నిష్పత్తి & అనుపాతం (Ratio & Proportion)

ఒకే రకమైన రెండు రాశులను పోల్చడాన్ని నిష్పత్తి (Ratio) అంటారు. a మరియు b ల నిష్పత్తిని a : b అని రాస్తాం. దీనిని భిన్నంగా a/b అని కూడా చూడవచ్చు. పరీక్షల్లో వయసు, ఆదాయం, మిశ్రమాల ప్రశ్నలన్నింటికీ ఇదే పునాది.

• పూర్వ పదం, ఉత్తర పదం: a : b లో a ను పూర్వపదం (Antecedent), b ను ఉత్తరపదం (Consequent) అంటారు.
• ఒకే ప్రమాణం: రెండు రాశులు ఒకే ప్రమాణంలో ఉండాలి. ఉదా: 50 సెం.మీ. : 2 మీ. అయితే ముందు రెండింటినీ సెం.మీ.గా మార్చి 50 : 200 = 1 : 4 అని రాయాలి.
• ప్రమాణం లేదు:
  1. నిష్పత్తికి ప్రమాణం (Unit) ఉండదు
  2. అది ఒక సంఖ్య మాత్రమే.
• సూక్ష్మరూపం: రెండు పదాలను ఒకే సంఖ్యతో భాగిస్తే నిష్పత్తి మారదు.
• 12 : 18 = 2 : 3 (6 తో భాగించాం).
• ఒకే సంఖ్యతో గుణిస్తే: నిష్పత్తి మారదు. 2 : 3 = 4 : 6 = 6 : 9.
• విలోమ నిష్పత్తి (Inverse Ratio): a : b కు విలోమం b : a. ఉదా: 3 : 5 కు విలోమం 5 : 3.
• నిష్పత్తుల పోలిక: a : b మరియు c : d లలో ad > bc అయితే a : b పెద్దది.

ఒక నిష్పత్తి నుండి కొత్త నిష్పత్తులు ఏర్పడే విధానాలను నిష్పత్తి రకాలు అంటారు. వీటి పేర్లు, సూత్రాలు పరీక్షల్లో నేరుగా అడుగుతారు.

• సంయుక్త నిష్పత్తి (Compound Ratio): a : b మరియు c : d ల సంయుక్త నిష్పత్తి = ac : bd.
• 2 : 3 మరియు 4 : 5 ల సంయుక్త నిష్పత్తి = 8 : 15.
• ద్వి-ఘాత నిష్పత్తి (Duplicate Ratio): a : b కు ద్వి-ఘాత నిష్పత్తి = a² : b².
• 2 : 3 → 4 : 9
• త్రి-ఘాత నిష్పత్తి (Triplicate Ratio): a : b కు = a³ : b³.
• 2 : 3 → 8 : 27
• ఉప-ద్వి-ఘాత నిష్పత్తి (Sub-duplicate Ratio): a : b కు = √a : √b.
• 9 : 16 → 3 : 4
• ఉప-త్రి-ఘాత నిష్పత్తి (Sub-triplicate Ratio): a : b కు = ∛a : ∛b.
• 8 : 27 → 2 : 3
• విలోమ నిష్పత్తి (Inverse Ratio): a : b కు = b : a (లేదా 1/a : 1/b).

రెండు నిష్పత్తులు సమానమైతే వాటిని అనుపాతంలో (Proportion) ఉన్నాయని అంటారు. a : b = c : d అయితే a, b, c, d అనుపాతంలో ఉన్నాయి. దీనిని a : b :: c : d అని కూడా రాస్తారు.

• ప్రాథమిక సూత్రం: a : b = c : d అయితే a × d = b × c.
• a, d లను అంత్య పదాలు (Extremes), b, c లను మధ్య పదాలు (Means) అంటారు.
• అంత్య పదాల లబ్ధం = మధ్య పదాల లబ్ధం.
• చతుర్థ అనుపాతం (Fourth Proportional): a, b, c లకు చతుర్థ అనుపాతం d = (b × c) ÷ a.
• 3, 4, 6 లకు చతుర్థ అనుపాతం = (4 × 6) ÷ 3 = 8.
• తృతీయ అనుపాతం (Third Proportional): a, b లకు తృతీయ అనుపాతం c = b² ÷ a (a : b = b : c).
• 4, 6 లకు తృతీయ అనుపాతం = 36 ÷ 4 = 9.
• మధ్యమ అనుపాతం (Mean Proportional): a, b ల మధ్యమ అనుపాతం = √(ab).
• 4, 9 ల మధ్యమ అనుపాతం = √36 = 6.
• కాంపొనెండో – డివిడెండో: a/b = c/d అయితే (a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d).

