త్రికోణమితి పరిచయం (Introduction to Trigonometry)

త్రికోణమితి (Trigonometry) అంటే త్రిభుజం యొక్క భుజాలకు, కోణాలకు మధ్య ఉన్న సంబంధాల అధ్యయనం. కొలవకుండానే ఎత్తులు, దూరాలను లెక్కించడానికి ఈ శాఖ ఉపయోగపడుతుంది.

పదం పుట్టుక

• Trigonometry అనే పదం గ్రీకు పదాల నుండి వచ్చింది: tri (మూడు), gon (భుజాలు), metron (కొలత).
• త్రికోణమితిపై నమోదైన తొలి పని ఈజిప్ట్, బాబిలోన్‌లలో కనిపిస్తుంది.
• ప్రాచీన ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలు భూమి నుండి నక్షత్రాలు, గ్రహాల దూరాలను కనుగొనడానికి దీన్ని వాడారు.
• నేటికీ ఇంజినీరింగ్, భౌతిక శాస్త్రాల్లోని అధునాతన పద్ధతులు త్రికోణమితి భావనలపైనే ఆధారపడతాయి.

పాఠ్యపుస్తకంలోని మూడు సందర్భాలు (కల్పిత లంబకోణ త్రిభుజాలు)

• కుతుబ్ మినార్ కొనను చూస్తున్న విద్యార్థి – మినార్ ఎత్తు కొలవకుండా కనుగొనడం.
• నదీ తీరంలో బాల్కనీలో కూర్చున్న అమ్మాయి, ఎదురు ఒడ్డున ఉన్న దేవాలయ మెట్టుపై కుండీని చూడటం – ఆమె కూర్చున్న ఎత్తు తెలిస్తే నది వెడల్పు కనుగొనడం.
• ఆకాశంలో ఎగురుతున్న వేడి గాలి బెలూన్ A నుండి B కి వెళ్ళింది – B ఎత్తు (altitude) కనుగొనడం.

ఈ అధ్యాయం పరిధి

• లంబకోణ త్రిభుజంలో ఒక అల్ప కోణం (acute angle) దృష్ట్యా భుజాల నిష్పత్తులు = త్రికోణమితి నిష్పత్తులు (Trigonometric ratios).
• చర్చ అల్ప కోణాలకే పరిమితం
• అయితే 0° మరియు 90° లకు కూడా నిష్పత్తులను నిర్వచిస్తారు.
• కొన్ని ప్రత్యేక కోణాలకు విలువలు లెక్కించి, త్రికోణమితి సర్వసమానతలను (Trigonometric identities) నిరూపిస్తారు.

లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో B = 90° అనుకుందాం. అల్ప కోణం A ను తీసుకుంటే భుజాలకు ఈ పేర్లు వస్తాయి.

భుజాల నిర్వచనం (కోణం A దృష్ట్యా)

• ఎదుటి భుజం (Side opposite to angle A) = BC → కోణం A కు ఎదురుగా ఉంటుంది.
• కర్ణం (Hypotenuse) = AC → లంబకోణానికి ఎదురుగా ఉండే అతి పొడవైన భుజం.
• ఆసన్న భుజం (Side adjacent to angle A) = AB → కోణం A ను ఏర్పరచే భుజాల్లో కర్ణం కాని భుజం.

కోణం మారితే భుజాల స్థానం మారుతుంది

• కోణం A బదులు కోణం C ను తీసుకుంటే:
  1. ఎదుటి భుజం = AB, ఆసన్న భుజం = BC
  2. కర్ణం మాత్రం AC గానే ఉంటుంది.
• అంటే 'ఎదుటి', 'ఆసన్న' అనేవి ఏ కోణం తీసుకున్నామనే దానిపై ఆధారపడతాయి
• కర్ణం ఎప్పుడూ మారదు.

త్వరిత పద్ధతి

• ముందు లంబకోణాన్ని గుర్తించండి → దానికి ఎదురుగా కర్ణం.
• ఇచ్చిన కోణాన్ని చూసి దానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజాన్ని 'ఎదుటి' అనండి
• మిగిలిన భుజం 'ఆసన్న'.
• పైథాగరస్ సిద్ధాంతం: AC² = AB² + BC² (కర్ణం² = ఎదుటి² + ఆసన్న²).

