చలనం (Motion)

చుట్టూ చూస్తే కొన్ని వస్తువులు నిశ్చలంగా ఉంటాయి, మరికొన్ని కదులుతూ ఉంటాయి. పక్షులు ఎగరడం, చేపలు ఈదడం, ధమనులు–సిరల్లో రక్తం ప్రవహించడం, వాహనాలు నడవడం చలనమే. అణువులు, పరమాణువులు, గ్రహాలు, నక్షత్రాలు, గెలాక్సీలు అన్నీ చలనంలో ఉంటాయి.

వస్తువు స్థానం కాలంతో పాటు మారుతుంటే అది చలనంలో ఉందని సాధారణంగా గుర్తిస్తాం.

• చలనం (Motion): కాలంతో పాటు వస్తువు స్థానం మారడం.
• పరోక్ష ఆధారాలు: చలనం ఎప్పుడూ నేరుగా కనిపించదు. దుమ్ము కదలడం, చెట్ల ఆకులు, కొమ్మలు ఊగడం చూసి గాలి కదులుతోందని ఊహిస్తాం.
• భూమి చలనం: సూర్యోదయం, సూర్యాస్తమయం, రుతువులు మారడం భూమి చలనం వల్లే జరుగుతాయి. అయినా భూమి కదలడాన్ని మనం నేరుగా గ్రహించలేం.
• సాపేక్షత (Relative nature of motion): ఒక వస్తువు ఒకరికి కదులుతున్నట్లు, మరొకరికి నిశ్చలంగా కనిపించవచ్చు.
• కదులుతున్న బస్సులోని ప్రయాణికులకు రోడ్డు పక్కన చెట్లు వెనక్కి పోతున్నట్లు కనిపిస్తాయి.
• రోడ్డు పక్కన నిలబడిన వ్యక్తికి బస్సు, అందులోని ప్రయాణికులు కదులుతున్నట్లు కనిపిస్తారు.
• బస్సులోని ప్రయాణికుడికి తోటి ప్రయాణికులు నిశ్చలంగా కనిపిస్తారు.
• ఆగి ఉన్న రైలే కదులుతున్నట్లు అనిపించే అనుభవం కూడా ఇలాంటిదే.
• చలనం ప్రమాదకరం, ఉపయోగకరం కూడా: వరద నదులు, తుపానులు, సునామీ వంటి అదుపు లేని చలనం ప్రమాదకరం. నియంత్రిత చలనం మనకు సేవ చేస్తుంది (ఉదా: జలవిద్యుత్ ఉత్పత్తి).
• చలన రకాలు: సరళరేఖా చలనం (straight line), వృత్తాకార చలనం (circular), భ్రమణం (rotation), కంపనం (vibration), వీటి కలయికలు. ఈ అధ్యాయంలో మొదట సరళరేఖా చలనాన్ని సమీకరణాలు, గ్రాఫ్ల ద్వారా వివరించి, తర్వాత వృత్తాకార చలనాన్ని చర్చిస్తారు.
• నిర్దేశ బిందువు / మూలబిందువు (Reference point, Origin): వస్తువు స్థానాన్ని చెప్పడానికి ఒక నిర్దేశ బిందువును తీసుకోవాలి.
• ఉదాహరణ: ఒక గ్రామంలోని పాఠశాల రైల్వే స్టేషన్‌కు 2 km ఉత్తరంగా ఉందంటే, ఇక్కడ రైల్వే స్టేషన్ నిర్దేశ బిందువు.
• సౌలభ్యాన్ని బట్టి వేరే నిర్దేశ బిందువును కూడా ఎంచుకోవచ్చు.

సరళరేఖా చలనం చలనాల్లో అతి సరళమైనది. ఒక వస్తువు O బిందువు (నిర్దేశ బిందువు) నుండి బయలుదేరి సరళ మార్గంలో కదులుతుందని అనుకోండి. A, B, C అనేవి వేర్వేరు క్షణాల్లో వస్తువు స్థానాలు.

వస్తువు C, B మీదుగా Aకి చేరి, అదే మార్గంలో వెనక్కి తిరిగి B మీదుగా C చేరుతుంది.

