బహుపదులు (Polynomials)

9వ తరగతిలో ఏక చరరాశి బహుపదులు (Polynomials in one variable), వాటి పరిమాణం (Degree) చదివాం. ఈ అధ్యాయం ఆ పునాదిపై బహుపదుల శూన్యాలు (Zeroes), వాటి గ్రాఫ్, గుణకాలతో సంబంధం గురించి చెబుతుంది.

నిర్వచనం: p(x) అనే బహుపదిలో x యొక్క అత్యధిక ఘాతాన్ని ఆ బహుపది పరిమాణం (Degree) అంటారు.

ఉదాహరణలు

• 4x + 2 → x లో బహుపది, పరిమాణం 1
• 2y² − 3y + 4 → y లో బహుపది, పరిమాణం 2
• 5x³ − 4x² + x − 2 → పరిమాణం 3
• 7u⁶ − (3/2)u⁴ + 4u² + u − 8 → పరిమాణం 6

బహుపదులు కానివి (Not polynomials): 1/(x−1), √x + 2, 1/(x²+2x+3) వంటివి. వీటిలో చరరాశి హారంలో లేదా మూలం (root) లోపల ఉంది; అందుకే ఇవి బహుపదులు కావు.

త్వరిత పరీక్ష: బహుపదిలో x ఘాతాలు 0, 1, 2, 3… (రుణాత్మకం కాని పూర్ణ సంఖ్యలు) మాత్రమే ఉండాలి.

పరిమాణం ఆధారంగా బహుపదులకు పేర్లు:

1. రేఖీయ బహుపది (Linear polynomial) – పరిమాణం 1

• సాధారణ రూపం: ax + b, a ≠ 0
• ఉదా: 2x − 3, √3 x + 5, y + √2, 3z + 4
• 2x + 5 − x², x³ + 1 రేఖీయాలు కావు.

2. వర్గ (ద్విఘాత) బహుపది (Quadratic polynomial) – పరిమాణం 2

• 'Quadratic' అనే పేరు 'quadrate' (చతురస్రం/వర్గం) అనే పదం నుండి వచ్చింది.
• సాధారణ రూపం: ax² + bx + c, a ≠ 0 (a, b, c వాస్తవ సంఖ్యలు)
• ఉదా: 2x² + 3x − 2/5, y² − 2, 4z² + 1/7, √2 x² − 3x

3. ఘన (త్రిఘాత) బహుపది (Cubic polynomial) – పరిమాణం 3

• సాధారణ రూపం: ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0
• ఉదా: 2 − x³, x³, 3 − x² + x³, 3x³ − 2x² + x − 1

గుర్తుంచుకోండి: a = 0 అయితే పరిమాణం తగ్గిపోతుంది, కాబట్టి అగ్ర గుణకం (leading coefficient) శూన్యం కారాదు.

• రకం: రేఖీయ | సాధారణ రూపం: ax + b | పరిమాణం: 1
• రకం: వర్గ | సాధారణ రూపం: ax² + bx + c | పరిమాణం: 2
• రకం: ఘన | సాధారణ రూపం: ax³ + bx² + cx + d | పరిమాణం: 3

బహుపది విలువ (Value): p(x) లో x స్థానంలో k ను ప్రతిక్షేపిస్తే వచ్చే విలువను x = k వద్ద p(x) విలువ అంటారు; దీన్ని p(k) అని రాస్తారు.

ఉదా: p(x) = x² − 3x − 4

• p(2) = 2² − 3(2) − 4 = 4 − 6 − 4 = −6
• p(0) = −4
• p(−1) = (−1)² − 3(−1) − 4 = 1 + 3 − 4 = 0
• p(4) = 16 − 12 − 4 = 0

శూన్యం (Zero) నిర్వచనం: p(k) = 0 అయితే వాస్తవ సంఖ్య k ను p(x) యొక్క శూన్యం అంటారు.

• పై ఉదాహరణలో p(−1) = 0, p(4) = 0 కాబట్టి −1, 4 లు x² − 3x − 4 యొక్క శూన్యాలు.

