భాగహారం, శేషాలు, భాజకాల సంఖ్య (Division, Remainders & Number of Factors)

Correct: D — 46

భాజ్యం = భాజకం × భాగఫలం + శేషం = 7 × 6 + 4 = 46. తనిఖీ: 46 ÷ 7 = 6 శేషం 4. 42 అనేది శేషాన్ని కలపకుండా వచ్చేది. 38 అనేది శేషాన్ని తీసివేయడం వల్ల వచ్చే తప్పు.

Correct: C — 6

12 భాజకాలు 1, 2, 3, 4, 6, 12, అంటే 6. సూత్రం: 12 = 2² × 3 కాబట్టి (2 + 1)(1 + 1) = 6. 4 అంటే 1, 2, 3, 4 మాత్రమే లెక్కించడం. 5 అంటే 12 ను వదిలేయడం; 12 కూడా తన భాజకమే.

Correct: B — 3

శేషం ఎల్లప్పుడూ భాజకం కన్నా చిన్నదిగా ఉండాలి. భాజకం 4 అయితే సాధ్యమైన శేషాలు 0, 1, 2, 3. గరిష్ఠ శేషం 3. శేషం 4 అయితే ఇంకో సారి భాగించవచ్చు కాబట్టి అది శేషం కాదు.

Correct: D — 9

36 = 2² × 3². భాజకాల సంఖ్య = (2 + 1)(2 + 1) = 9. అవి 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. 36 పూర్ణ వర్గం కాబట్టి భాజకాల సంఖ్య బేసి. ఘాతాలకు 1 కలపకపోతే 2 × 2 = 4 వస్తుంది, అది తప్పు. 12 అనేది 60 యొక్క భాజకాల సంఖ్య.

Correct: C — 12

72 = 2³ × 3². భాజకాల సంఖ్య = (3 + 1)(2 + 1) = 12. అవి 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. 24 అనేది 72 యొక్క ఒక భాజకం (72 ÷ 24 = 3), భాజకాల సంఖ్య కాదు. 9 అనేది 36 యొక్క భాజకాల సంఖ్య.

Correct: B — 5

56 అనేది 8 కి గుణిజం (56 = 8 × 7), కాబట్టి శేషం 29 ను 8 తో భాగిస్తే వచ్చే శేషమే జవాబు: 29 = 8 × 3 + 5, శేషం 5. తనిఖీ: సంఖ్య 56k + 29 అయితే 56k 8 తో భాగించబడుతుంది. 29 అనేది 8 కన్నా పెద్దది కాబట్టి శేషం కాజాలదు.

Correct: B — 16

120 = 2³ × 3 × 5. భాజకాల సంఖ్య = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 × 2 × 2 = 16. 8 అనేది 5 ను వదిలేసి (3 + 1)(1 + 1) లెక్కిస్తే వస్తుంది. 12 అనేది 72 యొక్క భాజకాల సంఖ్య.

Correct: A — 4

సంఖ్య 7k + 5 అయితే దాని వర్గం 49k² + 70k + 25. మొదటి రెండు పదాలు 7 తో భాగించబడతాయి, శేషం 25 ÷ 7 = 3 శేషం 4. కాబట్టి జవాబు 4. 25 అనేది శేషం కాదు (7 కన్నా పెద్దది). 5 అనేది అసలు శేషమే.

Correct: D — 8

సంఖ్యను x అనుకుంటే x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5). 3, 5 సహ ప్రధానాలు కాబట్టి 15 తో శేషం ఒకటే ఉంటుంది. 8 పరీక్షిస్తే: 8 ÷ 3 శేషం 2, 8 ÷ 5 శేషం 3, సరే. 13 ÷ 3 శేషం 1; 5 ÷ 3 శేషం 2 కానీ 5 ÷ 5 శేషం 0; 3 ÷ 3 శేషం 0.

Correct: C — 49

ఖచ్చితంగా 3 భాజకాలు ఉన్న సంఖ్య ఒక ప్రధాన సంఖ్య వర్గం (p²), భాజకాలు 1, p, p². 49 = 7², భాజకాలు 1, 7, 49. 36 కి 9 భాజకాలు, 30 కి 8, 21 కి 4 (1, 3, 7, 21). ప్రధాన సంఖ్యకు రెండు భాజకాలే.