరణీయం కావని నిరూపించడం
• (2) p/q (q ≠ 0) అకరణీయ సంఖ్య దశాంశ రూపం అంతమయ్యేదా (terminating) లేక అంతంకాని ఆవర్తనమా (non-terminating repeating) అనేది హారం q ప్రధాన కారణాంకాల ఆధారంగా తేల్చడం.

ఈ నోట్స్ క్రమం: అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం → 4ⁿ, 6ⁿ వంటి ఉదాహరణలు → ప్రధాన కారణాంక పద్ధతిలో HCF, LCM → HCF × LCM సంబంధం → LCM పదసమస్యలు → అకరణీయం కాని సంఖ్యల నిరూపణలు.

సిద్ధాంతం 1.1: ప్రతి సంయుక్త సంఖ్య (composite number)ను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయవచ్చు. ఈ విభజన ఏకైకం (unique) – కారణాంకాల క్రమం మాత్రమే మారవచ్చు.

భావన

• ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం (infinitely many). వాటిని అన్ని విధాలా గుణిస్తే వచ్చే సంఖ్యల సమితిలో అన్ని సంయుక్త సంఖ్యలు ఉంటాయి.
• ఉదా: 2×3×5×7 = 3×5×7×2 – రెండూ ఒకే విభజనగా పరిగణిస్తాం.
• కారణాంకాలను ఆరోహణ క్రమంలో (p₁ ≤ p₂ ≤ … ≤ pₙ) రాస్తే, x = p₁p₂…pₙ విభజన నిజంగా ఏకైకం. సమాన ప్రధాన కారణాంకాలను కలిపితే ఘాతాలు (powers) వస్తాయి.

కారణాంక వృక్షం (Factor Tree) – 32760

• 32760 = 2×2×2×3×3×5×7×13 = 2³ × 3² × 5 × 7 × 13.
• 123456789 = 3² × 3803 × 3607 (3803, 3607 ప్రధాన సంఖ్యలని పరీక్షించాలి అని పుస్తకం చెబుతుంది).
• ఇతర ఉదాహరణలు: 2 = 2, 4 = 2×2, 253 = 11×23. 7×11×23 = 1771, 3×7×11×23 = 5313, 2×3×7×11×23 = 10626, 2³×3×7³ = 8232, 2²×3×7×11×23 = 21252.

చారిత్రక సమాచారం

• ఈ సిద్ధాంతానికి సమానమైన రూపం మొదట యూక్లిడ్ "ఎలిమెంట్స్" (Elements) లోని Book IX, Proposition 14 గా నమోదైంది.
• మొదటి సరైన నిరూపణ ఇచ్చినవారు కార్ల్ ఫ్రెడరిక్ గాస్ (Carl Friedrich Gauss, 1777–1855) – తన "Disquisitiones Arithmeticae" లో. గాస్‌ను "గణిత శాస్త్రవేత్తల రాజు (Prince of Mathematicians)" అంటారు
• ఆర్కిమెడిస్, న్యూటన్‌లతో పాటు ఎప్పటికీ ముగ్గురు గొప్ప గణిత శాస్త్రవేత్తలలో ఒకరిగా పరిగణిస్తారు.

ఉదాహరణ 1: ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కి 4ⁿ చివరి అంకం 0 అవుతుందా?

• 4ⁿ చివరి అంకం 0 అయితే అది 5 తో భాగించబడాలి, అంటే 4ⁿ ప్రధాన కారణాంకాల్లో 5 ఉండాలి.
• కానీ 4ⁿ = (2)²ⁿ
• అందులో ఉన్న ప్రధాన సంఖ్య 2 మాత్రమే. ఏకైకత వల్ల వేరే ప్రధాన సంఖ్యలు ఉండవు.
• కాబట్టి ఏ n కీ 4ⁿ చివరి అంకం 0 కాదు.

అభ్యాసం 1.1 – ప్రశ్న 5: 6ⁿ చివర 0 ఉంటుందా? 6ⁿ = (2×3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ; ఇందులో 5 లేదు కాబట్టి ఉండదు.

షార్ట్‌కట్: ఒక సంఖ్య ఘాతాల చివర 0 రావాలంటే ప్రధాన కారణాంకాల్లో 2 మరియు 5 రెండూ ఉండాలి (10 = 2×5). ఏదైనా ఒకటి లేకపోతే ఎన్ని ఘాతాలు తీసుకున్నా 0 రాదు. ఉదా: 4ⁿ, 6ⁿ లో 5 లేదు.

