1. ఘనం ప్రాథమిక ధర్మాలు (Basic Properties of a Cube)
ఘనం (Cube) అంటే ఆరు సమాన చతురస్రాకార ముఖాలు గల త్రిమితీయ ఆకారం. రీజనింగ్‌లో ఘనాలు, పాచికల ప్రశ్నలకు మొదట ఘనం ధర్మాలు తెలిసి ఉండాలి.
ముఖ్య విషయాలు
- ముఖాలు (Faces): 6, అన్నీ సమాన చతురస్రాలు.
- అంచులు (Edges): 12, అన్నీ సమాన పొడవు.
- శీర్షాలు (Vertices): 8, ప్రతి శీర్షం వద్ద 3 ముఖాలు కలుస్తాయి.
- ఎదుటి ముఖాల జతలు: ఘనంలో 3 జతల ఎదుటి ముఖాలు ఉంటాయి.
- ఒక ముఖానికి ఎదురుగా ఉన్న ముఖం దానిని ఎప్పుడూ తాకదు.
- ఒక ముఖానికి 4 పక్క ముఖాలు (పక్కనే ఉండేవి) ఉంటాయి.
- కర్ణాలు: 4 ఘన కర్ణాలు (శీర్షం నుండి ఎదుటి శీర్షానికి).
- సూత్రాలు: భుజం a అయితే
- ఘనపరిమాణం = a³
- ఉపరితల వైశాల్యం = 6a²
- ముఖం వైశాల్యం = a²
సులభమైన ఉదాహరణ
భుజం 4 సెం.మీ. ఉన్న ఘనం ఉపరితల వైశాల్యం: 6 × 4 × 4 = 96 చ.సెం.మీ., ఘనపరిమాణం: 4 × 4 × 4 = 64 ఘ.సెం.మీ.
గుర్తుంచుకునే చిట్కా ఘనం అంటే 6 – 12 – 8 (ముఖాలు – అంచులు – శీర్షాలు) అని వరుసగా గుర్తుపెట్టుకోండి.
ఇంకొక విషయాలు
- ముఖ కర్ణం పొడవు = a√2
- ఘన కర్ణం పొడవు = a√3.
- నాలుగు పక్క ముఖాల వైశాల్యం = 4a².
- భుజం 3 అయితే నాలుగు పక్క ముఖాల వైశాల్యం 36, ఉపరితల వైశాల్యం 54.
2. రంగు వేసిన ఘనం ముక్కలు చేస్తే – సూత్రాలు (Painted Cube Cutting)
పెద్ద ఘనం ఆరు వైపులా రంగు వేసి, దాన్ని సమాన చిన్న ఘనాలుగా కోస్తే ఎన్ని ముక్కలకు ఎన్ని వైపులా రంగు ఉంటుందో అడిగే ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో చాలా సాధారణం. ఒకసారి సూత్రాలు తెలిస్తే క్షణాల్లో సమాధానం వస్తుంది.
ముఖ్య విషయాలు
- పెద్ద ఘనం భుజానికి n భాగాలు (అంటే n × n × n = n³ చిన్న ఘనాలు) అయితే:
- 3 వైపులా రంగు ఉన్నవి (మూలలు) = 8 (ఎప్పుడూ)
- 2 వైపులా రంగు ఉన్నవి (అంచులు) = 12 × (n − 2)
- 1 వైపు రంగు ఉన్నవి (ముఖం మధ్యలో) = 6 × (n − 2)²
- ఏ వైపూ రంగు లేనివి (లోపలివి) = (n − 2)³
- సరిచూసుకోండి: నాలుగు సంఖ్యల మొత్తం n³ కావాలి.
- ముక్కల సంఖ్య: భుజం a ను భుజం b గల చిన్న ఘనాలుగా కోస్తే ముక్కలు = (a ÷ b)³.
సులభమైన ఉదాహరణ
4 × 4 × 4 ఘనాన్ని ముక్కలు చేశారు (n = 4, మొత్తం 64):
- 3 వైపులు: 8
- 2 వైపులు: 12 × 2 = 24
- 1 వైపు: 6 × 4 = 24
- లోపలివి: 2³ = 8
- మొత్తం = 8 + 24 + 24 + 8 = 64 ✓
ఇంకొక ఉదాహరణ 5 × 5 × 5 ఘనంలో 2 వైపులా రంగు ఉన్నవి = 12 × 3 = 36, 1 వైపు ఉన్నవి = 6 × 9 = 54, రంగు లేనివి = 27.
ఇంకొక ఉదాహరణ 6 × 6 × 6 ఘనం (216 ముక్కలు): 3 వైపులు 8; 2 వైపులు 12 × 4 = 48; 1 వైపు 6 × 16 = 96; రంగు లేనివి 4³ = 64. మొత్తం 8 + 48 + 96 + 64 = 216 ✓.
చిట్కా n = 2 అయితే మొత్తం 8 ముక్కలకూ 3 వైపుల రంగు ఉంటుంది.
