సూక్ష్మీకరణ – BODMAS (Simplification)

ఒక వ్యక్తీకరణలో కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం, బ్రాకెట్లు కలిసి ఉంటే ఏ క్రమంలో చేయాలో BODMAS నియమం చెబుతుంది. ఈ క్రమం తప్పితే సమాధానం తప్పు అవుతుంది.

• BODMAS విస్తరణ:
  1. B – Brackets (బ్రాకెట్లు)
  2. O – Of (యొక్క)
  3. D – Division (భాగహారం)
  4. M – Multiplication (గుణకారం)
  5. A – Addition (కూడిక)
  6. S – Subtraction (తీసివేత)
• ముఖ్య గమనికలు:
  1. D మరియు M ఒకే స్థాయి; ఎడమ నుండి కుడికి ఏది ముందు వస్తే అది చేయాలి.
  2. A మరియు S కూడా ఒకే స్థాయి; ఎడమ నుండి కుడికి చేయాలి.
  3. 'Of' అంటే గుణకారం, కానీ దానికి భాగహారం కన్నా ముందు ప్రాధాన్యత ఉంటుంది.
• సమానమైన పేరు: కొన్ని చోట్ల దీనినే PEMDAS (Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction) అంటారు.

• భాగహారం: 12 ÷ 4 = 3.
• గుణకారం: 3 × 3 = 9.
• కూడిక, తీసివేత: 8 + 9 − 2 = 15.

• 6 ÷ 2 = 3, 3 × 3 = 9.
• 20 − 9 = 11. (ఎడమ నుండి కుడికి చేయడం వల్ల సరైన సమాధానం)

ఒక వ్యక్తీకరణలో వివిధ రకాల బ్రాకెట్లు ఉన్నప్పుడు, లోపలి బ్రాకెట్ నుండి బయటికి లెక్కిస్తూ వెళ్లాలి. బ్రాకెట్ల క్రమం తెలియకపోతే చాలా తప్పులు వస్తాయి.

• బ్రాకెట్ల రకాలు మరియు క్రమం (ముందుగా ఏది):
• 1. వింక్యులం (Vinculum / Bar): సంఖ్యపై గీత, ఉదా: ‾(a − b)
• 2. చిన్న బ్రాకెట్ ( ) – Parentheses
• 3. మధ్య బ్రాకెట్ { } – Curly braces
• 4. పెద్ద బ్రాకెట్ [ ] – Square brackets
• బ్రాకెట్ తొలగించడం:
  1. బ్రాకెట్ ముందు '+' ఉంటే లోపలి గుర్తులు మారవు.
  2. బ్రాకెట్ ముందు '−' ఉంటే తొలగించేటప్పుడు లోపలి అన్ని గుర్తులూ మారతాయి (+ అయితే −, − అయితే +).
• ముఖ్య చిట్కా: బ్రాకెట్ ముందు ఉన్న సంఖ్య గుణకంగా పనిచేస్తుంది: 5(3 + 2) = 5 × 5 = 25.

• ( ) లోపల: 5 − 2 = 3.
• { } లోపల: 10 − 3 = 7.
• [ ] లోపల: 20 − 7 = 13.
• చివరికి: 50 − 13 = 37.

సూక్ష్మీకరణ ప్రశ్నల్లో 1 నుండి 30 వరకు వర్గాలు, 1 నుండి 15 వరకు ఘనాలు తెలిస్తే కాలిక్యులేషన్ చాలా వేగంగా అవుతుంది. పరీక్షకు ముందు ఈ పట్టికలు కంఠస్థం చేయడం చాలా మంచిది.

• వర్గాలు (11 – 20): 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400.
• వర్గాలు (21 – 30): 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784, 29² = 841, 30² = 900.
• ఘనాలు: 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729, 10³ = 1000, 11³ = 1331, 12³ = 1728, 13³ = 2197, 14³ = 2744, 15³ = 3375.
• వర్గమూలాలు: √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236 (పరీక్షల్లో తరచూ ఇచ్చే విలువలు).
• 5 తో అంతమయ్యే సంఖ్య వర్గం: అంకె 'a5' అయితే వర్గం = a × (a + 1) తో '25' చివర చేర్చాలి.
• 35² = (3 × 4) తో 25 → 1225.
• 65² = (6 × 7) తో 25 → 4225.
• వర్గమూలం చివరి అంకె:
  1. వర్గం చివర 4 అయితే మూలం చివర 2 లేదా 8
  2. చివర 9 అయితే 3 లేదా 7
  3. చివర 6 అయితే 4 లేదా 6.

