కాలం, వేగం & దూరం (Time, Speed & Distance)

ఏదైనా వస్తువు ఎంత దూరం, ఎంత సమయంలో వెళ్లిందో చెప్పే సంబంధమే వేగం. ఈ మూడు రాశులలో ఏ రెండు తెలిసినా మూడోది కనుక్కోవచ్చు. పరీక్షల్లో యూనిట్లు సరిపోల్చడమే మొదటి జాగ్రత్త.

• ప్రాథమిక సూత్రం: వేగం = దూరం ÷ కాలం.
• దూరం = వేగం × కాలం
• కాలం = దూరం ÷ వేగం
• యూనిట్లు:
  1. వేగం km/h లేదా m/s లో
  2. దూరం km లేదా m లో
  3. కాలం గంటలు లేదా సెకన్లలో.
• km/h → m/s: 5/18 తో గుణించాలి. ఉదా: 72 km/h = 72 × 5/18 = 20 m/s.
• m/s → km/h: 18/5 తో గుణించాలి. ఉదా: 10 m/s = 10 × 18/5 = 36 km/h.
• నిమిషాలు → గంటలు: 60 తో భాగించాలి. ఉదా: 30 నిమిషాలు = 1/2 గంట.
• దూరం సమానమైతే: వేగం, కాలం విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి. వేగాల నిష్పత్తి a : b అయితే కాలాల నిష్పత్తి b : a.
• కాలం సమానమైతే: దూరం, వేగానికి అనులోమానుపాతం.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• 60 km/h వేగంతో 3 గంటలు వెళితే దూరం = 60 × 3 = 180 km.
• 150 కి.మీ. దూరాన్ని 5 గంటల్లో వెళ్తే వేగం = 150/5 = 30 km/h.
• వేగాలు 3 :
  1. 4 అయితే అదే దూరానికి కాలాలు 4 : 3. ఉదా: 40 నిమిషాల ప్రయాణం, వేగం 3/4 అయితే కాలం = 40 × 4/3 = 53⅓ నిమిషాలు
  2. అంటే 13⅓ నిమిషాలు ఆలస్యం.

ప్రయాణంలో వేర్వేరు వేగాలతో వెళ్తే సగటు వేగం (Average Speed) = మొత్తం దూరం ÷ మొత్తం కాలం. చాలామంది వేగాలను కూడి రెండుతో భాగిస్తారు; అది తప్పు. ఈ పొరపాటు పరీక్షల్లో తరచూ ఉచ్చుగా వస్తుంది.

• ప్రాథమిక సూత్రం: సగటు వేగం = మొత్తం దూరం / మొత్తం కాలం.
• సమాన దూరాలు, వేగాలు x, y: సగటు వేగం = 2xy/(x + y). ఇది హార్మోనిక్ సగటు.
• సమాన కాలాలు, వేగాలు x, y: సగటు వేగం = (x + y)/2 (సాధారణ సగటు).
• మూడు సమాన దూరాలు, వేగాలు x, y, z: సగటు వేగం = 3xyz/(xy + yz + zx).
• వెళ్లి రావడం: వెళ్లేటప్పుడు, తిరిగి వచ్చేటప్పుడు వేగాలు వేరైతే 2xy/(x + y) వాడాలి.
• ముఖ్య గమనిక: సగటు వేగం ఎప్పుడూ రెండు వేగాల మధ్యలోనే ఉంటుంది.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ఒకరు వెళ్లేటప్పుడు 40 km/h, తిరిగి వచ్చేటప్పుడు 60 km/h వేగంతో వెళ్తే సగటు వేగం = 2 × 40 × 60/100 = 48 km/h (50 కాదు).
• ఒక కారు మొదటి 2 గంటలు 50 km/h, తర్వాత 2 గంటలు 70 km/h వేగంతో వెళ్తే సగటు = (50 + 70)/2 = 60 km/h (కాలాలు సమానం).
• 120 km దూరం మొదటి సగం 30 km/h, రెండో సగం 60 km/h వేగంతో వెళ్తే సగటు = 2 × 30 × 60/90 = 40 km/h.