శూన్యాలను కనుగొనే పద్ధతి: p(x) = 0 సమీకరణాన్ని సాధించాలి.

సరిచూసే షార్ట్‌కట్: ఇచ్చిన సంఖ్య శూన్యమో కాదో చూడాలంటే ప్రతిక్షేపించి 0 వస్తుందో చూడండి.

p(x) = 2x + 3 అనుకుందాం. k దీని శూన్యమైతే p(k) = 0 ⇒ 2k + 3 = 0 ⇒ k = −3/2.

సాధారణ రూపం: ax + b యొక్క శూన్యం k అయితే ak + b = 0 ⇒

k = −b/a = −(స్థిరపదం / x గుణకం) (−Constant term / Coefficient of x)

• ఒక రేఖీయ బహుపదికి సరిగ్గా ఒక శూన్యం ఉంటుంది.
• ఉదా:
  1. 3x − 5 → 5/3
  2. 4x + 8 → −2
  3. 7x → 0.
• సాధన: 4x + 8 లో a = 4, b = 8 ⇒ శూన్యం = −8/4 = −2. సరిచూపు: 4(−2) + 8 = 0 ✓.
• శూన్యం మరియు బహుపది విలువ వేర్వేరు: 2x + 3 యొక్క x = 2 వద్ద విలువ 7, కానీ శూన్యం −3/2.

శూన్యానికీ గుణకాలకూ సంబంధం ఉందని ఇక్కడే తెలుస్తుంది. ఇదే సంబంధం వర్గ, ఘన బహుపదులకు కూడా ఉందా? అనేది తరువాతి విభాగాల్లో చూద్దాం.

ax + b (a ≠ 0) అనే రేఖీయ బహుపది గ్రాఫ్ y = ax + b ఒక సరళరేఖ (straight line).

ఉదా: y = 2x + 3

• x: y = 2x + 3 | −2: −1 | 2: 7

గ్రాఫ్ (−2, −1), (2, 7) బిందువుల గుండా పోతుంది. ఇది x-అక్షాన్ని x = −1, x = −2 ల మధ్య, అంటే (−3/2, 0) వద్ద ఖండిస్తుంది. 2x + 3 శూన్యం కూడా −3/2.

సాధారణ నిర్ణయం: ax + b యొక్క గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని సరిగ్గా ఒక బిందువు (−b/a, 0) వద్ద ఖండిస్తుంది. కాబట్టి రేఖీయ బహుపదికి సరిగ్గా ఒక శూన్యం ఉంటుంది — అది గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు యొక్క x-నిరూపకం.

y = x² − 3x − 4 కోసం విలువల పట్టిక (Table 2.1):

• x: y | −2: 6 | −1: 0 | 0: −4 | 1: −6 | 2: −6 | 3: −4 | 4: 0 | 5: 6

ఈ బిందువులను గీస్తే వచ్చే వక్రం పరావలయం (Parabola).

ఏ వర్గ బహుపదికైనా y = ax² + bx + c గ్రాఫ్ ఒక పరావలయమే:

• a > 0 అయితే పైకి తెరచుకుని ఉంటుంది (∪ ఆకారం)
• a < 0 అయితే కిందికి తెరచుకుని ఉంటుంది (∩ ఆకారం)

పట్టిక నుండి: −1 మరియు 4 లు శూన్యాలు, మరియు అవే గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల x-నిరూపకాలు.

సిద్ధాంతం: ax² + bx + c (a ≠ 0) శూన్యాలు = y = ax² + bx + c పరావలయం x-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల x-నిరూపకాలు.

📝 గమనిక (పుస్తకం): వర్గ/ఘన బహుపదుల గ్రాఫ్‌లను విద్యార్థులు గీయాల్సిన అవసరం లేదు, మూల్యాంకనం కూడా లేదు; గ్రాఫ్‌ను చదివి శూన్యాల సంఖ్య చెప్పగలిగితే చాలు.

