మానసిక సామర్థ్యం (Mental Ability) / తార్కిక సమస్యలు (Logical Puzzles)

గడియారాలు (Clocks)

గడియారాలు (Clocks): ముల్లుల కోణం, ముల్లులు కలిసే/లంబంగా ఉండే సందర్భాలు, తప్పు గడియారాలు, ప్రతిబింబ సమయం – సూత్రాలు, ఉదాహరణలతో.

6 notes 60 questions

Start reading Practice

Notes in this chapter

  1. 1గడియారం ప్రాథమికాలు – ముల్లుల వేగం (Clock Basics: Speed of Hands)Read notePractice 9
  2. 2ముల్లుల మధ్య కోణం – సూత్రం (Angle Between the Hands)Read notePractice 13
  3. 3ముల్లులు కలిసే, లంబంగా, ఎదురెదురుగా ఉండే సందర్భాలు (Coincide, Right Angle, Opposite)Read notePractice 8
  4. 4ఇచ్చిన కోణం ఏర్పడే సమయం (Finding Time for a Given Angle)Read notePractice 12
  5. 5వేగం / నెమ్మది గడియారాలు (Faulty Clocks – Gain and Loss)Read notePractice 10
  6. 6గడియారం ప్రతిబింబాలు & ఇతర ప్రశ్నలు (Mirror Image and Miscellaneous Clock Problems)Read notePractice 8
By ExamBadi

1. గడియారం ప్రాథమికాలు – ముల్లుల వేగం (Clock Basics: Speed of Hands)

గడియారం ప్రశ్నలన్నింటికీ పునాది రెండు ముల్లుల వేగం మరియు కోణాల విలువలు. వీటిని బాగా గుర్తుంచుకుంటే సగం ప్రశ్నలు సులభమవుతాయి.

ముఖ్య విషయాలు

  • పూర్తి వృత్తం:
    1. 360°
    2. గడియారంలో 12 అంకెలు, ప్రతి రెండు అంకెల మధ్య 30°.
  • నిమిషాల గుర్తులు:
    1. 60 నిమిషం గుర్తులు
    2. ప్రతి నిమిషానికి 6° (360 ÷ 60).
  • నిమిషాల ముల్లు (Minute hand):
    1. 1 నిమిషంలో 6° తిరుగుతుంది
    2. గంటలో 360°.
  • గంటల ముల్లు (Hour hand):
    1. 1 గంటలో 30°
    2. 1 నిమిషంలో ½° తిరుగుతుంది.
  • సాపేక్ష వేగం (Relative speed): నిమిషాల ముల్లు గంటల ముల్లు కంటే నిమిషానికి 6° − ½° = 5½° ఎక్కువ తిరుగుతుంది.
  • నిమిషాల ముల్లు అంకెలపై: అంకె 1 = 5 నిమిషాలు, అంకె 2 = 10 నిమిషాలు, … అంకె 12 = 0/60 నిమిషాలు.
  • 12-గంటల చక్రం:
    1. గంటల ముల్లు 12 గంటల్లో ఒక చుట్టు తిరుగుతుంది
    2. 24 గంటల్లో రెండు చుట్లు.

సులభమైన ఉదాహరణ

3:00 గంటలకు నిమిషాల ముల్లు 12 పై, గంటల ముల్లు 3 పై ఉంటుంది. కోణం = 3 × 30° = 90°.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా 'నిమిషాల ముల్లు 6, గంటల ముల్లు ½' – ఈ రెండు సంఖ్యలే అన్ని సూత్రాలకు మూలం.

Practice this topicNext: ముల్లుల మధ్య కోణం – సూత్రం (Angle Between the Hands)

2. ముల్లుల మధ్య కోణం – సూత్రం (Angle Between the Hands)

ఇచ్చిన సమయంలో రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం కనుక్కోవడానికి ఒకే ఒక్క సూత్రం చాలు. దీనితో గంటలు, నిమిషాలు ఎలా ఉన్నా సమాధానం వస్తుంది.

