ఆకారాల లెక్కింపు (Counting Figures)

ఒక బొమ్మలో ఎన్ని త్రిభుజాలు, చతురస్రాలు ఉన్నాయో లెక్కించమని పరీక్షల్లో అడుగుతారు. చాలామంది కనిపించిన వాటినే లెక్కిస్తారు, కానీ చిన్న ఆకారాలు కలిసి ఏర్పడే పెద్ద ఆకారాలను మర్చిపోతారు. క్రమపద్ధతిలో లెక్కిస్తే తప్పులు రావు.

• దశ 1 – చిన్న భాగాలకు పేర్లు: బొమ్మలోని ప్రతి చిన్న భాగానికి A, B, C, D అని అక్షరాలు వేయండి.
• దశ 2 – ఒక్కో భాగం: మొదట ఒక్క భాగంతో ఏర్పడే ఆకారాలను లెక్కించండి.
• దశ 3 – రెండు భాగాలు: తర్వాత రెండు భాగాలు కలిసి ఏర్పడే ఆకారాలు (AB, BC, CD వంటివి).
• దశ 4 – మూడు, నాలుగు భాగాలు: ఇలా పెద్ద ఆకారాల వరకు కొనసాగించండి.
• దశ 5 – మొత్తం: అన్ని దశల సంఖ్యలను కూడండి.
• ఒకే ఆకారాన్ని రెండుసార్లు లెక్కించకుండా చూసుకోండి.
• అక్షరాల కలయికను రాసి పెట్టుకుంటే సులభంగా చెక్ చేయవచ్చు.

• ఒక్క భాగం: A, B = 2 త్రిభుజాలు.
• రెండు భాగాలు: AB = 1 త్రిభుజం (మొత్తం పెద్ద త్రిభుజం).
• మొత్తం = 3 త్రిభుజాలు.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా లెక్కించే ముందు ఏ ఆకారం లెక్కిస్తున్నారో (త్రిభుజమా, చతురస్రమా) స్పష్టంగా నిర్ణయించుకోండి. పరీక్షలో రెండింటినీ కలిపి అడిగితే వేరువేరుగా లెక్కించి చివర కూడండి.

ఒక త్రిభుజం శీర్షం నుండి ఎదుటి భుజం (భూమి) పైకి కొన్ని గీతలు గీస్తే చాలా త్రిభుజాలు ఏర్పడతాయి. ఇలాంటి ప్రశ్నలకు చిన్న సూత్రం ఉంది, దాన్ని వాడితే లెక్కించాల్సిన పని ఉండదు.

• సూత్రం: భూమిపై ఉన్న చిన్న భాగాల సంఖ్య n అయితే, మొత్తం త్రిభుజాలు = n(n + 1) ÷ 2.
• భూమిపై బిందువుల సంఖ్య ఆధారంగా: భూమిపై మొత్తం బిందువులు (రెండు మూలలతో సహా) m అయితే, త్రిభుజాలు = m(m − 1) ÷ 2.
• అన్ని త్రిభుజాలకు ఒకే శీర్షం ఉండాలి: లెక్క ఈ సూత్రం ఒకే శీర్షం నుండి వచ్చే గీతలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది.
• భూమి మీద గీతలు ఒకే సరళరేఖపై ఉండాలి.
• శీర్షం నుండి భూమికి వచ్చే గీతలు మాత్రమే లెక్కలోకి వస్తాయి.

• త్రిభుజాలు = 3 × 4 ÷ 2 = 6.

n × n గడులున్న చతురస్ర గ్రిడ్‌లో 1×1 చతురస్రాలతో పాటు 2×2, 3×3 వంటి పెద్ద చతురస్రాలు కూడా ఉంటాయి. చెస్ బోర్డు ప్రశ్న ఇందుకు ప్రసిద్ధ ఉదాహరణ.