• దూరం (Distance): వస్తువు ప్రయాణించిన మొత్తం మార్గం పొడవు.
• దీన్ని చెప్పడానికి సంఖ్యా విలువ (పరిమాణం, magnitude) మాత్రమే సరిపోతుంది
• దిశ అవసరం లేదు.
• కేవలం సంఖ్యా విలువతో వివరించే రాశులను అదిశ రాశులు అంటారు (దూరం, వడి).
• స్థానభ్రంశం (Displacement): వస్తువు తొలి స్థానం నుండి తుది స్థానానికి కొలిచిన కనిష్ఠ (అతి చిన్న) దూరం.
• స్థానభ్రంశం దిశను కూడా కలిగి ఉంటుంది.
• ఉదాహరణ (చిత్రం ఆధారంగా): OA = 60 km, AC = 35 km అనుకుంటే O నుండి A మీదుగా Cకి వెళ్లినప్పుడు:
• దూరం = OA + AC = 60 km + 35 km = 95 km.
• స్థానభ్రంశం పరిమాణం = OC = 35 km (O నుండి C కి కనిష్ఠ దూరం).
• O నుండి A కి వెళ్లి Bకి వెనక్కి వస్తే: దూరం = 60 km + 25 km = 85 km. స్థానభ్రంశం పరిమాణం = 35 km. అంటే స్థానభ్రంశం పరిమాణం దూరానికి సమానం కావాల్సిన అవసరం లేదు.
• O నుండి A కి మాత్రమే కదిలితే: దూరం 60 km, స్థానభ్రంశం పరిమాణం కూడా 60 km – సరళ మార్గంలో ఒకే దిశలో కదిలినప్పుడు రెండూ సమానం.
• స్థానభ్రంశం శూన్యం కావచ్చు: వస్తువు మళ్లీ Oకే చేరితే తుది స్థానం, తొలి స్థానం ఒకటే కాబట్టి స్థానభ్రంశం సున్నా. కానీ దూరం OA + AO = 60 km + 60 km = 120 km.
• రెండు రాశుల ఉపయోగం:
  1. దూరం చలనం మొత్తాన్ని వివరిస్తుంది
  2. స్థానభ్రంశం తొలి స్థానానికి సాపేక్షంగా తుది స్థానాన్ని తెలుపుతుంది.

దూరం, స్థానభ్రంశం మధ్య తేడాను కొన్ని ఉదాహరణల ద్వారా అర్థం చేసుకోవచ్చు. బాస్కెట్‌బాల్ కోర్టు ఒక మూల నుండి ఎదురు మూలకు భుజాల వెంబడి నడిస్తే నడిచిన దూరం (రెండు భుజాల మొత్తం పొడవు) కంటే స్థానభ్రంశం (కర్ణం వెంట తొలి–తుది బిందువుల మధ్య సరళ రేఖ దూరం) చిన్నదిగా ఉంటుంది.

• ఓడోమీటర్ (Odometer): వాహనం ప్రయాణించిన దూరాన్ని చూపే సాధనం. ఇది దూరాన్ని కొలుస్తుంది, స్థానభ్రంశాన్ని కాదు.
• ఉదాహరణ:
  1. ఒక కారు భువనేశ్వర్ నుండి న్యూఢిల్లీకి వెళ్లినప్పుడు ఓడోమీటర్ తేడా 1850 km. ఇది ప్రయాణించిన దూరం. స్థానభ్రంశం మాత్రం రెండు నగరాల మధ్య సరళరేఖా దూరం (భారత రోడ్ మ్యాప్ ఆధారంగా కనుగొనాలి)
  2. అది 1850 km కంటే తక్కువ ఉంటుంది.
• చతురస్రాకార పొలం ఉదాహరణ: భుజం 10 m ఉన్న చతురస్రాకార పొలం అంచు వెంబడి ఒక రైతు 40 s లో ఒక చుట్టు తిరుగుతాడు.
• ఒక చుట్టులో దూరం = 4 × 10 = 40 m
• సమయం 40 s.
• 2 నిమిషాల 20 సెకన్లు = 140 s = 3½ చుట్లు.
• 3 చుట్ల తర్వాత మొదటి బిందువుకే వస్తాడు
• మిగతా అర చుట్టు తర్వాత ఎదురు మూలలో ఉంటాడు.
• అందువల్ల స్థానభ్రంశం = చతురస్రం కర్ణం పొడవు = 10√2 ≈ 14.1 m.
• మొత్తం దూరం 140 m.
• సున్నా స్థానభ్రంశం సాధ్యమా?: దూరం ప్రయాణించిన వస్తువు స్థానభ్రంశం సున్నా కావచ్చు – మొదలైన చోటుకే తిరిగి రావడమే ఉదాహరణ.
• నిజమైన/తప్పు ప్రకటనలు (పాఠ్యాంశ ప్రశ్న):
  1. స్థానభ్రంశం ఎప్పుడూ సున్నా కాదు (తప్పు)
  2. దాని పరిమాణం ప్రయాణించిన దూరం కంటే ఎక్కువ (తప్పు). దూరం కంటే స్థానభ్రంశం పరిమాణం ఎప్పుడూ తక్కువ లేదా సమానం.
• వృత్తాకార ట్రాక్ ఉదాహరణ:
  1. వ్యాసం 200 m గల వృత్తాకార ట్రాక్‌ను ఒక క్రీడాకారుడు 40 s లో ఒక చుట్టు పూర్తి చేస్తాడు. 2 నిమిషాల 20 సెకన్ల (140 s) చివర (3½ చుట్లు) దూరం = 3.5 × πd = 3.5 × 3.14 × 200 ≈ 2198 m
  2. స్థానభ్రంశం = వ్యాసం = 200 m (సగం చుట్టు తర్వాత ఎదురు బిందువులో ఉంటాడు).