ముఖ్య విషయాలు

  • సూత్రం: సమయం H గంటలు M నిమిషాలు అయితే కోణం θ = |30H − (11/2) M| డిగ్రీలు.
  • 30H = గంటల ముల్లు (12 నుండి) స్థానం (గంటల భాగం)
  • ½ M = గంటల ముల్లు నిమిషాల వల్ల కదిలిన భాగం
  • 6M = నిమిషాల ముల్లు స్థానం
  • ఇవి కలిపి |30H + ½M − 6M| = |30H − 5½M|
  • ఫలితం 180° కంటే ఎక్కువ వస్తే: 360° నుండి తీసివేసి చిన్న కోణం తీసుకోండి (ప్రశ్న 'చిన్న కోణం' అడిగితే).
  • ప్రత్యేక గమనిక: H విలువ 12-గంటల రూపంలో వాడండి (12:00 అయితే H = 0, 13:00 అయితే H = 1).

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 1 3:20 వద్ద కోణం = |30 × 3 − 5.5 × 20| = |90 − 110| = 20°.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 2 7:40 వద్ద కోణం = |210 − 220| = 10°.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 3 4:30 వద్ద కోణం = |120 − 165| = 45°.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 4 9:15 వద్ద కోణం = |270 − 82.5| = 187.5° → చిన్న కోణం = 360 − 187.5 = 172.5°.

సులభ పద్ధతి ఎంపికల్లో సమాధానాలు చాలా దగ్గరగా ఉంటే సూత్రంతోనే నిర్ధారించుకోండి; అంచనా పద్ధతి ఇక్కడ పనిచేయదు.

Practice this topicNext: ముల్లులు కలిసే, లంబంగా, ఎదురెదురుగా ఉండే సందర్భాలు (Coincide, Right Angle, Opposite)

3. ముల్లులు కలిసే, లంబంగా, ఎదురెదురుగా ఉండే సందర్భాలు (Coincide, Right Angle, Opposite)

12 గంటల్లో ముల్లులు ఎన్నిసార్లు కలుస్తాయి? ఎన్నిసార్లు లంబంగా ఉంటాయి? ఇలాంటి ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో చాలా తరచూ వస్తాయి. సంఖ్యలను గుర్తుంచుకోండి.

ముఖ్య విషయాలు

  • ముల్లులు కలిసే సందర్భాలు (0° కోణం):
    1. 12 గంటల్లో 11 సార్లు
    2. 24 గంటల్లో 22 సార్లు
    3. ప్రతి 65 5/11 నిమిషాలకు ఒకసారి (720/11 నిమిషాలు)
  • ఎదురెదురుగా (180° కోణం):
    1. 12 గంటల్లో 11 సార్లు
    2. 24 గంటల్లో 22 సార్లు
  • లంబంగా (90° కోణం):
    1. 12 గంటల్లో 22 సార్లు
    2. 24 గంటల్లో 44 సార్లు
  • ఒక రోజులో: లంబకోణం 44 సార్లు, కలవడం 22 సార్లు, ఎదురెదురుగా 22 సార్లు.
  • ఎందుకు 11?: 12 గంటల్లో నిమిషాల ముల్లు గంటల ముల్లును 11 సార్లు దాటుతుంది (12 గంటలకు మొదలై 12 గంటలకే కలవడం చివరిది).

కలిసే సమయం కనుగొనే సూత్రం 'H గంటల తరువాత ముల్లులు కలిసే సమయం' = H గంటలు (60H/11) నిమిషాలు.

  • ఉదా: 3 గంటల తరువాత కలిసే సమయం = 3 గం. 180/11 = 3 గం. 16 4/11 నిమిషాలు.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 4 గంటల తరువాత ముల్లులు ఎప్పుడు కలుస్తాయి? 60 × 4 / 11 = 240/11 = 21 9/11. కాబట్టి 4:21 9/11.

