గ.సా.భా & క.సా.గు (HCF & LCM)

గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా – HCF) అంటే ఇచ్చిన సంఖ్యలన్నింటినీ శేషం లేకుండా భాగించే అతి పెద్ద సంఖ్య. కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు – LCM) అంటే ఆ సంఖ్యలన్నీ శేషం లేకుండా భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య.

• HCF అంటే: భాజకాల్లో ఉమ్మడిగా ఉన్న వాటిలో అతి పెద్దది. HCF కు మరో పేరు GCD (Greatest Common Divisor).
• LCM అంటే: గుణిజాల్లో ఉమ్మడిగా ఉన్న వాటిలో అతి చిన్నది.
• ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి (Prime Factorisation):
  1. ప్రతి సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయాలి.
  2. HCF = ప్రతి ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకానికి అతి చిన్న ఘాతం తీసుకుని గుణించాలి.
  3. LCM = ప్రతి ప్రధాన కారణాంకానికి అతి పెద్ద ఘాతం తీసుకుని గుణించాలి.
• ఎప్పుడూ:
  1. HCF ≤ ఇచ్చిన అతి చిన్న సంఖ్య
  2. LCM ≥ ఇచ్చిన అతి పెద్ద సంఖ్య.
• పరిస్థితులు: సహ ప్రధానాలైతే HCF = 1 మరియు LCM = వాటి లబ్ధం.

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3².
• HCF = 2¹ × 3¹ = 6.
• LCM = 2² × 3² = 36.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా HCF కోసం 'అతి చిన్న ఘాతం' – LCM కోసం 'అతి పెద్ద ఘాతం'. చిన్న HCF, పెద్ద LCM అని గుర్తుపెట్టుకోండి.

సంఖ్యలు పెద్దవిగా ఉన్నప్పుడు ప్రధాన కారణాంకాలు కనుగొనడం కష్టం. అప్పుడు భాగహార పద్ధతి (Division Method) వేగంగా సమాధానం ఇస్తుంది.

• రెండు సంఖ్యల HCF:
  1. పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించండి.
  2. వచ్చిన శేషంతో మునుపటి భాజకాన్ని భాగించండి.
  3. శేషం 0 వచ్చే వరకు ఇలా కొనసాగించండి.
  4. చివరి భాజకమే HCF.
• మూడు సంఖ్యల HCF: మొదటి రెండింటి HCF కనుగొని, దానితో మూడవ సంఖ్యకు HCF కనుగొనండి.
• సూత్రం ఆధారం: HCF(a, b) = HCF(b, శేషం).

• 126 ÷ 84 = 1, శేషం 42.
• 84 ÷ 42 = 2, శేషం 0.
• HCF = 42.

• 360 ÷ 144 = 2, శేషం 72.
• 144 ÷ 72 = 2, శేషం 0.
• HCF = 72.

• 1032 ÷ 408 = 2, శేషం 216.
• 408 ÷ 216 = 1, శేషం 192.
• 216 ÷ 192 = 1, శేషం 24.
• 192 ÷ 24 = 8, శేషం 0. HCF = 24.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా HCF కనుగొనేటప్పుడు ఎల్లప్పుడూ పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదానితో భాగించడం ప్రారంభించండి.

తనిఖీ చిట్కా HCF కనుగొన్నాక రెండు సంఖ్యలను దానితో భాగించి చూడండి. 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3; ఈ భాగఫలాలు (2, 3) సహ ప్రధానాలు కావాలి. అదే HCF సరైనదనే రుజువు.

LCM కనుగొనడానికి కారణాంకాల పద్ధతితో పాటు, సంఖ్యలను కలిపి భాగించే (ఉమ్మడి భాగహారం) పద్ధతి కూడా ఉంది. రెండు సంఖ్యల మధ్య HCF, LCM లకు ఒక ముఖ్యమైన సంబంధం ఉంది.

• ఉమ్మడి భాగహార పద్ధతి (Common Division):
  1. అన్ని సంఖ్యలను వరుసగా రాయండి.
  2. ఒక ప్రధాన సంఖ్యతో కనీసం రెండు సంఖ్యలను భాగించండి; భాగించలేని వాటిని యథాతథంగా కింద రాయండి.
  3. అన్ని సంఖ్యలూ 1 అయ్యే వరకు కొనసాగించండి.
  4. వాడిన భాజకాలన్నింటి లబ్ధమే LCM.
• రెండు సంఖ్యల సూత్రం: HCF × LCM = మొదటి సంఖ్య × రెండవ సంఖ్య.
• ఈ సూత్రం కేవలం రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది, మూడు సంఖ్యలకు కాదు.
• సూత్రం ఉపయోగం: ఒక సంఖ్య, HCF, LCM తెలిస్తే రెండవ సంఖ్య = (HCF × LCM) ÷ తెలిసిన సంఖ్య.