పరావలయం x-అక్షంతో ఎలా ప్రవర్తిస్తుందో బట్టి మూడు సందర్భాలు:

సందర్భం (i): గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని రెండు భిన్న బిందువుల వద్ద కోస్తుంది ⇒ రెండు భిన్న శూన్యాలు (two distinct zeroes).

సందర్భం (ii): గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని సరిగ్గా ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది (రెండు ఏకీభవించే బిందువులు) ⇒ ఒకే శూన్యం, అంటే రెండు సమాన శూన్యాలు (two equal zeroes).

సందర్భం (iii): గ్రాఫ్ పూర్తిగా x-అక్షం పైన లేదా పూర్తిగా కింద ఉంటుంది, అక్షాన్ని కలవదు ⇒ శూన్యాలు లేవు (no zero).

ముగింపు: వర్గ బహుపదికి రెండు భిన్న శూన్యాలు, లేదా రెండు సమాన శూన్యాలు (ఒకే శూన్యం), లేదా శూన్యాలు లేకపోవచ్చు. కాబట్టి పరిమాణం 2 బహుపదికి గరిష్ఠంగా 2 శూన్యాలు.

• సందర్భం: (i) | గ్రాఫ్: x-అక్షాన్ని 2 బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది | శూన్యాల సంఖ్య: 2
• సందర్భం: (ii) | గ్రాఫ్: x-అక్షాన్ని 1 బిందువు వద్ద తాకుతుంది | శూన్యాల సంఖ్య: 1 (సమాన జత)
• సందర్భం: (iii) | గ్రాఫ్: x-అక్షాన్ని కలవదు | శూన్యాల సంఖ్య: 0

ఉదాహరణ 1: x³ − 4x

• x: y = x³ − 4x | −2: 0 | −1: 3 | 0: 0 | 1: −3 | 2: 0

−2, 0, 2 లు శూన్యాలు; వక్రం x-అక్షాన్ని ఈ 3 బిందువుల వద్ద మాత్రమే ఖండిస్తుంది, కాబట్టి ఇవే అన్ని శూన్యాలు.

ఉదాహరణ 2: x³ మరియు x³ − x²

• x³ కు ఏకైక శూన్యం 0
• గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని (0, 0) వద్ద మాత్రమే ఖండిస్తుంది.
• x³ − x² = x²(x − 1) కాబట్టి శూన్యాలు 0 మరియు 1 మాత్రమే.

ముగింపు: ఘన బహుపదికి గరిష్ఠంగా 3 శూన్యాలు ఉంటాయి (ఉదాహరణల్లో 1, 2, 3 శూన్యాలు కనిపించాయి).

సాధారణ సూత్రం (Remark): పరిమాణం n గల బహుపది p(x) గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని గరిష్ఠంగా n బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది. కాబట్టి పరిమాణం n బహుపదికి గరిష్ఠంగా n శూన్యాలు.

ఉదాహరణ 1 మరియు అభ్యాసం 2.1 లో y = p(x) గ్రాఫ్‌లు ఇచ్చి p(x) శూన్యాల సంఖ్యను అడుగుతారు. పద్ధతి ఒక్కటే:

x-అక్షాన్ని గ్రాఫ్ ఎన్ని బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుందో లేదా తాకుతుందో లెక్కించండి (y-అక్షంతో సంబంధం లేదు).

పుస్తకం ఉదాహరణ 1 లో ఆరు గ్రాఫ్‌లకు శూన్యాల సంఖ్యలు వరుసగా 1, 2, 3, 1, 1, 4 అని ఇచ్చారు (గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని అన్ని బిందువుల వద్ద కలిసినంత సంఖ్య).

తప్పులు జరిగే చోట్లు

• వక్రం x-అక్షాన్ని తాకి తిరిగి వెళ్తే అది ఒక శూన్యంగానే లెక్కిస్తారు.
• వక్రం పూర్తిగా అక్షం పైన/కింద ఉంటే శూన్యాలు 0.
• వక్రం ఎన్ని మలుపులు తిరిగినా, x-అక్షంతో ఖండన సంఖ్యే ముఖ్యం.