అభ్యాసం 1.1 – ప్రశ్న 6: ఈ సంఖ్యలు సంయుక్త సంఖ్యలని వివరించండి.

• 7×11×13 + 13 = 13 × (7×11 + 1) = 13 × 78 = 1014. 13 మరియు 78 రెండూ 1 కంటే పెద్ద కారణాంకాలు → సంయుక్తం.
• 7×6×5×4×3×2×1 + 5 = 5 × (7×6×4×3×2×1 + 1) = 5 × 1009 = 5045. 5, 1009 – రెండు కారణాంకాలు 1 కంటే పెద్దవి → సంయుక్తం.
• పద్ధతి: రెండు పదాల్లో ఉన్న ఉమ్మడి కారణాంకాన్ని బయటకు తీయండి.

అభ్యాసం 1.1 – ప్రశ్న 1: ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధాలు

• 140 = 2² × 5 × 7
• 156 = 2² × 3 × 13
• 3825 = 3² × 5² × 17
• 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
• 7429 = 17 × 19 × 23

పద్ధతి (Prime Factorisation Method)

• HCF = ప్రతి ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకం యొక్క కనిష్ఠ ఘాతం (smallest power) ల లబ్ధం.
• LCM = సంఖ్యల్లో ఉన్న ప్రతి ప్రధాన కారణాంకం యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం (greatest power) ల లబ్ధం.

ఉదాహరణ 2: 6 మరియు 20 – 6 = 2¹×3¹, 20 = 2²×5¹.

• HCF = 2¹ = 2
• LCM = 2²×3¹×5¹ = 60.

ఉదాహరణ 3: 96, 404 – 96 = 2⁵×3, 404 = 2²×101.

• HCF = 2² = 4
• LCM = (96×404)/4 = 9696.

ఉదాహరణ 4: 6, 72, 120 – 6 = 2×3, 72 = 2³×3², 120 = 2³×3×5.

• HCF = 2¹×3¹ = 6 (2, 3 లకు కనిష్ఠ ఘాతాలు 2¹, 3¹
• 5 ఉమ్మడి కాదు).
• LCM = 2³×3²×5¹ = 360.
• వ్యాఖ్య (Remark): 6×72×120 ≠ HCF × LCM. అంటే మూడు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి HCF, LCM ల లబ్ధానికి సమానం కాదు.

అభ్యాసం 1.1 – ప్రశ్న 3 (మూడు సంఖ్యలు)

• 12, 15, 21: 12 = 2²×3, 15 = 3×5, 21 = 3×7 → HCF = 3, LCM = 2²×3×5×7 = 420.
• 17, 23, 29 (మూడూ ప్రధాన సంఖ్యలు): HCF = 1, LCM = 17×23×29 = 11339.
• 8, 9, 25: 2³, 3², 5² → HCF = 1, LCM = 8×9×25 = 1800.

ఫలితం: రెండు ధన పూర్ణాంకాలు a, b కి HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b.

ఉపయోగం: HCF తెలిసినప్పుడు LCM = (a × b) / HCF(a, b). (లేదా LCM తెలిసినప్పుడు HCF.)

ధృవీకరణ ఉదాహరణలు

• (6, 20): HCF 2 × LCM 60 = 120 = 6×20 ✓
• (96, 404): 4 × 9696 = 38784 = 96×404 ✓
• అభ్యాసం 1.1 – ప్రశ్న 4: HCF(306, 657) = 9 అయితే LCM = (306×657)/9 = 22338.

అభ్యాసం 1.1 – ప్రశ్న 2 (LCM, HCF కనుగొని సంబంధాన్ని ధృవీకరించండి)

• 26, 91:
  1. 26 = 2×13, 91 = 7×13 → HCF = 13, LCM = 182
  2. 13×182 = 2366 = 26×91 ✓
• 510, 92:
  1. 510 = 2×3×5×17, 92 = 2²×23 → HCF = 2, LCM = 23460
  2. 2×23460 = 46920 = 510×92 ✓
• 336, 54:
  1. 336 = 2⁴×3×7, 54 = 2×3³ → HCF = 6, LCM = 2⁴×3³×7 = 3024
  2. 6×3024 = 18144 = 336×54 ✓

