మానసిక సామర్థ్యం (Mental Ability) / అంకగణితం (Arithmetic)

క్షేత్రమితి (Mensuration)

క్షేత్రమితి (Mensuration) – 2D ఆకారాల వైశాల్యం, చుట్టుకొలత; 3D ఘనాల ఘనపరిమాణం, ఉపరితల వైశాల్యం సూత్రాలు మరియు సాల్వ్డ్ ఉదాహరణలు.

6 notes 60 questions

Start reading Practice

Notes in this chapter

  1. 1చతుర్భుజాల వైశాల్యం & చుట్టుకొలత (Area and Perimeter of Rectangle, Square, etc.)Read notePractice 10
  2. 2త్రిభుజాల వైశాల్యం – హెరాన్ సూత్రం (Area of Triangles and Heron's Formula)Read notePractice 10
  3. 3వృత్తం, సెక్టార్, వలయం (Circle, Sector and Ring)Read notePractice 10
  4. 4ఘనం & దీర్ఘఘనం – ఘనపరిమాణం, ఉపరితల వైశాల్యం (Cube and Cuboid)Read notePractice 10
  5. 5స్థూపం, శంకువు, గోళం, అర్ధగోళం (Cylinder, Cone, Sphere, Hemisphere)Read notePractice 10
  6. 6క్షేత్రమితి షార్ట్‌కట్లు – శాతం మార్పులు, యూనిట్లు (Shortcuts and Unit Conversion)Read notePractice 10
By ExamBadi

1. చతుర్భుజాల వైశాల్యం & చుట్టుకొలత (Area and Perimeter of Rectangle, Square, etc.)

క్షేత్రమితి (Mensuration) అంటే ఆకారాల కొలతలు – చుట్టుకొలత (Perimeter), వైశాల్యం (Area), ఘనపరిమాణం (Volume) – లెక్కించే గణితం. ముందు 2D ఆకారాల సూత్రాలు బట్టీ పట్టండి.

ముఖ్య విషయాలు

  • దీర్ఘచతురస్రం (Rectangle) – పొడవు l, వెడల్పు b:
  • వైశాల్యం = l × b
  • చుట్టుకొలత = 2(l + b)
  • కర్ణం (Diagonal) = √(l² + b²)
  • చతురస్రం (Square) – భుజం a:
  • వైశాల్యం = a²
  • చుట్టుకొలత = 4a
  • కర్ణం = a√2
  • కర్ణం d ఇస్తే వైశాల్యం = d²/2
  • సమాంతర చతుర్భుజం (Parallelogram): వైశాల్యం = భూమి × ఎత్తు (b × h).
  • రాంబస్ (Rhombus):
    1. వైశాల్యం = ½ × d₁ × d₂ (రెండు కర్ణాల లబ్ధంలో సగం)
    2. భుజం = ½ × √(d₁² + d₂²)
  • సమలంబ చతుర్భుజం (Trapezium): వైశాల్యం = ½ × (సమాంతర భుజాల మొత్తం) × ఎత్తు = ½(a + b)h.
  • దారి/బాట (Path) వైశాల్యం:
    1. l × b దీర్ఘచతురస్ర మైదానం చుట్టూ వెలుపల w వెడల్పు బాట ఉంటే బాట వైశాల్యం = (l + 2w)(b + 2w) − lb
    2. లోపల ఉంటే (l − 2w)(b − 2w) తీసివేయాలి.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 1 ప్రశ్న: ఒక దీర్ఘచతురస్రం చుట్టుకొలత 56 మీ. పొడవు:వెడల్పు = 4:3. వైశాల్యం ఎంత?

  • l + b = 56 ÷ 2 = 28. 4 భాగాలు + 3 భాగాలు = 7 భాగాలు = 28 → 1 భాగం = 4.
  • l = 16, b = 12. వైశాల్యం = 16 × 12 = 192 చ.మీ.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 2 ప్రశ్న: 20 మీ × 15 మీ తోట చుట్టూ వెలుపల 2 మీ వెడల్పు బాట ఉంది. బాట వైశాల్యం?