పరిమాణం గురించి: ఖండన బిందువులు 4 ఉంటే ఆ బహుపది పరిమాణం కనీసం 4.

ఉదా 1: p(x) = 2x² − 8x + 6 మధ్యపదం విడగొట్టడం: 2x² − 6x − 2x + 6 = 2x(x − 3) − 2(x − 3) = 2(x − 1)(x − 3). శూన్యాలు 1 మరియు 3.

• శూన్యాల మొత్తం = 1 + 3 = 4 = −(−8)/2 = −(x గుణకం)/(x² గుణకం)
• శూన్యాల లబ్ధం = 1 × 3 = 3 = 6/2 = స్థిరపదం/(x² గుణకం)

ఉదా 2: p(x) = 3x² + 5x − 2 3x² + 6x − x − 2 = 3x(x + 2) − 1(x + 2) = (3x − 1)(x + 2). శూన్యాలు 1/3, −2.

• మొత్తం = 1/3 + (−2) = −5/3 = −(5)/3 ✓
• లబ్ధం = (1/3)(−2) = −2/3 ✓

నిరూపణ (సాధారణ రూపం): α, β లు ax² + bx + c శూన్యాలైతే (x − α), (x − β) కారణాంకాలు: ax² + bx + c = k(x − α)(x − β) = kx² − k(α + β)x + kαβ గుణకాలు పోల్చగా: a = k, b = −k(α + β), c = kαβ. కాబట్టి

α + β = −b/a (శూన్యాల మొత్తం = −(x గుణకం)/(x² గుణకం)) αβ = c/a (శూన్యాల లబ్ధం = స్థిరపదం/(x² గుణకం))

త్వరిత సూత్రాలు

• x² + px + q రూపంలో: మొత్తం = −p, లబ్ధం = q.
• బహుపదిని k తో గుణించినా శూన్యాలు మారవు.

ఉదా (పుస్తకం 2): x² + 7x + 10 x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) ⇒ శూన్యాలు −2, −5.

• మొత్తం = −7 = −(7)/1 ✓
• లబ్ధం = 10 = 10/1 ✓

ఉదా (పుస్తకం 3): x² − 3 a² − b² = (a − b)(a + b) ఉపయోగించి x² − 3 = (x − √3)(x + √3) ⇒ శూన్యాలు √3, −√3.

• మొత్తం = 0 = −0/1 ✓
• లబ్ధం = −3 = −3/1 ✓

అభ్యాసం 2.2 (1) – సాధనలు

• బహుపది: x² − 2x − 8 | శూన్యాలు: 4, −2 | మొత్తం: 2 | లబ్ధం: −8
• బహుపది: 4s² − 4s + 1 | శూన్యాలు: 1/2, 1/2 | మొత్తం: 1 | లబ్ధం: 1/4
• బహుపది: 6x² − 3 − 7x | శూన్యాలు: 3/2, −1/3 | మొత్తం: 7/6 | లబ్ధం: −1/2
• బహుపది: 4u² + 8u | శూన్యాలు: 0, −2 | మొత్తం: −2 | లబ్ధం: 0
• బహుపది: t² − 15 | శూన్యాలు: √15, −√15 | మొత్తం: 0 | లబ్ధం: −15
• బహుపది: 3x² − x − 4 | శూన్యాలు: 4/3, −1 | మొత్తం: 1/3 | లబ్ధం: −4/3

(ఉదా: 6x² − 7x − 3 = (3x + 1)(2x − 3) ⇒ x = −1/3, 3/2; లబ్ధం = −3/6 = −1/2.)

శూన్యాలు కనుగొనే సులభ పద్ధతులు

• మధ్యపదం విడగొట్టడం: a × c లబ్ధంగా, b మొత్తంగా వచ్చే రెండు సంఖ్యలుగా విడగొట్టండి.
• x² − k రూపమైతే వర్గాల భేదం.
• స్థిరపదం లేని 4u² + 8u లో 4u ను బయటకు తీయండి.

