వయస్సు సమస్యలు (Problems on Ages)

వయస్సు సమస్యల్లో సంవత్సరాలు గడుస్తున్న కొద్దీ ప్రతి ఒక్కరి వయస్సు సమానంగా పెరుగుతుంది. ఈ ఒక్క విషయాన్ని గుర్తుపెట్టుకుంటే ఎక్కువ ప్రశ్నలు సులభంగా వచ్చేస్తాయి. ముందు ప్రస్తుత వయస్సును x తో సూచించి, ప్రశ్న చెప్పినట్టు సమీకరణం రాయాలి.

• సంవత్సరాల తర్వాత: ప్రతి వ్యక్తి వయస్సుకు n కలపాలి. ఇద్దరి మొత్తం వయస్సు 2n పెరుగుతుంది.
• సంవత్సరాల క్రితం: ప్రతి వ్యక్తి వయస్సు నుంచి n తీసివేయాలి.
• వయస్సుల తేడా స్థిరం: ఇద్దరి మధ్య వయస్సు తేడా ఎప్పుడూ మారదు.
• ఇప్పటి వయస్సు x అయితే:
  1. 5 ఏళ్ల తర్వాత = x + 5
  2. 5 ఏళ్ల క్రితం = x − 5
• సమీకరణం రాసే పద్ధతి: 'రెండింతలు' అంటే × 2, 'మూడో వంతు' అంటే ÷ 3, 'కంటే ఎక్కువ' అంటే +.
• 'k రెట్లు' షార్ట్‌కట్: పెద్దవారి వయస్సు చిన్నవారి k రెట్లైతే, తేడా = (k − 1) × చిన్నవారి వయస్సు.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• తండ్రి వయస్సు కొడుకు వయస్సుకు 3 రెట్లు
• ఇద్దరి మొత్తం 48. కొడుకు x అయితే x + 3x = 48 → x = 12
• తండ్రి 36.
• తండ్రి కొడుకుకంటే 30 ఏళ్లు పెద్దవాడు, 4 రెట్లు ఉంటే కొడుకు = 30/(4 − 1) = 10 ఏళ్లు.
• ఇప్పుడు తండ్రి 40, కొడుకు 10 ఏళ్లు. ఎన్నేళ్ల తర్వాత తండ్రి కొడుకు వయస్సుకు రెట్టింపు? 40 + x = 2(10 + x) → x = 20.

ఇద్దరి వయస్సుల నిష్పత్తి ఇచ్చి, కొన్నేళ్ల తర్వాత లేదా క్రితం నిష్పత్తి మరొకటి ఇచ్చే ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో చాలా వస్తాయి. వీటిలో సాధారణ గుణకం (x) ను వాడి సమీకరణం చేయాలి.

• ప్రస్తుత నిష్పత్తి a : b అయితే వయస్సులు = ax, bx అని తీసుకోవాలి.
• n ఏళ్ల తర్వాత నిష్పత్తి c : d అయితే (ax + n)/(bx + n) = c/d అనే సమీకరణం రాయాలి.
• n ఏళ్ల క్రితం అయితే (ax − n)/(bx − n) = c/d.
• తేడా పద్ధతి (ఆకర్షణీయం): వయస్సుల తేడా మారదు. కాబట్టి నిష్పత్తులలో తేడా భాగాలను సమానం చేసి సులభంగా లెక్క వేయవచ్చు.
• తనిఖీ: ఫలితంలో వయస్సులు ధనాత్మక పూర్ణాంకాలుగా ఉన్నాయో లేదో చూడాలి.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• A : B వయస్సులు ఇప్పుడు 3 : 5. 6 ఏళ్ల తర్వాత 2 : 3 అయితే (3x + 6)/(5x + 6) = 2/3 → 9x + 18 = 10x + 12 → x = 6.
• ప్రస్తుత వయస్సులు: A = 18, B = 30. 6 ఏళ్ల తర్వాత 24, 36 = 2 : 3 (సరిపోయింది).
• తండ్రి, కొడుకు వయస్సుల నిష్పత్తి 7 :
  1. 2
  2. తేడా 25 ఏళ్లు. భాగాల తేడా 5 = 25 → ఒక భాగం 5 ఏళ్లు
  3. తండ్రి 35, కొడుకు 10.
• 5 ఏళ్ల క్రితం తండ్రి కొడుకుకంటే 4 రెట్లు
• తండ్రి కొడుకు కంటే 30 ఏళ్లు పెద్ద. కొడుకు ఇప్పుడు s అయితే s + 25 = 4(s − 5) → s = 15
• తండ్రి 45.

