బారువడ్డీ & చక్రవడ్డీ (Simple & Compound Interest)

అప్పుగా తీసుకున్న లేదా పొదుపు చేసిన డబ్బుపై కాలానుగుణంగా చెల్లించే అదనపు మొత్తమే వడ్డీ. బారువడ్డీ (Simple Interest – SI) లో వడ్డీ ఎల్లప్పుడూ అసలుపైనే లెక్కిస్తారు; ఏటా వడ్డీ సమానంగా ఉంటుంది.

• అసలు (Principal – P): ఇచ్చిన లేదా తీసుకున్న మొత్తం.
• రేటు (Rate – R): ఏడాదికి వడ్డీ శాతం (% per annum).
• కాలం (Time – T): ఏళ్లలో. నెలలు ఇస్తే 12 తో భాగించి ఏళ్లలోకి మార్చాలి.
• మొత్తం (Amount – A): A = P + SI.
• ప్రధాన సూత్రం: SI = (P × R × T)/100.
• ఇతర రూపాలు:
  1. P = (SI × 100)/(R × T)
  2. R = (SI × 100)/(P × T)
  3. T = (SI × 100)/(P × R)
• గమనిక: అసలు, రేటు స్థిరమైతే వడ్డీ కాలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ₹ 5,000 పై 8% చొప్పున 3 ఏళ్లకు SI = 5,000 × 8 × 3/100 = ₹ 1,200
• మొత్తం = ₹ 6,200.
• ₹ 2,000 పై 3 ఏళ్లకు ₹ 600 వడ్డీ వస్తే రేటు = 600 × 100/(2,000 × 3) = 10%.
• ₹ 4,000 పై 5% చొప్పున ₹ 1,000 వడ్డీ రావడానికి కాలం = 1,000 × 100/(4,000 × 5) = 5 ఏళ్లు.

బారువడ్డీ సమస్యల్లో 'అసలు రెట్టింపు అవడానికి ఎంత కాలం?' అనే రకం చాలా తరచూ వస్తుంది. దీనికి అసలు విలువతో పనిలేకుండా చిన్న సూత్రాలు ఉన్నాయి.

• రెట్టింపు అయితే: SI = P కాబట్టి R × T = 100.
• 10% రేటుతో రెట్టింపు కాలం = 100/10 = 10 ఏళ్లు.
• 8 ఏళ్లలో రెట్టింపు అయితే రేటు = 100/8 = 12.5%.
• మూడింతలు అయితే: SI = 2P కాబట్టి R × T = 200.
• n రెట్లు అయితే: R × T = 100 × (n − 1).
• ఇచ్చి–తీసుకున్న లాభం:
  1. ఒకరు R₁% కు అప్పు తీసుకుని R₂% కు ఇస్తే ఏడాదికి లాభం = P × (R₂ − R₁)/100
  2. T ఏళ్లకు ఇంకా T తో గుణించాలి.
• రెండు భాగాల పెట్టుబడి: మొత్తం డబ్బును రెండు భాగాలుగా వేర్వేరు రేట్లకు పెడితే మొత్తం వడ్డీ రెండు వడ్డీల కూడిక.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ఒక మొత్తం 5 ఏళ్లలో రెట్టింపు అయితే రేటు = 100/5 = 20%.
• ఒక మొత్తం బారువడ్డీతో 8 ఏళ్లలో మూడింతలు అయితే రేటు = 200/8 = 25%.
• రమేష్ 6% కు ₹ 5,000 అప్పు తీసుకుని 8% కు 3 ఏళ్లు వేరొకరికి ఇచ్చాడు. లాభం = 5,000 × 2 × 3/100 = ₹ 300.
• ₹ 3,000 ను రెండు భాగాలుగా విభజించి 4%, 5% చొప్పున ఒక ఏడాదికి పెట్టగా మొత్తం వడ్డీ ₹ 135 వచ్చింది. మొదటి భాగం x అనుకుంటే 0.04x + 0.05(3,000 − x) = 135, అంటే 150 − 0.01x = 135, కాబట్టి x = 1,500.

చక్రవడ్డీ (Compound Interest – CI) లో ప్రతి కాలం చివర వడ్డీని అసలుకు కలిపి, తర్వాతి కాలానికి ఆ కొత్త మొత్తంపై వడ్డీ లెక్కిస్తారు. అందుకే దీన్ని 'వడ్డీపై వడ్డీ' అంటారు. బ్యాంకులు, ఫైనాన్స్ సంస్థలు ఎక్కువగా ఇదే విధానం వాడతాయి.