మూడు సంఖ్యల కోసం ("ఒక గమనిక" – A Note to the Reader)

• HCF(p,q,r) × LCM(p,q,r) ≠ p×q×r. కానీ క్రింది సూత్రాలు సరైనవి:
• LCM(p,q,r) = p·q·r · HCF(p,q,r) / [HCF(p,q) · HCF(q,r) · HCF(p,r)]
• HCF(p,q,r) = p·q·r · LCM(p,q,r) / [LCM(p,q) · LCM(q,r) · LCM(p,r)]
• ఉదా (6, 72, 120): LCM = 6·72·120·6 / (6·24·6) = 51840·6/864 = 360 ✓

అభ్యాసం 1.1 – ప్రశ్న 7: ఒక స్పోర్ట్స్ మైదానం చుట్టూ వృత్తాకార దారి ఉంది. సోనియా ఒక చుట్టు తిరగడానికి 18 నిమిషాలు, రవి 12 నిమిషాలు తీసుకుంటారు.

ఇద్దరూ ఒకే చోట, ఒకే సమయంలో, ఒకే దిశలో మొదలుపెడితే మళ్లీ ప్రారంభ స్థానంలో ఎన్ని నిమిషాలకు కలుస్తారు?

సాధన

• 18 = 2×3², 12 = 2²×3.
• LCM = 2²×3² = 36. కాబట్టి 36 నిమిషాల తర్వాత కలుస్తారు.
• అప్పటికి సోనియా 36/18 = 2 చుట్లు, రవి 36/12 = 3 చుట్లు పూర్తి చేస్తారు.

పద సమస్యల గుర్తింపు సూచనలు

• "మళ్లీ ఒకే సమయంలో/ఒకే చోట కలుస్తారు", "గంటలు కలిసి మోగుతాయి", "ఒకేసారి వెలుగుతాయి" → LCM.
• "అతి పెద్ద కొలత/సమాన భాగాలు/గరిష్ఠ సంఖ్యలో సమూహాలు" → HCF.
• "n సంఖ్యలతో భాగిస్తే ప్రతిసారీ శేషం r" రకంలో → LCM + r (ఉదా: 12, 15, 21 లతో భాగించి ప్రతిసారీ శేషం 5 వచ్చే చిన్న సంఖ్య = 420 + 5 = 425).

నిర్వచనం: p/q రూపంలో రాయలేని సంఖ్య s ని అకరణీయం కాని సంఖ్య (irrational number) అంటారు (p, q పూర్ణాంకాలు, q ≠ 0).

పుస్తకంలోని ఉదాహరణలు: √2, √3, √15, π, 0.10110111011110… (అంతం లేని, ఆవర్తనం కాని దశాంశం).

9వ తరగతి నుంచి గుర్తుంచుకోవలసిన నియమాలు

• అకరణీయ సంఖ్య ± అకరణీయం కాని సంఖ్య = అకరణీయం కాని సంఖ్య.
• శూన్యేతర అకరణీయ సంఖ్య × లేదా ÷ అకరణీయం కాని సంఖ్య = అకరణీయం కాని సంఖ్య.
• అకరణీయ సంఖ్యలు + అకరణీయం కాని సంఖ్యలు = వాస్తవ సంఖ్యలు (real numbers). సంఖ్యా రేఖపై అన్నింటినీ గుర్తించవచ్చు.

ఈ అధ్యాయంలో లక్ష్యం: √2, √3, √5 మరియు సాధారణంగా √p (p ప్రధాన సంఖ్య) అకరణీయం కాదని నిరూపించడం. దీనికి అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం ఆధారం.

నిరూపణ పద్ధతి: విరోధం ద్వారా నిరూపణ (Proof by Contradiction) – "సంఖ్య అకరణీయం" అని ఊహించి, తార్కికంగా విరుద్ధ ఫలితం వస్తుందని చూపడం.

సిద్ధాంతం 1.2: p ఒక ప్రధాన సంఖ్య. p, a² ని భాగిస్తే (a ధన పూర్ణాంకం) p, a ని కూడా భాగిస్తుంది.