ఒక సమూహంలో అందరి వయస్సుల సగటు ఇస్తే, వారి మొత్తం వయస్సు = సగటు × వ్యక్తుల సంఖ్య. ఎవరైనా చేరితే లేదా వెళితే మొత్తం వయస్సు మారుతుంది. ఈ ఆలోచనతో చాలా లెక్కలు చేయవచ్చు.

• మొత్తం వయస్సు = సగటు వయస్సు × సభ్యుల సంఖ్య.
• n ఏళ్ల తర్వాత సగటు: ఎవరూ చేరకపోతే, వెళ్లకపోతే సగటు వయస్సు కూడా n పెరుగుతుంది.
• n ఏళ్ల క్రితం సగటు: సగటు n తగ్గుతుంది.
• కొత్త వ్యక్తి చేరితే: కొత్త సగటు × కొత్త సంఖ్య − పాత మొత్తం = కొత్త వ్యక్తి వయస్సు.
• ఒకరు వెళితే: పాత మొత్తం − కొత్త మొత్తం = వెళ్లినవారి వయస్సు.
• ప్రత్యామ్నాయం: ఒకరి స్థానంలో మరొకరు చేరితే మొత్తం వయస్సు తేడాలో మారుతుంది.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• 5 మంది విద్యార్థుల సగటు వయస్సు 12. ఉపాధ్యాయుడిని కలిపితే సగటు 14 అయింది. ఉపాధ్యాయుడి వయస్సు = 6 × 14 − 5 × 12 = 84 − 60 = 24.
• 4 గురి కుటుంబ సగటు వయస్సు 25. 5 ఏళ్ల తర్వాత సగటు = 30. (ఎవరూ మారకపోతే)
• 6 మంది సగటు వయస్సు 30
• ఒకరు వెళ్లిపోయాక సగటు 28 అయింది. వెళ్లినవారి వయస్సు = 180 − 5 × 28 = 180 − 140 = 40.
• 3 సంవత్సరాల క్రితం 5 మంది కుటుంబ సగటు 20
• ఇప్పుడు సగటు = 23.

తండ్రి–కొడుకు, అక్కాచెల్లెళ్లు, తల్లీ–కూతురు వయస్సులపై ప్రశ్నలు సమీకరణాలతో సులభంగా వస్తాయి. ఇక్కడ 'ఎన్నేళ్ల క్రితం' లేదా 'ఎన్నేళ్ల తర్వాత' అనే పదాలను జాగ్రత్తగా సమీకరణంలోకి మార్చాలి.

• రెండు సందర్భాలు:
  1. ఒకటి ప్రస్తుతం, మరొకటి గతం/భవిష్యత్తు
  2. రెండింటికీ సమీకరణాలు రాసి x, y లను కనుక్కోవాలి.
• తల్లి–పిల్లల వయస్సు: పిల్లల పుట్టినప్పుడు తల్లి వయస్సు = ఇప్పటి తేడా.
• 'రెండింతలు అయిన సంవత్సరం': x ఏళ్ల తర్వాత పెద్దవారి వయస్సు = k × చిన్నవారి వయస్సు అనే సమీకరణం రాయాలి.
• వయస్సుల మొత్తం: n ఏళ్ల తర్వాత ఇద్దరి మొత్తం ప్రస్తుత మొత్తం + 2n.
• వారసుడి వయస్సు:
  1. పుట్టక ముందు వయస్సు ఋణాత్మకం కాదు
  2. జవాబు ధనాత్మకంగా ఉండాలి.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• తండ్రి వయస్సు కొడుకు వయస్సుకు 6 రెట్లు. 4 ఏళ్ల తర్వాత 4 రెట్లు అయితే? కొడుకు x అయితే 6x + 4 = 4(x + 4) → 2x = 12 → x = 6
• తండ్రి 36.
• ఇద్దరు అన్నదమ్ముల వయస్సుల మొత్తం 40
• 5 ఏళ్ల క్రితం పెద్దవాడి వయస్సు చిన్నవాడికి రెట్టింపు. పెద్దవాడు a, చిన్నవాడు b అయితే a + b = 40 మరియు a − 5 = 2(b − 5) → a = 2b − 5. ప్రతిక్షేపిస్తే 3b − 5 = 40 → b = 15, a = 25 (5 ఏళ్ల క్రితం 20 మరియు 10 – సరిపోయింది).
• ఇప్పుడు తల్లి వయస్సు 36, కూతురు 12. ఎన్నేళ్ల క్రితం తల్లి కూతురి కంటే 5 రెట్లు? 36 − x = 5(12 − x) → 4x = 24 → x = 6.