  • బయటి కొలతలు: (20 + 4) × (15 + 4) = 24 × 19 = 456. తోట = 300.
  • బాట = 456 − 300 = 156 చ.మీ.
Practice this topicNext: త్రిభుజాల వైశాల్యం – హెరాన్ సూత్రం (Area of Triangles and Heron's Formula)

2. త్రిభుజాల వైశాల్యం – హెరాన్ సూత్రం (Area of Triangles and Heron's Formula)

త్రిభుజం వైశాల్యం కోసం వేర్వేరు సందర్భాల్లో వేర్వేరు సూత్రాలు వాడతారు. భుజాలు మాత్రమే ఇచ్చినప్పుడు హెరాన్ సూత్రం (Heron's Formula) వాడాలి.

ముఖ్య విషయాలు

  • సాధారణ త్రిభుజం: వైశాల్యం = ½ × భూమి × ఎత్తు = ½bh.
  • లంబకోణ త్రిభుజం (Right-angled Triangle): వైశాల్యం = ½ × లంబ భుజాల లబ్ధం. కర్ణం = √(a² + b²).
  • సమబాహు త్రిభుజం (Equilateral Triangle) – భుజం a:
  • వైశాల్యం = (√3/4) a²
  • ఎత్తు = (√3/2) a
  • చుట్టుకొలత = 3a
  • సమద్విబాహు త్రిభుజం (Isosceles Triangle): సమాన భుజాలు a, భూమి b అయితే వైశాల్యం = (b/4) × √(4a² − b²).
  • హెరాన్ సూత్రం (Heron's Formula):
    1. భుజాలు a, b, c
    2. s = (a + b + c)/2 అయితే
  • వైశాల్యం = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
  • అర్ధ చుట్టుకొలత (s) విలువను ముందు లెక్కించి, తీసివేతలు సరిగా చేయండి.
  • పైథాగరస్ త్రయాలు: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 – వీటిని గుర్తుంచుకుంటే ఎత్తు, కర్ణం త్వరగా దొరుకుతాయి.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 1 ప్రశ్న: భుజాలు 13, 14, 15 సెం.మీ. ఉన్న త్రిభుజం వైశాల్యం?

  • s = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
  • వైశాల్యం = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 = 84 చ.సెం.మీ.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 2 ప్రశ్న: 8 సెం.మీ. భుజం ఉన్న సమబాహు త్రిభుజం వైశాల్యం?

  • (√3/4) × 8² = (√3/4) × 64 = 16√3 చ.సెం.మీ. (≈ 27.7).

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 3 ప్రశ్న: లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబ భుజాలు 9, 12 సెం.మీ. వైశాల్యం, కర్ణం?

  • వైశాల్యం = ½ × 9 × 12 = 54 చ.సెం.మీ.
  • కర్ణం = √(81 + 144) = √225 = 15 సెం.మీ. (3-4-5 యొక్క 3 రెట్లు).
Practice this topicNext: వృత్తం, సెక్టార్, వలయం (Circle, Sector and Ring)

3. వృత్తం, సెక్టార్, వలయం (Circle, Sector and Ring)

వృత్తానికి సంబంధించిన ప్రశ్నల్లో π విలువ ముఖ్యం. సాధారణంగా π = 22/7 (వ్యాసార్ధం 7 లేదా 7 గుణిజం అయితే), లేదా 3.14 వాడతారు. ప్రశ్నలో ఇచ్చిన విలువనే వాడండి.

