వృత్తాలకు సంబంధించిన వైశాల్యాలు (Areas Related to Circles)

ఈ అధ్యాయం మొత్తానికి పునాది వృత్తం యొక్క రెండు సూత్రాలు. పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం వృత్త వైశాల్యం (area of a circle, వృత్తాకార ప్రాంతం/disc) = πr², వృత్త చుట్టుకొలత (circumference) = 2πr. ఇక్కడ r = వ్యాసార్థం (radius), వ్యాసం d = 2r.

π విలువ: పుస్తకంలో సాధారణంగా π = 22/7 (లేదా ప్రశ్నలో చెప్పినప్పుడు 3.14) వాడతారు. "Unless stated otherwise, use π = 22/7" అని ఎక్సర్‌సైజ్ 11.1 ప్రారంభంలో ఉంది.

ఎప్పుడు 22/7, ఎప్పుడు 3.14?

• r లేదా d, 7 యొక్క గుణిజం (7, 14, 21, 28, 35, 42…) అయితే → 22/7 వాడండి, 7 కొట్టుకుపోతుంది.
• ప్రశ్నలో "π = 3.14" అని ఇస్తే → అదే వాడాలి (r = 4, 10, 15, 16.5 వంటి సంఖ్యలు).

ముఖ్య ప్రత్యేక సందర్భాలు (పుస్తకంలో వాడినవి):

• వృత్తం మొత్తం = కేంద్రం వద్ద 360° కోణం ఉన్న సెక్టార్‌గా భావించవచ్చు.
• చతుర్థాంశం (quadrant) = ¼ వృత్తం = 90° సెక్టార్ → వైశాల్యం πr²/4.
• అర్ధవృత్తం (semicircle) = 180° సెక్టార్ → πr²/2.

వర్గాల పట్టిక (త్వరగా గుర్తుంచుకోండి):

• r = 7 → πr² = 154, 2πr = 44
• r = 14 → πr² = 616, 2πr = 88
• r = 21 → πr² = 1386, 2πr = 132
• r = 28 → πr² = 2464, 2πr = 176
• r = 35 → πr² = 3850, 2πr = 220

పరిధి (circumference) ఇచ్చినప్పుడు r: 2πr = C ⇒ r = C/2π. ఉదా: C = 22 cm ⇒ r = 22 ÷ (2 × 22/7) = 7/2 = 3.5 cm (ఎక్సర్‌సైజ్ 11.1, ప్రశ్న 2).

సెక్టార్ (sector): రెండు వ్యాసార్థాలు, వాటి మధ్య ఉన్న చాపం (arc) చుట్టబడిన వృత్తాకార ప్రాంతం భాగం. ఖండం (segment): ఒక జ్యా (chord), దాని సంబంధిత చాపం మధ్య చుట్టబడిన వృత్తాకార ప్రాంతం భాగం.

పటం 11.1లో O కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తంలో:

• షేడ్ చేసిన OAPB = అల్ప సెక్టార్ (minor sector)
• షేడ్ చేయని OAQB = అధిక సెక్టార్ (major sector)
• ∠AOB ని సెక్టార్ కోణం (angle of the sector) అంటారు.
• అధిక సెక్టార్ కోణం = 360° − ∠AOB.

పటం 11.2లో AB జ్యా:

• షేడ్ చేసిన APB = అల్ప ఖండం (minor segment)
• AQB = అధిక ఖండం (major segment)

గమనిక (Remark): "segment", "sector" అని మాత్రమే రాస్తే అవి వరుసగా అల్ప ఖండం, అల్ప సెక్టార్ అని అర్థం (చెప్పనంతవరకు).

తేడా గుర్తుపెట్టుకోండి:

• సెక్టార్ → రెండు వ్యాసార్థాలు + చాపం (కేంద్రం O ఆకారంలో "పిజ్జా ముక్క").
• ఖండం → జ్యా + చాపం (కేంద్రం ఆకారంలో ఉండదు, "విల్లు" ఆకారం).