లంబకోణ త్రిభుజం ABC (B = 90°) లో కోణం A కు నిర్వచనాలు:

• sin A (సైన్) = ఎదుటి భుజం / కర్ణం = BC/AC
• cos A (కొసైన్) = ఆసన్న భుజం / కర్ణం = AB/AC
• tan A (టాన్జెంట్) = ఎదుటి భుజం / ఆసన్న భుజం = BC/AB
• cosec A (కొసెకెంట్) = 1/sin A = కర్ణం / ఎదుటి భుజం = AC/BC
• sec A (సెకెంట్) = 1/cos A = కర్ణం / ఆసన్న భుజం = AC/AB
• cot A (కొటాన్జెంట్) = 1/tan A = ఆసన్న భుజం / ఎదుటి భుజం = AB/BC

ముఖ్య సంబంధాలు

• cosec A, sec A, cot A లు వరుసగా sin A, cos A, tan A ల వ్యుత్క్రమాలు (reciprocals).
• tan A = sin A / cos A (ఎందుకంటే (BC/AC) ÷ (AB/AC) = BC/AB).
• cot A = cos A / sin A.
• భుజాలను తిరగేస్తే వ్యుత్క్రమం వస్తుంది – ఇదే గుర్తుంచుకునే మార్గం.

గుర్తుంచుకునే సూత్రం (Shortcut)

• గుర్తు:
  1. sin, cos లకు హరం ఎప్పుడూ కర్ణం
  2. tan లో హరం ఆసన్న భుజం, లవం ఎదుటి భుజం.

కోణం C కు నిష్పత్తులు (పుస్తకం ప్రశ్న): sin C = AB/AC, cos C = BC/AC, tan C = AB/BC. దీని నుండి sin A = cos C, cos A = sin C అని తెలుస్తుంది (A + C = 90°).

పరిధి

• sin A, cos A విలువలు 1 కంటే తక్కువ (గరిష్ఠంగా 1కి సమానం), ఎందుకంటే కర్ణం అతి పొడవైన భుజం.
• sec A, cosec A విలువలు ఎప్పుడూ 1 కి సమానం లేదా అంతకంటే ఎక్కువ.
• tan A, cot A కు ఏ ధన విలువైనా సాధ్యం.

చారిత్రక విశేషాలు

• ఇప్పుడు వాడుతున్న 'సైన్' భావన తొలిసారి క్రీ.శ. 500లో ఆర్యభటుడు (Aryabhata, క్రీ.శ. 476–550) రచించిన ఆర్యభట్టీయం లో కనిపిస్తుంది. ఆయన అర్ధ-జ్య (ardha-jya – అర్ధ జ్యా) అనే పదం వాడారు
• అది క్రమంగా జ్య లేదా జీవ గా కుదించబడింది.
• ఆర్యభట్టీయం అరబిక్‌లోకి అనువదించినప్పుడు 'జీవ' పదాన్ని అలాగే ఉంచారు
• అరబిక్ నుండి లాటిన్‌లోకి అనువదించినప్పుడు అది sinus (అంటే వక్రం/curve) అయింది
• అదే 'sine' గా యూరప్ అంతా ప్రాచుర్యం పొందింది.
• sin అనే సంక్షిప్త సంజ్ఞను మొదట వాడినవాడు ఇంగ్లీష్ ఖగోళ ప్రొఫెసర్ ఎడ్మండ్ గుంటర్ (Edmund Gunter, 1581–1626).
• cosine పూరక కోణం (complementary angle) సైన్ లెక్కించే అవసరం నుండి పుట్టింది
• ఆర్యభటుడు దీన్ని కోటిజ్య (kotijya) అన్నాడు. cosinus పేరు గుంటర్ నుండి
• 1674లో సర్ జోనాస్ మూర్ cos సంక్షిప్త సంజ్ఞ వాడాడు.

సంకేతాల నియమాలు

• sin A అనేది 'కోణం A యొక్క సైన్' కు సంక్షిప్త రూపం – ఇది sin × A (లబ్ధం) కాదు. A నుండి వేరు చేసిన 'sin' కు అర్థం లేదు. cos, tan మొదలైనవాటికి కూడా ఇదే.
• sin²A, cos²A అంటే (sin A)², (cos A)².
• cosec A = (sin A)⁻¹ = 1/sin A. కానీ sin⁻¹A (సైన్ ఇన్వర్స్ A) అర్థం వేరు – పై తరగతుల్లో చదువుతారు. ఇతర నిష్పత్తులకూ ఇదే వర్తిస్తుంది.
• కోణాన్ని సూచించడానికి కొన్నిసార్లు గ్రీకు అక్షరం θ (తీటా) వాడతారు.

నిష్పత్తులు త్రిభుజం పరిమాణంపై ఆధారపడవు

• కర్ణం AC పై బిందువు P (లేదా AC ను పొడిగించి Q) తీసుకొని AB కి లంబాలు PM, QN గీస్తే, త్రిభుజాలు PAM, CAB, QAN లు AA సామ్యతా నియమం (AA similarity) వల్ల సరూపాలు.
• సరూప త్రిభుజాల్లో అనురూప భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి: AM/AB = AP/AC = MP/BC.
• అందువల్ల MP/AP = BC/AC = sin A
• AM/AP = AB/AC = cos A
• MP/AM = BC/AB = tan A. అంటే A విలువ మారకపోతే త్రిభుజం ఎంత పెద్దదైనా చిన్నదైనా నిష్పత్తులు అవే.