ముఖ్య విషయాలు

  • వృత్తం (Circle) – వ్యాసార్ధం r:
  • చుట్టుకొలత (Circumference) = 2πr = πd
  • వైశాల్యం = πr²
  • వ్యాసం d = 2r
  • అర్ధవృత్తం (Semicircle):
    1. వైశాల్యం = ½πr²
    2. చుట్టుకొలత = πr + 2r = r(π + 2)
  • సెక్టార్ (Sector) – కేంద్ర కోణం θ డిగ్రీలు:
  • ఆర్క్ పొడవు = (θ/360) × 2πr
  • సెక్టార్ వైశాల్యం = (θ/360) × πr² = ½ × ఆర్క్ × r
  • వలయం (Ring/Annulus): బయటి వ్యాసార్ధం R, లోపలి వ్యాసార్ధం r అయితే వైశాల్యం = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r).
  • చక్రం (Wheel) తిరుగుళ్ళు: దూరం = తిరుగుళ్ళ సంఖ్య × చుట్టుకొలత.
  • వ్యాసార్ధం మార్పు ప్రభావం:
    1. వ్యాసార్ధం రెట్టింపైతే వైశాల్యం 4 రెట్లు
    2. 10% పెంచితే వైశాల్యం 21% పెరుగుతుంది (1.1² = 1.21).

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 1 ప్రశ్న: ఒక వృత్తం చుట్టుకొలత 44 సెం.మీ. వైశాల్యం ఎంత? (π = 22/7)

  • 2πr = 44 → 2 × 22/7 × r = 44 → r = 7.
  • వైశాల్యం = 22/7 × 7 × 7 = 154 చ.సెం.మీ.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 2 ప్రశ్న: వ్యాసార్ధం 14 సెం.మీ., కేంద్ర కోణం 90° ఉన్న సెక్టార్ ఆర్క్ పొడవు, వైశాల్యం?

  • ఆర్క్ = (90/360) × 2 × 22/7 × 14 = ¼ × 88 = 22 సెం.మీ.
  • వైశాల్యం = ¼ × 22/7 × 14 × 14 = ¼ × 616 = 154 చ.సెం.మీ.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 3 ప్రశ్న: ఒక చక్రం వ్యాసం 70 సెం.మీ. అది 10 సార్లు తిరిగితే ఎంత దూరం వెళ్తుంది?

  • చుట్టుకొలత = π × 70 = 22/7 × 70 = 220 సెం.మీ.
  • దూరం = 10 × 220 = 2200 సెం.మీ. = 22 మీ.
Practice this topicNext: ఘనం & దీర్ఘఘనం – ఘనపరిమాణం, ఉపరితల వైశాల్యం (Cube and Cuboid)

4. ఘనం & దీర్ఘఘనం – ఘనపరిమాణం, ఉపరితల వైశాల్యం (Cube and Cuboid)

3D ఆకారాల్లో ఘనం (Cube), దీర్ఘఘనం (Cuboid) అత్యంత సులభమైనవి. వీటికి మూడు రకాల కొలతలు ఉంటాయి: ఘనపరిమాణం (Volume), మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం (Total Surface Area – TSA), పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం (Lateral Surface Area – LSA).

ముఖ్య విషయాలు

  • ఘనం (Cube) – భుజం a:
  • ఘనపరిమాణం = a³
  • TSA = 6a²
  • LSA = 4a² (నాలుగు పక్క ముఖాలు)
  • కర్ణం (Space Diagonal) = a√3
  • దీర్ఘఘనం (Cuboid) – పొడవు l, వెడల్పు b, ఎత్తు h:
  • ఘనపరిమాణం = l × b × h
  • TSA = 2(lb + bh + hl)
  • LSA = 2h(l + b)
  • కర్ణం = √(l² + b² + h²)
  • ఘనాల సంఖ్య: పెద్ద ఘనపరిమాణం ÷ చిన్న ఘనపరిమాణం.
  • ఘనం అంచు రెట్టింపైతే: ఉపరితల వైశాల్యం 4 రెట్లు, ఘనపరిమాణం 8 రెట్లు.
  • యూనిట్ల మార్పిడి:
    1. 1 మీ³ = 1000 లీటర్లు
    2. 1 సెం.మీ³ = 1 మి.లీ.
    3. 1 మీ = 100 సెం.మీ. కాబట్టి 1 మీ³ = 10,00,000 సెం.మీ³.
  • ఖాళీ పెట్టె / తొట్టి: పైన తెరిచి ఉంటే వైశాల్యం = lb + 2h(l + b) (పైభాగం తీసివేయండి).

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 1 ప్రశ్న: 10 × 8 × 6 సెం.మీ. దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం, TSA, కర్ణం?

