HCF – భాగహార పద్ధతి (Euclid's Division Method)

Correct: A — 42

126 ను 84 తో భాగిస్తే శేషం 42. తర్వాత 84 ను 42 తో భాగిస్తే శేషం 0. శేషం 0 అయినప్పుడు చివరి భాజకం 42 HCF అవుతుంది. 84 అనేది చిన్న సంఖ్యే కానీ 126 ను భాగించదు; 21 అనేది 42 యొక్క భాజకం మాత్రమే.

Correct: D — శేషం 0 వచ్చినప్పుడు చివరి భాజకం

Euclid భాగహార పద్ధతిలో పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగిస్తారు, ఆ శేషంతో చిన్న సంఖ్యను భాగిస్తారు. ఇలా శేషం 0 అయ్యే వరకు కొనసాగించి, చివరి భాజకమే HCF గా తీసుకుంటారు. భాగఫలాలు లేదా మొదటి శేషం HCF కావు.

Correct: C — 6

48 ÷ 18 = 2 శేషం 12. 18 ÷ 12 = 1 శేషం 6. 12 ÷ 6 = 2 శేషం 0. కాబట్టి చివరి భాజకం 6 HCF. 12 అనేది మధ్యలో వచ్చిన శేషం, 48 ను 18 భాగించదు కాబట్టి అది HCF కాదు; 3 అనేది భాజకమే కానీ గరిష్ఠం కాదు.

Correct: B — 36

ముందు 252, 324 ల HCF: 324 − 252 = 72, 252 = 3 × 72 + 36, 72 = 2 × 36 → HCF 36. తర్వాత 36 మరియు 396: 396 = 11 × 36, కాబట్టి HCF 36. 72 అనేది 252 ను భాగించదు (252 ÷ 72 శేషం 36). 12 మరియు 18 భాజకాలే కానీ గరిష్ఠం కావు.

Correct: A — 77

2310 = 2 × 1001 + 308. 1001 = 3 × 308 + 77. 308 = 4 × 77 + 0. కాబట్టి HCF 77. తనిఖీ: 2310 = 77 × 30, 1001 = 77 × 13. 7, 11 లు ఉమ్మడి కారకాలే కానీ వాటి లబ్ధం 77 పూర్తి HCF. 91 = 7 × 13, ఇది 2310 ను భాగించదు.

Correct: D — 17

527 = 1 × 391 + 136. 391 = 2 × 136 + 119. 136 = 1 × 119 + 17. 119 = 7 × 17 + 0. కాబట్టి HCF 17. తనిఖీ: 391 = 17 × 23, 527 = 17 × 31. 23, 31 లకు ఉమ్మడి కారకం లేదు కాబట్టి 17 గరిష్ఠం.

Correct: C — 21

1071 = 2 × 462 + 147. 462 = 3 × 147 + 21. 147 = 7 × 21 + 0. కాబట్టి HCF 21. తనిఖీ: 1071 = 21 × 51, 462 = 21 × 22; 51, 22 లు సహ ప్రధానాలు. 147 అనేది మధ్య శేషం, అది 462 ను భాగించదు.

Correct: C — 333

1332 − 999 = 333 కాబట్టి 1332 = 1 × 999 + 333. తర్వాత 999 = 3 × 333 + 0, కాబట్టి HCF 333. తనిఖీ: 999 = 333 × 3, 1332 = 333 × 4. 3, 4 సహ ప్రధానాలు. 999 అనేది 1332 ను భాగించదు; 111, 222 భాజకాలే కానీ గరిష్ఠం కావు.

Correct: B — 2

Euclid: 117 = 1 × 65 + 52, 65 = 1 × 52 + 13, 52 = 4 × 13. కాబట్టి HCF = 13. వెనక్కి వస్తే 13 = 65 − 52 = 65 − (117 − 65) = 2 × 65 − 1 × 117. కాబట్టి m = 2, n = 1. తనిఖీ: 130 − 117 = 13.

Correct: A — HCF(b, a ను b తో భాగించగా వచ్చే శేషం)

Euclid సూత్రం: HCF(a, b) = HCF(b, r), ఇక్కడ r = a ను b తో భాగించగా వచ్చే శేషం. కారణం: a = bq + r కాబట్టి a, b లకు ఉన్న ప్రతి ఉమ్మడి భాజకం r ను కూడా భాగిస్తుంది. భాగఫలం q ను ఉపయోగించడం తప్పు; ఉదాహరణకు HCF(48, 18) = HCF(18, 12) = 6, భాగఫలం 2 కాదు.