ఒకసారి ముగ్గురి వయస్సులు, లేదా రెండేసి మంది వయస్సుల సగటులు ఇచ్చి ప్రతి ఒక్కరి వయస్సు అడుగుతారు. ఇక్కడ అన్ని జంటల మొత్తాన్ని కూడితే ప్రతి వ్యక్తి రెండుసార్లు వస్తాడనే ఆలోచన చాలా ఉపయోగపడుతుంది.

• ముగ్గురి నిష్పత్తి a : b : c మరియు మొత్తం S అయితే వయస్సులు = Sa/(a + b + c), Sb/(a + b + c), Sc/(a + b + c).
• జంటల మొత్తం: A + B, B + C, A + C ఇస్తే అన్నింటినీ కూడి 2 తో భాగిస్తే A + B + C వస్తుంది.
• తర్వాత మొత్తం నుంచి ఒక్కో జంటను తీసివేస్తే మూడో వ్యక్తి వయస్సు వస్తుంది.
• సగటుల రూపంలో ఇస్తే: ముందు సగటును 2 తో గుణించి జంట మొత్తంగా మార్చండి.
• n ఏళ్ల తర్వాత మొత్తం: ముగ్గురి మొత్తం ప్రస్తుత మొత్తం + 3n.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ముగ్గురి వయస్సుల నిష్పత్తి 4 : 5 : 6, మొత్తం 75 అయితే వయస్సులు = 75/15 = 5 చొప్పున: 20, 25, 30.
• 5 ఏళ్ల తర్వాత మొత్తం = 75 + 15 = 90.
• A, B సగటు 25
• B, C సగటు 30
• A, C సగటు 35. జంటల మొత్తాలు 50, 60, 70 → A + B + C = 180/2 = 90.
• A = 90 − 60 = 30
• B = 90 − 70 = 20
• C = 90 − 50 = 40. (A + B = 50, B + C = 60, A + C = 70 సరిపోయింది.)
• ముగ్గురు సోదరుల వయస్సులు వరుస సంఖ్యలు
• మొత్తం 60 అయితే మధ్యవాడు = 60/3 = 20
• వయస్సులు 19, 20, 21.

సమీకరణాలు రాయకుండా నేరుగా సమాధానం ఇచ్చే కొన్ని సూత్రాలు ఉన్నాయి. పరీక్షలో సమయం తక్కువగా ఉన్నప్పుడు ఇవి చాలా ఉపయోగపడతాయి.

• వయస్సుల తేడా d మరియు నిష్పత్తి a : b (a > b): వయస్సులు = a × d/(a − b), b × d/(a − b).
• ఉదా: తేడా 25, నిష్పత్తి 7 : 2 → 7 × 25/5 = 35 మరియు 2 × 25/5 = 10.
• ప్రస్తుత నిష్పత్తి a :
  1. b, n ఏళ్ల తర్వాత c : d అయితే: x = n(c − d)/(ad − bc)
  2. వయస్సులు ax, bx.
• ఉదా:
  1. 3 : 5 ఇప్పుడు, 6 ఏళ్ల తర్వాత 2 : 3 → x = 6(2 − 3)/(3 × 3 − 5 × 2) = (−6)/(−1) = 6
  2. వయస్సులు 18, 30.
• ఒకరి వయస్సు మరొకరికి రెట్టింపు, ఇద్దరి తేడా d: చిన్నవారి వయస్సు = d, పెద్దవారు = 2d.
• పుట్టిన సంవత్సరం: వయస్సు = ఇప్పటి సంవత్సరం − పుట్టిన సంవత్సరం. ఉదా: 1990 లో పుట్టినవారి వయస్సు 2020 లో 30.
• ఇద్దరి మొత్తం:
  1. ప్రస్తుత మొత్తం S అయితే n ఏళ్ల తర్వాత S + 2n
  2. n ఏళ్ల క్రితం S − 2n.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• తండ్రి కొడుకుకంటే 24 ఏళ్లు పెద్ద
• వయస్సుల నిష్పత్తి 3 : 1 అయితే కొడుకు = 1 × 24/2 = 12, తండ్రి = 36.
• ఇద్దరి వయస్సుల మొత్తం 50, తేడా 10 అయితే పెద్దవారు = (50 + 10)/2 = 30
• చిన్నవారు = (50 − 10)/2 = 20.
• ఒకరి వయస్సు మరొకరికి రెట్టింపు, తేడా 14 అయితే వయస్సులు 14 మరియు 28.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా మొత్తం, తేడా ఇస్తే పెద్దవారు = (మొత్తం + తేడా)/2; చిన్నవారు = (మొత్తం − తేడా)/2. ఇది ఎల్లప్పుడూ వర్తిస్తుంది.