రెండు వస్తువులు కదులుతున్నప్పుడు ఒకదాన్ని ఆధారంగా చూస్తే మరొకటి ఎంత వేగంతో కదులుతున్నట్టు కనిపిస్తుందో అదే సాపేక్ష వేగం. వ్యతిరేక దిశలో కదిలితే వేగాలు కూడతాయి; ఒకే దిశలో కదిలితే తీసివేస్తారు.

• వ్యతిరేక దిశలో (ఒకరికొకరు ఎదురుగా): సాపేక్ష వేగం = x + y.
• ఒకే దిశలో: సాపేక్ష వేగం = x − y (వేగం ఎక్కువ నుంచి తక్కువ తీసివేయాలి).
• కలిసే సమయం (ఎదురెదురుగా): కాలం = వారి మధ్య దూరం/(x + y).
• వెంబడించడం (Chase): కాలం = ప్రారంభ దూరం/(x − y).
• వేగాల నిష్పత్తి: ఇద్దరూ ఒకే చోట నుంచి వెళ్తే చేరే దూరాల నిష్పత్తి = వేగాల నిష్పత్తి.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• రెండు ఊళ్ల మధ్య 120 km. ఇద్దరు 50 km/h, 70 km/h వేగంతో ఒకరికొకరు ఎదురుగా బయలుదేరితే కలిసే సమయం = 120/(50 + 70) = 1 గంట.
• ఒక దొంగ 60 km ముందున్నాడు. దొంగ వేగం 40 km/h, పోలీసు వేగం 50 km/h అయితే పట్టుకునే సమయం = 60/(50 − 40) = 6 గంటలు.
• A, B లు ఒకే చోట నుంచి వ్యతిరేక దిశలలో 4 km/h, 6 km/h వేగంతో నడిస్తే 3 గంటల తర్వాత వారి మధ్య దూరం = (4 + 6) × 3 = 30 km.

రైళ్ల లెక్కల్లో రైలు పొడవు ముఖ్యమైన అంశం. స్తంభం లేదా మనిషిని దాటితే రైలు తన పొడవు దూరం వెళ్లాలి; ప్లాట్‌ఫామ్ లేదా వంతెనను దాటితే రైలు పొడవు + ప్లాట్‌ఫామ్ పొడవు దూరం వెళ్లాలి.

• స్తంభం/మనిషి/చెట్టును దాటడం:
  1. దూరం = రైలు పొడవు (L)
  2. కాలం = L/వేగం.
• ప్లాట్‌ఫామ్/వంతెనను దాటడం:
  1. దూరం = L + ప్లాట్‌ఫామ్ పొడవు (P)
  2. కాలం = (L + P)/వేగం.
• వ్యతిరేక దిశలో రెండు రైళ్లు: దాటే కాలం = (L₁ + L₂)/(v₁ + v₂).
• ఒకే దిశలో రెండు రైళ్లు: దాటే కాలం = (L₁ + L₂)/(v₁ − v₂).
• కదులుతున్న మనిషిని దాటడం: సాపేక్ష వేగం వాడాలి.
• యూనిట్లు: పొడవు మీటర్లలో ఉంటే వేగాన్ని m/s లోకి మార్చాలి.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• 150 మీ. పొడవైన రైలు ఒక స్తంభాన్ని 15 సెకన్లలో దాటితే వేగం = 150/15 = 10 m/s = 36 km/h.
• 200 మీ. రైలు 72 km/h (20 m/s) వేగంతో 300 మీ. ప్లాట్‌ఫామ్‌ను దాటే కాలం = (200 + 300)/20 = 25 సెకన్లు.
• 100 మీ., 150 మీ. రైళ్లు 60 km/h, 40 km/h వేగాలతో ఎదురెదురుగా వస్తే దాటే కాలం:
  1. సాపేక్ష వేగం = 100 km/h = 250/9 m/s
  2. కాలం = 250 ÷ (250/9) = 9 సెకన్లు.