ఒక నిష్పత్తి తెలిస్తే మిగతా అన్నీ కనుగొనవచ్చు. పద్ధతి: ఇచ్చిన నిష్పత్తి నుండి భుజాలను k గుణకాలుగా తీసుకుని, మూడో భుజాన్ని పైథాగరస్ సిద్ధాంతంతో కనుగొని, నిర్వచనాల్లో ఉంచాలి.

పుస్తకంలోని ఉదాహరణ: sin A = 1/3

• BC/AC = 1/3 → BC = k, AC = 3k (k ధన సంఖ్య).
• AB² = AC² − BC² = 9k² − k² = 8k² = (2√2 k)² → AB = 2√2 k (ధన విలువే, ఎందుకంటే పొడవు ఋణం కాదు).
• cos A = AB/AC = 2√2k/3k = 2√2/3.

ఉదాహరణ 1: tan A = 4/3 అయితే మిగిలిన నిష్పత్తులు

• BC = 4k, AB = 3k
• AC² = (4k)² + (3k)² = 25k² → AC = 5k.
• sin A = 4/5, cos A = 3/5.
• cot A = 3/4, cosec A = 5/4, sec A = 5/3.
• షార్ట్‌కట్: 3–4–5 (పైథాగరస్ త్రిపుటి) గుర్తుంటే పనులు వేగంగా అవుతాయి. అలాగే 5–12–13, 8–15–17, 7–24–25, 20–21–29 లు.

ఉదాహరణ 2: sin B = sin Q అయితే B = Q నిరూపణ (ఇద్దరు అల్ప కోణాలకు)

• రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు ABC, PQR (C, R వద్ద లంబకోణాలు): sin B = AC/AB, sin Q = PR/PQ. సమానం కాబట్టి AC/PR = AB/PQ = k.
• BC = √(AB² − AC²), QR = √(PQ² − PR²) → BC/QR = k.
• కాబట్టి AC/PR = AB/PQ = BC/QR → త్రిభుజాలు సరూపం (SSS) → B = Q.
• ఫలితం: ఒక అల్ప కోణ నిష్పత్తి (sin) సమానమైతే కోణాలు సమానం. అదే విధంగా cos A = cos B అయితే A = B (వ్యాయామం 8.1 ప్రశ్న 6).

గమనికలు

• sin A లేదా cos A ఎప్పటికీ 1 మించదు
• sec A, cosec A ≥ 1.
• k ధన సంఖ్య – చివరి సమాధానంలో k కొట్టుకుపోతుంది.

ఉదాహరణ 3: ACB లో C = 90°, AB = 29, BC = 21, ∠ABC = θ

• AC = √(29² − 21²) = √((29−21)(29+21)) = √(8×50) = √400 = 20.
• sin θ = AC/AB = 20/29
• cos θ = BC/AB = 21/29.
• (i) cos²θ + sin²θ = (21² + 20²)/29² = (441 + 400)/841 = 1.
• (ii) cos²θ − sin²θ = (21² − 20²)/29² = (21−20)(21+20)/841 = 41/841.

ఉదాహరణ 4: B వద్ద లంబకోణం, tan A = 1 అయితే 2 sin A cos A = 1 అని రుజువు

• tan A = BC/AB = 1 → BC = AB = k
• AC = √(k² + k²) = k√2.
• sin A = 1/√2, cos A = 1/√2 → 2 sin A cos A = 2 × 1/√2 × 1/√2 = 1.

ఉదాహరణ 5: OPQ, P వద్ద లంబకోణం, OP = 7 cm, OQ − PQ = 1 cm

• OQ² = OP² + PQ² → (1 + PQ)² = 49 + PQ² → 1 + 2PQ = 49 → PQ = 24 cm, OQ = 25 cm.
• sin Q = OP/OQ = 7/25
• cos Q = PQ/OQ = 24/25.
• ఉపాయం: కర్ణం − ఒక భుజం = 1 అయినప్పుడు (a + 1)² − a² = 2a + 1 సూత్రం వాడండి.

