రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణ జత (Pair of Linear Equations in Two Variables)

ఒకే సందర్భంలో రెండు తెలియని రాశులు, రెండు షరతులు ఉన్నప్పుడు ఆ సందర్భాన్ని రెండు రేఖీయ సమీకరణాల జత (Pair of Linear Equations) గా రాస్తాం. పాఠ్యపుస్తకం పరిచయ ఉదాహరణ: అఖిల జాతరలో జెయింట్ వీల్ ఎక్కింది, హూప్లా ఆడింది.

పరిచయ సమస్య

• హూప్లా ఆడిన సార్లు = జెయింట్ వీల్ రైడ్ల సంఖ్యలో సగం
• ఒక రైడ్ ₹3, ఒక హూప్లా ఆట ₹4, మొత్తం ఖర్చు ₹20
• రైడ్ల సంఖ్య = x, హూప్లా ఆటలు = y అనుకుంటే: y = x/2 … (1) మరియు 3x + 4y = 20 … (2)

సాధన (లెక్క): (1) నుండి y = x/2. (2)లో ప్రతిక్షేపిస్తే 3x + 2x = 20 → 5x = 20 → x = 4, y = 2. అంటే 4 రైడ్లు, 2 హూప్లా ఆటలు (ఖర్చు 12 + 8 = ₹20 ✓).

అధ్యాయంలోని విషయాలు

• గ్రాఫ్ పద్ధతి (Graphical method)
• బీజీయ పద్ధతులు (Algebraic methods): ప్రతిక్షేపణ (Substitution), విలోపన (Elimination)
• స్థిరత్వ నియమాలు: a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ పోలిక
• పదాల సమస్యలు (Word problems): వయసులు, అంకెలు, భిన్నాలు, డబ్బు, ధరలు

సాధారణ రూపం (General Form) లో రేఖీయ సమీకరణాల జత:

• a₁x + b₁y + c₁ = 0
• a₂x + b₂y + c₂ = 0

ఇక్కడ a₁, b₁, c₁ మరియు a₂, b₂, c₂ లు గుణకాలు (coefficients).

సాధన (Solution): రెండు సమీకరణాలనూ ఒకేసారి తృప్తిపరిచే (x, y) జతను జత యొక్క సాధన అంటారు. గ్రాఫ్‌లో ఇది రెండు రేఖలకు ఉమ్మడి బిందువు.

జతల వర్గీకరణ (పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం)

• అస్థిర జత (Inconsistent pair): ఏ సాధనా లేని జత
• స్థిర జత (Consistent pair): సాధన ఉన్న జత
• ఆధారిత జత (Dependent pair):
  1. సమాన (equivalent) సమీకరణాలు
  2. అనంతమైన ఉమ్మడి సాధనలు ఉంటాయి. ఆధారిత జత ఎప్పుడూ స్థిరమే (always consistent).

• స్థిర – ఏకైక (Consistent) → సాధనల సంఖ్య: ఒక్కటే
• స్థిర – ఆధారిత (Dependent) → సాధనల సంఖ్య: అనంతం
• అస్థిర (Inconsistent) → సాధనల సంఖ్య: లేదు

గుణకాలు గుర్తుతో తీసుకోవాలి: 2x + 3y = 9 ను ప్రామాణిక రూపంలో రాస్తే 2x + 3y − 9 = 0; ఇక్కడ a = 2, b = 3, c = −9.

రెండు సరళరేఖలు (straight lines) సమతలంలో మూడు విధాలుగా ఉండవచ్చు:

(i) ఖండించే రేఖలు (Intersecting) – ఒకే బిందువులో కలుస్తాయి → ఏకైక సాధన, స్థిర జత. (ii) సమాంతర రేఖలు (Parallel) – ఎప్పుడూ కలవవు → సాధన లేదు, అస్థిర జత. (iii) ఏకీభవించే రేఖలు (Coincident) – ఒకే రేఖ → అనంత సాధనలు, ఆధారిత (స్థిర) జత.