పుస్తకం ఉదాహరణ 4: శూన్యాల మొత్తం −3, లబ్ధం 2 అయిన వర్గ బహుపది కనుగొనండి.

α + β = −3 = −b/a, αβ = 2 = c/a. a = 1 అనుకుంటే b = 3, c = 2 ⇒ x² + 3x + 2. ఇంకే ఇతర బహుపది అయినా k(x² + 3x + 2) రూపంలో ఉంటుంది (k వాస్తవ సంఖ్య).

సూత్రం: శూన్యాల మొత్తం S, లబ్ధం P అయితే బహుపది = x² − Sx + P (లేదా దాని గుణిజాలు).

అభ్యాసం 2.2 (2) – సాధనలు (మొత్తం, లబ్ధం)

• మొత్తం, లబ్ధం: 1/4, 1 | బహుపది (k = 1): x² − x/4 + 1 | పూర్ణాంక గుణకాలతో: 4x² − x + 4
• మొత్తం, లబ్ధం: √2, 1/3 | బహుపది (k = 1): x² − √2 x + 1/3 | పూర్ణాంక గుణకాలతో: 3x² − 3√2 x + 1
• మొత్తం, లబ్ధం: 0, √5 | బహుపది (k = 1): x² + √5 | పూర్ణాంక గుణకాలతో: x² + √5
• మొత్తం, లబ్ధం: 1, 1 | బహుపది (k = 1): x² − x + 1 | పూర్ణాంక గుణకాలతో: x² − x + 1
• మొత్తం, లబ్ధం: −1/4, 1/4 | బహుపది (k = 1): x² + x/4 + 1/4 | పూర్ణాంక గుణకాలతో: 4x² + x + 1
• మొత్తం, లబ్ధం: 4, 1 | బహుపది (k = 1): x² − 4x + 1 | పూర్ణాంక గుణకాలతో: x² − 4x + 1

📝 గమనిక: ఈ అభ్యాస ప్రశ్న 2 లోని సంఖ్యలు PDF లో కొంత అస్పష్టంగా ఉన్నాయి; పై జతలు చదవగలిగిన విలువలుగా తీసుకున్నాం — పుస్తకంలో సరిచూసుకోండి.

ముఖ్య గమనిక: x² − Sx + P లో x గుణకానికి −S గుర్తు వస్తుంది; స్థిరపదానికి +P. మొత్తం 0 అయితే x పదం ఉండదు.

ఉదాహరణ: p(x) = 2x³ − 5x² − 14x + 8. దీని శూన్యాలు 4, −2, 1/2 (p(x) కు గరిష్ఠంగా 3 శూన్యాలు, కాబట్టి ఇవే అన్నీ).

• మొత్తం = 4 + (−2) + 1/2 = 5/2 = −(−5)/2 = −(x² గుణకం)/(x³ గుణకం)
• లబ్ధం = 4 × (−2) × (1/2) = −4 = −8/2 = −(స్థిరపదం)/(x³ గుణకం)
• రెండేసి శూన్యాల లబ్ధాల మొత్తం = 4(−2) + (−2)(1/2) + (1/2)(4) = −8 − 1 + 2 = −7 = −14/2 = (x గుణకం)/(x³ గుణకం)

సాధారణ సూత్రం: α, β, γ లు ax³ + bx² + cx + d శూన్యాలైతే

α + β + γ = −b/a αβ + βγ + γα = c/a αβγ = −d/a

ఉదాహరణ 5 (పుస్తకంలో '*' – పరీక్ష దృష్ట్యా అవసరం లేదు): 3x³ − 5x² − 11x − 3 కు 3, −1, −1/3 శూన్యాలని సరిచూడండి: a = 3, b = −5, c = −11, d = −3.