అభ్యాసం 8.1 – సమాధానాలు మరియు పద్ధతులు

1. AB = 24, BC = 7 → AC = 25. sin A = 7/25, cos A = 24/25; sin C = 24/25, cos C = 7/25.
2. పటం 8.13 లో tan P − cot R = 0 (P + R = 90° కాబట్టి tan P = cot R).
3. sin A = 3/4 → cos A = √7/4, tan A = 3/√7.
4. 15 cot A = 8 → cot A = 8/15 → కర్ణం 17 → sin A = 15/17, sec A = 17/8.
5. sec θ = 13/12 → sin θ = 5/13, cos θ = 12/13, tan θ = 5/12, cot θ = 12/5, cosec θ = 13/5.
6. cos A = cos B (అల్ప కోణాలు) → A = B (ఉదాహరణ 2 పద్ధతి).
7. cot θ = 7/8 అయితే (i) (1+sin θ)(1−sin θ)/((1+cos θ)(1−cos θ)) = (1 − sin²θ)/(1 − cos²θ) = cos²θ/sin²θ = cot²θ = 49/64; (ii) cot²θ = 49/64.
8. 3 cot A = 4 → tan A = 3/4; (1 − tan²A)/(1 + tan²A) = (1 − 9/16)/(1 + 9/16) = 7/25 మరియు cos²A − sin²A = 16/25 − 9/25 = 7/25 → సమానం, కాబట్టి నిజం.
9. tan A = 1/√3 → A = 30°, C = 60°: (i) sin A cos C + cos A sin C = 1/2×1/2 + √3/2×√3/2 = 1; (ii) cos A cos C − sin A sin C = √3/2×1/2 − 1/2×√3/2 = 0.
10. PR + QR = 25, PQ = 5 (Q వద్ద లంబకోణం): PR² − QR² = 25 → (PR − QR)(PR + QR) = 25 → PR − QR = 1 → PR = 13, QR = 12. sin P = 12/13, cos P = 5/13, tan P = 12/5.
11. నిజం/అబద్ధం: (i) tan A ఎప్పుడూ 1 కంటే తక్కువ – అబద్ధం (ఉదా. A = 60° లో √3); (ii) sec A = 12/5 – నిజం (sec A ≥ 1); (iii) cos A అంటే cosec కు సంక్షిప్తం – అబద్ధం (cos = కొసైన్); (iv) cot A = cot × A – అబద్ధం; (v) sin θ = 4/3 – అబద్ధం (sin ≤ 1).

లంబకోణ త్రిభుజం ABC (B = 90°) లో ఒక కోణం 45° అయితే రెండో అల్ప కోణం కూడా 45° (A = C = 45°). కాబట్టి ఇది సమద్విబాహు త్రిభుజం: BC = AB = a అనుకుంటే పైథాగరస్ ప్రకారం AC² = a² + a² = 2a² → AC = a√2.

45° నిష్పత్తులు

• sin 45° = BC/AC = a/(a√2) = 1/√2
• cos 45° = AB/AC = a/(a√2) = 1/√2
• tan 45° = BC/AB = a/a = 1
• cosec 45° = 1/sin 45° = √2
• sec 45° = 1/cos 45° = √2
• cot 45° = 1/tan 45° = 1

భుజాల నిష్పత్తి: 45°–45°–90° త్రిభుజంలో భుజాలు 1 : 1 : √2.

సంఖ్యా ఉదాహరణ: కర్ణం = 10 cm ఉన్న 45° లంబకోణ త్రిభుజంలో ప్రతి భుజం = 10 × sin 45° = 10/√2 = 5√2 cm.

షార్ట్‌కట్

• 45° లో sin = cos అన్ని విధాలుగా సమానం (ఎందుకంటే భుజాలు సమానం).
• sin²45° = 1/2, cos²45° = 1/2 → మొత్తం 1 ✔.

ఉత్పత్తి (derivation): సమబాహు త్రిభుజం ABC లో ప్రతి కోణం 60°. A నుండి BC కి లంబం AD గీస్తే ΔABD ≅ ΔACD (RHS) → BD = DC (CPCT) మరియు ∠BAD = ∠CAD = 30°. అందువల్ల ΔABD లో ∠D = 90°, ∠BAD = 30°, ∠ABD = 60°.

• AB = 2a అనుకుంటే BD = ½BC = a.
• AD² = AB² − BD² = (2a)² − a² = 3a² → AD = a√3.
• 30°–60°–90° త్రిభుజంలో భుజాల నిష్పత్తి = a : a√3 : 2a = 1 : √3 : 2 (చిన్నది : మధ్యది : కర్ణం).

30° (కోణం BAD): ఎదుటి = BD = a, ఆసన్న = AD = a√3, కర్ణం = 2a

• sin 30° = a/2a = 1/2
• cos 30° = a√3/2a = √3/2
• tan 30° = a/(a√3) = 1/√3
• cosec 30° = 2, sec 30° = 2/√3, cot 30° = √3

60° (కోణం ABD): ఎదుటి = AD = a√3, ఆసన్న = BD = a, కర్ణం = 2a

• sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3
• cosec 60° = 2/√3, sec 60° = 2, cot 60° = 1/√3

సంబంధం: sin 30° = cos 60° = 1/2; sin 60° = cos 30° = √3/2; tan 30° × tan 60° = 1.

