రంగు వేసిన ఘనం ముక్కలు చేస్తే – సూత్రాలు (Painted Cube Cutting)

Correct: A — 8

మూడు వైపులా రంగు ఉండేవి పెద్ద ఘనం మూలల్లోని ముక్కలు, ఘనానికి 8 మూలలు, కాబట్టి ఎల్లప్పుడూ 8. 12 అనేది అంచుల సంఖ్య (2 వైపుల రంగు ముక్కల లెక్క దీనితో ముడిపడి ఉంటుంది), 6 ముఖాల సంఖ్య, 4 ఏ ధర్మానికీ సంబంధం లేనిది.

Correct: C — 6

ఒక వైపే రంగు ఉన్న ముక్కలు ప్రతి ముఖం మధ్యలో ఉంటాయి. ప్రతి ముఖంపై (n − 2)² = 1 ముక్కలు, 6 ముఖాలకు 6 × 1 = 6. 6(n − 2) = 6 అంటే వర్గం తీసుకోవడం మరచిపోవడం; 54 ప్రతి ముఖంలోని అన్ని ముక్కలనూ లెక్కించడం. (సరిచూపు: 8 + 12 + 6 + 1 = 27)

Correct: B — 1

లోపలి ముక్కలకు ఏ వైపూ రంగు ఉండదు; అవి (n − 2) భాగాల చిన్న ఘనం ఏర్పరుస్తాయి: (3 − 2)³ = 1³ = 1. 8 అంటే (n − 1)³ వాడటం; 1 ఒక పొరలోని ముక్కలు మాత్రమే. (సరిచూపు: 8 + 12 + 6 + 1 = 27)

Correct: D — 12

రెండు వైపులా రంగు ఉన్న ముక్కలు ఘనం అంచుల మీద (మూలలు కాకుండా) ఉంటాయి. 12 అంచులు, ప్రతి అంచుపై (n − 2) = 1 ముక్కలు: 12 × 1 = 12. 36 అనేది మూలలను కూడా లెక్కించడం, 6 ముఖాల మధ్య ముక్కలు (ఒక వైపు రంగు). (సరిచూపు: 8 + 12 + 6 + 1 = 27)

Correct: C — 24

రెండు వైపులా రంగు ఉన్న ముక్కలు ఘనం అంచుల మీద (మూలలు కాకుండా) ఉంటాయి. 12 అంచులు, ప్రతి అంచుపై (n − 2) = 2 ముక్కలు: 12 × 2 = 24. 48 అనేది మూలలను కూడా లెక్కించడం, 24 ముఖాల మధ్య ముక్కలు (ఒక వైపు రంగు). (సరిచూపు: 8 + 24 + 24 + 8 = 64)

Correct: A — 54

ఒక వైపే రంగు ఉన్న ముక్కలు ప్రతి ముఖం మధ్యలో ఉంటాయి. ప్రతి ముఖంపై (n − 2)² = 9 ముక్కలు, 6 ముఖాలకు 6 × 9 = 54. 6(n − 2) = 18 అంటే వర్గం తీసుకోవడం మరచిపోవడం; 150 ప్రతి ముఖంలోని అన్ని ముక్కలనూ లెక్కించడం. (సరిచూపు: 8 + 36 + 54 + 27 = 125)

Correct: B — 27

లోపలి ముక్కలకు ఏ వైపూ రంగు ఉండదు; అవి (n − 2) భాగాల చిన్న ఘనం ఏర్పరుస్తాయి: (5 − 2)³ = 3³ = 27. 64 అంటే (n − 1)³ వాడటం; 9 ఒక పొరలోని ముక్కలు మాత్రమే. (సరిచూపు: 8 + 36 + 54 + 27 = 125)

Correct: C — 48

రెండు వైపులా రంగు ఉన్న ముక్కలు ఘనం అంచుల మీద (మూలలు కాకుండా) ఉంటాయి. 12 అంచులు, ప్రతి అంచుపై (n − 2) = 4 ముక్కలు: 12 × 4 = 48. 72 అనేది మూలలను కూడా లెక్కించడం, 96 ముఖాల మధ్య ముక్కలు (ఒక వైపు రంగు). (సరిచూపు: 8 + 48 + 96 + 64 = 216)

Correct: A — 56

రంగు లేనివి లోపలి (n − 2)³ = 8. కనీసం ఒక వైపు రంగు ఉన్నవి = మొత్తం − లోపలివి = 64 − 8 = 56. (8 + 24 + 24 = 56 తోనూ సరిపోతుంది.) 8 అనేది రంగు లేనివి; 96 ముఖాల చిన్న ఘనాలను (మూలలు, అంచులను రెండుమూడుసార్లు) లెక్కించడం వల్ల వచ్చే తప్పు విలువ.

Correct: A — 144

ఒక వైపు మాత్రమే రంగు ఉన్నవి 6(n − 2)² = 96, రెండు వైపులా ఉన్నవి 12(n − 2) = 48. వాటి మొత్తం 96 + 48 = 144. 152 లో మూలల 8 ముక్కలు కూడా కలిసి ఉన్నాయి; 96 లేదా 48 మాత్రమే తీసుకుంటే సగం లెక్కే అవుతుంది.