అనుపాత నియమాలు a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ (Consistency Conditions)

Correct: B — a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

ఖండన (ఏకైక సాధన) కు x, y గుణకాల అనుపాతాలు సమానం కాకూడదు: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂. c లతో సంబంధం లేదు.

Correct: C — a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

సమాంతరం: గుణకాల అనుపాతాలు సమానం, స్థిరపదాల అనుపాతం భిన్నం. రెండూ మూడూ సమానమైతే ఏకీభావం.

Correct: B — ఖండించే రేఖలు

a₁/a₂ = 3/2, b₁/b₂ = 2/(−3) = −2/3. 3/2 ≠ −2/3 → ఖండన → ఏకైక సాధన (స్థిరం).

Correct: C — సమాంతర రేఖలు

a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = −3/−6 = 1/2, కానీ c₁/c₂ = 8/9 ≠ 1/2 → సమాంతరం → సాధన లేదు (అస్థిరం).

Correct: D — అనంత సాధనలతో ఆధారిత జత

5/(−10) = −3/6 = 11/(−22) = −1/2. మూడు అనుపాతాలూ సమానం → ఏకీభావం → అనంత సాధనలు (dependent, consistent).

Correct: A — k = 6

ఏకైక సాధనకు k/3 ≠ 2/1 → k ≠ 6. కాబట్టి k = 6 అయితే ఏకైక సాధన ఉండదు (అప్పుడు 5/1 ≠ 2 కాబట్టి సాధన పూర్తిగా లేదు).

Correct: B — 7

అనంతం కోసం (k − 1)/2 = (k + 2)/3 = 3k/7. మొదటి రెండింటి నుండి 3k − 3 = 2k + 4 → k = 7. తనిఖీ: 6/2 = 9/3 = 21/7 = 3 ✓.

Correct: B — 2x + y = 6 మరియు 4x + 2y = 12

2/4 = 1/2 = 6/12 → ఏకీభావం. మిగిలినవి: x + y = 2 & 2x + 2y = 5 → 1/2 = 1/2 ≠ 2/5 (సమాంతరం); x − y = 1 & x + y = 3 → 1 ≠ −1 (ఖండన); 2x + 3y = 5 & 4x + 6y = 11 → 5/11 ≠ 1/2 (సమాంతరం).

Correct: D — సమాంతరం లేదా ఏకీభావం (c అనుపాతంపై ఆధారపడి)

a₁/a₂ = b₁/b₂ అయినప్పుడు రేఖలకు ఒకే వాలు ఉంటుంది. c₁/c₂ కూడా సమానమైతే ఏకీభావం, లేకపోతే సమాంతరం; ఖండన కాదు.

Correct: A — 10

3x − y − 5 = 0 మరియు 6x − 2y − k = 0: 3/6 = (−1)/(−2) = (−5)/(−k) → 1/2 = 5/k → k = 10. అప్పుడు రెండో సమీకరణం మొదటిదానికి 2 రెట్లు.