త్రిభుజాల వైశాల్యం – హెరాన్ సూత్రం (Area of Triangles and Heron's Formula)

Correct: A — 30 చ.సెం.మీ.

త్రిభుజ వైశాల్యం = ½ × భూమి × ఎత్తు = ½ × 10 × 6 = 30. 60 అనేది ½ ను మర్చిపోయి భూమి × ఎత్తు తీసుకుంటే వస్తుంది. 16 అనేది భూమి, ఎత్తుల మొత్తం. త్రిభుజ వైశాల్యం ఎల్లప్పుడూ అదే భూమి, ఎత్తు గల దీర్ఘచతురస్రంలో సగం.

Correct: D — 24 చ.సెం.మీ.

లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబ భుజాలే భూమి, ఎత్తు, కాబట్టి వైశాల్యం = ½ × 6 × 8 = 24. 48 అనేది ½ ను మర్చిపోవడం. 10 అనేది కర్ణం √(6² + 8²). కర్ణంపై ఎత్తు వేరుగా ఉంటుంది కాబట్టి లంబ భుజాలనే వాడాలి.

Correct: C — (√3 ÷ 4) a²

సమబాహు త్రిభుజ ఎత్తు (√3 ÷ 2) a, కాబట్టి వైశాల్యం = ½ × a × (√3 ÷ 2) a = (√3 ÷ 4) a². (√3 ÷ 2) a² అంటే ½ మర్చిపోతే వస్తుంది. ఉదాహరణకు a = 4 అయితే వైశాల్యం 4√3.

Correct: B — 84 చ.సెం.మీ.

అర్ధ చుట్టుకొలత s = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 21. వైశాల్యం = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 = 84. 42 అనేది 84 లో సగం, అంటే ½ ను అదనంగా వాడటం. 90 అనేది ఏ సూత్రంతో రాదు, అంచనా విలువ మాత్రమే. హెరాన్ సూత్రంలో s − a, s − b, s − c తప్పనిసరి.

Correct: A — 30 చ.సెం.మీ.

5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² కాబట్టి ఇది లంబకోణ త్రిభుజం, కర్ణం 13. వైశాల్యం = ½ × 5 × 12 = 30. హెరాన్ సూత్రం కూడా s = 15 తో √(15 × 10 × 3 × 2) = 30 ఇస్తుంది. 60 అనేది ½ మర్చిపోవడం; 32.5 అంటే కర్ణాన్ని ఎత్తుగా తీసుకోవడం.

Correct: D — 16√3 చ.సెం.మీ.

సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం = (√3 ÷ 4) a² = (√3 ÷ 4) × 64 = 16√3 ≈ 27.7. 32√3 అనేది ¼ బదులు ½ వాడటం వల్ల వచ్చేది. 8√3 అనేది a² బదులు a వాడటం. 64 అనేది a² మాత్రమే, √3 ÷ 4 అనే కారకం విస్మరించడం.

Correct: C — 48 చ.సెం.మీ.

భూమి 12 కి లంబ రేఖ దాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుంది: సగం భూమి 6, కాబట్టి ఎత్తు = √(10² − 6²) = 8. వైశాల్యం = ½ × 12 × 8 = 48. 96 అనేది ½ మర్చిపోతే వస్తుంది. 60 అంటే ½ × 12 × 10 (సమాన భుజాన్ని ఎత్తుగా తీసుకోవడం), అది తప్పు.

Correct: C — 36 చ.సెం.మీ.

s = (9 + 10 + 17) ÷ 2 = 18. వైశాల్యం = √[18 × (18−9) × (18−10) × (18−17)] = √(18 × 9 × 8 × 1) = √1296 = 36. 9 + 10 = 19 > 17 కాబట్టి త్రిభుజం సాధ్యమే కానీ చాలా చదునుగా ఉంటుంది. 72 అనేది సరైన విలువకు రెట్టింపు. 45 అంటే ½ × 9 × 10, అంటే రెండు భుజాలనే భూమి, ఎత్తులుగా తీసుకోవడం.

Correct: B — 36 సెం.మీ.

(√3 ÷ 4) a² = 36√3 అంటే a² = 144, కాబట్టి a = 12. చుట్టుకొలత = 3 × 12 = 36 సెం.మీ. 12 అనేది భుజం మాత్రమే. 24 అనేది 2 భుజాల మొత్తం, 72 అనేది 6 భుజాల మొత్తం. భుజం కనుగొన్న తర్వాత 3 తో గుణించాలి.

Correct: A — 12 సెం.మీ.

హెరాన్ సూత్రంతో వైశాల్యం 84. భూమి 14 అయితే ½ × 14 × h = 84, కాబట్టి h = 12 సెం.మీ. 6 అనేది ½ ను వర్తింపజేయకపోవడం (84 ÷ 14). 13 లేదా 14 అనేవి భుజాలే; అవి ఎత్తు కావాల్సిన అవసరం లేదు.