సాంఖ్యక శాస్త్రం (Statistics)

9వ తరగతిలో దత్తాంశాన్ని (data) అవర్గీకృత (ungrouped), వర్గీకృత (grouped) ఆవృత్తి విభాజనాలుగా (frequency distribution) విభజించడం, బార్ గ్రాఫ్‌లు, హిస్టోగ్రామ్‌లు, ఆవృత్తి బహుభుజి (frequency polygon) గీయడం నేర్చుకున్నాం.

అలాగే కేంద్రీయ ప్రవృత్తి కొలమానాలు (Measures of Central Tendency) – సగటు (Mean), మధ్యగతం (Median), బాహుళకం (Mode) – అవర్గీకృత దత్తాంశానికి తెలుసుకున్నాం. ఈ అధ్యాయంలో ఆ మూడింటినీ వర్గీకృత దత్తాంశానికి విస్తరిస్తాం.

అదనంగా సంచిత ఆవృత్తి (Cumulative Frequency), సంచిత ఆవృత్తి వక్రాలు – ఓజీవ్‌లు (Ogives) – ను చూస్తాం.

అవర్గీకృత vs వర్గీకృత

• అవర్గీకృతం: ప్రతి పరిశీలన విలువ (x) దానికి ఆవృత్తి (f) తో ఇవ్వబడుతుంది. ఉదా: మార్కులు 10, 20, 36... ఆవృత్తులు 1, 1, 3...
• వర్గీకృతం: పరిశీలనలను తరగతి అంతరాల (class intervals) లో ఉంచుతారు. ఉదా: 10–25, 25–40...
• వాస్తవ జీవితంలో దత్తాంశం చాలా పెద్దదిగా ఉంటుంది కాబట్టి దాన్ని వర్గీకృతం చేసి అధ్యయనం చేస్తారు.

తరగతి హద్దుల నియమం (Class limit convention)

• ఒక తరగతి ఎగువ హద్దు (upper limit) విలువ తరువాతి తరగతిలోకి లెక్కిస్తారు.
• ఉదా: 40 మార్కులు వచ్చిన 4 మంది విద్యార్థులు 40–55 తరగతిలో వస్తారు, 25–40 లో కాదు.

మూడు కొలమానాల పరిచయం

• సగటు (Mean) = అన్ని పరిశీలనల మొత్తం ÷ పరిశీలనల సంఖ్య
• మధ్యగతం (Median) = మధ్యలో ఉన్న పరిశీలన విలువ
• బాహుళకం (Mode) = ఎక్కువసార్లు వచ్చే విలువ (గరిష్ఠ ఆవృత్తి గల విలువ)

x₁, x₂, ..., xₙ పరిశీలనలు వరుసగా f₁, f₂, ..., fₙ సార్లు వస్తే:

• పరిశీలనల మొత్తం = f₁x₁ + f₂x₂ + ... + fₙxₙ
• పరిశీలనల సంఖ్య = f₁ + f₂ + ... + fₙ

సూత్రం: x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ (Σ = సిగ్మా, "మొత్తం")

ఉదాహరణ 1: 30 మంది X తరగతి విద్యార్థుల గణిత మార్కులు (100 కి):

• x: 10, 20, 36, 40, 50, 56, 60, 70, 72, 80, 88, 92, 95
• f: 1, 1, 3, 4, 3, 2, 4, 4, 1, 1, 2, 3, 1
• f·x: 10, 20, 108, 160, 150, 112, 240, 280, 72, 80, 176, 276, 95
• Σf = 30, Σfx = 1779

సగటు = 1779 / 30 = 59.3

ఇదే ఖచ్చితమైన సగటు (exact mean). తరువాతి విభాగాలలో ఇదే దత్తాంశాన్ని తరగతులుగా మార్చి సగటు కనుగొంటాం; అప్పుడు 62 వస్తుంది – ఎందుకో చూద్దాం.

లెక్కించే పద్ధతి (steps)

• 1: ప్రతి x ని దాని f తో గుణించి f·x కాలమ్ రాయండి.
• 2: f, f·x కాలమ్‌ల మొత్తాలు (Σf, Σfx) కనుగొనండి.
• 3: Σfx ÷ Σf.

ఉదాహరణ 1 దత్తాంశాన్ని 15 వెడల్పు (class size) గల తరగతులుగా మారుస్తే (పట్టిక 13.2):

• తరగతులు: 10–25, 25–40, 40–55, 55–70, 70–85, 85–100
• ఆవృత్తులు (విద్యార్థులు): 2, 3, 7, 6, 6, 6 (మొత్తం 30)

తరగతి మధ్య విలువ (Class mark) ప్రతి తరగతి ఆవృత్తి ఆ తరగతి మధ్య బిందువు చుట్టూ కేంద్రీకృతం అయిందని ఊహిస్తాం. కాబట్టి మధ్య బిందువే ఆ తరగతికి ప్రతినిధి (xᵢ).