సంఖ్యా ఉదాహరణ: సమబాహు త్రిభుజం భుజం 10 cm అయితే ఎత్తు = 10 × sin 60° = 5√3 cm. ఇది 'AD = a√3' తో సరిపోతుంది (భుజం 2a = 10 → a = 5).

A → 0° అయితే (పుస్తకంలోని తర్కం)

• కోణం A చిన్నదయ్యే కొద్దీ ఎదుటి భుజం BC తగ్గుతూ 0కి చేరుతుంది
• C బిందువు B కి దగ్గరవుతుంది
• AC దాదాపు AB కి సమానమవుతుంది.
• అందువల్ల sin A = BC/AC → 0, cos A = AB/AC → 1.
• నిర్వచనం: sin 0° = 0, cos 0° = 1.
• దీని నుండి:
  1. tan 0° = sin 0°/cos 0° = 0
  2. sec 0° = 1/cos 0° = 1.
• cot 0° = 1/tan 0° = 1/0 → నిర్వచించబడలేదు (not defined)
• cosec 0° = 1/sin 0° = 1/0 → నిర్వచించబడలేదు.

A → 90° అయితే

• A పెద్దదయ్యే కొద్దీ ∠C → 0°
• AB భుజం తగ్గుతూ 0 అవుతుంది
• AC దాదాపు BC తో ఏకీభవిస్తుంది.
• అందువల్ల sin A → 1, cos A → 0.
• నిర్వచనం: sin 90° = 1, cos 90° = 0.
• దీని నుండి:
  1. tan 90° = 1/0 → నిర్వచించబడలేదు
  2. sec 90° = 1/0 → నిర్వచించబడలేదు
  3. cosec 90° = 1
  4. cot 90° = cos 90°/sin 90° = 0.

ఎందుకు 'అనిర్వచితం'? ఈ సందర్భాల్లో హరం 0 అవుతుంది; 0 తో భాగహారం నిర్వచించబడదు.

నాలుగు 'అనిర్వచిత' విలువలు (గుర్తుంచుకోండి)

• tan 90° • sec 90° • cot 0° • cosec 0°

పట్టిక 8.1 (పాఠ్యపుస్తకం)

• sin A: 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1
• cos A: 1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0
• tan A: 0, 1/√3, 1, √3, నిర్వచించబడలేదు
• cosec A: నిర్వచించబడలేదు, 2, √2, 2/√3, 1
• sec A: 1, 2/√3, √2, 2, నిర్వచించబడలేదు
• cot A: నిర్వచించబడలేదు, √3, 1, 1/√3, 0

(కోణాల క్రమం: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°)

గుర్తుంచుకునే షార్ట్‌కట్ – sin కు

• sin 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 → 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1.
• cos విలువలు sin విలువలకు రివర్స్ క్రమం: √4/2, √3/2, √2/2, √1/2, √0/2.
• tan = sin/cos
• cosec, sec, cot వ్యుత్క్రమాలు.

పోకడ (Remark): A, 0° నుండి 90° కి పెరిగేకొద్దీ sin A 0 నుండి 1 కి పెరుగుతుంది, cos A 1 నుండి 0 కి తగ్గుతుంది. tan A కూడా పెరుగుతుంది (0 నుండి అనంతం), cot A తగ్గుతుంది.

సంఖ్యా పోలిక: 1/2 < 1/√2 < √3/2 (0.5 < 0.707 < 0.866) కాబట్టి sin 30° < sin 45° < sin 60°.

వేగవంతమైన గణన సూచనలు

• √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732 – ఉదాహరణకు sin 45° ≈ 0.707, tan 60° ≈ 1.732.
• tan 45° = 1 కావడం వల్ల tan 45° ఉన్న సమీకరణాలు సులభం.
• నాల్గు జతలు: sin 30° = cos 60°, cos 30° = sin 60°, tan 30° = cot 60°, tan 60° = cot 30°.

ఉదాహరణ 6: ABC, B వద్ద లంబకోణం, AB = 5 cm, ∠ACB = 30°. BC, AC కనుగొనండి

• C కు AB ఎదుటి భుజం, BC ఆసన్న భుజం → tan C = AB/BC → tan 30° = 5/BC → 1/√3 = 5/BC → BC = 5√3 cm.
• sin 30° = AB/AC → 1/2 = 5/AC → AC = 10 cm.
• ప్రత్యామ్నాయం: AC = √(AB² + BC²) = √(25 + 75) = 10 cm.
• 30°–60°–90° నిష్పత్తి 1 : √3 : 2 ప్రకారం: 5 : 5√3 : 10 ✔.