పాఠ్యపుస్తకం ఇచ్చిన మూడు జతలు

• (i) x − 2y = 0 మరియు 3x + 4y − 20 = 0 → రేఖలు ఖండిస్తాయి
• (ii) 2x + 3y − 9 = 0 మరియు 4x + 6y − 18 = 0 → రేఖలు ఏకీభవిస్తాయి
• (iii) x + 2y − 4 = 0 మరియు 2x + 4y − 12 = 0 → రేఖలు సమాంతరం

సారాంశ పట్టిక

• ఖండన → సాధనలు: ఒక్కటి
• జత రకం: స్థిర (Consistent)
• సమాంతరం → సాధనలు: లేదు
• జత రకం: అస్థిర (Inconsistent)
• ఏకీభావం → సాధనలు: అనంతం
• జత రకం: ఆధారిత, స్థిర (Dependent)

a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 జతలో గుణకాల అనుపాతాలను పోల్చి రేఖల స్థితిని చెప్పవచ్చు (పాఠ్యపుస్తకం Table 3.1). సూత్రం ఇది:

• ఖండన → నియమం: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
• సాధన: ఏకైక (Consistent)
• ఏకీభావం → నియమం: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
• సాధన: అనంతం (Dependent)
• సమాంతరం → నియమం: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
• సాధన: లేదు (Inconsistent)

పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం ఈ నియమాల విపర్యయం (converse) కూడా సత్యం.

పట్టికలోని ధృవీకరణ

• x − 2y = 0, 3x + 4y − 20 = 0: a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = −2/4 = −1/2, 1/3 ≠ −1/2 → ఖండన
• 2x + 3y − 9 = 0, 4x + 6y − 18 = 0: 2/4 = 3/6 = 9/18 = 1/2 → ఏకీభావం
• x + 2y − 4 = 0, 2x + 4y − 12 = 0: 1/2 = 2/4 = 1/2 ≠ 4/12 = 1/3 → సమాంతరం

వేగంగా చెప్పే పద్ధతి (Shortcut)

1. రెండు సమీకరణాలను ax + by + c = 0 రూపంలో రాయండి (గుర్తులతో).
2. a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 అయితే → ఖండన (ఏకైక సాధన). (భిన్నాలు లేకుండా అడ్డ గుణనం.)
3. a₁b₂ − a₂b₁ = 0 అయితే → ఇంకా b₁c₂ − b₂c₁ ను చూడండి: అదీ 0 అయితే ఏకీభావం, కాకపోతే సమాంతరం.

ఉదాహరణలు

• 3x + 2y = 5, 2x − 3y = 7 → 3/2 ≠ 2/(−3) → ఖండన, స్థిరం
• 2x − 3y = 8, 4x − 6y = 9 → 2/4 = −3/−6 = 1/2, కానీ 8/9 ≠ 1/2 → సమాంతరం, అస్థిరం
• 5x − 3y = 11, −10x + 6y = −22 → 5/−10 = −3/6 = 11/−22 = −1/2 → ఏకీభావం

పరామితి (parameter) ప్రశ్నలు: "kx + 2y = 5, 3x + y = 1 కు ఏకైక సాధన" → k/3 ≠ 2/1 → k ≠ 6. సాధన లేదు కావాలంటే k = 6 (c లు అనుపాతంలో లేవు: 5/1 ≠ 2 ✓). ఇక్కడ అనంత సాధనలు అసాధ్యం.

గ్రాఫ్ పద్ధతి (Graphical Method) – దశలు

1. ప్రతి సమీకరణానికి కనీసం రెండు (మెరుగ్గా మూడు) సాధన బిందువులు కనుగొనండి (x = 0, y = 0 వంటివి ఎంచుకుంటే సులభం).
2. గ్రాఫ్ కాగితంపై బిందువులను గుర్తించి, ప్రతి సమీకరణానికి రేఖను గీయండి.
3. రేఖల స్థితి చూడండి: కలిస్తే ఆ బిందువు సాధన; సమాంతరమైతే సాధన లేదు; ఏకీభవిస్తే అనంతం.

ఉదాహరణ 1: x + 3y = 6 … (1), 2x − 3y = 12 … (2) స్థిరమేనా? గ్రాఫ్‌తో సాధించండి.

పట్టిక 3.2 (పాఠ్యపుస్తకం)

• (1):
  1. y = (6 − x)/3 → x = 0 అయితే y = 2
  2. x = 6 అయితే y = 0 → బిందువులు A(0, 2), B(6, 0)
• (2):
  1. y = (2x − 12)/3 → x = 0 అయితే y = −4
  2. x = 3 అయితే y = −2 → బిందువులు P(0, −4), Q(3, −2)

AB, PQ రేఖలు B(6, 0) వద్ద కలుస్తాయి. కాబట్టి x = 6, y = 0, జత స్థిరం.

ధృవీకరణ: (1) 6 + 0 = 6 ✓; (2) 12 − 0 = 12 ✓. బీజీయ తనిఖీ: రెండు సమీకరణాలు కలిపితే 3x = 18 → x = 6, y = 0.