Practice this topicNext: ఇచ్చిన కోణం ఏర్పడే సమయం (Finding Time for a Given Angle)

4. ఇచ్చిన కోణం ఏర్పడే సమయం (Finding Time for a Given Angle)

ముల్లుల మధ్య కోణం ఇచ్చి 'ఏ సమయంలో?' అని అడిగే ప్రశ్నలకు కింది సూత్రం ఉపయోగించండి. కలిసే సమయం, లంబం, ఎదురెదురు – అన్నీ దీని ప్రత్యేక సందర్భాలే.

ముఖ్య విషయాలు

  • సూత్రం: H గంటల తరువాత, ముల్లుల మధ్య కోణం θ ఉండే సమయం = H గంటలు, (2/11)(30H ± θ) నిమిషాలు.
  • '+' : నిమిషాల ముల్లు గంటల ముల్లు కంటే θ° ముందుంటే
  • '−' : నిమిషాల ముల్లు గంటల ముల్లు కంటే θ° వెనకుంటే
  • ప్రత్యేక సందర్భాలు:
    1. కలిసే (θ = 0): M = (2/11) × 30H = 60H/11
    2. ఎదురెదురు (θ = 180): M = (2/11)(30H + 180) (H ≤ 5) లేదా (2/11)(30H − 180) (H ≥ 6)
    3. లంబం (θ = 90): M = (2/11)(30H ± 90)
  • ఫలితాన్ని పరీక్షించండి: M విలువ 0 నుండి 60 మధ్య ఉండాలి. ఈ పరిధిలో రాకపోతే ఆ గుర్తు చెల్లదు.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 1 3 గంటల తరువాత లంబకోణం ఎప్పుడు? 3:00 వద్దే లంబం (90°) ఉంది. ఆ తరువాతి లంబం: M = (2/11)(90 + 90) = 360/11 = 32 8/11 → 3:32 8/11.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 2 7 గంటల తరువాత ముల్లులు ఎదురెదురుగా ఉండే సమయం: నిమిషాల ముల్లు గంటల ముల్లు కంటే వెనకుంటుంది కాబట్టి '−' వాడాలి. M = (2/11)(210 − 180) = 60/11 = 5 5/11 → 7:05 5/11.

సూచన కొన్ని సమయాల్లో గుర్తు ఎంచుకోవడం కష్టం – సాపేక్ష వేగం పద్ధతి సులభం: అవసరమైన కోణ మార్పు ÷ 5½ = నిమిషాలు.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ (సాపేక్ష వేగం) 6:00 వద్ద ముల్లుల మధ్య 180°. 90° లంబం కావాలంటే 90° తగ్గాలి: 90 ÷ 5.5 = 180/11 = 16 4/11 నిమిషాలు → 6:16 4/11.

Practice this topicNext: వేగం / నెమ్మది గడియారాలు (Faulty Clocks – Gain and Loss)

5. వేగం / నెమ్మది గడియారాలు (Faulty Clocks – Gain and Loss)

కొన్ని గడియారాలు సరైన సమయం కంటే వేగంగా (Fast) లేదా నెమ్మదిగా (Slow) పనిచేస్తాయి. ఆ లోపాన్ని ఉపయోగించి సరైన సమయం కనుగొనాలి.

ముఖ్య విషయాలు

  • వేగం (Gain): గడియారం సరైన సమయం కంటే ముందుంటుంది.
  • నెమ్మది (Loss): గడియారం సరైన సమయం కంటే వెనకుంటుంది.
  • నిష్పత్తి పద్ధతి: గడియారం గంటకు g నిమిషాలు ఎక్కువ చూపితే, నిజమైన 60 నిమిషాలకు గడియారం 60 + g నిమిషాలు చూపిస్తుంది. కాబట్టి
  • గడియారం చూపిన సమయం : నిజమైన సమయం = (60 + g) : 60
  • నెమ్మది గడియారం: గంటకు l నిమిషాలు తగ్గితే (60 − l) : 60.
  • సరిచేసిన సమయం ఆధారం: గడియారాన్ని ఒక సమయంలో సరిగా పెట్టారు అని ఇస్తారు. అక్కడి నుండి గడిచిన సమయాన్ని పై నిష్పత్తితో మార్చాలి.
  • రోజుకు లోపం ఇస్తే: 24 తో భాగించి గంటకు ఎంతో లెక్కించి వాడండి.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 1 ఒక గడియారం గంటకు 3 నిమిషాలు వేగంగా నడుస్తుంది. ఉదయం 8:00కు సరిగ్గా పెట్టారు. అదే గడియారం రాత్రి 8:00 చూపిస్తే నిజమైన సమయం?

