గ.సా.భా, క.సా.గు అర్థం – ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి (HCF & LCM by Factorisation)

Correct: A — 6

12 = 2² × 3 మరియు 18 = 2 × 3². ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాలను తక్కువ ఘాతంతో తీసుకుంటే 2 × 3 = 6. 36 అనేది క.సా.గు (LCM) అవుతుంది, ఇది రెండింటినీ భాగించే సంఖ్య కాదు. 3 మరియు 2 కూడా భాజకాలే కానీ గరిష్ఠమైనవి కావు; 6 రెండింటినీ శేషం లేకుండా భాగిస్తుంది.

Correct: D — 24

8 = 2³, 12 = 2² × 3. LCM లో ప్రతి ప్రధాన కారణాంకాన్ని ఎక్కువ ఘాతంతో తీసుకోవాలి: 2³ × 3 = 24. 4 అనేది వీటి HCF, 48 అనేది 24 యొక్క రెట్టింపు, కనిష్ఠ గుణిజం కాదు; 96 అనేది లబ్ధం 8 × 12. 24 ను 8 తో 3 సార్లు, 12 తో 2 సార్లు భాగించవచ్చు.

Correct: C — 12

36 = 2² × 3² మరియు 48 = 2⁴ × 3. ఉమ్మడి కారకాలు 2 (తక్కువ ఘాతం 2) మరియు 3 (తక్కువ ఘాతం 1) కాబట్టి HCF = 2² × 3 = 12. 144 అనేది వీటి LCM (2⁴ × 3²). 24 అనేది 48 ను సగం చేసినది, 36 ను భాగించదు.

Correct: B — 1

సహ ప్రధాన సంఖ్యలకు 1 తప్ప ఉమ్మడి కారణాంకం ఉండదు, కాబట్టి వాటి HCF = 1. ఉదాహరణకు 8, 9 లకు HCF 1 మరియు LCM 72 (లబ్ధానికి సమానం). లబ్ధం LCM అవుతుంది, HCF కాదు; 0 అనేది భాజకం కాదు.

Correct: A — 36

HCF కోసం ఉమ్మడి ప్రధాన కారకాలను తక్కువ ఘాతంతో తీసుకోవాలి: 2² (2³, 2² లలో తక్కువ), 3² (3², 3³ లలో తక్కువ). 5, 7 ఉమ్మడి కావు. HCF = 4 × 9 = 36. 7560 అనేది LCM (2³ × 3³ × 5 × 7). 72 అంటే 2³ × 3² తీసుకోవడం, అంటే 2 కు ఎక్కువ ఘాతం తీసుకోవడం వల్ల వచ్చే తప్పు.

Correct: D — 7560

LCM లో ప్రతి ప్రధాన కారకాన్ని ఎక్కువ ఘాతంతో తీసుకోవాలి: 2³, 3³, 5, 7. LCM = 8 × 27 × 5 × 7 = 7560. 36 అనేది HCF. 3780 అంటే 2² వాడటం వల్ల సగం అయింది (తక్కువ ఘాతం తీసుకోవడం తప్పు); 1260 అంటే 2², 3² తక్కువ ఘాతాలు తీసుకుని 5, 7 లను కలపడం వల్ల వచ్చే తప్పు.

Correct: C — 12

60 = 2² × 3 × 5, 84 = 2² × 3 × 7, 108 = 2² × 3³. మూడింటిలోనూ ఉమ్మడిగా ఉన్నవి 2² మరియు 3, కాబట్టి HCF = 4 × 3 = 12. 4 అనేది అందరికీ భాజకమే కానీ గరిష్ఠం కాదు; 24 అనేది 60, 84 ను భాగించదు (60 ÷ 24 శేషం 12).

Correct: B — (i), (iii) మాత్రమే

(i) సరైనది: HCF ప్రతి సంఖ్యను భాగిస్తుంది, LCM ఆ సంఖ్యల గుణిజం కాబట్టి HCF కూడా LCM ను భాగిస్తుంది (ఉదా. 6 ని 36 భాగిస్తుంది). (ii) తప్పు: LCM ప్రతి సంఖ్య యొక్క గుణిజం, కాబట్టి అది అతి పెద్ద సంఖ్య కన్నా తక్కువ ఉండదు. (iii) సరైనది: HCF ఒక భాజకం కాబట్టి చిన్న సంఖ్య కన్నా పెద్దది కాదు.

Correct: A — రెండు వరుస సహజ సంఖ్యల HCF ఎల్లప్పుడూ 1

వరుస సంఖ్యలు n, n + 1 ల ఉమ్మడి భాజకం వాటి తేడా 1 ను కూడా భాగించాలి, కాబట్టి HCF 1. రెండు సరి సంఖ్యలకు 2 ఉమ్మడి కాబట్టి HCF కనీసం 2. LCM ఎల్లప్పుడూ HCF కన్నా సమానం లేదా ఎక్కువ. రెండు ప్రధానాల (p, q) LCM వాటి లబ్ధం pq, మొత్తం కాదు (2, 3 లకు LCM 6, మొత్తం 5).

Correct: D — 210

1260 = 2² × 3² × 5 × 7 మరియు 1470 = 2 × 3 × 5 × 7². ఉమ్మడి కారకాలను తక్కువ ఘాతంతో తీసుకుంటే 2 × 3 × 5 × 7 = 210. 105 లో 2 లేదు, 420 లో 2² ఉంది కానీ 1470 లో 2 మాత్రమే ఉంది. 70 అనేది 3 ను విస్మరించడం వల్ల వచ్చే విలువ.