ఒక వస్తువు సరళరేఖపై కదులుతూ మొదటి సెకనులో 5 m, తర్వాతి సెకనులో మరో 5 m, మూడవ, నాల్గవ సెకన్లలో కూడా 5 m చొప్పున ప్రయాణిస్తే ప్రతి సెకనుకు ఒకే దూరం పోతోంది. ఇలా సమాన కాలవ్యవధుల్లో సమాన దూరాలు ప్రయాణించడాన్ని ఏకరీతి చలనం అంటారు.

• ఏకరీతి చలనం (Uniform motion): సమాన కాలవ్యవధుల్లో సమాన దూరాలు ప్రయాణించే చలనం. ఇందులో కాలవ్యవధి చాలా చిన్నదిగా తీసుకోవాలి.
• అఏకరీతి చలనం (Non-uniform motion): సమాన కాలవ్యవధుల్లో అసమాన దూరాలు ప్రయాణించే చలనం.
• ఉదాహరణలు: రద్దీ వీధిలో వెళ్లే కారు, పార్కులో జాగింగ్ చేసే వ్యక్తి.
• పట్టిక 1.1 విశ్లేషణ (కృత్యం 1.5): A, B అనే రెండు వస్తువుల దూరాలు ఉదయం 9:30 నుండి 11:00 వరకు ప్రతి 15 నిమిషాలకు నమోదయ్యాయి.
• వస్తువు A: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 m – ప్రతి 15 నిమిషాలకు ఖచ్చితంగా 10 m పెరిగింది, కాబట్టి A ఏకరీతి చలనం.
• వస్తువు B: 12, 19, 23, 35, 37, 41, 44 m – పెరుగుదల సమానంగా లేదు (7, 4, 12, 2, 4, 3), కాబట్టి B అఏకరీతి చలనం.
• ఏకరీతి చలనంలో వేగం:
  1. సరళరేఖ వెంబడి ఏకరీతి చలనంలో వేగం కాలంతో మారదు
  2. ఏ కాలవ్యవధిలోనైనా వేగ మార్పు సున్నా.
• అఏకరీతి చలనంలో వేగం:
  1. వేర్వేరు క్షణాల్లో, మార్గంలోని వేర్వేరు బిందువుల వద్ద వేగం వేర్వేరు విలువలు కలిగి ఉంటుంది
  2. కాబట్టి ఏ కాలవ్యవధిలోనైనా వేగ మార్పు సున్నా కాదు.
• ఏకరీతి చలనంలో వస్తువు మార్గం: ఏకరీతి చలనంలో ఉన్న వస్తువు సరళరేఖా మార్గంలో ఉంటుందని పాఠ్యాంశ ప్రశ్న సూచిస్తుంది (దిశ మారదు).
• వేగ మార్పును ఎలా చెప్పాలి?: వేగ మార్పును వ్యక్తం చేయడానికి త్వరణం అనే రాశి అవసరం (తర్వాతి గమనికలో).

వేర్వేరు వస్తువులు ఇచ్చిన దూరాన్ని వేర్వేరు కాలాల్లో చేరుతాయి; కొన్ని వేగంగా, కొన్ని నెమ్మదిగా కదులుతాయి. కొన్ని వస్తువులు ఒకే రేటుతో కూడా కదలవచ్చు.

చలన రేటును కొలిచే ఒక మార్గం ప్రమాణ కాలంలో ప్రయాణించిన దూరాన్ని కనుగొనడం; దీన్ని వడి (Speed) అంటారు. బౌలర్ వేగం 143 km h⁻¹ అంటే బంతి ఒక గంటలో అంత దూరం ప్రయాణించే రేటుతో వెళ్తోందని అర్థం; రోడ్డు గుర్తు కూడా గరిష్ఠ వడిని సూచిస్తుంది.