  • ఘనపరిమాణం = 10 × 8 × 6 = 480 ఘ.సెం.మీ.
  • TSA = 2(80 + 48 + 60) = 2 × 188 = 376 చ.సెం.మీ.
  • కర్ణం = √(100 + 64 + 36) = √200 = 10√2 సెం.మీ.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 2 ప్రశ్న: 6 సెం.మీ. అంచు ఉన్న ఘనం ఘనపరిమాణం, TSA, కర్ణం?

  • ఘనపరిమాణం = 6³ = 216 ఘ.సెం.మీ.
  • TSA = 6 × 36 = 216 చ.సెం.మీ.
  • కర్ణం = 6√3 సెం.మీ.
  • ఈ ఘనానికి సంఖ్యా పరంగా రెండూ సమానం (216).

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 3 ప్రశ్న: 12 సెం.మీ. ఘనం నుండి 3 సెం.మీ. అంచు ఉన్న చిన్న ఘనాలు ఎన్ని చేయవచ్చు?

  • (12 ÷ 3)³ = 4³ = 64 ఘనాలు.
Practice this topicNext: స్థూపం, శంకువు, గోళం, అర్ధగోళం (Cylinder, Cone, Sphere, Hemisphere)

5. స్థూపం, శంకువు, గోళం, అర్ధగోళం (Cylinder, Cone, Sphere, Hemisphere)

వక్ర ఉపరితలాలు ఉన్న 3D ఆకారాల సూత్రాలన్నీ π తో ఉంటాయి. వీటిని పట్టిక లేకుండా జాబితాగా నేర్చుకోండి. వ్యాసార్ధం r, ఎత్తు h, తిర్యక్ ఎత్తు (Slant Height) l.

ముఖ్య విషయాలు

  • స్థూపం (Cylinder):
    1. వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం (CSA) = 2πrh
    2. మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం (TSA) = 2πr(r + h)
    3. ఘనపరిమాణం = πr²h
  • శంకువు (Cone):
    1. తిర్యక్ ఎత్తు l = √(r² + h²)
    2. CSA = πrl
    3. TSA = πr(r + l)
    4. ఘనపరిమాణం = ⅓πr²h
  • గోళం (Sphere):
    1. ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
    2. ఘనపరిమాణం = 4/3 πr³
  • అర్ధగోళం (Hemisphere):
    1. CSA = 2πr²
    2. TSA = 3πr² (వక్ర భాగం + వృత్తాకార మూత)
    3. ఘనపరిమాణం = 2/3 πr³
  • ఘనపరిమాణం నిష్పత్తి: ఒకే వ్యాసార్ధం, ఎత్తు ఉన్న శంకువు : స్థూపం = 1 : 3. శంకువు : అర్ధగోళం : స్థూపం (r = h) = 1 : 2 : 3.
  • కరిగించి మార్చడం (Recasting): ఒక ఆకారాన్ని కరిగించి మరొకటి చేస్తే ఘనపరిమాణం మారదు.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 1 ప్రశ్న: వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ., ఎత్తు 10 సెం.మీ. స్థూపం ఘనపరిమాణం, CSA? (π = 22/7)

  • V = 22/7 × 49 × 10 = 1540 ఘ.సెం.మీ.
  • CSA = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 చ.సెం.మీ.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 2 ప్రశ్న: శంకువు వ్యాసార్ధం 3 సెం.మీ., ఎత్తు 4 సెం.మీ. తిర్యక్ ఎత్తు, CSA, ఘనపరిమాణం?

  • l = √(9 + 16) = 5 సెం.మీ.
  • CSA = π × 3 × 5 = 15π ≈ 47.14 చ.సెం.మీ.
  • V = ⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.71 ఘ.సెం.మీ.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 3 ప్రశ్న: వ్యాసార్ధం 21 సెం.మీ. గోళం ఘనపరిమాణం, ఉపరితల వైశాల్యం?

