1. సగటు సూత్రం & ప్రాథమిక భావన (Average Formula)
కొన్ని రాశుల మొత్తాన్ని వాటి సంఖ్యతో భాగిస్తే వచ్చేదే సగటు (Average లేదా Mean). ఉదాహరణకు విద్యార్థుల సగటు మార్కులు, వాహనం సగటు వేగం వంటివి. పరీక్షల్లో మొదటి సూత్రం సరిగా తెలిస్తే సగం ప్రశ్నలు సులభం.
ముఖ్య విషయాలు
- సగటు సూత్రం: సగటు = రాశుల మొత్తం ÷ రాశుల సంఖ్య.
- మొత్తం కనుగొనడం: రాశుల మొత్తం = సగటు × రాశుల సంఖ్య. (చాలా ప్రశ్నలకు ఇదే కీలకం)
- రాశుల సంఖ్య: రాశుల సంఖ్య = రాశుల మొత్తం ÷ సగటు.
- లక్షణాలు:
- సగటు ఎప్పుడూ అతి చిన్న రాశి కన్నా పెద్దదిగా, అతి పెద్ద రాశి కన్నా చిన్నదిగా ఉంటుంది (అన్ని రాశులు సమానమైతే తప్ప).
- అన్ని రాశులకు ఒకే సంఖ్య కలిపితే (లేదా తీసివేస్తే) సగటుకు కూడా అంతే కలుస్తుంది (తీసివేయబడుతుంది).
- అన్ని రాశులను ఒకే సంఖ్యతో గుణిస్తే (లేదా భాగిస్తే) సగటు కూడా అంతే గుణించబడుతుంది (భాగించబడుతుంది).
సులభమైన ఉదాహరణ
1 5 సంఖ్యల సగటు 20 అయితే వాటి మొత్తం = 5 × 20 = 100.
సులభమైన ఉదాహరణ
2 12, 18, 25, 30, 35 ల సగటు: మొత్తం = 120, సంఖ్య = 5, సగటు = 24.
సులభమైన ఉదాహరణ
3 5 రాశుల సగటు 20; ప్రతి రాశికి 3 కలిపితే కొత్త సగటు 23.
గుర్తుంచుకునే చిట్కా సగటు ప్రశ్నల్లో మొదట 'మొత్తం' కనుగొనడం నేర్చుకోండి – మొత్తం = సగటు × సంఖ్య. అక్కడి నుండే చాలా లెక్కలు సులభమవుతాయి.
2. వరుస సంఖ్యల సగటు – సులభ సూత్రాలు (Average of Consecutive Numbers)
వరుస సంఖ్యలు లేదా సమాన అంతరం గల సంఖ్యల (అంక శ్రేణి) సగటు కనుగొనడానికి సులభ సూత్రాలు ఉన్నాయి. మొత్తం కూడకుండానే సమాధానం వస్తుంది.
ముఖ్య విషయాలు
- మొదటి n సహజ సంఖ్యల సగటు: (n + 1) ÷ 2.
- మొదటి n సరి సంఖ్యల సగటు: n + 1.
- మొదటి n బేసి సంఖ్యల సగటు: n.
- సమాన అంతరం గల శ్రేణి (అంక శ్రేణి): సగటు = (మొదటి పదం + చివరి పదం) ÷ 2.
- వరుస సంఖ్యల సంఖ్య బేసి అయితే: సగటు = మధ్య సంఖ్య.
- వరుస సంఖ్యల సంఖ్య సరి అయితే: సగటు = మధ్య రెండు సంఖ్యల సగటు.
- వర్గాలు: మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల సగటు = (n + 1)(2n + 1) ÷ 6.
సులభమైన ఉదాహరణ
1 1 నుండి 50 వరకు సంఖ్యల సగటు = (50 + 1) ÷ 2 = 25.5.
సులభమైన ఉదాహరణ
2 మొదటి 20 సరి సంఖ్యల సగటు = 20 + 1 = 21.
సులభమైన ఉదాహరణ
3 5 వరుస సంఖ్యల సగటు 18 అయితే అవి 16, 17, 18, 19, 20 (మధ్య సంఖ్య 18).
సులభమైన ఉదాహరణ
4 11 నుండి 25 వరకు (11, 12, ..., 25) సంఖ్యల సగటు = (11 + 25) ÷ 2 = 18.
పరీక్ష ఉచ్చు 'మొదటి n సరి సంఖ్యలు' అంటే సగటు n + 1; 2 నుండి 20 వరకు సరి సంఖ్యలు (10 సంఖ్యలు) సగటు 11. 1, 3, 5, ..., 19 (10 బేసి సంఖ్యలు) సగటు 10. కాబట్టి ఎన్ని పదాలు ఉన్నాయో ముందు లెక్కించండి.