• వడి (Speed): ప్రమాణ కాలంలో ప్రయాణించిన దూరం. వడి = దూరం / కాలం, అంటే v = s/t (సమీకరణం 1.1).
• ప్రమాణాలు: SI ప్రమాణం మీటరు/సెకను (m s⁻¹ లేదా m/s). ఇతర ప్రమాణాలు cm s⁻¹, km h⁻¹.
• వడి దిశను చెప్పదు: వడిని చెప్పడానికి పరిమాణం మాత్రమే కావాలి. వడి అదిశ రాశి.
• సగటు వడి (Average speed): వడి ఎప్పుడూ స్థిరంగా ఉండదు, చాలా సందర్భాల్లో చలనం అఏకరీతి. అందుకే మొత్తం దూరాన్ని మొత్తం కాలంతో భాగించి సగటు వడిని చెబుతారు.
• సగటు వడి = మొత్తం ప్రయాణించిన దూరం / మొత్తం పట్టిన కాలం.
• కారు ఉదాహరణ:
  1. కారు 2 h లో 100 km వెళ్తే సగటు వడి 50 km h⁻¹
  2. కొన్నిసార్లు అంతకంటే వేగంగా, కొన్నిసార్లు నెమ్మదిగా వెళ్లి ఉండవచ్చు.
• ఉదాహరణ 1.1: ఒక వస్తువు 16 m ను 4 s లో, మరో 16 m ను 2 s లో ప్రయాణిస్తే:
• మొత్తం దూరం = 32 m
• మొత్తం కాలం = 6 s.
• సగటు వడి = 32/6 = 5.33 m s⁻¹.
• ఉదాహరణ 1.2:
  1. కారు ఓడోమీటర్ ప్రయాణ ఆరంభంలో 2000 km, ముగింపులో 2400 km
  2. ప్రయాణ కాలం 8 h.
• దూరం = 400 km
• సగటు వడి = 400/8 = 50 km h⁻¹.
• m s⁻¹ లోకి: 50 × 1000 / 3600 = 13.9 m s⁻¹.
• ప్రమాణ మార్పిడి: km h⁻¹ ను m s⁻¹ లోకి మార్చాలంటే 1000/3600 = 5/18 తో గుణించాలి.
• కృత్యం 1.7 (పిడుగు):
  1. మెరుపు కనిపించిన కొంత సమయం తర్వాత ఉరుము ధ్వని వినిపిస్తుంది, ఎందుకంటే ధ్వని కాంతి కంటే చాలా నెమ్మదిగా ప్రయాణిస్తుంది. గాలిలో ధ్వని వడి 346 m s⁻¹
  2. మెరుపు బిందువు దూరం = 346 × (మెరుపు, ఉరుము మధ్య సమయం).
• అంతరిక్ష నౌక ఉదాహరణ:
  1. నౌక నుండి సంకేతం భూమి కేంద్రానికి 5 నిమిషాల్లో (300 s) చేరింది
  2. సంకేతం కాంతి వడి 3 × 10⁸ m s⁻¹ తో ప్రయాణిస్తే దూరం = 3 × 10⁸ × 300 = 9 × 10¹⁰ m.

వడి కేవలం చలన రేటును చెబుతుంది. రేటుతో పాటు చలన దిశను కూడా చెబితే వివరణ మరింత సమగ్రంగా ఉంటుంది. ఈ రెండింటినీ తెలిపే రాశి వేగం (Velocity).

• వేగం (Velocity): నిర్దిష్ట దిశలో కదులుతున్న వస్తువు వడి. అంటే వేగం = స్థానభ్రంశం / కాలం.
• ఏకరీతి లేదా మారే వేగం: వస్తువు వడి మార్చడం ద్వారా, చలన దిశ మార్చడం ద్వారా, లేదా రెండింటినీ మార్చడం ద్వారా వేగం మారుతుంది.
• సగటు వేగం (Average velocity): సరళరేఖపై మారే వడితో కదిలే వస్తువుకు సగటు వడి లెక్కించినట్లే లెక్కిస్తారు (స్థానభ్రంశం / కాలం).
• ఏకరీతి త్వరణంలో సగటు వేగం: వేగం ఒకే రేటుతో మారుతుంటే సగటు వేగం = (ప్రారంభ వేగం + తుది వేగం) / 2. అంటే
• v_av = (u + v) / 2 (సమీకరణం 1.2)
• ఇక్కడ v_av = సగటు వేగం, u = ప్రారంభ వేగం, v = తుది వేగం.
• ప్రమాణాలు: వడి, వేగం రెండింటికీ ఒకే ప్రమాణాలు – m s⁻¹ లేదా m/s.
• ఉదాహరణ 1.3 (ఈతకొలను): 90 m పొడవైన కొలనులో ఒక ఈతగాడు ఒక చివర నుండి మరో చివరకు వెళ్లి, అదే సరళ మార్గంలో వెనక్కి వచ్చి ఒక నిమిషంలో 180 m ఈదాడు.
• మొత్తం దూరం = 180 m
• స్థానభ్రంశం = 0 m
• కాలం = 60 s.
• సగటు వడి = 180/60 = 3 m s⁻¹.
• సగటు వేగం = 0/60 = 0 m s⁻¹.
• పాఠం: వడి సున్నా కాకపోయినా సగటు వేగం సున్నా కావచ్చు. ఎందుకంటే సగటు వేగంలో స్థానభ్రంశం వాడతారు.
• సగటు వేగం పరిమాణం = సగటు వడి ఎప్పుడు?: వస్తువు ఒకే సరళరేఖపై, దిశ మార్చకుండా కదిలినప్పుడు (అప్పుడు స్థానభ్రంశం = దూరం).

అఏకరీతి చలనంలో వేగం మారుతూ ఉంటుంది. ఆ వేగ మార్పు రేటును కొలవడానికి త్వరణం (Acceleration) అనే రాశిని ఉపయోగిస్తారు.