O కేంద్రం, వ్యాసార్థం r, సెక్టార్ కోణం θ (డిగ్రీల్లో) ఉన్న సెక్టార్ OAPB వైశాల్యం ఏకవస్తు పద్ధతి (Unitary Method)తో వస్తుంది:

• కేంద్ర కోణం 360° అయితే సెక్టార్ వైశాల్యం = πr² (పూర్తి వృత్తం)
• కోణం 1° అయితే = πr²/360
• కోణం θ అయితే = (θ/360) × πr²

సూత్రం:

సెక్టార్ వైశాల్యం = (θ/360) × πr²

(r = వృత్త వ్యాసార్థం, θ = సెక్టార్ కోణం డిగ్రీల్లో)

త్వరిత సూత్రాలు (shortcuts):

• θ = 90° ⇒ πr²/4
• θ = 180° ⇒ πr²/2
• θ = 60° ⇒ πr²/6
• θ = 120° ⇒ πr²/3
• θ = 45° ⇒ πr²/8
• θ = 30° ⇒ πr²/12.
• సెక్టార్ వైశాల్యం కోణానికి అనులోమానుపాతం (∝ θ), వ్యాసార్థం వర్గానికి అనులోమానుపాతం (∝ r²). కాబట్టి r రెట్టింపైతే వైశాల్యం 4 రెట్లు.

ఉదా (ఎక్సర్‌సైజ్ 1): r = 6 cm, θ = 60° వైశాల్యం = (60/360) × 22/7 × 6 × 6 = (1/6) × 22/7 × 36 = 132/7 = 18 6/7 cm².

ఉదా (ఎక్సర్‌సైజ్ 2, quadrant): వృత్త చుట్టుకొలత 22 cm ⇒ r = 3.5 cm. quadrant వైశాల్యం = ¼ × 22/7 × 3.5 × 3.5 = 9.625 cm² (≈ 77/8).

అధిక సెక్టార్: కోణం (360° − θ) ⇒ వైశాల్యం = ((360 − θ)/360) × πr², లేదా πr² − అల్ప సెక్టార్ వైశాల్యం.

అదే సెక్టార్ యొక్క చాపం APB పొడవు కూడా ఏకవస్తు పద్ధతితో: పూర్తి వృత్తం (360°) పొడవు = 2πr.

• 360° ⇒ 2πr
• 1° ⇒ 2πr/360
• θ° ⇒ (θ/360) × 2πr

సూత్రం:

చాప పొడవు (l) = (θ/360) × 2πr

త్వరిత సూత్రాలు:

• θ = 90° ⇒ l = πr/2
• θ = 180° ⇒ l = πr
• θ = 60° ⇒ l = πr/3.
• సంబంధం: సెక్టార్ వైశాల్యం = ½ × l × r (రెండు సూత్రాలు భాగిస్తే వస్తుంది: (θ/360)πr² ÷ (θ/360)2πr = r/2).

ఉదా (ఎక్సర్‌సైజ్ 5(i)): r = 21 cm, θ = 60° l = (60/360) × 2 × 22/7 × 21 = (1/6) × 132 = 22 cm.

ఉదా: r = 14 cm, θ = 90° ⇒ l = ¼ × 2 × 22/7 × 14 = 22 cm.

సెక్టార్ చుట్టుకొలత (perimeter of sector) = l + 2r. ఉదా: r = 7, θ = 90°: l = 11, పరిధి = 11 + 14 = 25 cm. (పుస్తకంలో నేరుగా సూత్రం లేదు, చాప పొడవు + రెండు వ్యాసార్థాలు.)

కోణం కనుగొనడం: l, r ఇస్తే θ = (l × 360)/(2πr). ఉదా: l = 22, r = 21 ⇒ θ = 22 × 360/132 = 60°.