ఉదాహరణ 7: PQR, Q వద్ద లంబకోణం, PQ = 3 cm, PR = 6 cm. ∠QPR, ∠PRQ కనుగొనండి

• PQ/PR = sin R → sin R = 3/6 = 1/2 → ∠PRQ = 30°.
• ∠QPR = 90° − 30° = 60°.
• సూత్రం: లంబకోణ త్రిభుజంలో ఒక భుజం + మరొక భాగం (అల్ప కోణం లేదా మరో భుజం) తెలిస్తే మిగిలిన భుజాలు, కోణాలు అన్నీ కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణ 8: sin(A − B) = 1/2, cos(A + B) = 1/2, 0° < A + B ≤ 90°, A > B అయితే A, B కనుగొనండి

• sin(A − B) = 1/2 → A − B = 30° … (1)
• cos(A + B) = 1/2 → A + B = 60° … (2)
• (1), (2) కలిపితే 2A = 90° → A = 45°, B = 15°.
• ఇది 'రెండు సమీకరణాల' పద్ధతి – గుర్తించిన కోణ విలువలను సూచిస్తే సరళ సమీకరణాలు.

అదనపు సరళ ఉదాహరణ (అదే పద్ధతి): tan(A + B) = √3, tan(A − B) = 1/√3 అయితే A + B = 60°, A − B = 30° → A = 45°, B = 15° (అభ్యాసం 8.2 ప్రశ్న 3).

ప్రశ్న 1: విలువలు లెక్కించండి

• (i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = (√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1.
• (ii) 2 tan²45° + cos²30° − sin²60° = 2(1) + 3/4 − 3/4 = 2.
• (iii) cos 45°/(sec 30° + cosec 30°) = (1/√2)/(2/√3 + 2) = (3√2 − √6)/8 (సరళ రూపం
• సుమారు 0.224).
• (iv) (sin 30° + tan 45° − cosec 60°)/(sec 30° + cos 60° + cot 45°) = (1/2 + 1 − 2/√3)/(2/√3 + 1/2 + 1) = (43 − 24√3)/11 (సుమారు 0.130).
• (v) (5 cos²60° + 4 sec²30° − tan²45°)/(sin²30° + cos²30°) = (5/4 + 16/3 − 1)/1 = 67/12.

ప్రశ్న 2: సరైన ఎంపిక

• (i) 2 tan 30°/(1 + tan²30°) = (2/√3)/(4/3) = √3/2 = sin 60° → (A).
• (ii) (1 − tan²45°)/(1 + tan²45°) = 0/2 = 0 → (D).
• (iii) sin 2A = 2 sin A అయ్యేది A = 0° కు (0 = 0). 30° లో sin 60° = √3/2 ≠ 1 → (A).
• (iv) 2 tan 30°/(1 − tan²30°) = (2/√3)/(2/3) = √3 = tan 60° → (C).

ప్రశ్న 3: tan(A + B) = √3 → A + B = 60°; tan(A − B) = 1/√3 → A − B = 30° → A = 45°, B = 15°.

ప్రశ్న 4: నిజం/అబద్ధం

• (i) sin(A + B) = sin A + sin B – అబద్ధం (A = B = 30°: sin 60° = √3/2 ≠ 1).
• (ii) θ పెరిగితే sin θ పెరుగుతుంది (0°–90°) – నిజం.
• (iii) θ పెరిగితే cos θ పెరుగుతుంది – అబద్ధం (cos తగ్గుతుంది).
• (iv) sin θ = cos θ అన్ని θ కు – అబద్ధం (45° కే).
• (v) A = 0° వద్ద cot A అనిర్వచితం – నిజం.

ఒక సమీకరణం అందులోని చరరాశుల అన్ని విలువలకూ నిజమైతే దాన్ని సర్వసమానత (identity) అంటారు. త్రికోణమితి నిష్పత్తులతో ఉండే సమీకరణం కోణం యొక్క అన్ని విలువలకు నిజమైతే అది త్రికోణమితి సర్వసమానత.

లంబకోణ త్రిభుజం ABC (B = 90°) లో: AB² + BC² = AC² … (1)

1) AC² తో భాగిస్తే

• AB²/AC² + BC²/AC² = AC²/AC² → (cos A)² + (sin A)² = 1.
• cos²A + sin²A = 1 … (2) (0° ≤ A ≤ 90° అన్నింటికీ నిజం).