3. ఘనాన్ని కోయడం – కోతల సంఖ్య, వేరువేరు రంగులు (Number of Cuts)
పెద్ద ఘనాన్ని చిన్న ఘనాలుగా చేయడానికి ఎన్ని కోతలు కావాలి, కొన్ని ముఖాలకే రంగు వేసి ఉంటే ఎన్ని ముక్కలకు రంగు ఉంటుంది అనే ప్రశ్నలూ వస్తాయి. వీటిని కూడా సులభ పద్ధతిలో చేయవచ్చు.
ముఖ్య విషయాలు
- కోతల సంఖ్య: ఘనాన్ని ప్రతి దిశలో (పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తు) n భాగాలుగా చేయాలంటే ప్రతి దిశకు (n − 1) కోతలు అవసరం.
- మొత్తం కనీస కోతలు = 3 × (n − 1).
- ఉదాహరణకు 3 × 3 × 3 కోసం 3 × 2 = 6 కోతలు.
- ఒక్క కోతలో: ఒక కోత ఘనాన్ని గరిష్ఠంగా రెండు ముక్కలు చేస్తుంది. మూడు లంబ కోతలు (ప్రతి దిశలో ఒకటి) 8 ముక్కలు ఇస్తాయి.
- రెండు ఎదుటి ముఖాలకే రంగు ఉంటే (ఉదా: పైన, కింద): n × n × n కోతలో
- 1 వైపు రంగు ఉన్నవి = 2n² (ప్రతి రంగు ముఖంపై n² ముక్కలు)
- 2 వైపులు ఉన్నవి = 0 (ఎదుటి ముఖాలు ఎప్పుడూ కలవవు)
- ఇతర సందర్భాలు: కొన్ని ముఖాలకే రంగు వేస్తే, ప్రశ్నలో ఇచ్చిన ముఖాలను బట్టి ముక్కలను వేరువేరుగా లెక్కించండి.
సులభమైన ఉదాహరణ
3 × 3 × 3 ఘనం (27 ముక్కలు) ఆరు వైపులా రంగు వేసి కోస్తే రంగు లేని ముక్కలు (3 − 2)³ = 1.
గుర్తుంచుకునే చిట్కా ప్రశ్న చదివేటప్పుడు 'ఎన్ని ముఖాలకు రంగు' అని ఖచ్చితంగా చూడండి, ఆరు వైపులా అయితే మాత్రమే పై సూత్రాలు నేరుగా వాడాలి.
4. పాచిక – ఎదుటి ముఖాలు, ప్రాథమిక నియమం (Dice Opposite Faces)
పాచిక (Dice) కూడా ఒక ఘనమే. దాని ఆరు ముఖాలపై 1 నుండి 6 వరకు సంఖ్యలు ఉంటాయి. పరీక్షల్లో ఇచ్చిన స్థానాల ఆధారంగా ఒక సంఖ్యకు ఎదురుగా ఏ సంఖ్య ఉందో అడుగుతారు.
ముఖ్య విషయాలు
- ప్రామాణిక పాచిక: నిజమైన ఆటల్లో వాడే పాచికలో ఎదుటి ముఖాల మొత్తం ఎప్పుడూ 7.
- 1 ఎదురుగా 6
- 2 ఎదురుగా 5
- 3 ఎదురుగా 4
- గమనిక: రీజనింగ్ ప్రశ్నల్లో ప్రశ్న 'ప్రామాణిక పాచిక' అని చెబితేనే ఈ నియమం వాడాలి. లేకపోతే ఇచ్చిన చిత్రాల నుండే ఎదుటి ముఖాలు కనుగొనాలి.
- కనిపించే ముఖాలు: ఒక సమయంలో గరిష్ఠంగా 3 ముఖాలు మాత్రమే కనిపిస్తాయి. మిగతా 3 కనిపించవు.
- కనిపించని ముఖాల మొత్తం: ప్రామాణిక పాచికలో మొత్తం 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. కనిపించే 3 ముఖాల మొత్తం తీసివేస్తే కనిపించని ముఖాల మొత్తం వస్తుంది.
సులభమైన ఉదాహరణ
1 ప్రామాణిక పాచికలో పైన 4 ఉంటే కింద ఎంత? ఎదుటి ముఖాల మొత్తం 7 కాబట్టి కింద 3.
సులభమైన ఉదాహరణ
2 కనిపించే మూడు ముఖాలు 2, 3, 6 అయితే కనిపించని ముఖాల మొత్తం = 21 − (2 + 3 + 6) = 10. కనిపించని ముఖాలు 5, 4, 1 (వాటి మొత్తం 10 ✓).
ఇంకొక ఉదాహరణ ప్రామాణిక పాచికలో 1, 2 ముఖాలు కనిపిస్తే వాటి ఎదుటి ముఖాలు 6, 5 కనిపించవు.
పరీక్ష ఉచ్చు పాచిక ప్రామాణికం అని చెప్పకపోతే 7 నియమం వాడకండి; ఇచ్చిన స్థానాల బొమ్మల ఆధారంగానే ఎదుటి ముఖాలను కనుగొనండి.