తరగతి మధ్య విలువ = (ఎగువ తరగతి హద్దు + దిగువ తరగతి హద్దు) / 2 ఉదా: 10–25 కి (10 + 25)/2 = 17.5

ప్రత్యక్ష పద్ధతి (Direct Method) – పట్టిక 13.3

• x విలువలు: 17.5, 32.5, 47.5, 62.5, 77.5, 92.5
• f·x: 35.0, 97.5, 332.5, 375.0, 465.0, 555.0
• Σf = 30, Σfx = 1860.0
• x̄ = Σfx / Σf = 1860 / 30 = 62

59.3 కి, 62 కి తేడా ఎందుకు?

• 59.3 ఖచ్చితమైన సగటు (వాస్తవ మార్కులతో).
• 62 సుమారు సగటు – ఎందుకంటే "ప్రతి తరగతి ఆవృత్తి మధ్య విలువ చుట్టూ ఉంది" అనే మధ్య బిందువు ఊహ (mid-point assumption) వాడాం.

x, f విలువలు పెద్దవిగా ఉంటే f·x గుణకారం శ్రమతో కూడినది. అప్పుడు ప్రతి x నుండి ఒక స్థిర సంఖ్యను తీసివేసి చిన్న సంఖ్యలతో పని చేస్తాం.

దశలు

• 1: x విలువలలో ఒకదాన్ని ఊహించిన సగటు (assumed mean) a గా తీసుకోండి – సాధారణంగా మధ్యలో ఉన్నదాన్ని. ఉదా: a = 47.5 (లేదా 62.5).
• 2: విచలనం (deviation) d = x − a కనుగొనండి.
• 3: f·d లు, Σfd కనుగొనండి.
• 4: x̄ = a + (Σfd / Σf)

పట్టిక 13.4 (a = 47.5)

• d: −30, −15, 0, 15, 30, 45
• f·d: −60, −45, 0, 90, 180, 270 → Σfd = 435
• x̄ = 47.5 + 435/30 = 47.5 + 14.5 = 62

సూత్రం ఎందుకు సరైనది? d̄ = Σf(x − a)/Σf = Σfx/Σf − a·Σf/Σf = x̄ − a, కాబట్టి x̄ = a + d̄. అంటే విచలనాల సగటుకు a ని కలిపితే చాలు.

ముఖ్య పరిశీలన (Activity 1): a గా ఏ x విలువ తీసుకున్నా (17.5, 32.5, ...) సగటు ఎప్పుడూ 62 గానే వస్తుంది. అంటే సగటు a ఎంపికపై ఆధారపడదు.

పట్టిక 13.4 లో d కాలమ్ విలువలన్నీ 15 యొక్క గుణిజాలు (−30, −15, 0, 15, 30, 45). 15 అనేది తరగతి పరిమాణం (h). అన్ని d లను h తో భాగిస్తే ఇంకా చిన్న సంఖ్యలు వస్తాయి.

u = (x − a) / h సూత్రం: x̄ = a + (Σfu / Σf) × h

పట్టిక 13.5 (a = 47.5, h = 15)

• u: −2, −1, 0, 1, 2, 3
• f·u: −4, −3, 0, 6, 12, 18 → Σfu = 29
• x̄ = 47.5 + (29/30) × 15 = 47.5 + 14.5 = 62

ఉత్పాదన: ū = Σfu/Σf = (1/h)(x̄ − a) ⇒ x̄ = a + h·ū

గమనించవలసినవి

• అన్ని d లకు ఉమ్మడి కారణాంకం (common factor) ఉన్నప్పుడు ఈ పద్ధతి సౌకర్యం.
• మూడు పద్ధతులలో (direct, assumed mean, step-deviation) సగటు ఒకటే.
• అసలు a, h లు పైవిధంగా లేకున్నా, u = (x − a)/h అయ్యేలా ఏదైనా సున్నా కాని సంఖ్యలు తీసుకున్నా x̄ = a + h·ū సూత్రం చెల్లుతుంది.
• ఈ రెండు పద్ధతులు ప్రత్యక్ష పద్ధతి యొక్క సరళీకృత రూపాలు మాత్రమే.

షార్ట్‌కట్: ఏదైనా సగటు లెక్కలో – తరగతులు సమాన వెడల్పు అయితే h = వెడల్పు, a = మధ్య తరగతి మధ్య విలువ తీసుకుని u = −3, −2, −1, 0, 1, 2, ... అని రాసుకోండి; సెకన్లలో పని అవుతుంది.

ప్రశ్న: గ్రామీణ ప్రాథమిక పాఠశాలల్లో మహిళా ఉపాధ్యాయుల శాతం పంపిణీ (రాష్ట్రాలు/కేంద్రపాలిత ప్రాంతాలు):

• శాతం: 15–25, 25–35, 35–45, 45–55, 55–65, 65–75, 75–85
• సంఖ్య (f): 6, 11, 7, 4, 4, 2, 1 → Σf = 35
• మూడు పద్ధతులతో సగటు కనుగొనండి.

తరగతి మధ్య విలువలు x: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80. ఇక్కడ a = 50, h = 10 తీసుకున్నారు.