3. రాశి చేరినప్పుడు / మారినప్పుడు సగటు మార్పు (Change in Average)
ఒక సమూహంలో ఒక రాశి కొత్తగా చేరినా, తొలగినా, లేదా ఒక రాశిని వేరొకటితో మార్చినా సగటు ఎలా మారుతుందో అడిగే ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో చాలా ఎక్కువ. ప్రతిసారీ మొత్తం కనుగొని లెక్కించడమే సరైన పద్ధతి.
ముఖ్య విషయాలు
- కొత్త రాశి చేరితే:
- కొత్త రాశి = (కొత్త సంఖ్య × కొత్త సగటు) − (పాత మొత్తం).
- ఒక రాశి తొలగితే: తొలగిన రాశి = పాత మొత్తం − (మిగిలిన సంఖ్య × కొత్త సగటు).
- ఒక రాశిని మార్చితే (n రాశులు): సగటు మార్పు = (కొత్త రాశి − పాత రాశి) ÷ n.
- తప్పు సంఖ్య సరిచేయడం: తప్పుగా తీసుకున్న మొత్తం, సరైన మొత్తం మధ్య తేడాను n తో భాగించి సగటు మార్పు కనుగొనవచ్చు.
- సులభ సూత్రం: కొత్త రాశి చేరినప్పుడు సగటు x పెరిగితే, కొత్త రాశి = పాత సగటు + x × (పాత సంఖ్య + 1).
సులభమైన ఉదాహరణ
1 10 మంది సగటు బరువు 60 కిలోలు. ఒక కొత్త వ్యక్తి చేరిన తర్వాత సగటు 61 అయింది. కొత్త వ్యక్తి బరువు: (11 × 61) − (10 × 60) = 671 − 600 = 71 కిలోలు.
సులభమైన ఉదాహరణ
2 8 రాశుల సగటు 30. ఒక రాశి 20 ను 52 తో మార్చితే సగటు మార్పు = (52 − 20) ÷ 8 = 4. కొత్త సగటు 34.
సులభమైన ఉదాహరణ
3 5 మంది విద్యార్థుల సగటు మార్కులు 50. ఒకరు వెళ్ళిపోయాక సగటు 48 అయింది. వెళ్లినవారి మార్కులు = 250 − (4 × 48) = 250 − 192 = 58.
4. వయసు సగటు ప్రశ్నలు (Average Age Problems)
కుటుంబ సభ్యుల సగటు వయసు, తరగతి విద్యార్థుల సగటు వయసు, కొన్నేళ్ల తర్వాత లేదా ముందు వయసు వంటి ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో తరచుగా వస్తాయి. ఇవి కూడా మొత్తం – సంఖ్య పద్ధతితోనే చేస్తారు.
ముఖ్య విషయాలు
- కొన్నేళ్ల తర్వాత: n సభ్యుల సగటు వయసు a ఏళ్లు ఉంటే, t ఏళ్ల తర్వాత సగటు వయసు = a + t.
- కొన్నేళ్ల ముందు: t ఏళ్ల ముందు సగటు వయసు = a − t.
- ఒకరు చేరినా, వెళ్లినా: సభ్యుల సంఖ్య మారుతుంది కాబట్టి మొత్తం వయసు, కొత్త సంఖ్యతో సగటు లెక్కించాలి.
- కొన్నేళ్ల తర్వాత కొత్త సభ్యుడు చేరితే: పాత సభ్యుల వయసు మొత్తం (సభ్యుల సంఖ్య × t) పెరుగుతుంది, ఆపై కొత్త సభ్యుని వయసు కలపాలి.
- గుర్తుంచుకోండి:
- సంవత్సరాలు గడిచినప్పుడు ప్రతి సభ్యుని వయసు t పెరుగుతుంది
- కొత్త సభ్యుడు చేరితే సంఖ్య మారుతుంది కాబట్టి సగటు t కన్నా తక్కువ మారవచ్చు.
సులభమైన ఉదాహరణ
1 5 మంది కుటుంబ సగటు వయసు 24. 3 ఏళ్ల తర్వాత సగటు 27 అవుతుంది (ఎవరూ మారకపోతే).
సులభమైన ఉదాహరణ
2 30 మంది తరగతి సగటు వయసు 12 ఏళ్లు. ఉపాధ్యాయుని వయసు కలిపితే సగటు 1 సంవత్సరం పెరిగింది. ఉపాధ్యాయుని వయసు: (31 × 13) − (30 × 12) = 403 − 360 = 43 ఏళ్లు.
సులభమైన ఉదాహరణ
3 4 మంది సగటు వయసు 30 ఏళ్లు. ఒక కొత్త సభ్యుడు చేరాక సగటు 28 అయింది. కొత్త సభ్యుని వయసు: (5 × 28) − (4 × 30) = 140 − 120 = 20 ఏళ్లు.