భిన్నాన్ని దశాంశంగా లేదా శాతంగా మార్చే ప్రశ్నలు సూక్ష్మీకరణలో చాలా ఉంటాయి. ముఖ్యమైన భిన్నాల విలువలు గుర్తుంటే గణన సమయం చాలా తగ్గుతుంది.

• భిన్నం = దశాంశం = శాతం:
  1. 1/2 = 0.5 = 50%
  2. 1/3 = 0.333... = 33.33%
  3. 1/4 = 0.25 = 25%
  4. 1/5 = 0.2 = 20%
  5. 1/6 = 0.1666... = 16.66%
  6. 1/7 = 0.142857... = 14.28%
  7. 1/8 = 0.125 = 12.5%
  8. 1/9 = 0.111... = 11.11%
  9. 1/10 = 0.1 = 10%
  10. 1/12 = 0.0833... = 8.33%
  11. 1/16 = 0.0625 = 6.25%
• పునరావృత దశాంశాలు:
  1. 0.333... (3 పునరావృతం) = 1/3
  2. 0.666... = 2/3
  3. 0.999... = 1.
• దశాంశ సంఖ్యల గుణకారం: దశాంశ చుక్కను విడిచి గుణించి, చివరికి మొత్తం దశాంశ స్థానాల సంఖ్యకు తగినట్లు చుక్క పెట్టాలి.
• 0.2 × 0.3 = 0.06 (రెండు స్థానాలు).
• శాతం అంటే: x% = x/100.

• శాతం చిట్కా: x% of y = y% of x. ఉదా: 8% of 50 = 50% of 8 = 4.

సూక్ష్మీకరణలో ఘాతాంకాలు (Indices), కరణులు (Surds) ఉన్న ప్రశ్నలు వస్తాయి. కొన్ని నియమాలు తెలిస్తే క్లిష్టమైన ప్రశ్నలూ సులభంగా మారతాయి.

• ఘాతాంక నియమాలు:
  1. aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  2. aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
  3. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
  4. a⁰ = 1 (a ≠ 0)
  5. a⁻ⁿ = 1/aⁿ
  6. (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ
• కరణి నియమాలు:
  1. √a × √b = √(ab)
  2. √a ÷ √b = √(a/b)
  3. (√a)² = a
• ముఖ్యమైన గుర్తింపులు:
  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
  3. a² − b² = (a + b)(a − b)
  4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  5. a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
  6. a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

పరీక్షల్లో సమయం చాలా తక్కువ. అందుకే సూక్ష్మీకరణ ప్రశ్నలను వేగంగా చేయడానికి కొన్ని షార్ట్‌కట్లు, ఉజ్జాయింపు పద్ధతులు నేర్చుకోవాలి. ఇవి మార్కులు తెచ్చి పెట్టే అంశాలు.

• ఉజ్జాయింపు (Approximation): ఎంపికలు దూరంగా ఉన్నప్పుడు సంఖ్యలను సమీప గుండ్రని సంఖ్యలకు మార్చి లెక్కించండి.
• 49.8 ≈ 50, 19.9 ≈ 20, 1002 ≈ 1000.
• సమాన సంఖ్యల వర్గం:
  1. 99² = (100 − 1)² = 9801
  2. 101² = 10201.
• 100 కు దగ్గరి సంఖ్యల గుణకారం: 98 × 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10000 − 4 = 9996.
• లబ్ధం చివరి అంకె ద్వారా తొలగింపు: ఎంపికల చివరి అంకెలు వేరుగా ఉంటే, యూనిట్ అంకెలను గుణించి సరైన ఎంపికను గుర్తించవచ్చు.
• పంపకం సూత్రం: a × (b + c) = ab + ac. ఉదా: 25 × 16 = 25 × (10 + 6) = 250 + 150 = 400.
• భిన్నాల ప్రశ్నలు:
  1. హారాలను సమానం చేసి కూడండి లేదా తీసివేయండి
  2. భాగహారంలో రెండవ భిన్నాన్ని తిరగేసి గుణించండి.
• (2/3) ÷ (4/9) = (2/3) × (9/4) = 3/2.