2) AB² తో భాగిస్తే

• 1 + (BC/AB)² = (AC/AB)².
• 1 + tan²A = sec²A … (3) (A = 0° వద్ద నిజం
• A = 90° వద్ద tan, sec అనిర్వచితం కాబట్టి 0° ≤ A < 90° కు నిజం).

3) BC² తో భాగిస్తే

• (AB/BC)² + 1 = (AC/BC)².
• cot²A + 1 = cosec²A … (4) (A = 0° వద్ద cosec, cot అనిర్వచితం కాబట్టి 0° < A ≤ 90° కు నిజం).

ఇతర రూపాలు (ఉపయోగకరం)

• sin²A = 1 − cos²A
• cos²A = 1 − sin²A.
• sec²A − tan²A = 1
• sec²A = 1 + tan²A
• tan²A = sec²A − 1.
• cosec²A − cot²A = 1.
• (1 − sin A)(1 + sin A) = cos²A
• (1 − cos A)(1 + cos A) = sin²A.
• (sec A − tan A)(sec A + tan A) = 1
• (cosec A − cot A)(cosec A + cot A) = 1.

చెల్లుబాటు పరిధి (పరీక్షల్లో ట్రిక్ ప్రశ్న)

• (2):
  1. 0° ≤ A ≤ 90°
  2. (3): 0° ≤ A < 90°
  3. (4): 0° < A ≤ 90°.

సర్వసమానతలను వాడి ఒక నిష్పత్తి తెలిస్తే మిగిలినవన్నీ కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణ: tan A = 1/√3 అయితే

• cot A = 1/tan A = √3.
• sec²A = 1 + tan²A = 1 + 1/3 = 4/3 → sec A = 2/√3, cos A = √3/2.
• sin A = √(1 − cos²A) = √(1 − 3/4) = 1/2
• cosec A = 2. (A = 30° కు సరిపోతుంది.)

ఉదాహరణ 9: cos A, tan A, sec A లను sin A లో వ్యక్తపరచండి

• cos²A + sin²A = 1 → cos²A = 1 − sin²A → cos A = √(1 − sin²A) (ధన మూలం ఎందుకంటే 0° ≤ A ≤ 90° లో cos A ≥ 0).
• tan A = sin A/cos A = sin A/√(1 − sin²A).
• sec A = 1/cos A = 1/√(1 − sin²A).

అభ్యాసం 8.3 ప్రశ్నలు 1, 2: ఇతర రూపాలు

• cot A లో:
  1. sin A = 1/√(1 + cot²A)
  2. sec A = √(1 + cot²A)/cot A
  3. tan A = 1/cot A.
• sec A లో:
  1. cos A = 1/sec A
  2. sin A = √(sec²A − 1)/sec A
  3. tan A = √(sec²A − 1)
  4. cot A = 1/√(sec²A − 1)
  5. cosec A = sec A/√(sec²A − 1).

ఉపయోగకరమైన త్వరిత మార్గం

• sin A = p/q అయితే కర్ణం = q, ఎదుటి = p, ఆసన్న = √(q² − p²).
• tan A = p/q అయితే కర్ణం = √(p² + q²).
• సర్వసమానత పద్ధతి బీజీయ రూపంలో సూత్రం ఇస్తుంది
• త్రిభుజ పద్ధతి సంఖ్యల్లో వేగంగా జవాబు ఇస్తుంది.

నిరూపణ వ్యూహం: ఎడమ వైపు (LHS) నుండి మొదలుపెట్టి కుడివైపు (RHS) కు చేర్చండి; అన్నీ sin, cos లోకి మార్చండి; హారాలను హేతుబద్ధం చేయండి లేదా (1 − sin A)(1 + sin A) = cos²A వంటి కారకాల్ని వాడండి.

ఉదాహరణ 10: sec A (1 − sin A)(sec A + tan A) = 1

• LHS = (1/cos A)(1 − sin A)(1/cos A + sin A/cos A) = (1 − sin A)(1 + sin A)/cos²A = (1 − sin²A)/cos²A = cos²A/cos²A = 1 = RHS ✔.

ఉదాహరణ 11: (cot A − cos A)/(cot A + cos A) = (cosec A − 1)/(cosec A + 1)

• LHS = (cos A/sin A − cos A)/(cos A/sin A + cos A)
• లవ, హరాల నుండి cos A ను తీస్తే = (1/sin A − 1)/(1/sin A + 1) = (cosec A − 1)/(cosec A + 1) = RHS ✔.