• 2 తో భాగిస్తే: 6, 15, 10
• 3 తో భాగిస్తే: 2, 5, 10
• 5 తో భాగిస్తే: 2, 1, 2
• 2 తో భాగిస్తే: 1, 1, 1
• LCM = 2 × 3 × 5 × 2 = 60.

• తనిఖీ: 8 = 2³, 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² → LCM = 2³ × 3² = 72 ✓.

భిన్నాలు ఇచ్చినప్పుడు HCF, LCM కనుగొనడానికి ప్రత్యేక సూత్రాలు ఉన్నాయి. అలాగే సంఖ్యల నిష్పత్తి మరియు వాటి HCF ఇచ్చిన ప్రశ్నలు కూడా పరీక్షల్లో ఎక్కువగా వస్తాయి.

• భిన్నాల HCF = (లవాల HCF) ÷ (హారాల LCM).
• భిన్నాల LCM = (లవాల LCM) ÷ (హారాల HCF).
• ముందు భిన్నాలన్నీ కనిష్ఠ రూపంలో (సరళీకృతం) ఉండాలి.
• నిష్పత్తి ప్రశ్నలు: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి a : b మరియు వాటి HCF h అయితే
• సంఖ్యలు = ah, bh
• LCM = a × b × h
• దశాంశాలు: దశాంశ సంఖ్యల HCF కోసం దశాంశ స్థానాలను సమానం చేసి, దశాంశ చుక్కను తీసివేసి HCF కనుగొని, తిరిగి అదే సంఖ్యలో దశాంశ స్థానాలు పెట్టాలి.

'ఏ అతి పెద్ద సంఖ్యతో భాగిస్తే ఈ శేషాలు వస్తాయి?' లేదా 'ఏ అతి చిన్న సంఖ్యను భాగిస్తే ఈ శేషాలు వస్తాయి?' అనే ప్రశ్నలకు మూడు రకాల సూత్రాలు ఉన్నాయి. పరీక్షల్లో ఇవి చాలా ముఖ్యం.

• రకం 1 – అతి పెద్ద సంఖ్య: a, b, c లను భాగిస్తే శేషాలు r₁, r₂, r₃ ఇచ్చే అతి పెద్ద సంఖ్య = HCF (a − r₁, b − r₂, c − r₃).
• రకం 2 – అన్నింటికీ ఒకే శేషం r: అతి చిన్న సంఖ్య = LCM (a, b, c) + r.
• ఇచ్చిన సంఖ్యల పరిధిలో 'అతి పెద్ద సంఖ్య' అడిగితే, ముందు LCM కనుగొని, ఆ పరిధిలోని అతి పెద్ద గుణిజం తీసి r కలపాలి.
• రకం 3 – భాజకం మరియు శేషం మధ్య తేడా స్థిరం k: అతి చిన్న సంఖ్య = LCM (a, b, c) − k.
• ఉదా: 6, 8, 12 తో భాగిస్తే వరుసగా 5, 7, 11 శేషాలు వస్తే, ప్రతి సందర్భంలో తేడా 1. కాబట్టి సంఖ్య = LCM − 1.
• ఒకే శేషం ఇచ్చే అతి పెద్ద భాజకం: ఒకే శేషం r ఇస్తే HCF (a − r, b − r, c − r).

HCF, LCM లను రోజువారీ సందర్భాల్లో వాడే లెక్కలు పరీక్షల్లో ఎక్కువగా వస్తాయి. ప్రశ్నను చదివి HCF కావాలా లేక LCM కావాలా అని గుర్తించడం ముఖ్యం.

• LCM వాడే సందర్భాలు (ఎప్పుడు కలుస్తారు/మోగుతాయి):
• ఎన్ని సెకన్లకు మళ్లీ ఒకేసారి గంటలు మోగుతాయి.
• ఎన్ని నిమిషాల తర్వాత ఇద్దరు పరుగెత్తేవారు మొదలైన చోట కలుస్తారు.
• ట్రాఫిక్ లైట్లు ఒకేసారి ఎప్పుడు మారతాయి.
• HCF వాడే సందర్భాలు (అతి పెద్ద సమాన భాగం/ముక్క):
• ఇచ్చిన పొడవుల తాళ్లను అతి పెద్ద సమాన ముక్కలుగా కోయడం.
• ఒక గది నేలను అతి పెద్ద చతురస్రాకార టైల్స్‌తో కప్పడం (టైల్ భుజం = HCF).
• వేర్వేరు పరిమాణాల వస్తువులను సమాన గుంపులుగా చేయడం.
• ప్రశ్న చదివే చిట్కా:
  1. 'అతి పెద్ద', 'అతి పెద్ద సమాన ముక్కలు' అనే పదాలు ఉంటే HCF
  2. 'మళ్లీ కలిసేది', 'అతి చిన్న', 'ఒకేసారి' అనే పదాలు ఉంటే LCM.