  • గడియారం గడిచిన సమయం = 12 గంటలు = 720 నిమిషాలు.
  • నిష్పత్తి 63 : 60 → నిజమైన సమయం = 720 × 60/63 = 685 5/7 నిమిషాలు = 11 గం. 25 5/7 ని.
  • నిజమైన సమయం = ఉదయం 8:00 + 11 గం. 25 5/7 ని. = రాత్రి 7:25 5/7.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 2 ఒక గడియారం గంటకు 5 నిమిషాలు నెమ్మదిగా నడుస్తుంది. నిజమైన 1 రోజులో అది ఎంత సమయం తగ్గుతుంది? 24 × 5 = 120 నిమిషాలు = 2 గంటలు.

Practice this topicNext: గడియారం ప్రతిబింబాలు & ఇతర ప్రశ్నలు (Mirror Image and Miscellaneous Clock Problems)

6. గడియారం ప్రతిబింబాలు & ఇతర ప్రశ్నలు (Mirror Image and Miscellaneous Clock Problems)

గడియారానికి సంబంధించిన ప్రతిబింబ ప్రశ్నలు, గంటకొట్టే (striking) ప్రశ్నలు, మరియు ఇతర మిశ్రమ ప్రశ్నలు ఇక్కడ చూద్దాం.

ముఖ్య విషయాలు

  • అద్దంలో గడియారం (Mirror image): వాస్తవ సమయం = 11:60 − అద్దంలో కనిపించే సమయం.
  • ఉదా: అద్దంలో 4:25 కనిపిస్తే వాస్తవ సమయం = 11:60 − 4:25 = 7:35.
  • నీటి ప్రతిబింబం (Water image): వాస్తవ సమయం = 5:60 − కనిపించే సమయం.
  • గంట కొట్టే ప్రశ్నలు: ఒక గడియారం n గంటలకు n సార్లు కొడుతుంది. n సార్లు కొట్టడానికి పట్టే సమయం:
  • కొట్టడాల మధ్య ఖాళీలు = n − 1
  • మొత్తం సమయం = (n − 1) ఖాళీలు × ఒక ఖాళీ సమయం (ఖాళీ సమయం ఇస్తే) లేదా ఇచ్చిన నిష్పత్తి ఉపయోగించండి.
  • ఏ ముల్లులు ఏ దిశలో ఉన్నాయో గుర్తించడం:
    1. 6:00 వద్ద ముల్లులు సరళ రేఖలో ఉంటాయి (180°)
    2. 3:00, 9:00 వద్ద లంబకోణం.
  • 12 అంకె పైకి చూపే సమయం: ఏ ముల్లు కలుస్తుందో లెక్క వేసేటప్పుడు 12 అంకె నుండి కొలుస్తాం.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 1 గడియారం 6 సార్లు కొట్టడానికి 30 సెకన్లు పడుతుంది. 12 సార్లు కొట్టడానికి ఎంత సమయం?

  • 6 కొట్టడాల మధ్య ఖాళీలు = 5 → ఒక్క ఖాళీ = 30/5 = 6 సెకన్లు.
  • 12 కొట్టడాల మధ్య ఖాళీలు = 11 → 11 × 6 = 66 సెకన్లు.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 2 అద్దంలో గడియారం 9:40 చూపిస్తే వాస్తవ సమయం = 11:60 − 9:40 = 2:20.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 3 సాయంత్రం 3:15 వద్ద కోణం = |90 − 82.5| = 7.5°.

Practice this topic