O కేంద్రం, వ్యాసార్థం r ఉన్న వృత్తంలో జ్యా AB, అల్ప ఖండం APB (పటం 11.4):

అల్ప ఖండం APB వైశాల్యం = సెక్టార్ OAPB వైశాల్యం − త్రిభుజం OAB వైశాల్యం

= (θ/360) × πr² − ΔOAB వైశాల్యం

(సారాంశం: ఖండం వైశాల్యం = సంబంధిత సెక్టార్ వైశాల్యం − సంబంధిత త్రిభుజ వైశాల్యం)

అధిక సంబంధాలు (పుస్తకంలోని Note):

• అధిక సెక్టార్ OAQB = πr² − అల్ప సెక్టార్ OAPB
• అధిక ఖండం AQB = πr² − అల్ప ఖండం APB

త్రిభుజం OAB వైశాల్యం కనుగొనే పద్ధతులు (r = OA = OB):

• θ = 90° ⇒ లంబకోణ త్రిభుజం: ½ × r × r = r²/2
• θ = 60° ⇒ OA = OB, ∠O = 60° ⇒ సమబాహు త్రిభుజం, భుజం r: వైశాల్యం = (√3/4) r²
• θ = 120° ⇒ ½ × AB × OM = (√3/4) r² (OM = r/2, AM = r√3/2, AB = r√3) — ఉదాహరణ 2 ప్రకారం
• సాధారణ పద్ధతి: O నుండి OM ⟂ AB గీస్తే M, AB మధ్యబిందువు (RHS సర్వసమానత్వం, ΔAMO ≅ ΔBMO), ∠AOM = θ/2. OM = r cos(θ/2), AM = r sin(θ/2) ⇒ ΔOAB = ½ × AB × OM.

సంఖ్యా ఉదాహరణ (ఎక్సర్‌సైజ్ 4(i)): r = 10 cm, θ = 90°, π = 3.14

• సెక్టార్ = ¼ × 3.14 × 100 = 78.5 cm²
• త్రిభుజం = ½ × 10 × 10 = 50 cm²
• అల్ప ఖండం = 78.5 − 50 = 28.5 cm²
• అధిక సెక్టార్ (ii) = 314 − 78.5 = 235.5 cm²

పటం 11.3, 11.4 నుండి పుస్తకం ఇచ్చిన రెండు సంబంధాలు:

• అధిక సెక్టార్ OAQB వైశాల్యం = πr² − అల్ప సెక్టార్ OAPB వైశాల్యం
• అధిక ఖండం AQB వైశాల్యం = πr² − అల్ప ఖండం APB వైశాల్యం

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి (Alternatively) – ఉదాహరణ 1లో చూపినది: అధిక సెక్టార్ వైశాల్యం = ((360 − θ)/360) × πr².

సంఖ్యా ఉదాహరణ: r = 7 cm, అల్ప సెక్టార్ కోణం 90°, π = 22/7

• πr² = 154 cm²
• అల్ప సెక్టార్ = 154/4 = 38.5 cm²
• అధిక సెక్టార్ = 154 − 38.5 = 115.5 cm² (లేదా 270/360 × 154 = 115.5)

ఎక్సర్‌సైజ్ 6 ఉదాహరణ: r = 15 cm, θ = 60°, π = 3.14, √3 = 1.73

• πr² = 3.14 × 225 = 706.5 cm²
• అల్ప సెక్టార్ = 706.5/6 = 117.75 cm²
• ΔOAB (సమబాహు) = (√3/4) × 225 = 97.3125 cm² (≈ 97.31)
• అల్ప ఖండం = 117.75 − 97.3125 = 20.4375 cm² (≈ 20.44)
• అధిక ఖండం = 706.5 − 20.4375 = 686.0625 cm² (≈ 686.06)

ఎక్సర్‌సైజ్ 4 (అధిక సెక్టార్): r = 10, θ = 90°: అధిక సెక్టార్ = 270/360 × 314 = 235.5 cm² ✔

ప్రశ్న: వ్యాసార్థం 4 cm, కోణం 30° ఉన్న వృత్త సెక్టార్ వైశాల్యం కనుగొనండి. సంబంధిత అధిక సెక్టార్ వైశాల్యం కూడా కనుగొనండి (π = 3.14).