గ్రాఫ్ పద్ధతి పరిమితి: సాధన (3, 2/7), (−1.75, 3.3), (4/13, 1/19) వంటి భిన్న/దశాంశ నిరూపకాలు అయితే గ్రాఫ్ నుండి కచ్చితంగా చదవడం కష్టం, తప్పులు జరుగుతాయి. అప్పుడు బీజీయ పద్ధతులు వాడతారు.

ఉదాహరణ 2: 5x − 8y + 1 = 0 … (1), 3x − (24/5)y + 3/5 = 0 … (2). సాధన ఉందా?

• (2) ను 5/3 తో గుణిస్తే 5x − 8y + 1 = 0 – ఇది (1) తో సరిగ్గా సమానం.
• కాబట్టి రేఖలు ఏకీభవిస్తాయి → అనంత సాధనలు (dependent).
• అనుపాతాల ద్వారా: 5/3 = −8/(−24/5) = 1/(3/5) = 5/3 ✓.

ఉదాహరణ 3 (చంపా – ప్యాంట్లు, స్కర్టులు): స్కర్టుల సంఖ్య = ప్యాంట్ల సంఖ్యకు రెట్టింపు − 2; మళ్ళీ స్కర్టులు = ప్యాంట్ల నాలుగు రెట్లు − 4.

• ప్యాంట్లు x, స్కర్టులు y అనుకుంటే: y = 2x − 2 … (1), y = 4x − 4 … (2)
• పట్టిక 3.3:
  1. (1) → (0, −2), (1, 0)
  2. (2) → (0, −4), (1, 0)
• రేఖలు (1, 0) వద్ద కలుస్తాయి → x = 1, y = 0. అంటే 1 ప్యాంట్ కొన్నది, స్కర్టులు కొనలేదు.
• తనిఖీ: 2(1) − 2 = 0 ✓, 4(1) − 4 = 0 ✓.

వ్యాయామం 3.1 నుండి ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు – సమాధానాలు

• 10 మంది X తరగతి విద్యార్థులు క్విజ్‌లో
• అమ్మాయిలు అబ్బాయిల కంటే 4 ఎక్కువ → b + g = 10, g = b + 4 → అబ్బాయిలు 3, అమ్మాయిలు 7.
• 5 పెన్సిళ్లు + 7 పెన్నులు = ₹50
• 7 పెన్సిళ్లు + 5 పెన్నులు = ₹46 → కూడితే 12(p + q) = 96 → p + q = 8
• తీస్తే q − p = 2 → పెన్సిల్ ₹3, పెన్ ₹5.
• దీర్ఘచతురస్ర తోట: పొడవు = వెడల్పు + 4, సగం చుట్టుకొలత 36 → l + w = 36, l = w + 4 → వెడల్పు 16 మీ, పొడవు 20 మీ.
• Q2:
  1. 5x−4y+8=0 & 7x+6y−9=0 → ఖండన
  2. 9x+3y+12=0 & 18x+6y+24=0 → ఏకీభావం
  3. 6x−3y+10=0 & 2x−y+9=0 → సమాంతరం.
• Q4:
  1. x+y=5, 2x+2y=10 → ఏకీభావం (స్థిరం)
  2. x−y=8, 3x−3y=16 → అస్థిరం
  3. 2x+y−6=0, 4x−2y−4=0 → స్థిరం (x=2, y=2)
  4. 2x−2y−2=0, 4x−4y−5=0 → అస్థిరం.
• Q3:
  1. 3x+2y=5, 2x−3y=7 స్థిరం
  2. 2x−3y=8, 4x−6y=9 అస్థిరం
  3. 5x−3y=11, −10x+6y=−22 స్థిరం (dependent).

Q6 – ఇచ్చిన 2x + 3y − 8 = 0 తో కొత్త సమీకరణం రాయండి

• ఖండన: ఉదా. x − y + 2 = 0 (a₁/a₂ ≠ b₁/b₂)
• సమాంతరం: 4x + 6y − 20 = 0 (a, b అనుపాతంలో, c కాదు)
• ఏకీభావం: 4x + 6y − 16 = 0

Q7 – x − y + 1 = 0, 3x + 2y − 12 = 0 మరియు x-అక్షంతో త్రిభుజం: రేఖల ఖండన (2, 3); x-అక్షంపై ఖండనలు (−1, 0), (4, 0). శీర్షాలు (−1, 0), (4, 0), (2, 3); భూమి 5, ఎత్తు 3 → వైశాల్యం 7.5 చ.యూ.

ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి (Substitution Method) – దశలు (పాఠ్యపుస్తకం)

1. సౌకర్యవంతమైన ఒక సమీకరణం నుండి ఒక చరరాశి విలువను రెండో చరరాశి పరంగా రాయండి (ఉదా. x = 3 − 2y).
2. దాన్ని రెండో సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి ఒక చరరాశి సమీకరణంగా మార్చి సాధించండి.
3. ఆ విలువను మొదటి దశలోని సమీకరణంలో ఉంచి రెండో చరరాశి విలువ కనుక్కోండి.

చరరాశి లేని ఫలితం వస్తే

• నిజమైన ప్రవచనం (ఉదా. 18 = 18) → అనంత సాధనలు
• తప్పు ప్రవచనం (ఉదా. −4 = 0) → సాధన లేదు (అస్థిరం)

ఉదాహరణ 4: x + 2y = 3 … (2), 7x − 15y = 2 … (1)

• (2) నుండి x = 3 − 2y … (3)
• (1)లో: 7(3 − 2y) − 15y = 2 → 21 − 14y − 15y = 2 → −29y = −19 → y = 19/29
• (3)లో: x = 3 − 2(19/29) = (87 − 38)/29 = 49/29
• తనిఖీ:
  1. x + 2y = 49/29 + 38/29 = 87/29 = 3 ✓
  2. 7x − 15y = (343 − 285)/29 = 2 ✓.

ఏ చరరాశిని ఎంచుకోవాలి? (షార్ట్‌కట్)

• గుణకం 1 లేదా −1 ఉన్న చరరాశిని వేరుచేయండి – భిన్నాలు రావు (ఇక్కడ x + 2y = 3 లో x).
• గుణకాలు పెద్దగా/భిన్నంగా ఉంటే ప్రతిక్షేపణ కంటే విలోపన (elimination) వేగం.

ఉదాహరణ 5 (అఫ్తాబ్ – వయసులు): "ఏడేళ్ల క్రితం నేను నీ వయసుకు 7 రెట్లు; ఇప్పటి నుండి 3 ఏళ్లకు 3 రెట్లు." తండ్రి వయసు s, కూతురు t.

• s − 7 = 7(t − 7) → s − 7t + 42 = 0 … (1)
• s + 3 = 3(t + 3) → s − 3t = 6 … (2)
• (2) నుండి s = 3t + 6
• (1)లో: 3t + 6 − 7t + 42 = 0 → 4t = 48 → t = 12, s = 42.

ఉదాహరణ 6 (పెన్సిళ్లు, రబ్బర్లు): 2x + 3y = 9 … (1), 4x + 6y = 18 … (2)

• (1) నుండి x = (9 − 3y)/2
• (2)లో 2(9 − 3y) + 6y = 18 → 18 = 18 (నిజం).
• రెండు సమీకరణాలు ఒకటే → అనంత సాధనలు
• ఒక్క ధరను ప్రత్యేకంగా కనుగొనలేము. (అనుపాతాలు 2/4 = 3/6 = 9/18.)

ఉదాహరణ 7 (రైలు పట్టాలు): x + 2y − 4 = 0, 2x + 4y − 12 = 0.

• x = 4 − 2y
• ప్రతిక్షేపిస్తే 2(4 − 2y) + 4y − 12 = 0 → 8 − 12 = 0 → −4 = 0 (తప్పు).
• సాధన లేదు → పట్టాలు కలవవు (సమాంతరం).

వ్యాయామం 3.2 – సమాధానాలు (ప్రతిక్షేపణ)

