గ్రిడ్‌లో దీర్ఘచతురస్రాల లెక్కింపు (Counting Rectangles)

Correct: B — 9

m × n గ్రిడ్‌లో దీర్ఘచతురస్రాలు = [m(m + 1) ÷ 2] × [n(n + 1) ÷ 2] = 3 × 3 = 9. అడ్డ రేఖలలో రెండింటిని ఎంచుకునే విధానాలు 3, నిలువు రేఖల్లో 3; వాటిని గుణించాలి. 4 కేవలం చిన్న గడుల సంఖ్య; 6 రెండు సంఖ్యలను కూడటం వల్ల వచ్చే తప్పు విలువ.

Correct: C — 36

m × n గ్రిడ్‌లో దీర్ఘచతురస్రాలు = [m(m + 1) ÷ 2] × [n(n + 1) ÷ 2] = 6 × 6 = 36. అడ్డ రేఖలలో రెండింటిని ఎంచుకునే విధానాలు 6, నిలువు రేఖల్లో 6; వాటిని గుణించాలి. 9 కేవలం చిన్న గడుల సంఖ్య; 12 రెండు సంఖ్యలను కూడటం వల్ల వచ్చే తప్పు విలువ.

Correct: D — 1296

సూత్రం [n(n + 1) ÷ 2]² = (8 × 9 ÷ 2)² = 36² = 1296. చతురస్రాలన్నీ దీర్ఘచతురస్రాలే కాబట్టి ఈ సంఖ్యలో చతురస్రాలు (204) కూడా కలిసి ఉంటాయి. 204 అనేది కేవలం చతురస్రాల సంఖ్య, 64 చిన్న గడులు. 1224 అనేది 8 × 9 × 17 అనే గుణకం మాత్రమే, 6 తో భాగించకముందు విలువ.

Correct: D — 18

m × n గ్రిడ్‌లో దీర్ఘచతురస్రాలు = [m(m + 1) ÷ 2] × [n(n + 1) ÷ 2] = 3 × 6 = 18. అడ్డ రేఖలలో రెండింటిని ఎంచుకునే విధానాలు 3, నిలువు రేఖల్లో 6; వాటిని గుణించాలి. 6 కేవలం చిన్న గడుల సంఖ్య; 9 రెండు సంఖ్యలను కూడటం వల్ల వచ్చే తప్పు విలువ.

Correct: A — 100

m × n గ్రిడ్‌లో దీర్ఘచతురస్రాలు = [m(m + 1) ÷ 2] × [n(n + 1) ÷ 2] = 10 × 10 = 100. అడ్డ రేఖలలో రెండింటిని ఎంచుకునే విధానాలు 10, నిలువు రేఖల్లో 10; వాటిని గుణించాలి. 16 కేవలం చిన్న గడుల సంఖ్య; 20 రెండు సంఖ్యలను కూడటం వల్ల వచ్చే తప్పు విలువ.

Correct: B — 10

m × n గ్రిడ్‌లో దీర్ఘచతురస్రాలు = [m(m + 1) ÷ 2] × [n(n + 1) ÷ 2] = 1 × 10 = 10. అడ్డ రేఖలలో రెండింటిని ఎంచుకునే విధానాలు 1, నిలువు రేఖల్లో 10; వాటిని గుణించాలి. 4 కేవలం చిన్న గడుల సంఖ్య; 11 రెండు సంఖ్యలను కూడటం వల్ల వచ్చే తప్పు విలువ.

Correct: D — 4

మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాలు = 3 × 3 = 9. అందులో చతురస్రాలు = 5. చతురస్రం కాని దీర్ఘచతురస్రాలు = 9 − 5 = 4. 9 చతురస్రాలను కూడా కలిపిన మొత్తం; 5 కేవలం చతురస్రాల సంఖ్య. ప్రశ్న చతురస్రాలను మినహాయించమని చెబుతున్నందున తీసివేత అవసరం.

Correct: A — 22

మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాలు = 6 × 6 = 36. అందులో చతురస్రాలు = 14. చతురస్రం కాని దీర్ఘచతురస్రాలు = 36 − 14 = 22. 36 చతురస్రాలను కూడా కలిపిన మొత్తం; 14 కేవలం చతురస్రాల సంఖ్య. ప్రశ్న చతురస్రాలను మినహాయించమని చెబుతున్నందున తీసివేత అవసరం.

Correct: C — 10

మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాలు = 3 × 6 = 18. అందులో చతురస్రాలు = 8. చతురస్రం కాని దీర్ఘచతురస్రాలు = 18 − 8 = 10. 18 చతురస్రాలను కూడా కలిపిన మొత్తం; 8 కేవలం చతురస్రాల సంఖ్య. ప్రశ్న చతురస్రాలను మినహాయించమని చెబుతున్నందున తీసివేత అవసరం.

Correct: B — 14 : 22

3 × 3 గ్రిడ్‌లో చతురస్రాలు 14, మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాలు 6 × 6 = 36. చతురస్రం కాని దీర్ఘచతురస్రాలు 36 − 14 = 22. కాబట్టి నిష్పత్తి 14 : 22 (అంటే 7 : 11). 14 : 36 లో రెండో సంఖ్య మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాలు, చతురస్రం కానివి కాదు; 36 : 14 తిరగబడింది; 9 : 27 కు ఆధారం లేదు.