• సూత్రం: n × n గ్రిడ్‌లో మొత్తం చతురస్రాలు = 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6.
• పట్టిక లేకుండా గుర్తుంచుకోండి:
  1. 2 × 2 గ్రిడ్: 4 + 1 = 5
  2. 3 × 3 గ్రిడ్: 9 + 4 + 1 = 14
  3. 4 × 4 గ్రిడ్: 16 + 9 + 4 + 1 = 30
  4. 5 × 5 గ్రిడ్: 55
  5. 8 × 8 (చెస్ బోర్డు): 204
• ఏ పరిమాణం ఎన్ని: n × n గ్రిడ్‌లో k × k చతురస్రాలు (n − k + 1)² ఉంటాయి.
• ఉదాహరణకు 4 × 4 గ్రిడ్‌లో 2 × 2 చతురస్రాలు = 3² = 9.

• సూత్రం: 8 × 9 × 17 ÷ 6 = 1224 ÷ 6 = 204.
• అంటే 64 చిన్న చతురస్రాలతో పాటు మొత్తం 204 చతురస్రాలు.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా చెస్ బోర్డులో 204 చతురస్రాలు – పరీక్షల్లో ఈ సంఖ్య చాలాసార్లు వస్తుంది, కంఠస్థం చేయండి.

ఇంకొక ఉదాహరణ 3 × 3 గ్రిడ్‌లో 1×1 చతురస్రాలు 9, 2×2 చతురస్రాలు 4, 3×3 చతురస్రం 1 → మొత్తం 14.

పరీక్ష ఉచ్చు చాలామంది చెస్ బోర్డులో 64 మాత్రమే చెబుతారు (చిన్న గడులు). పెద్ద చతురస్రాలను కూడా లెక్కించడం మర్చిపోవద్దు.

ఒక గ్రిడ్‌లో చతురస్రాలన్నీ కూడా దీర్ఘచతురస్రాలే. కాబట్టి దీర్ఘచతురస్రాలు అడిగితే చతురస్రాలను కూడా కలిపి లెక్కించాలి. దీనికి సూత్రం చాలా సులభం.

• m × n గ్రిడ్ సూత్రం: మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాలు = [m(m + 1) ÷ 2] × [n(n + 1) ÷ 2].
• m = అడ్డు వరుసల సంఖ్య, n = నిలువు వరుసల సంఖ్య.
• n × n గ్రిడ్: [n(n + 1) ÷ 2]².
• కొన్ని విలువలు:
  1. 2 × 2 గ్రిడ్: 3 × 3 = 9
  2. 3 × 3 గ్రిడ్: 6 × 6 = 36
  3. 4 × 4 గ్రిడ్: 10 × 10 = 100
  4. 8 × 8 గ్రిడ్: 36 × 36 = 1296
• చతురస్రం కాని దీర్ఘచతురస్రాలు: మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాల నుండి చతురస్రాల సంఖ్యను తీసివేయాలి.
• 3 × 3 గ్రిడ్‌లో 36 − 14 = 22.

• వరుసల భాగం: 2 × 3 ÷ 2 = 3.
• నిలువు భాగం: 3 × 4 ÷ 2 = 6.
• మొత్తం = 3 × 6 = 18 దీర్ఘచతురస్రాలు.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా సూత్రంలో ప్రతి వైపు 'k(k + 1) ÷ 2' అని మాత్రమే గుర్తుంచుకోండి, రెండు వైపుల ఫలితాలను గుణించండి.

ఇంకొక ఉదాహరణ ఒకే వరుసలో 4 గడులు ఉంటే (1 × 4): 1 × (4 × 5 ÷ 2) = 10 దీర్ఘచతురస్రాలు. 2 × 2 గ్రిడ్‌లో మొత్తం 9, వాటిలో చతురస్రాలు 5, చతురస్రం కాని దీర్ఘచతురస్రాలు 4.