సాధన: అల్ప సెక్టార్ OAPB వైశాల్యం = (θ/360) × πr² = (30/360) × 3.14 × 4 × 4 cm² = 12.56/3 cm² = 4.19 cm² (సుమారుగా)

అధిక సెక్టార్ వైశాల్యం: పద్ధతి 1: πr² − అల్ప సెక్టార్ = (3.14 × 16 − 4.19) cm² = 50.24 − 4.19 = 46.05 cm² ≈ 46.1 cm²

పద్ధతి 2 (ప్రత్యామ్నాయం): ((360 − 30)/360) × 3.14 × 16 = (330/360) × 3.14 × 16 = 46.05 cm² ≈ 46.1 cm²

తనిఖీ: 4.19 + 46.05 = 50.24 = πr² ✔

గమనిక: 30/360 = 1/12, కాబట్టి 50.24/12 = 4.1867 ≈ 4.19.

ప్రశ్న: వ్యాసార్థం 21 cm, ∠AOB = 120° ఉన్నప్పుడు ఖండం AYB వైశాల్యం కనుగొనండి (π = 22/7).

సాధన: ఖండం AYB = సెక్టార్ OAYB − ΔOAB ... (1)

సెక్టార్ OAYB = (120/360) × 22/7 × 21 × 21 = 462 cm² ... (2)

ΔOAB వైశాల్యం కోసం: OM ⟂ AB గీయండి. OA = OB ⇒ RHS సర్వసమానత్వంతో ΔAMO ≅ ΔBMO ⇒ M = AB మధ్యబిందువు. ∠AOM = ∠BOM = ½ × 120° = 60°. OM = x cm అనుకుంటే ΔOMA లో:

• OM/OA = cos 60° = ½ ⇒ x/21 = ½ ⇒ OM = 21/2 cm
• AM/OA = sin 60° = √3/2 ⇒ AM = 21√3/2 cm
• AB = 2 × AM = 2 × 21√3/2 = 21√3 cm

ΔOAB = ½ × AB × OM = ½ × 21√3 × 21/2 = 441√3/4 cm² ... (3)

ఖండం AYB = 462 − 441√3/4 = (21/4)(88 − 21√3) cm² [(1), (2), (3) నుండి]

సంఖ్యా విలువ (√3 = 1.73): 441 × 1.73/4 = 190.7325 ⇒ ఖండం = 462 − 190.7325 = 271.2675 ≈ 271.27 cm².

త్వరిత సూత్రం: 120° కోణం, వ్యాసార్థం r: త్రిభుజం = (√3/4)r², సెక్టార్ = πr²/3 ⇒ ఖండం = r²(π/3 − √3/4).

ఎక్సర్‌సైజ్ 11.1లో సెక్టార్ సూత్రాలతో వచ్చే నిజజీవిత సమస్యలు:

1) గడియారం నిమిషాల ముల్లు (ప్రశ్న 3): ముల్లు పొడవు 14 cm; 5 నిమిషాల్లో తిరిగే వైశాల్యం?

• 60 నిమిషాలకు 360° ⇒ 1 నిమిషానికి 6°
• 5 నిమిషాలకు 30°.
• వైశాల్యం = (30/360) × 22/7 × 14 × 14 = 154/3 = 51 1/3 cm² (≈ 51.33).
• త్వరిత నియమం: n నిమిషాలు ⇒ కోణం = 6n°.

2) గొడుగు (ప్రశ్న 10): 8 ఈనెలు (ribs) సమానంగా; గొడుగు r = 45 cm వృత్తం. రెండు ఈనెల మధ్య వైశాల్యం = మొత్తం వైశాల్యం ÷ 8.

• = (1/8) × 22/7 × 45 × 45 = 44550/56 = 795.54 cm² (≈ 795.5).
• ప్రతి ఈనె మధ్య కోణం = 360/8 = 45°.

3) కారు వైపర్లు (ప్రశ్న 11): రెండు వైపర్లు, ప్రతిదాని బ్లేడ్ 25 cm, కోణం 115°; అతివ్యాప్తి లేదు.