నిరూపణ (పుస్తకంలో * గుర్తు – "పరీక్ష దృష్ట్యా కాదు")

• a = p₁p₂…pₙ (ప్రధాన కారణాంకాలు, ఒకే విలువలు ఉండవచ్చు) అనుకోండి.
• a² = (p₁p₂…pₙ)(p₁p₂…pₙ) = p₁²p₂²…pₙ².
• p, a² ని భాగిస్తుంది కాబట్టి అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం ప్రకారం p, a² యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల్లో ఒకటి.
• ఏకైకత ప్రకారం a² యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు p₁, p₂, …, pₙ మాత్రమే. కాబట్టి p అనేది వాటిలో ఒకటి.
• a = p₁p₂…pₙ కాబట్టి p, a ని భాగిస్తుంది. ∎

ముఖ్య గమనిక

• ఈ సిద్ధాంతం ప్రధాన సంఖ్య p కి మాత్రమే వర్తిస్తుంది. సంయుక్త సంఖ్యకు కాదు: 4, 36 ని భాగిస్తుంది కానీ 6 ని కాదు.
• ఈ ఫలితం √2, √3, √p నిరూపణల్లో కీలకం.
• పుస్తకంలో √2 నిరూపణ ఈ సిద్ధాంతాన్ని "Theorem 1.3" గా సూచిస్తుంది – ఇది ముద్రణ లోపం
• సరైనది Theorem 1.2.

నిరూపణ (విరోధం ద్వారా)

1. √2 అకరణీయం అనుకోండి. కాబట్టి √2 = r/s (r, s పూర్ణాంకాలు, s ≠ 0).
2. r, s లకు 1 కాకుండా ఉమ్మడి కారణాంకం ఉంటే దానితో భాగించి √2 = a/b, a, b సహప్రధానాలు (coprime) అని తీసుకోవచ్చు.
3. b√2 = a. ఇరువైపులా వర్గం చేస్తే 2b² = a². కాబట్టి 2, a² ని భాగిస్తుంది.
4. సిద్ధాంతం 1.2 ప్రకారం 2, a ని భాగిస్తుంది. కాబట్టి a = 2c (c పూర్ణాంకం).
5. ప్రతిక్షేపిస్తే 2b² = 4c² ⇒ b² = 2c². కాబట్టి 2, b² ని భాగిస్తుంది ⇒ 2, b ని భాగిస్తుంది (p = 2 తో మళ్లీ సిద్ధాంతం 1.2).
6. అంటే a, b లకు కనీసం 2 ఉమ్మడి కారణాంకం ఉంది. ఇది a, b సహప్రధానాలనే వాస్తవానికి విరుద్ధం.
7. ఈ విరోధం "√2 అకరణీయం" అనే మన తప్పు ఊహ వల్ల వచ్చింది. కాబట్టి √2 అకరణీయం కాదు. ∎

నిరూపణ నిర్మాణం (పరీక్షలో రాయవలసిన క్రమం)

• ఊహ → సహప్రధాన a, b → వర్గం చేసి 2b² = a² → 2 | a → a = 2c → 2 | b → విరోధం → ముగింపు.

నిరూపణ

1. √3 అకరణీయం అనుకోండి: √3 = a/b, a, b సహప్రధానాలు, b ≠ 0.
2. b√3 = a ⇒ వర్గం చేసి 3b² = a². కాబట్టి a², 3 తో భాగించబడుతుంది ⇒ సిద్ధాంతం 1.2 ప్రకారం a కూడా 3 తో భాగించబడుతుంది.
3. a = 3c. ప్రతిక్షేపిస్తే 3b² = 9c² ⇒ b² = 3c².
4. కాబట్టి b² 3 తో భాగించబడుతుంది ⇒ b కూడా 3 తో భాగించబడుతుంది (సిద్ధాంతం 1.2, p = 3).
5. అంటే a, b లకు కనీసం 3 ఉమ్మడి కారణాంకం ⇒ a, b సహప్రధానాలు అనే వాస్తవానికి విరుద్ధం.
6. కాబట్టి √3 అకరణీయం కాదు. ∎

సాధారణీకరణ

• ఇదే విధంగా ఏ ప్రధాన సంఖ్య p కైనా √p అకరణీయం కాదు (p = 2 → a = 2c, p = 3 → a = 3c, p = 5 → a = 5c…).
• అభ్యాసం 1.2 – ప్రశ్న 1: √5 అకరణీయం కాదని నిరూపించండి → √5 = a/b, 5b² = a², 5 | a, a = 5c, b² = 5c², 5 | b → విరోధం.

