సంఖ్యా వ్యవస్థ (Number System)

అంకగణితానికి సంఖ్యలే పునాది. పరీక్షల్లో ఇచ్చిన సంఖ్య ఏ రకానికి చెందినదో గుర్తించమని అడుగుతారు. మొదట ఈ రకాలను స్పష్టంగా తెలుసుకోండి.

• సహజ సంఖ్యలు (Natural Numbers): 1, 2, 3, 4, ... (లెక్కించడానికి వాడేవి). అతి చిన్న సహజ సంఖ్య 1.
• పూర్ణ సంఖ్యలు (Whole Numbers): 0, 1, 2, 3, ... (సహజ సంఖ్యలు + 0). అతి చిన్న పూర్ణ సంఖ్య 0.
• పూర్ణాంకాలు (Integers): ... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ... (రుణ, ధన సంఖ్యలు రెండూ).
• అంకెలు (Digits): 0 నుండి 9 వరకు 10 అంకెలు.
• సరి సంఖ్యలు (Even): 2 చే భాగించగలిగేవి (2, 4, 6, 0).
• బేసి సంఖ్యలు (Odd): 2 చే భాగించలేనివి (1, 3, 5).
• ప్రధాన సంఖ్యలు (Prime): 1 మరియు అదే సంఖ్య తప్ప వేరే భాజకాలు లేనివి (2, 3, 5, 7).
• సంయుక్త సంఖ్యలు (Composite): రెండు కన్నా ఎక్కువ భాజకాలు ఉన్నవి (4, 6, 8, 9).
• అంకెల విషయంలో: 1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు, సంయుక్త సంఖ్య కూడా కాదు. 0 సరి సంఖ్య.
• అకరణీయ సంఖ్యలు (Rational): p/q రూపంలో రాయగలిగేవి (q ≠ 0) – 1/2, 0.75, 5.
• కరణీయ సంఖ్యలు (Irrational): p/q గా రాయలేనివి – √2, √3, π.
• 22/7 అనేది π కి సన్నిహిత విలువ మాత్రమే
• అది అకరణీయ సంఖ్య.
• వాస్తవ సంఖ్యలు (Real): అకరణీయ + కరణీయ సంఖ్యలన్నీ.

ప్రధాన సంఖ్యల జాబితా, అవి ఎన్ని ఉన్నాయి, ఒక సంఖ్య ప్రధానమో కాదో ఎలా చూడాలి – ఇవి ప్రతి పరీక్షలో అడిగే అంశాలు.

• 100 లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు (25): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
• 50 లోపు 15 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
• సరి ప్రధాన సంఖ్య: 2 మాత్రమే.
• ప్రధానమో కాదో తెలుసుకునే పద్ధతి: ఇచ్చిన సంఖ్య N యొక్క వర్గమూలానికి దగ్గరగా ఉన్న పూర్ణ సంఖ్య k తీసుకోండి. k వరకు ఉన్న అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలతో భాగించి చూడండి. ఏదీ భాగించకపోతే N ప్రధానం.
• ఉదా: 113 కోసం √113 ≈ 10.6, కాబట్టి 2, 3, 5, 7 తో చూస్తే చాలు. ఏదీ భాగించదు, కాబట్టి 113 ప్రధానం.
• ఉమ్మడి ప్రధాన జంటలు (Twin Primes): తేడా 2 ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల జంటలు – (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19).
• సహ ప్రధానాలు (Co-primes): రెండు సంఖ్యల సామాన్య భాజకం (HCF) 1 అయితే అవి సహ ప్రధానాలు. అవి రెండూ ప్రధానం కావాల్సిన అవసరం లేదు – ఉదా: (8, 9).
• పరిపూర్ణ సంఖ్యలు (Perfect Numbers): తమ భాజకాల మొత్తం (తమను తప్ప) తమకే సమానం.
• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

ఒక సంఖ్యను మరో సంఖ్య శేషం లేకుండా భాగిస్తుందో లేదో భాగహారం చేయకుండానే తెలుసుకోవడానికి భాజ్యతా సూత్రాలు ఉపయోగపడతాయి. సమయం ఆదా చేసే ముఖ్యమైన చిట్కాలు ఇవి.

• 2 చే: చివరి అంకె 0, 2, 4, 6 లేదా 8 అయితే.
• 3 చే: అంకెల మొత్తం 3 చే భాగించబడితే.
• 4 చే: చివరి రెండు అంకెలు 4 చే భాగించబడితే (లేదా 00).
• 5 చే: చివరి అంకె 0 లేదా 5 అయితే.
• 6 చే: సంఖ్య 2 చేత, 3 చేత కూడా భాగించబడితే.
• 8 చే: చివరి మూడు అంకెలు 8 చే భాగించబడితే (లేదా 000).
• 9 చే: అంకెల మొత్తం 9 చే భాగించబడితే.
• 10 చే: చివరి అంకె 0 అయితే.
• 11 చే: బేసి స్థానాల అంకెల మొత్తం, సరి స్థానాల అంకెల మొత్తం మధ్య తేడా 0 లేదా 11 గుణిజం అయితే.
• 7 చే: చివరి అంకెను తీసి, దాన్ని రెట్టింపు చేసి మిగిలిన సంఖ్య నుండి తీసివేయాలి. వచ్చిన సంఖ్య 7 చే భాగించబడితే అసలు సంఖ్య కూడా భాగించబడుతుంది.
• 12 చే: 3 చేత, 4 చేత భాగించబడితే.