ఒక మొత్తం డబ్బును లేదా వస్తువులను ఇచ్చిన నిష్పత్తిలో పంచమని అడిగే ప్రశ్నలు అన్ని పరీక్షల్లో వస్తాయి. ఒకే సులభ పద్ధతి అన్ని ప్రశ్నలకూ పనిచేస్తుంది.

• పద్ధతి:
  1. నిష్పత్తిలోని భాగాలన్నీ కూడండి (మొత్తం భాగాలు).
  2. ఒక భాగం విలువ = మొత్తం ÷ మొత్తం భాగాలు.
  3. ఒక్కొక్కరి వాటా = వారి భాగాల సంఖ్య × ఒక భాగం విలువ.
• రెండు రాశులు a :
  1. b**: మొదటిది = మొత్తం × a/(a + b)
  2. రెండవది = మొత్తం × b/(a + b).
• ముగ్గురికి a : b : c: మొదటి వాటా = మొత్తం × a/(a + b + c) – ఇదే విధంగా మిగతావి.
• తనిఖీ: అన్ని వాటాల మొత్తం ఇచ్చిన మొత్తానికి సమానంగా ఉండాలి.

• మొత్తం భాగాలు = 2 + 3 + 5 = 10.
• ఒక భాగం = 1200 ÷ 10 = 120.
• వాటాలు = 240, 360, 600. (240 + 360 + 600 = 1200 ✓)

ఒక రాశి పెరిగినప్పుడు మరొక రాశి కూడా పెరిగితే అది ప్రత్యక్ష అనుపాతం (Direct Proportion). ఒకటి పెరిగి మరొకటి తగ్గితే అది విలోమ అనుపాతం (Inverse Proportion). రోజువారీ లెక్కల్లో (ధర, పని, వేగం) ఇది ఎక్కువగా వాడతారు.

• ప్రత్యక్ష అనుపాతం: x, y లు ప్రత్యక్ష అనుపాతంలో ఉంటే x ÷ y = స్థిరాంకం (k). లేదా x₁/y₁ = x₂/y₂.
• ఉదాహరణలు:
  1. వస్తువుల సంఖ్య – మొత్తం ధర
  2. సమయం – దూరం (స్థిర వేగంలో).
• విలోమ అనుపాతం: x, y లు విలోమ అనుపాతంలో ఉంటే x × y = స్థిరాంకం.
• ఉదాహరణలు:
  1. పనివారి సంఖ్య – పని పూర్తి చేసే రోజులు
  2. వేగం – ప్రయాణ సమయం (స్థిర దూరానికి).
• గుర్తించే పద్ధతి: ఒకటి పెరిగితే రెండోది పెరుగుతుందా (ప్రత్యక్షం) లేదా తగ్గుతుందా (విలోమం) అని ఆలోచించండి.

మిశ్రమంలో పాలు, నీళ్లు; వయసుల నిష్పత్తి; ఏదైనా కలిపినప్పుడు నిష్పత్తి మార్పు – ఇవి నిష్పత్తి ప్రశ్నల్లో ఎక్కువగా వచ్చే రకాలు. ఒక్కో రకానికి ఒకే సరళమైన పద్ధతి ఉంది.

• మిశ్రమంలో నిష్పత్తి: a : b నిష్పత్తిలో ఉన్న మిశ్రమం మొత్తం T అయితే మొదటి రాశి = T × a/(a + b), రెండవది = T × b/(a + b).
• ఒక రాశిని కలిపినప్పుడు: ముందు రెండు రాశుల అసలు పరిమాణాలు కనుగొనండి, ఆ తర్వాత కలిపిన పరిమాణాన్ని చేర్చి కొత్త నిష్పత్తి రాయండి.
• వయసు ప్రశ్నలు: వయసుల నిష్పత్తి a : b అయితే వయసులు ax, bx అనుకోండి. t ఏళ్ల తర్వాత వయసులు (ax + t), (bx + t).
• అనుపాతంలో మార్పు: x% పెరిగిన తర్వాత కొత్త రాశి = పాత రాశి × (100 + x)/100.
• తరగతి లెక్కలు: బాలురు : బాలికలు నిష్పత్తి ఇచ్చి, మొత్తం తెలిపితే పైన చెప్పిన భాగ పద్ధతి వాడండి.