ఉదాహరణ 6: 5 − √3 అకరణీయం కాదు

• అకరణీయం అనుకోండి: 5 − √3 = a/b (a, b సహప్రధానాలు, b ≠ 0).
• √3 = 5 − a/b = (5b − a)/b.
• a, b పూర్ణాంకాలు కాబట్టి (5b − a)/b అకరణీయం ⇒ √3 అకరణీయం. కానీ √3 అకరణీయం కాదు ⇒ విరోధం ⇒ 5 − √3 అకరణీయం కాదు.

ఉదాహరణ 7: 3√2 అకరణీయం కాదు

• 3√2 = a/b అనుకోండి ⇒ √2 = a/(3b).
• 3, a, b పూర్ణాంకాలు కాబట్టి a/(3b) అకరణీయం ⇒ √2 అకరణీయం – ఇది √2 అకరణీయం కాదనే వాస్తవానికి విరుద్ధం.

అభ్యాసం 1.2 – సాధనల మార్గదర్శి (అన్నీ ఒకే పద్ధతి)

• 2. 3 + 2√5: 3 + 2√5 = a/b ⇒ √5 = (a − 3b)/(2b) అకరణీయం ⇒ విరోధం (√5 అకరణీయం కాదు అని Q1 లో నిరూపించాం).
• 3(i). 1/√2: 1/√2 = a/b ⇒ √2 = b/a అకరణీయం ⇒ విరోధం.
• 3(ii). 7√5: 7√5 = a/b ⇒ √5 = a/(7b) అకరణీయం ⇒ విరోధం.
• 3(iii). 6 + √2: 6 + √2 = a/b ⇒ √2 = (a − 6b)/b అకరణీయం ⇒ విరోధం.

సాధారణ టెంప్లేట్: ఇచ్చిన సంఖ్య = a/b అనుకోండి → √ భాగాన్ని ఒంటరిగా (isolate) చేయండి → కుడివైపు a, b ల అకరణీయ రూపం వస్తుంది → తెలిసిన అకరణీయం కాని సంఖ్యకు విరుద్ధం.

సారాంశం (Summary)

1. అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం: ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా ఏకైక విధంగా (క్రమం తప్ప) రాయవచ్చు.
2. p ప్రధానం మరియు p | a² అయితే p | a.
3. √2, √3 (మరియు √5) అకరణీయం కావని నిరూపణ.

ముఖ్య సూత్రాలు

• భాగహార శాస్త్రం: a = bq + r, 0 ≤ r < b
• HCF = ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం
• LCM = అన్ని ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం
• HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b (రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే)
• LCM(p,q,r) = pqr·HCF(p,q,r) / [HCF(p,q)·HCF(q,r)·HCF(p,r)]

త్వరిత పునశ్చరణ పట్టిక

• 32760 = 2³×3²×5×7×13 • 140 = 2²×5×7 • 156 = 2²×3×13 • 3825 = 3²×5²×17 • 5005 = 5×7×11×13 • 7429 = 17×19×23
• HCF/LCM: (6,20) = 2/60 • (96,404) = 4/9696 • (6,72,120) = 6/360 • (26,91) = 13/182 • (510,92) = 2/23460 • (336,54) = 6/3024 • (12,15,21) = 3/420 • (17,23,29) = 1/11339 • (8,9,25) = 1/1800 • LCM(306,657) = 22338
• 7×11×13+13 = 1014 = 13×78 • 7×6×5×4×3×2×1+5 = 5045 = 5×1009 • సోనియా–రవి: 36 నిమిషాలు

పాఠ్యపుస్తకంలోని ముద్రణ లోపాలు / అస్పష్టతలు (Errata)

• √2 నిరూపణలో "Theorem 1.3" అని ఉన్న సూచన నిజానికి Theorem 1.2
• గాస్ గురించిన బాక్స్‌లో "Theorem 1.2" అని ఉంది, కానీ అది Theorem 1.1 (అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం).
• "Example 8" సూచన నిజానికి ఉదాహరణ 4 ను సూచిస్తుంది.
• ఈ అధ్యాయంలో యూక్లిడ్ భాగహార శాస్త్రం, p/q దశాంశ రూపాలు పరిచయంలో మాత్రమే ప్రస్తావించబడ్డాయి
• వివరణాత్మక విభాగాలు లేవు.