• 2926 ను 11 చే భాగించగలమా? బేసి స్థానాలు (6 + 9) = 15, సరి స్థానాలు (2 + 2) = 4. తేడా 11. కాబట్టి భాగించగలం (2926 = 11 × 266).
• 343 ను 7 చే: 34 − (3 × 2) = 28, 28 అనేది 7 చే భాగించబడుతుంది, కాబట్టి 343 భాగించబడుతుంది.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా 3, 9 కోసం అంకెల మొత్తం; 4, 8 కోసం చివరి 2, 3 అంకెలు – అనే జత గుర్తుపెట్టుకోండి.

7^35 వంటి పెద్ద సంఖ్య యూనిట్ (ఒకట్ల) అంకె ఎంత అని అడిగే ప్రశ్నలు తరచూ వస్తాయి. అంత పెద్ద సంఖ్యను లెక్కించకుండా యూనిట్ అంకెల చక్రీయతతో సమాధానం పొందవచ్చు.

• 0, 1, 5, 6 తో అంతమయ్యే సంఖ్యలు: ఎన్ని ఘాతాలు తీసుకున్నా అదే అంకె ఉంటుంది.
• 2 యొక్క చక్రం: 2, 4, 8, 6 (చక్ర పొడవు 4)
• 3 యొక్క చక్రం: 3, 9, 7, 1 (చక్ర పొడవు 4)
• 4 యొక్క చక్రం: 4, 6 (చక్ర పొడవు 2)
• 7 యొక్క చక్రం: 7, 9, 3, 1 (చక్ర పొడవు 4)
• 8 యొక్క చక్రం: 8, 4, 2, 6 (చక్ర పొడవు 4)
• 9 యొక్క చక్రం: 9, 1 (చక్ర పొడవు 2)
• పద్ధతి: ఘాతాంకాన్ని చక్ర పొడవుతో భాగిస్తే వచ్చే శేషం చూసి చక్రంలోని ఆ స్థానం తీసుకోవాలి. శేషం 0 అయితే చక్రంలోని చివరి అంకె.
• 4 పొడవు చక్రానికి శేషం 1, 2, 3, 0 వస్తే వరుసగా 1వ, 2వ, 3వ, 4వ అంకె.

వరుస సంఖ్యల మొత్తాన్ని ఒక్కొక్కటిగా కూడకుండా సూత్రాల ద్వారా సులభంగా కనుగొనవచ్చు. అలాగే పరిపూర్ణ వర్గాల లక్షణాలు కూడా తరచూ అడుగుతారు.

• మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం: 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) ÷ 2.
• మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం: n².
• మొదటి n సరి సంఖ్యల మొత్తం: n(n + 1).
• మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం: n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6.
• మొదటి n సహజ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తం: [n(n + 1) ÷ 2]².
• పరిపూర్ణ వర్గాల చివరి అంకెలు: 0, 1, 4, 5, 6, 9 లో మాత్రమే అంతమవుతాయి.
• 2, 3, 7, 8 లో అంతమయ్యే సంఖ్య ఎప్పటికీ పరిపూర్ణ వర్గం కాదు.
• ముఖ్యమైన ఘనాలు: 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729, 10³ = 1000.
• గుర్తింపులు:
  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
  3. a² − b² = (a + b)(a − b)

భాగహార సూత్రం, శేషం కనుగొనే సులభ పద్ధతులు మరియు ఒక సంఖ్యకు ఎన్ని భాజకాలు ఉన్నాయో చెప్పే సూత్రం – ఇవి సంఖ్యా వ్యవస్థలో ముఖ్య భాగాలు.

• భాగహార సూత్రం: భాజ్యం = (భాజకం × భాగఫలం) + శేషం.
• శేషం ఎప్పుడూ భాజకం కన్నా చిన్నది ఉండాలి.
• శేషాల లక్షణాలు:
  1. (a × b) ను N చే భాగిస్తే శేషం = (a యొక్క శేషం × b యొక్క శేషం) ను N చే భాగించిన శేషం.
  2. (a + b) ను N చే భాగిస్తే శేషం = (a యొక్క శేషం + b యొక్క శేషం) ను N చే భాగించిన శేషం.
• భాజకాల సంఖ్య: N = p^a × q^b × r^c (p, q, r ప్రధానాలు) అయితే, భాజకాల సంఖ్య = (a + 1)(b + 1)(c + 1).
• 12 = 2² × 3 → భాజకాలు (2 + 1)(1 + 1) = 6 (1, 2, 3, 4, 6, 12).
• 36 = 2² × 3² → (3)(3) = 9 భాజకాలు.
• పరిపూర్ణ వర్గం అయితే: భాజకాల సంఖ్య బేసి సంఖ్య.
• ఏ సంఖ్య చివర సున్నాలు: n! లో చివరి సున్నాల సంఖ్య కోసం n ను 5 తో, 25 తో, 125 తో భాగించి వచ్చిన భాగఫలాలు కూడాలి. 10! లో 10 ÷ 5 = 2, కాబట్టి 2 సున్నాలు.