• ఒక వైపర్ = (115/360) × 22/7 × 625 ≈ 627.48 cm²
• మొత్తం = 2 × 627.48 = 1254.96 cm² (≈ 1255).

4) లైట్‌హౌస్ (ప్రశ్న 12): ఎరుపు కాంతి 80° కోణంలో 16.5 km దూరం వ్యాపిస్తుంది (π = 3.14).

• వైశాల్యం = (80/360) × 3.14 × 16.5 × 16.5 = (2/9) × 3.14 × 272.25 ≈ 189.97 km².
• 272.25 × 3.14 = 854.865 ⇒ × 2/9 = 189.97.

ఆలోచన: అన్ని సందర్భాల్లో "తిరిగిన/వ్యాపించిన కోణం θ", "పొడవు r" కనుగొని (θ/360)πr² వాడండి. ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే (వైపర్లు) సంఖ్యతో గుణించండి.

ప్రశ్న 4: r = 10 cm, జ్యా లంబకోణం (90°) చేస్తుంది (π = 3.14).

1. అల్ప ఖండం = 78.5 − 50 = 28.5 cm²
2. అధిక సెక్టార్ = 314 − 78.5 = 235.5 cm²

ప్రశ్న 5: r = 21 cm, చాపం కేంద్రం వద్ద 60° (π = 22/7).

1. చాప పొడవు = (60/360) × 2 × 22/7 × 21 = 22 cm
2. సెక్టార్ వైశాల్యం = (1/6) × 22/7 × 441 = 231 cm²
3. ఖండం = 231 − ΔOAB. 60° ⇒ OA = OB = AB = 21 (సమబాహు) ⇒ త్రిభుజం = (√3/4) × 441 = 190.73 (√3 = 1.73). ఖండం ≈ 231 − 190.73 = 40.27 cm².

(ఖచ్చితమైన రూపం: 231 − 441√3/4 = (21/4)(44 − 21√3).)

ప్రశ్న 6: r = 15 cm, 60° (π = 3.14, √3 = 1.73)

• అల్ప ఖండం = 20.44 cm² (20.4375)
• అధిక ఖండం = 706.5 − 20.4375 = 686.06 cm²

ప్రశ్న 7: r = 12 cm, 120° (π = 3.14, √3 = 1.73)

• సెక్టార్ = (1/3) × 3.14 × 144 = 150.72
• త్రిభుజం = (√3/4) × 144 = 36√3 = 62.28
• ఖండం = 88.44 cm²

కోణాన్ని బట్టి త్రిభుజం పట్టిక (వ్యాసార్థం r):

• 60° ⇒ (√3/4) r²
• 90° ⇒ r²/2
• 120° ⇒ (√3/4) r² (గమనిక: 60° మరియు 120° రెంటికీ త్రిభుజ వైశాల్యం సమానం)

ప్రశ్న 8: భుజం 15 m ఉన్న చతురస్రాకార గడ్డి మైదానం మూలన ఒక పెగ్‌కు గుర్రాన్ని 5 m తాడుతో కట్టారు (పటం 11.8).

కీలకం: మూలలో కోణం 90° ⇒ గుర్రం మేసే ప్రదేశం = ¼ వృత్తం (quadrant), వ్యాసార్థం = తాడు పొడవు.

1. తాడు 5 m ⇒ వైశాల్యం = ¼ × 3.14 × 5 × 5 = 19.625 m²
2. తాడు 10 m అయితే = ¼ × 3.14 × 10 × 10 = 78.5 m²

పెరుగుదల = 78.5 − 19.625 = 58.875 m²

షరతు: తాడు పొడవు మైదాన భుజం (15 m) కంటే తక్కువగా ఉంటేనే ఇది quadrant. 10 m < 15 m ✔.

వ్యతిరేక సమస్య: మేత వైశాల్యం 78.5 m² (π = 3.14) అయితే తాడు? ¼ × 3.14 × r² = 78.5 ⇒ r² = 100 ⇒ r = 10 m.