పట్టిక 13.7

• d = x − 50: −30, −20, −10, 0, 10, 20, 30
• u = d/10: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
• f·x: 120, 330, 280, 200, 240, 140, 80 → Σfx = 1390
• f·d: −180, −220, −70, 0, 40, 40, 30 → Σfd = −360
• f·u: −18, −22, −7, 0, 4, 4, 3 → Σfu = −36

మూడు పద్ధతులు

• ప్రత్యక్ష: x̄ = 1390/35 = 39.71
• ఊహించిన సగటు: x̄ = 50 + (−360/35) = 50 − 10.29 = 39.71
• స్టెప్-డీవియేషన్: x̄ = 50 + (−36/35) × 10 = 39.71

ఏ పద్ధతి ఎంచుకోవాలి? (Remark)

• x, f చిన్న సంఖ్యలైతే → ప్రత్యక్ష పద్ధతి.
• x, f పెద్ద సంఖ్యలైతే → ఊహించిన సగటు లేదా స్టెప్-డీవియేషన్.
• తరగతి పరిమాణాలు సమానం కాకపోయినా, x పెద్దవైతే, d లన్నింటికీ తగిన భాజకం h గా తీసుకుని స్టెప్-డీవియేషన్ వాడవచ్చు.

ప్రశ్న: ODI క్రికెట్‌లో బౌలర్లు తీసిన వికెట్ల పంపిణీ:

• వికెట్లు: 20–60, 60–100, 100–150, 150–250, 250–350, 350–450
• బౌలర్లు (f): 7, 5, 16, 12, 2, 3 → Σf = 45
• సగటు వికెట్ల సంఖ్య కనుగొనండి
• సగటు దేన్ని సూచిస్తుంది?

పరిష్కారం: ఇక్కడ తరగతి పరిమాణం మారుతోంది, x లు పెద్దవి. అయినా స్టెప్-డీవియేషన్ వాడవచ్చు (a = 200, h = 20).

పట్టిక 13.8

• x: 40, 80, 125, 200, 300, 400
• d = x − 200: −160, −120, −75, 0, 100, 200
• u = d/20: −8, −6, −3.75, 0, 5, 10
• f·u: −56, −30, −60, 0, 10, 30 → Σfu = −106

ū = −106/45 = −2.3556 x̄ = 200 + 20 × (−106/45) = 200 − 47.11 = 152.89

అర్థం: ఈ 45 మంది బౌలర్లు ODI లలో సగటున ~152.89 వికెట్లు తీశారు.

ముఖ్య సూచన

• ఇక్కడ u విలువలు పూర్ణాంకాలు కానవసరం లేదు (−3.75 వంటివి) – సూత్రం అయినా చెల్లుతుంది.
• x̄ = a + h·ū లో ఏ h, a అయినా సరే (సున్నా కాని h) ఫలితం మారదు.

సగటు ఇచ్చి ఒక ఆవృత్తి f ని కనుగొనమనే ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో చాలా తరచుగా వస్తాయి (Exercise 13.1, ప్రశ్న 3).

ప్రశ్న: పిల్లల రోజువారీ పాకెట్ ఖర్చు సగటు ₹18. లోపించిన ఆవృత్తి f కనుగొనండి.

• ఖర్చు: 11–13, 13–15, 15–17, 17–19, 19–21, 21–23, 23–25
• పిల్లలు: 7, 6, 9, 13, f, 5, 4

పరిష్కారం (class mark లు): 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

• Σf = 7 + 6 + 9 + 13 + f + 5 + 4 = 44 + f
• Σfx = 84 + 84 + 144 + 234 + 20f + 110 + 96 = 752 + 20f
• సగటు = 18 ⇒ (752 + 20f)/(44 + f) = 18
• 752 + 20f = 792 + 18f ⇒ 2f = 40 ⇒ f = 20

షార్ట్‌కట్ (a = 18 తీసుకుంటే): d = x − 18 = −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6. Σfd = −42 − 24 − 18 + 0 + 2f + 20 + 24 = −40 + 2f. సగటు = 18 ⇒ Σfd = 0 ⇒ f = 20. అంటే "సగటునే a గా తీసుకుంటే Σfd = 0" – ఇదే అతి వేగమైన మార్గం.

ఇతర సాధారణ ప్రశ్న రకాలు (Exercise 13.1)

• 20 ఇళ్లలో మొక్కల సంఖ్య (0–2 ... 12–14
• ఆవృత్తులు 1, 2, 1, 5, 6, 2, 3): సగటు = 8.1
• 50 కార్మికుల రోజు కూలీ (500–520 ... 580–600
• ఆవృత్తులు 12, 14, 8, 6, 10): సగటు = ₹545.20
• 30 మంది మహిళల హృదయ స్పందనలు (65–68 ... 83–86
• 2, 4, 3, 8, 7, 4, 2): సగటు = 75.9
• మామిడి పెట్టెలు (50–52, 53–55 ... అసంగత తరగతులు
• 15, 110, 135, 115, 25): తరగతి మధ్య విలువలు 51, 54, 57, 60, 63
• సగటు ≈ 57.19
• 25 కుటుంబాల ఆహార ఖర్చు (100–150 ... 300–350
• 4, 5, 12, 2, 2): సగటు = ₹211
• 35 నగరాల అక్షరాస్యత (45–55 ... 85–95
• 3, 10, 11, 8, 3): సగటు ≈ 69.43%

బాహుళకం (Mode) = పరిశీలనలలో అత్యధికంగా (గరిష్ఠ ఆవృత్తితో) వచ్చే విలువ. ఒకటి కంటే ఎక్కువ విలువలకు గరిష్ఠ ఆవృత్తి ఉంటే దత్తాంశాన్ని బహుళ బాహుళకం (multimodal) అంటారు; ఈ అధ్యాయంలో ఒకే బాహుళకం ఉన్న ప్రశ్నలనే చూస్తాం.