• మొత్తం (Amount): A = P × (1 + R/100)ⁿ, ఇక్కడ n = ఏళ్ల సంఖ్య.
• చక్రవడ్డీ: CI = A − P.
• మొదటి ఏడాది:
  1. CI మరియు SI సమానం
  2. రెండో ఏడాది నుంచి CI ఎక్కువ.
• వేర్వేరు రేట్లు: ప్రతి ఏడాది రేటు వేరైతే A = P × (1 + R₁/100) × (1 + R₂/100) × ...
• ప్రతి ఏడాది వడ్డీని విడిగా లెక్క వేయడం: 2, 3 ఏళ్ల చిన్న లెక్కల్లో సులభం.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ₹ 8,000 పై 10% చొప్పున 2 ఏళ్లకు A = 8,000 × 1.1 × 1.1 = ₹ 9,680
• CI = ₹ 1,680.
• అదే లెక్కలో SI = 8,000 × 10 × 2/100 = ₹ 1,600. CI, SI కంటే ₹ 80 ఎక్కువ.
• ₹ 5,000 పై మొదటి ఏడాది 10%, రెండో ఏడాది 20% చొప్పున A = 5,000 × 1.1 × 1.2 = ₹ 6,600.
• ₹ 1,000 ను 20% తో 2 ఏళ్లకు పెడితే A = 1,000 × 1.2 × 1.2 = ₹ 1,440
• CI = ₹ 440.

'చక్రవడ్డీ, బారువడ్డీ మధ్య తేడా ₹ ఇంత' అని ఇచ్చి అసలు లేదా రేటు అడిగే ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో చాలా సాధారణం. దీనికి నేరుగా సూత్రాలు ఉండటం వల్ల పొడవైన లెక్క అవసరం లేదు.

• 2 ఏళ్లకు తేడా: CI − SI = P × (R/100)².
• 3 ఏళ్లకు తేడా: CI − SI = P × (R/100)² × (3 + R/100).
• ఎందుకు?:
  1. రెండో ఏడాదిలో మొదటి ఏడాది వడ్డీపై వచ్చే వడ్డీయే తేడా
  2. ఆ వడ్డీ = (P × R/100) × R/100.
• ఒకే రేటు, ఒకే కాలం: రెండింటి మధ్య తేడా ఎల్లప్పుడూ ధనాత్మకం (CI > SI), కాలం ఒక ఏడాదైతే తేడా 0.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ₹ 8,000 పై 10% చొప్పున 2 ఏళ్లకు తేడా = 8,000 × (0.1)² = ₹ 80.
• 2 ఏళ్లకు CI, SI తేడా ₹ 50
• రేటు 5% అయితే అసలు = 50 × 100 × 100/(5 × 5) = ₹ 20,000.
• ₹ 10,000 పై 10% చొప్పున 3 ఏళ్లకు తేడా = 10,000 × 0.01 × 3.1 = ₹ 310.
• తనిఖీ:
  1. CI = 10,000 × 1.331 − 10,000 = ₹ 3,310
  2. SI = ₹ 3,000
  3. తేడా ₹ 310.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా అసలు ₹ 10,000 కు 10% రేటుతో 2 ఏళ్లకు తేడా ₹ 100; 3 ఏళ్లకు ₹ 310. ఈ రెండు సంఖ్యలు గుర్తుంటే చాలా ప్రశ్నలకు నిష్పత్తి పద్ధతిలో సమాధానం వస్తుంది.

• ఉదా: అసలు ₹ 5,000, రేటు 10%, 2 ఏళ్లు అయితే తేడా ₹ 100 లో సగం = ₹ 50 (ఎందుకంటే అసలు సగం).
• రేటు 20% అయితే తేడా నాలుగు రెట్లు: ₹ 10,000 కు 2 ఏళ్లకు ₹ 400 (రేటు రెట్టింపైతే తేడా 4 రెట్లు).

కొన్ని సందర్భాల్లో వడ్డీని ఏడాదికి ఒకసారి కాకుండా ఆరు నెలలకు లేదా మూడు నెలలకు ఒకసారి అసలులో కలుపుతారు. అలాంటప్పుడు రేటు, కాలం రెండింటినీ మార్చి అదే సూత్రం వాడాలి.