• త్వరణం: ప్రమాణ కాలంలో వేగంలో కలిగిన మార్పు. త్వరణం = వేగ మార్పు / కాలం.
• వేగం ప్రారంభ విలువ u నుండి తుది విలువ vకి t కాలంలో మారితే: a = (v − u) / t (సమీకరణం 1.3).
• త్వరిత చలనం (Accelerated motion): త్వరణం గల చలనం.
• త్వరణం గుర్తు:
  1. త్వరణం వేగం దిశలోనే ఉంటే ధనాత్మకం (+)
  2. వేగానికి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటే రుణాత్మకం (−). రుణాత్మక త్వరణాన్ని అవత్వరణం/మందనం అని కూడా అంటారు.
• SI ప్రమాణం: m s⁻².
• ఏకరీతి త్వరణం: సరళరేఖపై వస్తువు వేగం సమాన కాలవ్యవధుల్లో సమాన మొత్తాల్లో పెరిగినా, తగ్గినా త్వరణం ఏకరీతి. స్వేచ్ఛగా పడే వస్తువు చలనం ఏకరీతి త్వరిత చలనానికి ఉదాహరణ.
• అఏకరీతి త్వరణం: వేగం అసమాన రేటుతో మారితే త్వరణం అఏకరీతి. ఉదా: సరళ రోడ్డుపై కారు సమాన కాలాల్లో అసమాన మొత్తాల్లో వడి పెంచడం.
• కృత్యం 1.8: త్వరణం చలన దిశలో ఉండే, చలన దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉండే, ఏకరీతి అయిన, అఏకరీతి అయిన చలనాలకు నిత్య జీవితంలో ఉదాహరణలు గుర్తించవచ్చు (ఉదా: బ్రేకు వేయడం వ్యతిరేక త్వరణం).
• ఉదాహరణ (సైకిల్): నిశ్చల స్థితి నుండి సైకిల్ 30 s లో 6 m s⁻¹ వేగం పొందింది. a = (6 − 0)/30 = 0.2 m s⁻². తర్వాత బ్రేకు వేయగా 5 s లో వేగం 6 నుండి 4 m s⁻¹ కి తగ్గింది: a = (4 − 6)/5 = −0.4 m s⁻².
• పాఠ్యాంశ ప్రశ్నల ఫలితాలు:
  1. బస్సు వడి 5 s లో 80 km h⁻¹ నుండి 60 km h⁻¹ కు తగ్గితే వేగ మార్పు −20 km h⁻¹ = −5.56 m s⁻¹; త్వరణం = −5.56/5 ≈ −1.11 m s⁻².
  2. రైలు నిశ్చలం నుండి 10 నిమిషాల్లో 40 km h⁻¹ చేరితే: 40 km h⁻¹ = 11.11 m s⁻¹, t = 600 s; a ≈ 0.0185 m s⁻² (≈ 1.85 × 10⁻² m s⁻²).
• వేగం మారే కారణాలు: పరిమాణం మారడం, దిశ మారడం, లేదా రెండూ. ఏదైనా మారితే వస్తువు త్వరణంలో ఉన్నట్లే.

గ్రాఫ్‌లు సమాచారాన్ని సులభంగా చూపే మార్గం. ఉదాహరణకు, ఒక రోజు క్రికెట్ మ్యాచ్ ప్రసారంలో ఒక జట్టు ప్రతి ఓవర్‌లో చేసిన రన్‌రేటును నిలువు బార్ గ్రాఫ్‌లు చూపుతాయి. రెండు చరరాశులు ఉన్న సరళ సమీకరణాన్ని సాధించడానికి సరళరేఖా గ్రాఫ్ ఉపయోగపడుతుంది.

చలనాన్ని వివరించడానికి రేఖా గ్రాఫ్‌లను వాడతారు; ఇందులో దూరం లేదా వేగం వంటి భౌతిక రాశి కాలం వంటి మరో రాశిపై ఆధారపడటం చూపిస్తారు.