5. భారిత సగటు & రెండు సమూహాల సగటు (Weighted Average)
రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సమూహాల సగటులు వేరువేరుగా ఇచ్చి, అన్ని సమూహాలను కలిపిన సగటును అడిగే ప్రశ్నలకు భారిత సగటు (Weighted Average) సూత్రం ఉపయోగిస్తారు.
ముఖ్య విషయాలు
- భారిత సగటు సూత్రం: కలిపిన సగటు = (n₁ × a₁ + n₂ × a₂) ÷ (n₁ + n₂).
- n₁, n₂ = సమూహాల సభ్యుల సంఖ్యలు.
- a₁, a₂ = సమూహాల సగటులు.
- కలిపిన సగటు స్థానం: అది ఎప్పుడూ రెండు సగటుల మధ్యలోనే ఉంటుంది, ఎక్కువ సభ్యులున్న సమూహం సగటుకు దగ్గరగా ఉంటుంది.
- రెండు సమూహాలు సమాన సంఖ్యలో ఉంటే: కలిపిన సగటు = (a₁ + a₂) ÷ 2.
- మొదటి సగం, రెండవ సగం: మొత్తం విలువ రెండు భాగాల మొత్తం కాబట్టి, భాగాల సగటులు ఇస్తే మొత్తం కనుగొని లెక్కించాలి.
సులభమైన ఉదాహరణ
1 40 మంది బాలుర సగటు మార్కులు 70, 60 మంది బాలికల సగటు మార్కులు 80. తరగతి సగటు: (40 × 70 + 60 × 80) ÷ 100 = (2800 + 4800) ÷ 100 = 76.
సులభమైన ఉదాహరణ
2 20 మంది సగటు 15, మరో 30 మంది సగటు 10 అయితే 50 మంది సగటు: (300 + 300) ÷ 50 = 12.
సులభమైన ఉదాహరణ
3 మొదటి 5 రాశుల సగటు 20, తర్వాత 5 రాశుల సగటు 30 అయితే 10 రాశుల సగటు = 25.
ఇంకొక ఉదాహరణ 25 మంది సగటు 40, 15 మంది సగటు 60 అయితే (1000 + 900) ÷ 40 = 47.5. తనిఖీ: ఎక్కువమంది ఉన్న సమూహం (సగటు 40) వైపు కలిపిన సగటు మొగ్గుతుంది, అది 40 – 60 మధ్యలోనే ఉంది ✓.
6. సగటు వేగం – సూత్రాలు, ఉచ్చులు (Average Speed)
ప్రయాణంలో వేర్వేరు వేగాలతో వెళ్లినప్పుడు మొత్తం ప్రయాణానికి సగటు వేగం కనుగొనే ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో తరచూ వస్తాయి. ఇక్కడ చాలామంది వేగాల సాధారణ సగటు తీసుకుని తప్పు చేస్తారు.
ముఖ్య విషయాలు
- ప్రాథమిక సూత్రం: సగటు వేగం = మొత్తం దూరం ÷ మొత్తం సమయం.
- సమాన దూరాలకు రెండు వేగాలు x, y అయితే: సగటు వేగం = 2xy ÷ (x + y).
- ఇది వేగాల 'హరాత్మక మధ్యమం' (Harmonic Mean).
- సమాన సమయాలకు రెండు వేగాలు x, y అయితే: సగటు వేగం = (x + y) ÷ 2.
- మూడు సమాన దూరాలకు x, y, z వేగాలైతే: సగటు వేగం = 3xyz ÷ (xy + yz + zx).
- ఉచ్చు: సమాన దూరాలకు వేర్వేరు వేగాలు ఉన్నప్పుడు సగటు వేగం ఎల్లప్పుడూ వేగాల సాధారణ సగటు కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది.
సులభమైన ఉదాహరణ
1 ఒక వ్యక్తి A నుండి B కి 40 కి.మీ/గం వేగంతో వెళ్లి, అదే దూరం 60 కి.మీ/గం వేగంతో తిరిగి వచ్చాడు. సగటు వేగం: 2 × 40 × 60 ÷ (40 + 60) = 4800 ÷ 100 = 48 కి.మీ/గం.
సులభమైన ఉదాహరణ
2 ఒక కారు 2 గంటలు 50 కి.మీ/గం, తర్వాత 2 గంటలు 70 కి.మీ/గం వేగంతో వెళ్లింది. సమాన సమయాలు కాబట్టి సగటు = (50 + 70) ÷ 2 = 60 కి.మీ/గం.
సులభమైన ఉదాహరణ
3 మొత్తం 120 కి.మీ ను 3 గంటల్లో వెళ్లింది అంటే సగటు వేగం 120 ÷ 3 = 40 కి.మీ/గం.