ఒక రేఖపై కొన్ని బిందువులు ఉన్నప్పుడు ఎన్ని రేఖా ఖండాలు (Line segments) ఏర్పడతాయి, ఒక బిందువు నుండి కొన్ని కిరణాలు వస్తే ఎన్ని కోణాలు ఏర్పడతాయి అనే ప్రశ్నలూ తరచూ వస్తాయి. వీటికి ఒకే సూత్రం పనిచేస్తుంది.

• రేఖాఖండాలు: ఒక సరళరేఖపై n బిందువులు ఉంటే, రేఖాఖండాలు = n(n − 1) ÷ 2.
• 4 బిందువులు: 4 × 3 ÷ 2 = 6
• 6 బిందువులు: 6 × 5 ÷ 2 = 15
• కోణాలు: ఒక బిందువు నుండి n కిరణాలు వచ్చే బొమ్మలో కోణాలు = n(n − 1) ÷ 2.
• 5 కిరణాలు ఉంటే 10 కోణాలు.
• ఖండన బిందువులు: n సరళరేఖలు ఒకదానికొకటి ఖండిస్తూ ఉంటే (ఏ రెండూ సమాంతరం కాకుండా), గరిష్ఠ ఖండన బిందువులు = n(n − 1) ÷ 2.
• 4 రేఖలు ఉంటే గరిష్ఠంగా 6 బిందువులు.
• పోలిక: ఈ మూడు ప్రశ్నల్లోనూ 'n నుండి రెండు ఎంచుకోవడం' అనే ఒకే ఆలోచన పనిచేస్తుంది.

• 5 × 4 ÷ 2 = 10 (AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE).

ఇంకొక ఉదాహరణ 7 బిందువులున్న రేఖపై ఖండాలు 7 × 6 ÷ 2 = 21. ఒక వృత్తంపై 6 బిందువులు ఉంటే వాటిని కలిపే జ్యాలు 6 × 5 ÷ 2 = 15. n భుజాల బహుభుజి కర్ణాలు = n(n − 3) ÷ 2 (షడ్భుజికి 9).

గమనిక AB, BA ఒకే రేఖాఖండం; అందుకే సూత్రంలో 2 తో భాగిస్తారు.

చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం లేదా షడ్భుజిలో కర్ణాలు గీసిన బొమ్మలు పరీక్షల్లో వస్తుంటాయి. ప్రతి బొమ్మకూ సూత్రం ఉండదు, కాబట్టి క్రమబద్ధమైన లెక్కింపు ముఖ్యం.

• చతురస్రం లేదా దీర్ఘచతురస్రంలో రెండు కర్ణాలు: మొత్తం 8 త్రిభుజాలు.
• చిన్న త్రిభుజాలు 4 (కర్ణాలు కలిసే బిందువు వద్ద).
• పెద్ద త్రిభుజాలు 4 (ప్రతి కర్ణం ద్వారా రెండు వైపులా రెండు).
• అంతర్గత గీతలు పెరిగితే: ముందుగా చిన్న త్రిభుజాలు, తర్వాత రెండేసి కలిపినవి, తర్వాత మూడేసి కలిపినవి అని లెక్కించాలి.
• సమబాహు త్రిభుజం గ్రిడ్ రూపం: భుజాన్ని n భాగాలుగా చేసి సమాంతర గీతలు గీస్తే చిన్న త్రిభుజాలు n² ఉంటాయి. ఉదా: n = 2 అయితే 4, n = 3 అయితే 9.
• తప్పులు రాకుండా:
  1. అన్ని శీర్షాలకు పేర్లు రాయండి (A, B, C...).
  2. ప్రతి శీర్షం నుండి త్రిభుజాలు వెతకండి.
  3. 3 శీర్షాలు ఎంచుకున్నప్పుడు, అవి మూడు రేఖలతో నిజంగా కలుస్తున్నాయో చూడండి.

• చిన్నవి: AOB, BOC, COD, DOA = 4.
• పెద్దవి: ABC, BCD, CDA, DAB = 4.
• మొత్తం = 8.