• x + y = 14, x − y = 4 → x = 9, y = 5
• s − t = 3, s/3 + t/2 = 6 → s = 9, t = 6
• 3x − y = 3, 9x − 3y = 9 → రెండూ ఒకటే → అనంత సాధనలు
• 0.2x + 0.3y = 1.3, 0.4x + 0.5y = 2.3 → x = 2, y = 3
• √2x + √3y = 0, √3x − √8y = 0 → x = 0, y = 0
• 3x/2 − 5y/3 = −2, x/3 + y/2 = 13/6 → x = 2, y = 3
• 2x + 3y = 11, 2x − 4y = −24 → y = 5, x = −2
• y = mx + 3 లో 5 = −2m + 3 → m = −1
• రెండు సంఖ్యల భేదం 26, ఒకటి రెండో దానికి 3 రెట్లు → 39 మరియు 13
• రెండు సంపూరక కోణాల్లో పెద్దది చిన్నదానికంటే 18° ఎక్కువ → 99° మరియు 81°
• 7 బ్యాట్లు + 6 బంతులు = ₹3800
• 3 బ్యాట్లు + 5 బంతులు = ₹1750 → బ్యాట్ ₹500, బంతి ₹50
• టాక్సీ:
  1. 10 కి.మీ ₹105, 15 కి.మీ ₹155 → స్థిర ఛార్జీ ₹5, కి.మీ.కు ₹10
  2. 25 కి.మీ ఛార్జీ = ₹255
• భిన్నం: లవహారాలకు 2 కలిపితే 9/11, 3 కలిపితే 5/6 → 7/9
• జాకబ్ – కొడుకు: 5 ఏళ్ల తర్వాత 3 రెట్లు, 5 ఏళ్ల క్రితం 7 రెట్లు → జాకబ్ 40, కొడుకు 10

విలోపన పద్ధతి (Elimination Method): ఒక చరరాశిని తొలగించి (eliminate) ఒక చరరాశి సమీకరణంగా మార్చడం. ప్రతిక్షేపణ కంటే ఇది తరచుగా సౌకర్యం.

దశలు (పాఠ్యపుస్తకం)

1. రెండు సమీకరణాలను తగిన శూన్యేతర స్థిరాంకాలతో గుణించి, ఒక చరరాశి గుణకాలను సంఖ్యాత్మకంగా సమానం చేయండి.
2. సమీకరణాలను కూడండి లేదా తీసివేయండి, ఒక చరరాశి పోతుంది. (ఒక చరరాశి సమీకరణం వస్తే మూడో దశ.)

• చరరాశి లేని నిజ ప్రవచనం వస్తే → అనంత సాధనలు
• చరరాశి లేని తప్పు ప్రవచనం వస్తే → సాధన లేదు (అస్థిరం)

1. వచ్చిన ఒక చరరాశి సమీకరణాన్ని సాధించండి.
2. ఆ విలువను ఏదైనా అసలు సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి రెండో చరరాశి కనుక్కోండి.

కూడాలా, తీయాలా? (షార్ట్‌కట్)

• తొలగించదలచిన చరరాశి గుణకాలు ఒకే గుర్తు అయితే → తీసివేయండి
• గుణకాలు వ్యతిరేక గుర్తులు అయితే → కూడండి

ఉదాహరణ 8 (ఆదాయాల నిష్పత్తి): ఇద్దరి ఆదాయాల నిష్పత్తి 9 : 7, ఖర్చుల నిష్పత్తి 4 : 3, ఇద్దరూ నెలకు ₹2000 పొదుపు చేస్తారు. ఆదాయాలు ₹9x, ₹7x; ఖర్చులు ₹4y, ₹3y.

• 9x − 4y = 2000 … (1)
• 7x − 3y = 2000 … (2)
• (1) ను 3 తో, (2) ను 4 తో గుణిస్తే:
  1. 27x − 12y = 6000
  2. 28x − 12y = 8000
• తీసివేస్తే x = 2000
• (1)లో 18000 − 4y = 2000 → y = 4000
• ఆదాయాలు ₹18,000 మరియు ₹14,000
• తనిఖీ:
  1. 18000 : 14000 = 9 : 7
  2. ఖర్చులు 16000 : 12000 = 4 : 3 ✓

ఉదాహరణ 9: 2x + 3y = 8 … (1), 4x + 6y = 7 … (2)

• (1) × 2:
  1. 4x + 6y = 16 … (3)
  2. (2) × 1: 4x + 6y = 7 … (4)
• (3) − (4): 0 = 9 → తప్పు ప్రవచనం → సాధన లేదు.
• అనుపాతాలు: 2/4 = 3/6 ≠ 8/7 → సమాంతరం ✓.

ఉదాహరణ 10 (రెండంకెల సంఖ్య): ఒక రెండంకెల సంఖ్య + దాని అంకెలను తిప్పగా వచ్చిన సంఖ్య = 66; అంకెల భేదం 2. అలాంటి సంఖ్యలు ఎన్ని?