• దూరం–కాల గ్రాఫ్: x-అక్షంపై కాలం, y-అక్షంపై దూరం తీసుకుంటారు (సౌకర్యవంతమైన స్కేల్ ఎంచుకుంటారు).
• వినియోగం: ఏకరీతి వడి, అఏకరీతి వడి, నిశ్చల స్థితి వంటి పరిస్థితులన్నింటినీ చూపవచ్చు.
• ఏకరీతి వడి:
  1. ప్రయాణించిన దూరం కాలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది
  2. కాబట్టి గ్రాఫ్ సరళరేఖ (పటం 1.3 లో OB భాగం).
• స్థానభ్రంశం = దూరం అనుకుంటే ఏకరీతి వేగం అనే పదాన్ని కూడా వాడవచ్చు.
• వడిని కనుగొనే పద్ధతి: గ్రాఫ్ లోని చిన్న భాగం AB ని తీసుకుని, A నుండి x-అక్షానికి సమాంతర రేఖ, B నుండి y-అక్షానికి సమాంతర రేఖ గీస్తే అవి C వద్ద కలిసి త్రిభుజం ABC ఏర్పడుతుంది.
• AC = కాలవ్యవధి (t₂ − t₁)
• BC = దూరం (s₂ − s₁).
• వడి v = (s₂ − s₁) / (t₂ − t₁) (సమీకరణం 1.4). అంటే గ్రాఫ్ వాలు (slope) వడిని ఇస్తుంది.
• త్వరిత చలనం: పట్టిక 1.2 లో కారు దూరాలు: t = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 s వద్ద దూరం = 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 m (దూరం ∝ t²).
• ఈ గ్రాఫ్ సరళరేఖ కాదు, వక్రం
• అందువల్ల అఏకరీతి వడిని సూచిస్తుంది (పటం 1.4).
• కాల అక్షానికి సమాంతర రేఖ (దూరం మారదు): వస్తువు నిశ్చలం (పాఠ్యాంశ ప్రశ్న ఫలితం).
• రైలు ఉదాహరణ (పట్టిక 1.4):
  1. A స్టేషన్ (0 km) – 08:00 రాక, 08:15 బయలుదేరుట
  2. B (120 km) – 11:15 రాక, 11:30 నిష్క్రమణ
  3. C (180 km) – 13:00 రాక, 13:15. స్టేషన్ల మధ్య ఏకరీతి చలనం అనుకుంటే గ్రాఫ్ సరళరేఖా ఖండాలు
  4. స్టేషన్ల వద్ద ఆగినప్పుడు సమాంతర భాగాలు (A–B 120 km ను 3 h లో – వడి 40 km h⁻¹
  5. B–C 60 km ను 1.5 h లో – వడి 40 km h⁻¹).
• కృత్యం 1.10:
  1. ఇద్దరు సైక్లిస్టుల దూరాలు (కి.మీ.) 8:00 → 0 మరియు 0
  2. 8:05 → 1.0, 0.8
  3. 8:10 → 1.9, 1.6
  4. 8:15 → 2.8, 2.3
  5. 8:20 → 3.6, 3.0
  6. 8:25 → –, 3.6. ఒకే స్కేల్‌పై గ్రాఫ్ గీస్తే 3.6 km చేరడానికి మొదటి వ్యక్తికి 20 నిమిషాలు, రెండవ వ్యక్తికి 25 నిమిషాలు పట్టాయి
  7. ఏటవాలు ఎక్కువగా ఉన్న రేఖ ఎక్కువ వడిని సూచిస్తుంది.

వేగం–కాల గ్రాఫ్‌లో x-అక్షంపై కాలం, y-అక్షంపై వేగం తీసుకుంటారు. ఇది వస్తువు వేగం కాలంతో ఎలా మారుతుందో తెలుపుతుంది.

• ఏకరీతి వేగం:
  1. వేగం–కాల గ్రాఫ్ ఎత్తు కాలంతో మారదు
  2. గ్రాఫ్ x-అక్షానికి సమాంతర సరళరేఖ. ఉదాహరణ: 40 km h⁻¹ తో నడిచే కారు గ్రాఫ్ (పటం 1.5).
• వైశాల్యం = స్థానభ్రంశం: వేగం × కాలం = స్థానభ్రంశం. కాబట్టి వేగం–కాల గ్రాఫ్, కాల అక్షం మధ్య ఉన్న వైశాల్యం స్థానభ్రంశం పరిమాణానికి సమానం.
• t₁ నుండి t₂ మధ్య కారు ప్రయాణించిన దూరం s = AC × CD = 40 km h⁻¹ × (t₂ − t₁) h = 40 (t₂ − t₁) km = దీర్ఘచతురస్ర ABDC వైశాల్యం.
• ఏకరీతి త్వరిత చలనం (పట్టిక 1.3): ఇంజిన్ పరీక్షకు సరళ రోడ్డుపై నడిపే కారు వేగాన్ని ప్రతి 5 s కు స్పీడోమీటర్ ద్వారా నమోదు చేశారు.
• కాలం (s): 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30.
• వేగం m s⁻¹ లో: 0, 2.5, 5.0, 7.5, 10.0, 12.5, 15.0.
• వేగం km h⁻¹ లో: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54.
• సమాన కాలాల్లో వేగం సమాన మొత్తాల్లో పెరిగింది
• కాబట్టి గ్రాఫ్ సరళరేఖ (పటం 1.6). అంటే అన్ని ఏకరీతి త్వరిత చలనాలకు వేగం–కాల గ్రాఫ్ సరళరేఖ.
• త్వరిత చలనంలో దూరం: కారు ఏకరీతి వేగంతో వెళ్లి ఉంటే దూరాన్ని దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం ఇస్తుంది. వేగం మారుతున్నందున దూరం s = ABCDE వైశాల్యం = దీర్ఘచతురస్ర ABCD వైశాల్యం + త్రిభుజం ADE వైశాల్యం = AB × BC + ½ (AD × DE).
• అఏకరీతి త్వరణం: ఈ చలనంలో వేగం–కాల గ్రాఫ్ ఏ ఆకారంలోనైనా ఉండవచ్చు. పటం 1.7(a) వేగం క్రమంగా తగ్గే చలనాన్ని, 1.7(b) వేగం అసమానంగా మారే చలనాన్ని చూపుతాయి.
• ప్రశ్న ఫలితాలు (పాఠ్యాంశ):
  1. వేగం–కాల గ్రాఫ్ కింద వైశాల్యం కొలిచేది దూరం/స్థానభ్రంశం
  2. వడి–కాల గ్రాఫ్ కాల అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటే వడి స్థిరం (ఏకరీతి చలనం).
• వివరణ: వాలు అంటే (వేగ మార్పు / కాలం) కాబట్టి వేగం–కాల గ్రాఫ్ వాలు త్వరణాన్ని సూచిస్తుంది (పరీక్షల్లో తరచూ అడిగే ప్రామాణిక వాస్తవం).