• p(3) = 81 − 45 − 33 − 3 = 0
• p(−1) = −3 − 5 + 11 − 3 = 0
• p(−1/3) = 0 ✓
• మొత్తం = 3 − 1 − 1/3 = 5/3 = −b/a ✓
• జంట లబ్ధాల మొత్తం = (3)(−1) + (−1)(−1/3) + (−1/3)(3) = −3 + 1/3 − 1 = −11/3 = c/a ✓
• లబ్ధం = 3 × (−1) × (−1/3) = 1 = −(−3)/3 ✓

సూత్రాల గుర్తుల క్రమం: −b/a, +c/a, −d/a (గుర్తులు: −, +, −).

α + β = S = −b/a, αβ = P = c/a అని తెలిస్తే శూన్యాలను కనుగొనకుండానే ఈ విలువలు తెలుస్తాయి (ఇవి పుస్తకంలోని సూత్రాల నుండి వచ్చే బీజగణిత ఉత్పన్నాలు; పోటీ పరీక్షల కోసం అదనం).

• కావలసినది: α² + β² → S² − 2P
• కావలసినది: (α − β)² → S² − 4P
• కావలసినది: 1/α + 1/β → S/P
• కావలసినది: α³ + β³ → S³ − 3PS
• కావలసినది: α/β + β/α → (S² − 2P)/P

ఉదా: x² − 7x + 10 కు S = 7, P = 10.

• α² + β² = 49 − 20 = 29
• (α − β)² = 49 − 40 = 9 ⇒ |α − β| = 3 (శూన్యాలు 2, 5).
• 1/α + 1/β = 7/10.

ఘన బహుపదికి: α² + β² + γ² = (α + β + γ)² − 2(αβ + βγ + γα); 1/α + 1/β + 1/γ = (αβ + βγ + γα)/(αβγ).

కొత్త శూన్యాల బహుపది: శూన్యాలు α + 1, β + 1 కావాలంటే కొత్త మొత్తం = S + 2, కొత్త లబ్ధం = P + S + 1.

షరతులు

• ఒక శూన్యం మరో శూన్యానికి వ్యుత్క్రమం (reciprocal) అయితే లబ్ధం = 1 ⇒ c = a.
• ఒక శూన్యం మరో శూన్యానికి ఋణం అయితే మొత్తం = 0 ⇒ b = 0.
• శూన్యాలలో ఒకటి 0 అయితే c = 0.

ముఖ్య అంశాలు (పుస్తక సారాంశం)

1. పరిమాణం 1, 2, 3 బహుపదులను వరుసగా రేఖీయ, వర్గ, ఘన బహుపదులంటారు.
2. వాస్తవ గుణకాలతో వర్గ బహుపది: ax² + bx + c, a ≠ 0.
3. p(x) శూన్యాలు = y = p(x) గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల x-నిరూపకాలు.
4. వర్గ బహుపదికి గరిష్ఠంగా 2, ఘన బహుపదికి గరిష్ఠంగా 3 శూన్యాలు.
5. వర్గ: α + β = −b/a, αβ = c/a.
6. ఘన: α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a.

ఒక్క చూపులో సూత్రాలు

• అంశం: ax + b శూన్యం → −b/a
• అంశం: ax² + bx + c (మొత్తం, లబ్ధం) → −b/a, c/a
• అంశం: మొత్తం S, లబ్ధం P ఇస్తే → x² − Sx + P
• అంశం: ax³ + bx² + cx + d → −b/a, c/a, −d/a
• అంశం: పరిమాణం n → గరిష్ఠంగా n శూన్యాలు

ఇతర గమనికలు

• గ్రాఫ్‌లు గీయడం పరీక్షకు కాదు
• గ్రాఫ్ చదివి శూన్యాల సంఖ్య చెప్పగలగాలి.
• పరిచయంలో బహుపదుల భాగహార నియమం (Division algorithm) ప్రస్తావించారు, కానీ ఈ పాఠ్యభాగంలో దాని వివరణ/ఉదాహరణలు లేవు.