• పదుల అంకె x, ఒకట్ల అంకె y → సంఖ్య = 10x + y
• తిప్పితే 10y + x.
• (10x + y) + (10y + x) = 66 → 11(x + y) = 66 → x + y = 6 … (1)
• భేదం 2: x − y = 2 … (2) లేదా y − x = 2 … (3)
• (1), (2):
  1. x = 4, y = 2 → సంఖ్య 42
  2. (1), (3): x = 2, y = 4 → సంఖ్య 24.
• కాబట్టి రెండు సంఖ్యలు: 42 మరియు 24. (42 + 24 = 66, భేదం 2 ✓.)

వ్యాయామం 3.3 – సమాధానాలు

• x + y = 5, 2x − 3y = 4 → x = 19/5, y = 6/5
• 3x + 4y = 10, 2x − 2y = 2 → x = 2, y = 1
• 3x − 5y − 4 = 0, 9x = 2y + 7 → x = 9/13, y = −5/13
• x/2 + 2y/3 = −1, x − y/3 = 3 → x = 2, y = −3
• భిన్నం:
  1. లవానికి 1 కలిపి హారం నుండి 1 తీస్తే 1
  2. హారానికి మాత్రమే 1 కలిపితే 1/2 → 3/5
• నూరి వయసు 5 ఏళ్ల క్రితం సోను వయసుకు 3 రెట్లు
• 10 ఏళ్ల తర్వాత 2 రెట్లు → నూరి 50, సోను 20
• రెండంకెల సంఖ్య అంకెల మొత్తం 9
• సంఖ్యకు 9 రెట్లు = అంకెలు తిప్పిన సంఖ్యకు 2 రెట్లు → 18
• మీనా ₹2000 కోసం ₹50, ₹100 నోట్లు, మొత్తం 25 నోట్లు → ₹50 నోట్లు 10, ₹100 నోట్లు 15
• లైబ్రరీ:
  1. మొదటి 3 రోజులకు స్థిర ఛార్జీ, తర్వాత రోజుకు అదనం
  2. 7 రోజులకు ₹27, 5 రోజులకు ₹21 → స్థిర ఛార్జీ ₹15, అదనపు రోజుకు ₹3

మూడు పద్ధతుల పోలిక

• గ్రాఫ్ (Graphical) → ఎప్పుడు ఉపయోగకరం: సాధన పూర్ణాంకాలైతే, దృశ్యీకరణకు
• బలహీనత: భిన్న/దశాంశ సాధనలలో తప్పులు
• ప్రతిక్షేపణ (Substitution) → ఎప్పుడు ఉపయోగకరం: ఒక చరరాశి గుణకం ±1 ఉన్నప్పుడు
• బలహీనత: లేకపోతే భిన్నాలు
• విలోపన (Elimination) → ఎప్పుడు ఉపయోగకరం: సాధారణంగా వేగవంతం
• బలహీనత: గుణించడంలో జాగ్రత్త

బీజీయ పద్ధతి ఫలితాల చదువు

• x = అంకె, y = అంకె → అర్థం: ఏకైక సాధన (ఖండన)
• 0 = 0 వంటి నిజ ప్రవచనం → అర్థం: అనంత సాధనలు (ఏకీభావం)
• 0 = 9 వంటి తప్పు ప్రవచనం → అర్థం: సాధన లేదు (సమాంతరం)

గుణకాల సంబంధ షార్ట్‌కట్‌లు

• ఒక సమీకరణం రెండో దానికి స్థిరాంకంతో గుణకం (c తో సహా పూర్తిగా) → ఏకీభావం.
• x, y గుణకాలు మాత్రమే అనుపాతం, c కాదు → సమాంతరం.

ఒకే జతను మూడు పద్ధతులతో (x + y = 5, x − y = 1): గ్రాఫ్‌లో (3, 2) వద్ద ఖండన; ప్రతిక్షేపణ: x = 5 − y → 5 − 2y = 1 → y = 2, x = 3; విలోపన: కూడితే 2x = 6 → x = 3, y = 2. మూడింటిలో ఒకే సమాధానం.

గమనిక: ఈ సూత్రం మీ పాఠ్యపుస్తకం ఈ అధ్యాయంలో లేదు; ఇది విలోపన పద్ధతికి సాధారణ రూపం (a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 ను విలోపనంతో సాధిస్తే వచ్చేది). పోటీ పరీక్షల్లో లెక్కల వేగానికి ఉపయోగపడుతుంది.

సూత్రం

• x = (b₁c₂ − b₂c₁) / (a₁b₂ − a₂b₁)
• y = (c₁a₂ − c₂a₁) / (a₁b₂ − a₂b₁)
• వర్తించే షరతు: a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 (అంటే a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, ఖండన సందర్భం).