సరళరేఖపై ఏకరీతి త్వరణంతో కదిలే వస్తువు యొక్క వేగం, త్వరణం, ప్రయాణించిన దూరం, కాలం మధ్య సంబంధాన్ని చలన సమీకరణాలు (Equations of motion) అనే మూడు సమీకరణాలు తెలుపుతాయి.

• మూడు సమీకరణాలు:
  1. v = u + at (1.5)
  2. s = ut + ½ at² (1.6)
  3. 2as = v² − u² (1.7)
• సంకేతాలు:
  1. u = ప్రారంభ వేగం
  2. a = ఏకరీతి త్వరణం
  3. t = కాలం
  4. v = తుది వేగం
  5. s = t కాలంలో ప్రయాణించిన దూరం.
• సమీకరణాల భావం:
  1. (1.5) వేగం–కాల సంబంధం.
  2. (1.6) స్థానం–కాల సంబంధం.
  3. (1.7) స్థానం–వేగ సంబంధం; (1.5), (1.6) నుండి t ను తొలగించడం ద్వారా పొందవచ్చు.
• గ్రాఫ్ పద్ధతి: ఈ మూడు సమీకరణాలను గ్రాఫ్ పద్ధతి ద్వారా రాబట్టవచ్చు.
• వేగం–కాల గ్రాఫ్ వాలు a = (v − u)/t నుండి v = u + at వస్తుంది.
• గ్రాఫ్ కింద వైశాల్యం (దీర్ఘచతురస్రం ut + త్రిభుజం ½ (at)(t)) నుండి s = ut + ½at² వస్తుంది.
• 1.5 లోని t = (v − u)/a ను 1.6 లో ప్రతిక్షేపిస్తే 2as = v² − u² వస్తుంది.
• ప్రత్యేక సందర్భాలు:
  1. నిశ్చలం నుండి మొదలైతే u = 0.
  2. వస్తువు ఆగిపోతే v = 0.
  3. బ్రేకు వేసినప్పుడు త్వరణం రుణాత్మకం.
• సంకేత నియమం: వేగ దిశను ధనాత్మకంగా తీసుకుంటే వ్యతిరేక దిశలోని త్వరణం (బ్రేకు, పైకి విసిరిన రాయి) రుణాత్మకంగా తీసుకోవాలి.
• ఉపయోగం: సమీకరణాలు వర్తించడానికి త్వరణం ఏకరీతిగా ఉండాలి.

చలన సమీకరణాలను ఉపయోగించి సాధించే పాఠ్యాంశ లెక్కల ఫలితాలు పరీక్షల్లో అడిగే విధంగా ఇక్కడ ఇచ్చారు. ప్రతి లెక్కలో ముందుగా ప్రమాణాలను SI లోకి (m, s) మార్చాలి.

