ఘాతాంకాలు, కరణులు, గుర్తింపులు (Indices, Surds & Identities)

Correct: D — 1

ఘాతాంక నియమం ప్రకారం a⁰ = 1 (a సున్నా కానప్పుడు). ఉదాహరణకు aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, మరోవైపు అదే భాగహారం 1 కూడా. కాబట్టి a⁰ = 1; 0 అని అనుకోవడం సాధారణ పొరపాటు.

Correct: B — 256

ఒకే ఆధారం ఉన్నప్పుడు గుణకారంలో ఘాతాలు కూడతాయి: 2⁵ × 2³ = 2⁸ = 256. ఘాతాలను గుణిస్తే (15) లేదా తీసివేస్తే (2²=4) తప్పు వస్తుంది. 2⁶ = 64, 2⁷ = 128 అని గుర్తుంచుకుంటే ఎంపికలు తేలిగ్గా తొలగుతాయి.

Correct: C — 100

ఇది (a + b)² = a² + 2ab + b² రూపం, a = 7, b = 3. కాబట్టి (7 + 3)² = 10² = 100. నేరుగా: 49 + 42 + 9 = 100. 58 అంటే మధ్య పదాన్ని వదిలిన (49 + 9) విలువ, అది తప్పు.

Correct: D — 4

(2³)² = 2⁶ (ఘాతం యొక్క ఘాతంలో గుణకారం). తరువాత 2⁶ ÷ 2⁴ = 2² = 4. భాగహారంలో ఘాతాలు తీసివేయాలి. 2³ ను 2×... అని తప్పుగా (2³)² = 2⁵ అనుకుంటే 2 వస్తుంది, 16 అనేది 2⁶ ÷ 2² అనుకున్నప్పుడు వస్తుంది.

Correct: B — 1/25

ఋణ ఘాతం అంటే వ్యుత్క్రమం: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. కాబట్టి 5⁻² = 1/5² = 1/25. ఋణ ఘాతం విలువను ఋణంగా మార్చదు, అందుకే −25 తప్పు. 1/10 అనేది 5 ను 2 తో గుణించి తీసుకోవడం వల్ల వచ్చే పొరపాటు.

Correct: C — 8√2

√50 = √(25×2) = 5√2 మరియు √18 = √(9×2) = 3√2. సజాతి కరణులను కూడవచ్చు: 5√2 + 3√2 = 8√2. √50 + √18 = √68 అని కరణులను నేరుగా కూడడం తప్పు, ఎందుకంటే √a + √b ≠ √(a+b).

Correct: A — √3 − √2

లవ హారాలను (√3 − √2) తో గుణించాలి. హారం (√3)² − (√2)² = 3 − 2 = 1 అవుతుంది, లవం √3 − √2. కాబట్టి విలువ √3 − √2. √3 + √2 అయితే అది హారం యొక్క అసలు రూపం, అది సమాధానం కాదు.

Correct: B — 8

√2 = 2^(1/2) కాబట్టి (√2)⁶ = 2^(6/2) = 2³ = 8. లేదా (√2)² = 2, కాబట్టి (√2)⁶ = ((√2)²)³ = 2³ = 8. 16 అనేది 2⁴ మాత్రమే, 12 అనేది 6 × 2 వల్ల వచ్చిన పొరపాటు.

Correct: A — 23

(a + 1/a)² = a² + 2 + 1/a² కాబట్టి a² + 1/a² = 25 − 2 = 23. మధ్య పదం 2·a·(1/a) = 2 ను తీసివేయడం మరిచిపోతే 25 వస్తుంది. 27 అనేది 25 + 2 అనుకున్నప్పుడు వచ్చే తప్పు సమాధానం.

Correct: D — 34

(a − b)² = a² − 2ab + b² కాబట్టి a² + b² = (a − b)² + 2ab = 4 + 30 = 34. ఇక్కడ 2ab = 30 కలపాలి; 4 − 30 లేదా 4 + 15 = 19 చేయడం తప్పు. a = 5, b = 3 తీసుకుని 25 + 9 = 34 అని ధృవీకరించుకోవచ్చు.