గుర్తుపెట్టుకునే పద్ధతి: x/(b₁c₂ − b₂c₁) = y/(c₁a₂ − c₂a₁) = 1/(a₁b₂ − a₂b₁).

ఉదాహరణ: 2x + 3y − 8 = 0 మరియు x + 2y − 5 = 0.

• a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = −8
• a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = −5
• a₁b₂ − a₂b₁ = 4 − 3 = 1
• x = (3 × (−5) − 2 × (−8)) / 1 = −15 + 16 = 1
• y = ((−8) × 1 − (−5) × 2) / 1 = −8 + 10 = 2
• తనిఖీ:
  1. 2 + 6 = 8 ✓
  2. 1 + 4 = 5 ✓.

పాఠ్యపుస్తక ఉదాహరణతో పోలిక: 9x − 4y − 2000 = 0, 7x − 3y − 2000 = 0 → a₁b₂ − a₂b₁ = −27 + 28 = 1; x = ((−4)(−2000) − (−3)(−2000))/1 = 8000 − 6000 = 2000 ✓ (Ex. 8 తో సరిపోయింది).

అధ్యాయ సారాంశం (Summary 5) చెప్పినట్లు, కొన్ని సందర్భాలు మొదట రేఖీయ సమీకరణాలు కావు, కానీ తగిన మార్పుతో రేఖీయ జతగా మారతాయి. (పాఠ్యపుస్తకంలో ఇది సారాంశంలో ప్రస్తావన మాత్రమే; కింది విధానం పోటీ పరీక్షల కోసం అదనం.)

ప్రతిలోమ రూపం (Reciprocal type): a/x + b/y = c

• 1/x = u, 1/y = v అనుకుంటే సమీకరణం au + bv = c అవుతుంది (రేఖీయం).
• u, v కనుగొన్నాక x = 1/u, y = 1/v.

ఉదాహరణ: 2/x + 3/y = 13 మరియు 5/x − 4/y = −2.

• 2u + 3v = 13 … (1)
• 5u − 4v = −2 … (2)
• (1) × 4:
  1. 8u + 12v = 52
  2. (2) × 3: 15u − 12v = −6 → కూడితే 23u = 46 → u = 2
• (1)లో 4 + 3v = 13 → v = 3
• కాబట్టి x = 1/2, y = 1/3. తనిఖీ: 2/(1/2) + 3/(1/3) = 4 + 9 = 13 ✓.

ఇతర రూపాలు

• భిన్న సమీకరణాలు (పాఠ్యపుస్తకం ఉదా.: 3x/2 − 5y/3 = −2, x/3 + y/2 = 13/6): LCM తో గుణించి భిన్నాలు తొలగించండి (→ 9x − 10y = −12, 2x + 3y = 13).
• దశాంశ సమీకరణాలు (0.2x + 0.3y = 1.3): 10 తో గుణించి పూర్ణాంకాలు చేయండి.
• 1/(x + y), 1/(x − y) వంటి వాటిలో p = 1/(x + y), q = 1/(x − y) మార్పు వాడవచ్చు.

ఈ అధ్యాయంలోని పదాల సమస్యలను సమీకరణాల జతగా మార్చే సాధారణ పద్ధతి: ① రెండు చరరాశులను పేర్కొనండి, ② రెండు షరతులను సమీకరణాలుగా రాయండి, ③ ఏదో ఒక పద్ధతితో సాధించండి, ④ షరతులతో తనిఖీ చేయండి.

ప్రధాన రకాలు మరియు సమీకరణ ఏర్పాటు

• రెండంకెల సంఖ్య → చరరాశులు: పదుల x, ఒకట్లు y
• సమీకరణ ఏర్పాటు: సంఖ్య = 10x + y
• తిప్పిన సంఖ్య = 10y + x
• భిన్నం → చరరాశులు: లవం x, హారం y
• సమీకరణ ఏర్పాటు: (x + a)/(y + b) = k → అడ్డ గుణించండి
• వయసులు → చరరాశులు: ఇప్పటి వయసులు
• సమీకరణ ఏర్పాటు: n ఏళ్ల క్రితం (వయసు − n), తర్వాత (వయసు + n)
• ధరలు → చరరాశులు: ఒక్కొక్కటి ధర
• సమీకరణ ఏర్పాటు: మొత్తం ధరలతో రెండు సమీకరణాలు
• నోట్లు → చరరాశులు: నోట్ల సంఖ్యలు
• సమీకరణ ఏర్పాటు: సంఖ్య సమీకరణం + విలువ సమీకరణం
• స్థిర + చర ఛార్జీ → చరరాశులు: స్థిర f, యూనిట్ ధర e
• సమీకరణ ఏర్పాటు: f + n₁e = A, f + n₂e = B
• సంపూరక కోణాలు → చరరాశులు: రెండు కోణాలు
• సమీకరణ ఏర్పాటు: x + y = 180°, x − y = భేదం
• చుట్టుకొలత → చరరాశులు: పొడవు, వెడల్పు
• సమీకరణ ఏర్పాటు: l + w = సగం చుట్టుకొలత, l = w + k