ఉదాహరణ 4 (అవర్గీకృతం): 10 మ్యాచ్‌లలో ఒక బౌలర్ తీసిన వికెట్లు: 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3.

• ఆవృత్తి పట్టిక: వికెట్లు 0,1,2,3,4,5,6 కి మ్యాచ్‌లు 1,1,3,2,1,1,1.
• 2 వికెట్లు అత్యధికంగా 3 మ్యాచ్‌లలో వచ్చాయి ⇒ Mode = 2.

వర్గీకృత దత్తాంశంలో

• ఆవృత్తులను చూసి నేరుగా బాహుళకం చెప్పలేం. గరిష్ఠ ఆవృత్తి గల తరగతి = మోడల్ తరగతి (modal class).
• బాహుళకం మోడల్ తరగతి లోపల ఉండే ఒక విలువ
• దాన్ని సూత్రంతో కనుగొంటాం (తదుపరి విభాగం).

మోడల్ తరగతిని గుర్తించడం

• ఉదా: కుటుంబ సభ్యుల సంఖ్య 1–3, 3–5, 5–7, 7–9, 9–11 కి కుటుంబాలు 7, 8, 2, 2, 1 ⇒ గరిష్ఠ ఆవృత్తి 8 ⇒ మోడల్ తరగతి 3–5.
• ఉదా: ఉదాహరణ 1 పట్టికలో ఆవృత్తులు 2, 3, 7, 6, 6, 6 ⇒ గరిష్ఠం 7 ⇒ మోడల్ తరగతి 40–55.

సూత్రం: Mode = l + [ (f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂) ] × h

• l = మోడల్ తరగతి దిగువ హద్దు (lower limit/boundary)
• h = తరగతి పరిమాణం (సమానమని అనుకుంటాం)
• f₁ = మోడల్ తరగతి ఆవృత్తి
• f₀ = మోడల్ తరగతికి ముందున్న తరగతి ఆవృత్తి
• f₂ = మోడల్ తరగతికి తరువాతి తరగతి ఆవృత్తి

ఉదాహరణ 5: కుటుంబ సభ్యుల సంఖ్య: తరగతులు 1–3, 3–5, 5–7, 7–9, 9–11; కుటుంబాలు 7, 8, 2, 2, 1 (మొత్తం 20).

• మోడల్ తరగతి 3–5: l = 3, h = 2, f₁ = 8, f₀ = 7, f₂ = 2
• Mode = 3 + (8 − 7)/(16 − 7 − 2) × 2 = 3 + (1/7) × 2 = 3 + 0.286 = 3.286

ఉదాహరణ 6: ఉదాహరణ 1 దత్తాంశం (పట్టిక 13.3): మోడల్ తరగతి 40–55.

• l = 40, h = 15, f₁ = 7, f₀ = 3, f₂ = 6
• Mode = 40 + (7 − 3)/(14 − 3 − 6) × 15 = 40 + (4/5) × 15 = 40 + 12 = 52
• సగటు = 62 (ఉదా. 1). అర్థం:
  1. అత్యధిక విద్యార్థులు ~52 మార్కులు పొందారు
  2. సగటున ఒక విద్యార్థి 62 మార్కులు పొందాడు.

వ్యాఖ్యలు (Remarks)

• ఉదా. 6 లో బాహుళకం < సగటు
• కానీ ఇతర సమస్యలలో సమానం లేదా ఎక్కువ కూడా కావచ్చు.
• సగటు కావాలా (సగటు మార్కులు), బాహుళకం కావాలా (ఎక్కువ మంది పొందిన మార్కులు) అనేది పరిస్థితి అవసరంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

Exercise 13.2 నమూనా సమాధానాలు

• ఆసుపత్రి రోగుల వయసు (5–15 ... 55–65
• 6, 11, 21, 23, 14, 5): మోడల్ తరగతి 35–45
• Mode ≈ 36.82 సం., సగటు ≈ 35.38 సం.
• 225 విద్యుత్ భాగాల జీవితకాలం (0–20 ... 100–120
• 10, 35, 52, 61, 38, 29): మోడల్ తరగతి 60–80
• Mode ≈ 65.63 గం.
• 200 కుటుంబాల నెలవారీ ఖర్చు (1000–1500 ... 4500–5000
• 24, 40, 33, 28, 30, 22, 16, 7): మోడల్ తరగతి 1500–2000
• Mode ≈ ₹1847.83
• సగటు ≈ ₹2662.50
• 100 కాలాల కార్ల సంఖ్య (0–10 ... 70–80
• 7, 14, 13, 12, 20, 11, 15, 8): మోడల్ తరగతి 40–50
• Mode ≈ 44.7

అవర్గీకృత దత్తాంశం మధ్యగతం: పరిశీలనలను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చాలి.