ప్రశ్న 9 – బ్రోచ్ (పటం 11.9): వెండి తీగతో d = 35 mm వృత్తాకార బ్రోచ్; 5 వ్యాసాలు వృత్తాన్ని 10 సమాన సెక్టార్లుగా విభజిస్తాయి.

1. మొత్తం తీగ = వృత్త చుట్టుకొలత + 5 వ్యాసాలు

• r = 35/2 = 17.5 mm
• చుట్టుకొలత = 2 × 22/7 × 17.5 = 110 mm
• 5 వ్యాసాలు = 5 × 35 = 175 mm
• మొత్తం = 285 mm

1. ప్రతి సెక్టార్ వైశాల్యం = πr²/10 = (22/7 × 17.5 × 17.5)/10 = 962.5/10 = 96.25 mm²

(సెక్టార్ కోణం = 360/10 = 36°)

ప్రశ్న 13 – టేబుల్ కవర్ (పటం 11.11): గుండ్రటి టేబుల్ కవర్‌పై 6 సమాన డిజైన్లు; r = 28 cm; cm²కు ₹0.35; (π = 22/7, √3 = 1.7).

• 6 డిజైన్లు వృత్తంలో అంచు వద్ద జ్యాలతో ఏర్పడిన ఖండాలు
• ప్రతి జ్యా 60° కోణం చేస్తుంది (360/6).
• ప్రతి డిజైన్ (ఖండం) = సెక్టార్ − త్రిభుజం = πr²/6 − (√3/4)r²
• మొత్తం 6 డిజైన్లు = πr² − 6 × (√3/4) r² = 2464 − 6 × (1.7/4) × 784 = 2464 − 1999.2 = 464.8 cm²
• ఖర్చు = 464.8 × 0.35 = ₹162.68

వివరణ: ఈ లెక్క "వృత్త వైశాల్యం − షడ్భుజి (6 సమబాహు త్రిభుజాలు)" గా కూడా ఉంది. షడ్భుజి వైశాల్యం = 6 × (√3/4) × 784 = 1999.2 cm².

పాఠ్యపుస్తక సారాంశం (11.2):

1. r వ్యాసార్థం, θ కోణం ఉన్న సెక్టార్ చాప పొడవు = (θ/360) × 2πr
2. అదే సెక్టార్ వైశాల్యం = (θ/360) × πr²
3. ఖండం వైశాల్యం = సంబంధిత సెక్టార్ వైశాల్యం − సంబంధిత త్రిభుజ వైశాల్యం

అదనపు ఉపయోగకర సంబంధాలు:

• అధిక సెక్టార్ = πr² − అల్ప సెక్టార్
• అధిక ఖండం = πr² − అల్ప ఖండం.
• సెక్టార్ వైశాల్యం = ½ × చాప పొడవు × r.
• సెక్టార్ పరిధి = చాప పొడవు + 2r.
• అదే r తో వైశాల్యాల నిష్పత్తి = కోణాల నిష్పత్తి.
• అదే కోణంతో వైశాల్యాల నిష్పత్తి = r² నిష్పత్తి.

సాధారణ కోణాలకు భిన్నాలు:

• 30° = 1/12, 45° = 1/8, 60° = 1/6, 90° = 1/4, 120° = 1/3, 180° = 1/2, 270° = 3/4.

లెక్కల చెక్‌లిస్ట్:

1. r కనుగొనండి (d, చుట్టుకొలత, వైశాల్యం ఇచ్చినప్పుడు వెనక్కి).
2. కోణం θ గుర్తించండి (గడియారం: 6° ప్రతి నిమిషం; మూల: 90°; n సమాన భాగాలు: 360/n).
3. సెక్టార్ / చాపం / ఖండం ఏది కావాలో చూడండి.
4. π ఏది (22/7 లేదా 3.14), √3 ఏది ఇచ్చారో చూడండి.
5. యూనిట్లు (cm, cm²) సరిచూడండి.