ఉదాహరణ 12: (sin θ − cos θ + 1)/(sin θ + cos θ − 1) = 1/(sec θ − tan θ) (సర్వసమానత sec²θ = 1 + tan²θ వాడి)

• లవ, హరాలను cos θ తో భాగించండి: LHS = (tan θ − 1 + sec θ)/(tan θ + 1 − sec θ).
• లవంలో 1 ను sec²θ − tan²θ = (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) గా రాస్తే: లవం = (tan θ + sec θ) − (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = (tan θ + sec θ)(1 − sec θ + tan θ).
• హరం = tan θ − sec θ + 1 = (1 + tan θ − sec θ).
• కాబట్టి LHS = tan θ + sec θ = 1/(sec θ − tan θ) (ఎందుకంటే (sec θ + tan θ)(sec θ − tan θ) = 1) = RHS ✔.

అభ్యాసం 8.3 ప్రశ్న 4 – ముఖ్య సూచనలు

• (i) (cosec θ − cot θ)² = (1 − cos θ)/(1 + cos θ): LHS = (1 − cos θ)²/sin²θ = (1 − cos θ)²/((1 − cos θ)(1 + cos θ)).
• (ii) cos A/(1 + sin A) + (1 + sin A)/cos A = 2 sec A: సామాన్య హరం వేసి cos²A + (1 + sin A)² = 2(1 + sin A).
• (iii) (tan θ/(1 − cot θ)) + (cot θ/(1 − tan θ)) = 1 + sec θ cosec θ: sin, cos లో రాయండి.
• (iv) (1 + sec A)/sec A = sin²A/(1 − cos A): రెండు వైపులా విడివిడిగా సరళీకరించండి (రెండూ 1 + cos A).
• (v) (cos A − sin A + 1)/(cos A + sin A − 1) = cosec A + cot A: sin A తో భాగించి cosec²A = 1 + cot²A వాడండి.
• (vi) √((1 + sin A)/(1 − sin A)) = sec A + tan A.
• (vii) (sin θ − 2 sin³θ)/(2 cos³θ − cos θ) = tan θ: sin θ(1 − 2 sin²θ)/cos θ(2 cos²θ − 1), 1 − 2 sin²θ = 2 cos²θ − 1.
• (viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot²A.
• (ix) (cosec A − sin A)(sec A − cos A) = 1/(tan A + cot A): రెండూ cos A sin A కి సమానం.
• (x) (1 + tan²A)/(1 + cot²A) = ((1 − tan A)/(1 − cot A))² = tan²A.

అభ్యాసం 8.3 ప్రశ్న 3 – సరైన ఎంపికలు

• (i) 9 sec²A − 9 tan²A = 9(sec²A − tan²A) = 9 → (B).
• (ii) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ − cosec θ) = 2 → (C). (sin, cos లో రాసి (sin θ + cos θ)² − 1 = 2 sin θ cos θ వాడండి.)
• (iii) (sec A + tan A)(1 − sin A) = (1 + sin A)(1 − sin A)/cos A = cos²A/cos A = cos A → (D).
• (iv) (1 + tan²A)/(1 + cot²A) = sec²A/cosec²A = tan²A → (D).

అధ్యాయ సారాంశం (Summary)

1. లంబకోణ త్రిభుజం ABC (B = 90°) లో: sin A = ఎదుటి/కర్ణం; cos A = ఆసన్న/కర్ణం; tan A = ఎదుటి/ఆసన్న.
2. cosec A = 1/sin A; sec A = 1/cos A; cot A = 1/tan A; tan A = sin A/cos A; cot A = cos A/sin A.
3. ఒక అల్ప కోణం యొక్క ఏదైనా ఒక నిష్పత్తి తెలిస్తే మిగతా నిష్పత్తులన్నీ సులభంగా కనుగొనవచ్చు.
4. 0°, 30°, 45°, 60°, 90° కోణాల నిష్పత్తి విలువలు (పట్టిక 8.1).
5. sin A లేదా cos A విలువ ఎప్పుడూ 1 ను మించదు; sec A లేదా cosec A విలువ ఎల్లప్పుడూ 1 కి సమానం లేదా అంతకంటే ఎక్కువ.
6. sin²A + cos²A = 1; 0° ≤ A < 90° కు sec²A − tan²A = 1 (అంటే 1 + tan²A = sec²A); 0° < A ≤ 90° కు cosec²A = 1 + cot²A.

ఒక్క చూపులో సూత్రాలు (Quick Revision)

• sin A = 1/cosec A, cos A = 1/sec A, tan A = 1/cot A.
• కనిష్ఠ–గరిష్ఠ విలువలు:
  1. sin A, cos A ∈ [0, 1]
  2. sec A, cosec A ≥ 1 (అల్ప కోణాలకు).
• 30°–60°–90° → 1 :
  1. √3 : 2
  2. 45°–45°–90° → 1 : 1 : √2.
• sin²A + cos²A = 1
• sec²A − tan²A = 1
• cosec²A − cot²A = 1.