• n బేసి (odd) అయితే మధ్యగతం = ((n + 1)/2) వ పరిశీలన.
• n సరి (even) అయితే మధ్యగతం = (n/2) వ, (n/2 + 1) వ పరిశీలనల సగటు.

ఉదాహరణ: 100 మంది విద్యార్థుల 50 కి మార్కులు:

• మార్కులు: 20, 25, 28, 29, 33, 38, 42, 43
• విద్యార్థులు: 6, 20, 24, 28, 15, 4, 2, 1 (మొత్తం 100)

సంచిత ఆవృత్తి (Cumulative Frequency, cf): ఆవృత్తులను వరుసగా కూడుకుంటూ రాస్తూ వెళ్లడం.

• 20 వరకు:
  1. 6
  2. 25 వరకు: 6 + 20 = 26
  3. 28 వరకు: 26 + 24 = 50
  4. 29 వరకు: 50 + 28 = 78
  5. 33 వరకు: 78 + 15 = 93
  6. 38 వరకు: 97
  7. 42 వరకు: 99
  8. 43 వరకు: 100.

• n = 100 (సరి) ⇒ 50వ, 51వ పరిశీలనల సగటు.
• 50వ పరిశీలన = 28 (cf 50 అయ్యేది 28 వద్దే), 51వ పరిశీలన = 29.
• Median = (28 + 29)/2 = 28.5

అర్థం: సుమారు 50% విద్యార్థులు 28.5 కంటే తక్కువ మార్కులు, మిగతా 50% దానికంటే ఎక్కువ మార్కులు పొందారు.

గమనిక: పట్టిక 13.11 లో 1వ, 3వ కాలమ్‌లు కలిపి చూస్తే అదే సంచిత ఆవృత్తి పట్టిక (Cumulative Frequency Table).

53 మంది విద్యార్థుల (100 కి) మార్కుల వర్గీకృత దత్తాంశం (పట్టిక 13.12):

• 0–10: 5, 10–20: 3, 20–30: 4, 30–40: 3, 40–50: 3, 50–60: 4, 60–70: 7, 70–80: 9, 80–90: 7, 90–100: 8

కంటే తక్కువ రకం (Less than type) – పట్టిక 13.13

• 10 కంటే తక్కువ: 5
• 20 కంటే తక్కువ: 5 + 3 = 8
• 30 కంటే తక్కువ: 8 + 4 = 12
• 40:
  1. 15
  2. 50: 18
  3. 60: 22
  4. 70: 29
  5. 80: 38
  6. 90: 45
  7. 100: 53
• ఇక్కడ 10, 20, ..., 100 లు తరగతుల ఎగువ హద్దులు (upper limits).

కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం రకం (More than type) – పట్టిక 13.14

• 0 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ: 53
• 10 లేదా ఎక్కువ: 53 − 5 = 48
• 20:
  1. 48 − 3 = 45
  2. 30: 45 − 4 = 41
  3. 40: 38
  4. 50: 35
  5. 60: 31
  6. 70: 24
  7. 80: 15
  8. 90: 15 − 7 = 8
• ఇక్కడ 0, 10, ..., 90 లు తరగతుల దిగువ హద్దులు (lower limits).

పోలిక

• Less than:
  1. పై నుండి కూడుతూ (ఆవృత్తులను జోడిస్తూ) వెళ్తుంది
  2. ఎగువ హద్దులు వాడతారు.
• More than:
  1. మొత్తం n నుండి ఆవృత్తులను తీసివేస్తూ వెళ్తుంది
  2. దిగువ హద్దులు వాడతారు.

సంచిత ఆవృత్తి నుండి తరగతి ఆవృత్తులు పొందడం (Example 7 పద్ధతి): "140 కంటే తక్కువ: 4; 145 కంటే తక్కువ: 11" ఇస్తే 140–145 ఆవృత్తి = 11 − 4 = 7. ప్రతి ఆవృత్తి = ప్రస్తుత cf − ముందు cf.

సంచిత ఆవృత్తి విభాజనం నుండి గీసిన వక్రాన్ని ఓజీవ్ (Ogive) – సంచిత ఆవృత్తి వక్రం (cumulative frequency curve) అంటారు. ఈ అధ్యాయం పరిచయంలో ఇది "cumulative frequency curves called ogives" గా పేర్కొనబడింది; ఈ పాఠ్యపుస్తక భాగంలో సవివరమైన నిర్మాణ దశలు లేవు, కాబట్టి దిగువ నిర్మాణ పద్ధతి ప్రామాణిక పోటీ పరీక్షల విధానం.

కంటే తక్కువ ఓజీవ్ (Less-than ogive)

• X-అక్షం:
  1. తరగతుల ఎగువ హద్దులు
  2. Y-అక్షం: cf.
• బిందువులు (పట్టిక 13.13):
  1. (10, 5), (20, 8), (30, 12), ..., (90, 45), (100, 53)
  2. (తరగతి దిగువ హద్దు 0 వద్ద cf = 0 కూడా తీసుకుంటాం: (0, 0)).
• ఈ బిందువులను కలిపితే ఎడమ-కింద నుండి కుడి-పైకి పెరిగే వక్రం వస్తుంది.