  • V = 4/3 × 22/7 × 21³ = 4/3 × 22/7 × 9261 = 38808 ఘ.సెం.మీ.
  • వైశాల్యం = 4 × 22/7 × 441 = 5544 చ.సెం.మీ.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 4 (కరిగించడం) ప్రశ్న: 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గోళాన్ని కరిగించి 1 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గోళాలుగా చేస్తే ఎన్ని వస్తాయి?

  • (3³)/(1³) = 27 గోళాలు.
Practice this topicNext: క్షేత్రమితి షార్ట్‌కట్లు – శాతం మార్పులు, యూనిట్లు (Shortcuts and Unit Conversion)

6. క్షేత్రమితి షార్ట్‌కట్లు – శాతం మార్పులు, యూనిట్లు (Shortcuts and Unit Conversion)

క్షేత్రమితిలో కొలతలు పెంచినా/తగ్గించినా వైశాల్యం, ఘనపరిమాణంపై ప్రభావం ఎంత అని అడిగే ప్రశ్నలు చాలా వస్తాయి. వీటికి సూత్రాలు తెలిస్తే లెక్క అవసరం లేకుండా సమాధానం చెప్పవచ్చు.

ముఖ్య విషయాలు

  • నికర శాతం మార్పు సూత్రం: ఒక కొలత x% మరియు మరో కొలత y% మారితే వైశాల్యంలో నికర మార్పు = x + y + (xy/100) %. (పెరుగుదలకు +, తగ్గుదలకు −).
  • ఉదా: పొడవు 20% పెరిగి, వెడల్పు 10% తగ్గితే: 20 − 10 + (20 × −10)/100 = 10 − 2 = +8%.
  • ఒకే కారకంతో అన్ని కొలతలు మారితే: కొలతలు k రెట్లు అయితే వైశాల్యం k² రెట్లు, ఘనపరిమాణం k³ రెట్లు.
  • ఉదా: భుజం 10% పెరిగితే చతురస్ర వైశాల్యం 21% పెరుగుతుంది.
  • సమాన చుట్టుకొలతలో గరిష్ట వైశాల్యం:
    1. ఒకే చుట్టుకొలత ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాల్లో చతురస్రానికి వైశాల్యం ఎక్కువ
    2. ఆకారాలన్నిటిలో వృత్తానికి ఎక్కువ.
  • యూనిట్లు:
    1. 1 మీ² = 10,000 సెం.మీ²
    2. 1 హెక్టారు = 10,000 మీ²
    3. 1 మీ³ = 1000 లీటర్లు
    4. ప్రశ్నలో అన్ని కొలతలు ఒకే యూనిట్‌లోకి మార్చి లెక్కించండి.
  • ఖర్చు ప్రశ్నలు:
    1. ఖర్చు = వైశాల్యం × ధర
    2. కంచె/చుట్టు ఖర్చు = చుట్టుకొలత × ధర.
  • టైల్స్ / ఇటుకల సంఖ్య: మొత్తం వైశాల్యం (లేదా ఘనపరిమాణం) ÷ ఒక్క దాని వైశాల్యం (లేదా ఘనపరిమాణం).
  • పైపు ద్వారా నీరు: ప్రవహించిన నీరు = పైపు కోతవైశాల్యం × నీటి వేగం × సమయం.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 1 ప్రశ్న: ఒక దీర్ఘచతురస్ర పొడవు 20% పెరిగి, వెడల్పు 10% తగ్గితే వైశాల్యంలో మార్పు?

  • 1.2 × 0.9 = 1.08 → 8% పెరుగుదల.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 2 ప్రశ్న: 8 మీ × 5 మీ గదికి చదరపు మీటరుకు ₹150 చొప్పున టైల్స్ వేస్తే ఖర్చు?

  • వైశాల్యం = 40 చ.మీ.
  • ఖర్చు = 40 × 150 = ₹6000.

సాల్వ్డ్ ఉదాహరణ 3 ప్రశ్న: 2 మీ × 1.5 మీ × 1 మీ నీటి తొట్టి సామర్థ్యం లీటర్లలో?

  • ఘనపరిమాణం = 2 × 1.5 × 1 = 3 మీ³ = 3000 లీటర్లు.
Practice this topic