• అర్ధ వార్షికం (Half-yearly): రేటు = R/2, కాల వ్యవధుల సంఖ్య = 2n.
• A = P × (1 + R/200)²ⁿ
• త్రైమాసికం (Quarterly): రేటు = R/4, వ్యవధులు = 4n.
• A = P × (1 + R/400)⁴ⁿ
• నెలల్లో కాలం: 1 ఏడాది 6 నెలలకు అర్ధ వార్షికంగా లెక్కిస్తే 3 వ్యవధులు, రేటు R/2.
• భిన్న కాలాలు: 2½ ఏళ్లకు చక్రవడ్డీ అడిగితే, 2 ఏళ్లకు చక్రవడ్డీ లెక్కించి, మిగిలిన ½ ఏడాదికి ఆ మొత్తంపై బారువడ్డీ లెక్కిస్తారు (పాఠ్య పుస్తక పద్ధతి).

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ₹ 10,000 పై 20% చొప్పున ఒక ఏడాదికి అర్ధ వార్షిక చక్రవడ్డీ:
  1. రేటు 10%, వ్యవధులు 2 → A = 10,000 × 1.1 × 1.1 = ₹ 12,100
  2. CI = ₹ 2,100. (వార్షికంగా అయితే CI = ₹ 2,000).
• ₹ 16,000 పై 20% చొప్పున 9 నెలలకు త్రైమాసిక వడ్డీ:
  1. రేటు 5%, వ్యవధులు 3 → A = 16,000 × 1.05 × 1.05 × 1.05 = ₹ 18,522
  2. CI = ₹ 2,522.
• ₹ 1,000 పై 10% చొప్పున 1½ ఏళ్లకు అర్ధ వార్షికంగా: రేటు 5%, వ్యవధులు 3 → A = 1,000 × 1.05³ = ₹ 1,157.625.

చక్రవడ్డీలో ఒక మొత్తం కొన్ని ఏళ్లలో రెట్టింపు అయితే, అదే రేటుతో మరింత కాలంలో ఎన్ని రెట్లు అవుతుందో లెక్కించడం పరీక్షల్లో తరచూ వస్తుంది. అలాగే సమాన వాయిదాలలో అప్పు తీర్చే లెక్కలు కూడా కనిపిస్తాయి.

• గుణకార నియమం: చక్రవడ్డీలో ఒక మొత్తం n ఏళ్లలో k రెట్లు అయితే 2n ఏళ్లలో k² రెట్లు, 3n ఏళ్లలో k³ రెట్లు అవుతుంది.
• 3 ఏళ్లలో రెట్టింపు అయితే 9 ఏళ్లలో 2 × 2 × 2 = 8 రెట్లు.
• బారువడ్డీతో పోలిక:
  1. బారువడ్డీలో రెట్టింపు కాలం ఉన్నట్టే సరళంగా పెరుగుతుంది
  2. చక్రవడ్డీలో పెరుగుదల వేగంగా ఉంటుంది.
• సమాన వాయిదాలు: 2 సమాన వార్షిక వాయిదాలలో అప్పు తీర్చాలంటే, ప్రతి వాయిదా విలువను ఆ వాయిదా చెల్లించే సమయం వరకు తగ్గించి అసలుకు సమానం చేయాలి.
• సమీకరణం: P = X/(1 + R/100) + X/(1 + R/100)².
• తరచుగా కలిపితే ఎక్కువ:
  1. 10% వార్షిక చక్రవడ్డీతో 2 ఏళ్లకు మొత్తం పెరుగుదల 21%
  2. 20% రేటును అర్ధ వార్షికంగా (10% × 2) కలిపితే ఏడాదికి 21% వస్తుంది.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ఒక మొత్తం చక్రవడ్డీతో 4 ఏళ్లలో రెట్టింపు అయితే 12 ఏళ్లలో = 2 × 2 × 2 = 8 రెట్లు.
• ₹ 2,100 అప్పును 10% చక్రవడ్డీతో 2 సమాన వార్షిక వాయిదాలలో తీర్చాలి. ప్రతి వాయిదా ₹ 1,210 అయితే 1,210/1.1 + 1,210/1.21 = 1,100 + 1,000 = ₹ 2,100 (సరిపోయింది).
• ₹ 2,000 ను 10% వార్షిక చక్రవడ్డీతో 2 ఏళ్లు పెడితే A = 2,000 × 1.21 = ₹ 2,420.