కంటే ఎక్కువ ఓజీవ్ (More-than ogive)

• X-అక్షం:
  1. తరగతుల దిగువ హద్దులు
  2. బిందువులు (0, 53), (10, 48), (20, 45), ..., (90, 8).
• ఇది కుడివైపు తగ్గే (కిందికి వాలే) వక్రం.

ఓజీవ్ నుండి మధ్యగతం

• రెండు ఓజీవ్‌లు ఖండించుకునే బిందువు యొక్క X-నిరూపకమే మధ్యగతం.
• ప్రత్యామ్నాయం: Y-అక్షంపై n/2 (= 26.5) గుర్తించి, అడ్డంగా గీత గీస్తే వక్రాన్ని తాకిన బిందువు నుండి X-అక్షానికి లంబం వేస్తే మధ్యగతం వస్తుంది.
• మన ఉదాహరణలో ఖండన బిందువు x ≈ 66.4 – సూత్రం నుండి వచ్చిన మధ్యగతంతో సరిపోతుంది.

త్వరిత సమీక్ష

• రెండు ఓజీవ్‌లూ ఒకదానికొకటి వ్యతిరేక దిశలో (ఒకటి పెరుగుతూ, ఒకటి తగ్గుతూ) ఉంటాయి.
• ఖండన బిందువు Y నిరూపకం = n/2.

వర్గీకృత దత్తాంశంలో మధ్య పరిశీలన ఒక తరగతి లోపల ఉంటుంది. ఆ తరగతిని కనుగొని, దాని లోపల విలువను సూత్రంతో కనుగొంటాం.

మధ్యగత తరగతి (Median class): n/2 కంటే ఎక్కువగా (మరియు దానికి దగ్గరగా) ఉన్న మొదటి cf గల తరగతి.

సూత్రం: Median = l + [ (n/2 − cf) / f ] × h

• n = మొత్తం పరిశీలనలు (Σf)
• l = మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు
• cf = మధ్యగత తరగతికి ముందున్న తరగతి సంచిత ఆవృత్తి
• f = మధ్యగత తరగతి ఆవృత్తి
• h = తరగతి పరిమాణం

పట్టిక 13.15 (53 విద్యార్థులు):

• cf: 5, 8, 12, 15, 18, 22, 29, 38, 45, 53
• n = 53 ⇒ n/2 = 26.5
• 26.5 కంటే ఎక్కువైన మొదటి cf = 29 ⇒ మధ్యగత తరగతి 60–70.
• l = 60, cf = 22, f = 7, h = 10
• Median = 60 + (26.5 − 22)/7 × 10 = 60 + 45/7 = 60 + 6.43 = 66.4 (సుమారుగా)

అర్థం: సుమారు సగం మంది విద్యార్థులు 66.4 కంటే తక్కువ, మిగతా సగం మంది ఎక్కువ మార్కులు పొందారు.

దశలు (Steps)

• 1: cf పట్టిక తయారుచేయండి. • 2: n/2 కనుగొనండి. • 3: మధ్యగత తరగతి గుర్తించండి. • 4: l, cf, f, h లను సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించండి.

Exercise 13.3 నమూనా సమాధానాలు

• 68 వినియోగదారుల విద్యుత్ వినియోగం (65–85 ... 185–205
• 4, 5, 13, 20, 14, 8, 4): మధ్యగతం = 137, సగటు ≈ 137.06, బాహుళకం ≈ 135.77 యూనిట్లు (మూడూ దాదాపు సమానం).
• 400 నియాన్ దీపాల జీవితకాలం (1500–2000 ... 4500–5000
• 14, 56, 60, 86, 74, 62, 48): మధ్యగతం ≈ 3406.98 గం.
• 100 ఇంటి పేర్ల అక్షరాల సంఖ్య (1–4 ... 16–19
• 6, 30, 40, 16, 4, 4): మధ్యగతం ≈ 8.05, సగటు ≈ 8.32, బాహుళకం ≈ 7.88
• 30 విద్యార్థుల బరువు (40–45 ... 70–75
• 2, 3, 8, 6, 6, 3, 2): మధ్యగతం ≈ 56.67 కిలోలు

ప్రశ్న: X తరగతి 51 మంది బాలికల ఎత్తు (సెం.మీ.):

• 140 కంటే తక్కువ:
  1. 4
  2. 145 కంటే తక్కువ: 11
  3. 150: 29
  4. 155: 40
  5. 160: 46
  6. 165: 51
• మధ్యగత ఎత్తు కనుగొనండి.

దశ 1: తరగతులు, ఆవృత్తులు కనుగొనడం. ఎగువ హద్దులు 140, 145, ..., 165. తరగతులు: 140 కంటే తక్కువ, 140–145, 145–150, ..., 160–165.

• Below 140: f = 4, cf = 4
• 140–145: 11 − 4 = 7, cf = 11
• 145–150: 29 − 11 = 18, cf = 29
• 150–155: 40 − 29 = 11, cf = 40
• 155–160: 46 − 40 = 6, cf = 46
• 160–165: 51 − 46 = 5, cf = 51

దశ 2: n = 51 ⇒ n/2 = 25.5. 25.5 కంటే ఎక్కువైన మొదటి cf = 29 ⇒ మధ్యగత తరగతి 145–150.