5. పాచిక రెండు స్థానాల ప్రశ్నలు – చిట్కాలు (Dice Two Positions)
ఒకే పాచికను రెండు లేదా మూడు స్థానాల్లో చూపించి, ఒక సంఖ్యకు ఎదురుగా ఏ సంఖ్య ఉందో అడుగుతారు. ఇలాంటి ప్రశ్నలకు ప్రధానంగా రెండు నియమాలు ఉన్నాయి.
ముఖ్య విషయాలు
- నియమం 1 – రెండు ముఖాలు ఉమ్మడి: రెండు స్థానాల్లో రెండు సంఖ్యలు ఉమ్మడిగా ఉంటే, ప్రతి స్థానంలో మిగిలిన మూడవ సంఖ్యలు ఒకదానికొకటి ఎదురుగా ఉంటాయి.
- స్థానం 1:
- 1, 2, 3
- స్థానం 2: 1, 2, 4 → 3 ఎదురుగా 4.
- నియమం 2 – ఒకే ముఖం ఉమ్మడి: ఒక సంఖ్య ఉమ్మడిగా ఉంటే, ఆ సంఖ్య చుట్టూ నాలుగు ముఖాలు ఒక వలయంగా ఉంటాయి.
- ఉమ్మడి సంఖ్య ఎదురుగా ఉన్న ముఖం ఆ నాలుగింటిలో ఉండదు.
- రెండు స్థానాల్లోనూ కనిపించని సంఖ్యే ఉమ్మడి ముఖానికి ఎదురుగా ఉంటుంది.
- స్థానం 1:
- 1, 2, 3
- స్థానం 2: 1, 4, 5 → 6 కనిపించలేదు. ఉమ్మడి 1 కి ఎదురుగా 6.
- వలయంలో ఎదుటి జతలు: ఉమ్మడి ముఖం చుట్టూ నాలుగు ముఖాల వలయంలో ఒక ముఖానికి ఎదురుగా ఉన్నది దాని నుండి రెండవ ముఖం.
- మూడు స్థానాలు ఇస్తే: రెండేసి స్థానాలను పోల్చి ఒక్కో జతను కనుగొనండి.
సులభమైన ఉదాహరణ
స్థానం 1: 2, 4, 5 ; స్థానం 2: 2, 4, 3. ఉమ్మడి ముఖాలు 2, 4 కాబట్టి మిగిలినవి 5 మరియు 3 ఒకదానికొకటి ఎదురుగా ఉంటాయి.
6. ఘనం నెట్ (మడత) – ఎదుటి ముఖాలు కనుగొనే పద్ధతి (Cube Nets)
ఒక ఘనాన్ని విప్పి ఆరు చతురస్రాలుగా చదునుగా పరిస్తే దాన్ని నెట్ (Net) అంటారు. నెట్ చూసి దాన్ని మడిస్తే ఎదురెదురు ముఖాలు ఏవో గుర్తించే ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో వస్తాయి.
ముఖ్య విషయాలు
- ఒక వరుసలో నాలుగు చతురస్రాలు (A B C D వరుసగా) ఉండి, పైన మరియు కింద ఒక్కొక్కటి ఉంటే:
- వరుసలో 1 మరియు 3వ చతురస్రాలు ఎదురెదురు (A – C).
- వరుసలో 2 మరియు 4వ చతురస్రాలు ఎదురెదురు (B – D).
- పైన ఉన్నది, కింద ఉన్నది ఎదురెదురు.
- ఒకే వరుసలో మధ్యలో ఒక చతురస్రం వదిలి ఉన్నవి: ఒకే వరుసలో ఒకదాని తర్వాత ఒకటి వచ్చే చతురస్రాల్లో మధ్యలో ఒక్కటి మాత్రమే ఉంటే అవి ఎదురెదురు.
- పక్కపక్కన ఉన్నవి: నెట్‌లో నేరుగా పక్కపక్కన తాకుతున్న చతురస్రాలు ఘనంలోనూ పక్కపక్కనే ఉంటాయి, ఎదురెదురు కావు.
- ఘనంగా మడవలేని నెట్: ఒకే వరుసలో 5 లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ చతురస్రాలు ఉంటే, లేదా మడిస్తే రెండు చతురస్రాలు ఒకే స్థానంలో పడితే అది ఘనం కాదు.
సులభమైన ఉదాహరణ
నెట్‌లో వరుసగా 1, 2, 3, 4 సంఖ్యలు ఉండి, పైన 5, కింద 6 ఉంటే ఎదుటి జతలు: 1–3, 2–4, 5–6.
ఇంకొక ఉదాహరణ వరుసలో A, B, C, D ఉండి, B పైన E, B కింద F ఉంటే ఎదుటి జతలు A–C, B–D, E–F.
పరీక్ష ఉచ్చు వరుసలో మొదటి (A), చివరి (D) చతురస్రాలు ఎదురెదురు కావు; ఘనం చుట్టూ మడిచినప్పుడు అవి పక్కపక్కనే కలుస్తాయి.