నదిలో పడవ ప్రవాహం దిశలో వెళ్తే ప్రవాహం సహాయం చేస్తుంది, ఎదురుగా వెళ్తే అడ్డుపడుతుంది. అందువల్ల పడవ వేగాన్ని ప్రవాహ వేగంతో కలపడమో, తీసివేయడమో చేయాలి.

• నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం (u) మరియు ప్రవాహ వేగం (v) అనుకుందాం.
• ప్రవాహ దిశలో (Downstream): వేగం = u + v.
• ప్రవాహానికి ఎదురుగా (Upstream): వేగం = u − v.
• నిశ్చల నీటి వేగం: u = (downstream + upstream)/2.
• ప్రవాహ వేగం: v = (downstream − upstream)/2.
• సమాన దూరం వెళ్లి రావడం: కాలం = D/(u + v) + D/(u − v).
• గమనిక:
  1. వెళ్లి రావడానికి సగటు వేగం u కాదు
  2. ఎల్లప్పుడూ u కంటే తక్కువ.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ఒక పడవ ప్రవాహ దిశలో 15 km/h, ఎదురుగా 9 km/h వేగంతో వెళ్తే నిశ్చల నీటిలో వేగం = (15 + 9)/2 = 12 km/h
• ప్రవాహ వేగం = (15 − 9)/2 = 3 km/h.
• పడవ వేగం 10 km/h, ప్రవాహ వేగం 2 km/h. 24 km ప్రవాహ దిశలో వెళ్లే కాలం = 24/12 = 2 గంటలు
• ఎదురుగా వెళ్లే కాలం = 24/8 = 3 గంటలు.
• నిశ్చల నీటిలో వేగం 8 km/h, ప్రవాహం 4 km/h. ఒక చోటికి వెళ్లి రావడానికి 6 గంటలు పట్టింది. దూరం D అయితే D/12 + D/4 = 6 → D(1 + 3)/12 = 6 → D = 18 km.

కాలం–వేగం–దూరం లెక్కల్లో కొన్ని రకాలు సూత్రాల ద్వారా ఒక్క నిమిషంలో పూర్తవుతాయి. ముఖ్యంగా ఆలస్యం, ముందుగా చేరడం, వేగం మార్చడం వంటి ప్రశ్నలు.

• రెండు వేగాల తేడాతో దూరం: ఒకసారి వేగం s₁ తో వెళ్తే t₁ ఆలస్యం, మరోసారి s₂ తో వెళ్తే t₂ ముందుగా చేరితే దూరం = (s₁ × s₂/(s₂ − s₁)) × (t₁ + t₂).
• వేగం a/b వంతైతే: కాలం b/a రెట్లు అవుతుంది. కాలం పెరుగుదల = (b − a)/a.
• మార్గం మధ్యలో వేగం మార్చడం: ముందు మొదటి భాగం కాలం, తర్వాత మిగిలినది లెక్కించాలి.
• ఎదురెదురుగా ఇద్దరు, కలిశాక: కలిసిన తర్వాత చేరే సమయాల నిష్పత్తి = (వేగాల నిష్పత్తి)² విలోమం. అంటే ఒకరు రెండో గమ్యం చేరే సమయం T₁, రెండోవారు T₂ అయితే వేగాల నిష్పత్తి = √T₂ : √T₁.
• నిష్పత్తి సూత్రం: ఒకే కాలంలో చేసిన దూరాలు వేగాల నిష్పత్తిలో ఉంటాయి.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ఒక వ్యక్తి 5 km/h తో నడిస్తే 12 నిమిషాలు ఆలస్యం
• 6 km/h తో నడిస్తే 8 నిమిషాల ముందు చేరతాడు. దూరం = (5 × 6/(6 − 5)) × (20/60) = 30 × 1/3 = 10 km.
• నిత్యం 40 నిమిషాల ప్రయాణం
• వేగం 4/5 వంతైతే కాలం = 40 × 5/4 = 50 నిమిషాలు (10 నిమిషాల ఆలస్యం).
• A, B ఎదురెదురుగా వచ్చి కలిశాక A మిగిలిన దూరాన్ని 4 గంటల్లో, B 9 గంటల్లో చేరారు. వేగాల నిష్పత్తి = √9 : √4 = 3 : 2.