• l = 145, cf = 11, f = 18, h = 5

దశ 3: Median = 145 + (25.5 − 11)/18 × 5 = 145 + (14.5 × 5)/18 = 145 + 72.5/18 = 145 + 4.03 = 149.03 సెం.మీ.

అర్థం: సుమారు 50% బాలికల ఎత్తు 149.03 కంటే తక్కువ; 50% దానికంటే ఎక్కువ.

అసంగత తరగతులు (Exercise 13.3 ప్ర. 4 – hint)

• ఆకుల పొడవు 118–126, 127–135, ..., 172–180 (మధ్యలో ఖాళీలు ఉన్నాయి). సూత్రం నిరంతర తరగతులు (continuous classes) అనుకుంటుంది.
• కాబట్టి తరగతి హద్దులను సరిచేయాలి: 117.5–126.5, 126.5–135.5, ..., 171.5–180.5 (ప్రతి దిగువ హద్దు నుండి 0.5 తీసి, ప్రతి ఎగువ హద్దుకు 0.5 కలపడం).
• ఆవృత్తులు 3, 5, 9, 12, 5, 4, 2 (n = 40) ⇒ n/2 = 20 ⇒ మధ్యగత తరగతి 144.5–153.5
• l = 144.5, cf = 17, f = 12, h = 9 ⇒ మధ్యగతం = 144.5 + (20 − 17)/12 × 9 = 144.5 + 2.25 = 146.75 మి.మీ.
• బీమా ఏజెంట్ ప్రశ్న (Ex. 13.3 ప్ర. 3): Below 20: 2, 25: 6, 30: 24, 35: 45, 40: 78, 45: 89, 50: 92, 55: 98, 60: 100 (వయసు 18 నుండి 60 లోపు, కాబట్టి మొదటి తరగతి 18–20). n = 100 ⇒ n/2 = 50 ⇒ మధ్యగత తరగతి 35–40: l = 35, cf = 45, f = 33, h = 5 ⇒ మధ్యగతం = 35 + (5/33) × 5 ≈ 35.76 సం.

ప్రశ్న: క్రింది దత్తాంశ మధ్యగతం 525, మొత్తం ఆవృత్తి 100. x, y లు కనుగొనండి.

• తరగతులు (100 వెడల్పు): 0–100: 2, 100–200: 5, 200–300: x, 300–400: 12, 400–500: 17, 500–600: 20, 600–700: y, 700–800: 9, 800–900: 7, 900–1000: 4

cf పట్టిక

• 0–100: 2
• 100–200: 7
• 200–300: 7 + x
• 300–400: 19 + x
• 400–500: 36 + x
• 500–600: 56 + x
• 600–700: 56 + x + y
• 700–800:
  1. 65 + x + y
  2. 800–900: 72 + x + y
  3. 900–1000: 76 + x + y

సమీకరణం 1: మొత్తం = 100 ⇒ 76 + x + y = 100 ⇒ x + y = 24

సమీకరణం 2: మధ్యగతం 525 తరగతి 500–600 లో ఉంది. l = 500, f = 20, cf = 36 + x, h = 100, n/2 = 50.

• 525 = 500 + (50 − (36 + x))/20 × 100
• 25 = (14 − x) × 5 ⇒ 25 = 70 − 5x ⇒ 5x = 45 ⇒ x = 9
• x + y = 24 ⇒ y = 15

ఇదే రకం – Exercise 13.3 ప్ర. 2: తరగతులు 0–10 ... 50–60 కి ఆవృత్తులు 5, x, 20, 15, y, 5; మొత్తం 60, మధ్యగతం 28.5.

• 5 + x + 20 + 15 + y + 5 = 60 ⇒ x + y = 15
• మధ్యగత తరగతి 20–30: l = 20, cf = 5 + x, f = 20, h = 10, n/2 = 30
• 28.5 = 20 + (30 − 5 − x)/20 × 10 ⇒ 17 = 25 − x ⇒ x = 8, y = 7

ఈ రకం ప్రశ్నలకు వ్యూహం

• ① మొత్తం n సమీకరణం. ② మధ్యగత తరగతి గుర్తించి మధ్యగత సూత్రం ప్రతిక్షేపించండి. ③ రెండు సమీకరణాలు సాధించండి.
• మధ్యగత తరగతికి ముందున్న cf లో x ఉంటుంది
• y మధ్యగత తరగతి తరువాత ఉంటే మధ్యగత సూత్రంలో రాదు.

సగటు (Mean)

• అత్యంత ఎక్కువగా వాడే కొలమానం
• ఎందుకంటే అన్ని పరిశీలనలను పరిగణిస్తుంది, అత్యల్ప–అత్యధిక విలువల మధ్యలో ఉంటుంది, రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ విభాజనాలను పోల్చడానికి ఉపయోగపడుతుంది (ఉదా: వేరే పాఠశాలల సగటు ఫలితాల పోలిక).
• అంత్య విలువలు (extreme values) దీన్ని ప్రభావితం చేస్తాయి. ఉదా: ఒక తరగతి ఆవృత్తి 2 కాగా మిగతావి 20, 25, 20, 21, 18 అయితే సగటు దత్తాంశాన్ని సరిగా ప్రతిబింబించదు.