పాఠ్యపుస్తక ఉదాహరణల సమీక్ష

• టాక్సీ: f + 10e = 105, f + 15e = 155 → తీసివేస్తే 5e = 50, e = 10, f = 5. 25 కి.మీ → 5 + 250 = ₹255.
• లైబ్రరీ: మొదటి 3 రోజులకు స్థిరం కాబట్టి 7 రోజులకు అదనపు రోజులు 4, 5 రోజులకు 2 → f + 4e = 27, f + 2e = 21 → e = 3, f = 15.
• నోట్లు: a + b = 25, 50a + 100b = 2000 → a + 2b = 40 → b = 15, a = 10.
• ఆదాయ నిష్పత్తి:
  1. ఆదాయం 9x, 7x
  2. ఖర్చు 4y, 3y రూపంలో తీసుకుంటే నిష్పత్తి షరతు ఆటోమేటిక్‌గా తృప్తి అవుతుంది.

వేగంగా తెలిసే చిట్కాలు

• 5 పెన్సిళ్లు + 7 పెన్నులు, 7 పెన్సిళ్లు + 5 పెన్నులు వంటి "తారుమారు" రకంలో కూడితే 12(పెన్సిల్ + పెన్) = మొత్తం
• తీసివేస్తే 2(పెన్ − పెన్సిల్) = భేదం.
• సంఖ్య + తిప్పిన సంఖ్య = 11(x + y)
• సంఖ్య − తిప్పిన సంఖ్య = 9(x − y).

ముఖ్య సూత్రాలు

• సాధారణ రూపం: a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0
• ఏకైక సాధన ⟺ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (ఖండన, స్థిరం)
• అనంత సాధనలు ⟺ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ (ఏకీభావం, ఆధారిత)
• సాధన లేదు ⟺ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (సమాంతరం, అస్థిరం)
• అడ్డ గుణకార సూత్రం: x = (b₁c₂ − b₂c₁)/(a₁b₂ − a₂b₁), y = (c₁a₂ − c₂a₁)/(a₁b₂ − a₂b₁)
• రెండంకెల సంఖ్య:
  1. 10x + y
  2. తిప్పితే 10y + x

అధ్యాయ సారాంశం (పాఠ్యపుస్తకం)

1. రేఖీయ సమీకరణాల జతను గ్రాఫ్ పద్ధతితో లేదా బీజీయ పద్ధతితో సాధించవచ్చు.
2. గ్రాఫ్ పద్ధతి: రేఖలు ఖండిస్తే ఏకైక సాధన (స్థిరం); ఏకీభవిస్తే అనంత సాధనలు (ఆధారిత, స్థిరం); సమాంతరమైతే సాధన లేదు (అస్థిరం).
3. బీజీయ పద్ధతులు: ప్రతిక్షేపణ, విలోపన.
4. అనుపాతాల ఆధారంగా మూడు సందర్భాలు.
5. రేఖీయం కాని కొన్ని సందర్భాలను రేఖీయ జతగా మార్చవచ్చు.

స్వీయ పరీక్ష (త్వరగా)

• 4x + 6y = 18 మరియు 2x + 3y = 9 → ఏకీభావం (అనంతం)
• 2x − 3y = 8, 4x − 6y = 9 → సమాంతరం (సాధన లేదు)
• x + y = 14, x − y = 4 → (9, 5)
• 3x + 4y = 10, 2x − 2y = 2 → (2, 1)

పరీక్షలో తరచుగా చేసే తప్పులు

• c గుర్తు వదిలేయడం (2x + 3y = 9 లో c = −9).
• గుణించేటప్పుడు స్థిరాంకాన్ని గుణించడం మరచిపోవడం.
• సాధన కనుగొన్నాక రెండో సమీకరణంలో తనిఖీ చేయకపోవడం.
• "స్థిరం"ను "ఏకైక సాధన" మాత్రమే అనుకోవడం (అనంతం కూడా స్థిరమే).