గ్రిడ్‌లో చతురస్రాల లెక్కింపు (Counting Squares in a Grid)

Correct: D — 14

n × n గ్రిడ్‌లో చతురస్రాలు = 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6. ఇక్కడ n = 3: 1² + 2² + 3² = 14. 9 అనేది కేవలం 1×1 చిన్న గడుల సంఖ్య మాత్రమే, పెద్ద చతురస్రాలను విస్మరించింది. 6 అనేది 1 + 2 + ... + n కూడిక, వర్గాల కూడిక కాదు కాబట్టి తప్పు.

Correct: D — 5

n × n గ్రిడ్‌లో చతురస్రాలు = 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6. ఇక్కడ n = 2: 1² + 2² = 5. 4 అనేది కేవలం 1×1 చిన్న గడుల సంఖ్య మాత్రమే, పెద్ద చతురస్రాలను విస్మరించింది. 3 అనేది 1 + 2 + ... + n కూడిక, వర్గాల కూడిక కాదు కాబట్టి తప్పు.

Correct: C — 30

n × n గ్రిడ్‌లో చతురస్రాలు = 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6. ఇక్కడ n = 4: 1² + 2² + 3² + 4² = 30. 16 అనేది కేవలం 1×1 చిన్న గడుల సంఖ్య మాత్రమే, పెద్ద చతురస్రాలను విస్మరించింది. 10 అనేది 1 + 2 + ... + n కూడిక, వర్గాల కూడిక కాదు కాబట్టి తప్పు.

Correct: A — 204

చెస్ బోర్డులో 1×1 నుండి 8×8 వరకు అన్ని పరిమాణాల చతురస్రాలను లెక్కించాలి: 8 × 9 × 17 ÷ 6 = 1224 ÷ 6 = 204. 64 అనేది కేవలం చిన్న గడుల సంఖ్య, చాలామంది చేసే సాధారణ తప్పు ఇదే. 128, 256 లకు ఈ సూత్రంలో ఎటువంటి ఆధారం లేదు.

Correct: A — 9

n × n గ్రిడ్‌లో k × k చతురస్రాలు (n − k + 1)² ఉంటాయి. ఇక్కడ (4 − 2 + 1)² = 3² = 9. ఎందుకంటే చతురస్రం ఎడమ-పై మూల అడ్డంగా 3 స్థానాల్లో, నిలువుగా 3 స్థానాల్లో ఉండవచ్చు. కేవలం 3 అనేది ఒక వరుసలోని స్థానాల సంఖ్య మాత్రమే, రెండు దిశలకూ గుణించాలి.

Correct: C — 9

n × n గ్రిడ్‌లో k × k చతురస్రాలు (n − k + 1)² ఉంటాయి. ఇక్కడ (5 − 3 + 1)² = 3² = 9. ఎందుకంటే చతురస్రం ఎడమ-పై మూల అడ్డంగా 3 స్థానాల్లో, నిలువుగా 3 స్థానాల్లో ఉండవచ్చు. కేవలం 3 అనేది ఒక వరుసలోని స్థానాల సంఖ్య మాత్రమే, రెండు దిశలకూ గుణించాలి.

Correct: B — 55

n × n గ్రిడ్‌లో చతురస్రాలు = 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6. ఇక్కడ n = 5: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55. 25 అనేది కేవలం 1×1 చిన్న గడుల సంఖ్య మాత్రమే, పెద్ద చతురస్రాలను విస్మరించింది. 15 అనేది 1 + 2 + ... + n కూడిక, వర్గాల కూడిక కాదు కాబట్టి తప్పు.

Correct: C — 25

n × n గ్రిడ్‌లో k × k చతురస్రాలు (n − k + 1)² ఉంటాయి. ఇక్కడ (6 − 2 + 1)² = 5² = 25. ఎందుకంటే చతురస్రం ఎడమ-పై మూల అడ్డంగా 5 స్థానాల్లో, నిలువుగా 5 స్థానాల్లో ఉండవచ్చు. కేవలం 5 అనేది ఒక వరుసలోని స్థానాల సంఖ్య మాత్రమే, రెండు దిశలకూ గుణించాలి.

Correct: A — 50

5 × 5 గ్రిడ్‌లో 1×1 = 25, 2×2 = 16, 3×3 = 9. వీటి మొత్తం 25 + 16 + 9 = 50. 4×4 (4) , 5×5 (1) ను కూడా కలిపితే 55 అవుతుంది, కానీ ప్రశ్న మూడు పరిమాణాలనే అడిగింది. 25 కేవలం చిన్న గడులు; 38 అనేది 1×1, 2×2 పరిమాణాల (25 + 16) లో తప్పు లెక్కతో వచ్చిన విలువ.

Correct: B — 4

n × n గ్రిడ్‌లో చతురస్రాలు 3×3 కు 14, 4×4 కు 30, 5×5 కు 55. కాబట్టి 30 వచ్చేది n = 4 కే: 16 + 9 + 4 + 1 = 30. n = 3 అయితే 14 మాత్రమే, n = 5 అయితే 55, n = 6 అయితే 91 అవుతుంది, ఈ విలువలు 30 కి సరిపోవు.