మధ్యగతం (Median)

• వ్యక్తిగత పరిశీలనలు ముఖ్యం కాక, "సాధారణ/సాధారణ స్థాయి" విలువ కావాలంటే ఉత్తమం
• అంత్య విలువలు ఉండే సందర్భాల్లో.
• ఉదా: కార్మికుల సాధారణ ఉత్పాదకత, దేశంలో సగటు వేతనం.

బాహుళకం (Mode)

• అత్యంత తరచుగా వచ్చే / అత్యంత ప్రాచుర్యం గల విలువ కావాలంటే.
• ఉదా: ఎక్కువ మంది చూసే టీవీ కార్యక్రమం, ఎక్కువ డిమాండ్ ఉన్న వస్తువు, ఎక్కువ మంది వాడే వాహనం రంగు.

అనుభవ సంబంధం (Empirical Relationship) 3 × Median = Mode + 2 × Mean

• ఈ సంబంధం ద్వారా ఏ రెండు తెలిసినా మూడోది కనుగొనవచ్చు:
• Mode = 3 Median − 2 Mean
• Mean = (3 Median − Mode)/2
• Median = (Mode + 2 Mean)/3
• ఉదా:
  1. Mean = 62, Mode = 52 అయితే Median = (52 + 124)/3 = 58.67 (అనుభవ సంబంధం ప్రకారం సుమారు). (అదే దత్తాంశానికి సూత్రంతో లెక్కించిన మధ్యగతం 62.5
  2. అనుభవ సంబంధం కేవలం సుమారు సంబంధం కాబట్టి కొద్దిగా తేడా వస్తుంది.)

ఇతర వ్యాఖ్యలు

• అసమాన తరగతి పరిమాణం గల వర్గీకృత దత్తాంశానికి కూడా మధ్యగతం, బాహుళకం లెక్కించవచ్చు
• ఈ పుస్తకంలో చర్చించలేదు.

సూత్రాల పట్టిక

• ఖచ్చితమైన (ungrouped) సగటు: x̄ = Σfx / Σf
• తరగతి మధ్య విలువ: x = (ఎగువ + దిగువ)/2
• ప్రత్యక్ష: x̄ = Σfx / Σf
• ఊహించిన సగటు: x̄ = a + Σfd / Σf, d = x − a
• స్టెప్-డీవియేషన్: x̄ = a + (Σfu / Σf) × h, u = (x − a)/h
• బాహుళకం: Mode = l + (f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂) × h
• మధ్యగతం: Median = l + (n/2 − cf)/f × h
• అనుభవ సంబంధం: 3 Median = Mode + 2 Mean

పుస్తకంలోని ముఖ్య ఫలితాలు (గుర్తుంచుకోండి)

• ఉదా. 1:
  1. సగటు 59.3 (ఖచ్చితం)
  2. తరగతులుగా మార్చాక 62 (సుమారు)
• ఉదా. 2: 39.71 • ఉదా. 3: 152.89 • ఉదా. 5: Mode = 3.286 • ఉదా. 6: Mode = 52
• Table 13.12: Median = 66.4 • ఉదా. 7: 149.03 • ఉదా. 8: x = 9, y = 15
• Exercise 13.1 ప్ర. 3: f = 20

షార్ట్‌కట్‌లు

• సగటు:
  1. a = మధ్య తరగతి మధ్య విలువ, u = −k ... 0 ... +k
  2. తరగతులు సమాన వెడల్పు అయితే h వెడల్పు.
• మోడల్ తరగతి:
  1. f ని చూడండి
  2. మధ్యగత తరగతి: cf ని చూడండి – ఈ రెండింటిని కలపకండి.
• సగటుతో ఖచ్చితత్వ తనిఖీ:
  1. జవాబు (సగటు/మధ్యగతం/బాహుళకం) తరగతుల అత్యల్ప–అత్యధిక విలువల మధ్యలోనే ఉండాలి
  2. మధ్యగతం మధ్యగత తరగతి లోపల, బాహుళకం మోడల్ తరగతి లోపల ఉండాలి.
• సంచిత ఆవృత్తి:
  1. చివరి cf = n
  2. ఇది తరచుగా తనిఖీగా పనికొస్తుంది.
• లోపించిన ఆవృత్తులు:
  1. సగటు ఇస్తే Σfx = x̄·Σf
  2. మధ్యగతం ఇస్తే మధ్యగత సూత్రం + మొత్తం n.
• Less-than:
  1. ఎగువ హద్దులు
  2. More-than: దిగువ హద్దులు
  3. రెండు ఓజీవ్‌ల ఖండన = మధ్యగతం.

సాధారణ పొరపాట్లు

• మధ్యగత సూత్రంలో cf స్థానంలో మధ్యగత తరగతి స్వంత cf వాడటం.
• f₀, f₂ ను తారుమారు చేయడం (ముందు/తరువాత).
• అసంగత తరగతులను నిరంతరంగా మార్చకుండా మధ్యగతం/బాహుళకం లెక్కించడం.
• "కంటే తక్కువ" ఇచ్చినప్పుడు వ్యవకలనం చేసి ఆవృత్తులు పొందకపోవడం.