• ఉదాహరణ 1.5 (రైలు): నిశ్చలం నుండి 5 నిమిషాల్లో 72 km h⁻¹ వేగం పొందిన రైలు.
• u = 0
• v = 72 km h⁻¹ = 20 m s⁻¹
• t = 5 min = 300 s.
• a = (20 − 0)/300 = 1/15 m s⁻² ≈ 0.067 m s⁻².
• 2as = v² − 0 కాబట్టి s = v²/2a = 400 / (2 × 1/15) = 3000 m = 3 km.
• ఉదాహరణ 1.6 (కారు): 18 km h⁻¹ నుండి 36 km h⁻¹ కు 5 s లో ఏకరీతిగా వేగం పెంచిన కారు.
• u = 18 km h⁻¹ = 5 m s⁻¹
• v = 36 km h⁻¹ = 10 m s⁻¹
• t = 5 s.
• a = (10 − 5)/5 = 1 m s⁻².
• s = ut + ½at² = 5×5 + ½×1×25 = 25 + 12.5 = 37.5 m.
• ఉదాహరణ 1.7 (బ్రేకు):
  1. బ్రేకులు కారులో చలన దిశకు వ్యతిరేకంగా 6 m s⁻² త్వరణం కలిగిస్తాయి
  2. కారు ఆగడానికి 2 s పడుతుంది.
• a = −6 m s⁻²
• t = 2 s
• v = 0.
• v = u + at నుండి 0 = u − 12, కాబట్టి u = 12 m s⁻¹.
• s = ut + ½at² = 12×2 + ½×(−6)×4 = 24 − 12 = 12 m.
• ఈ లెక్క వల్ల వాహనాల మధ్య కొంత దూరం పాటించాలని డ్రైవర్లకు చెబుతారు.
• అభ్యాస లెక్కల ఫలితాలు:
  1. నిశ్చలం నుండి 0.1 m s⁻² త్వరణంతో 2 నిమిషాలు కదిలిన బస్సు: v = 0.1 × 120 = 12 m s⁻¹; s = ½ × 0.1 × 120² = 720 m.
  2. 90 km h⁻¹ (= 25 m s⁻¹) వేగంతో వెళ్లే రైలు −0.5 m s⁻² త్వరణంతో ఆగడానికి: s = 25² / (2 × 0.5) = 625 m.
  3. వాలుపై జారే ట్రాలీ త్వరణం 2 cm s⁻²; 3 s తర్వాత వేగం = 0 + 2 × 3 = 6 cm s⁻¹.
  4. రేసింగ్ కారు త్వరణం 4 m s⁻², 10 s లో దూరం = ½ × 4 × 100 = 200 m.
  5. 5 m s⁻¹ తో పైకి విసిరిన రాయి (త్వరణం 10 m s⁻² కిందివైపు): గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద v = 0, h = u²/2g = 25/20 = 1.25 m; కాలం t = u/g = 0.5 s.
  6. 20 m ఎత్తు నుండి వదిలిన బంతి (త్వరణం 10 m s⁻²): v² = 2 × 10 × 20 = 400 → v = 20 m s⁻¹; t = 20/10 = 2 s.
• సరళ సూత్రం:
  1. ఆగే దూరం s = u²/(2a) (a పరిమాణంలో)
  2. వేగం రెట్టింపైతే ఆగే దూరం నాలుగు రెట్లు.

వేగం మారితే వస్తువు త్వరణంలో ఉన్నట్లే; ఈ మార్పు పరిమాణం వల్ల, దిశ వల్ల, లేదా రెండింటి వల్ల కావచ్చు. వేగ పరిమాణం మారకుండా దిశ మాత్రమే మారే చలనమే వృత్తాకార చలనం.

• మూసిన ట్రాక్ ఉదాహరణ (పటం 1.8): క్రీడాకారుడు దీర్ఘచతురస్రాకార ట్రాక్ ABCD పై నేరుగా భాగాల్లో ఏకరీతి వడితో పరిగెడతాడు. మూలల్లో వడి మార్చుకుంటాడు.
• దీర్ఘచతురస్రాకార ట్రాక్‌లో ఒక చుట్టుకు దిశ 4 సార్లు మారుతుంది.
• షట్భుజి ABCDEF ట్రాక్‌లో 6 సార్లు
• అష్టభుజి ABCDEFGH ట్రాక్‌లో 8 సార్లు.
• భుజాల సంఖ్య పెరిగే కొద్దీ మలుపులు ఎక్కువవుతాయి.
• భుజాల సంఖ్యను అనంతంగా పెంచితే ట్రాక్ ఆకారం వృత్తాన్ని సమీపిస్తుంది
• ప్రతి భుజం పొడవు బిందువుగా తగ్గుతుంది.
• వృత్తాకార ట్రాక్‌లో:
  1. వడి స్థిరంగా ఉన్నా వేగ దిశ ప్రతి బిందువు వద్ద మారుతుంది. కాబట్టి వేగంలో మార్పు దిశ వల్లే
  2. అందువల్ల వృత్తాకార చలనం ఒక త్వరిత చలనం.
• ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం (Uniform circular motion): వస్తువు ఏకరీతి వడితో వృత్తాకార మార్గంలో కదిలే చలనం.
• సూత్రం (1.8): వృత్త వ్యాసార్థం r అయితే చుట్టుకొలత 2πr. ఒక చుట్టుకు t సెకన్లు పడితే వడి v = 2πr / t.
• కృత్యం 1.11 (రాయి–దారం): దారం చివర రాయి కట్టి స్థిర వడితో వృత్తాకారంగా తిప్పి దారాన్ని వదిలితే రాయి వృత్తానికి స్పర్శరేఖ (tangent) వెంట సరళరేఖా మార్గంలో వెళ్తుంది.
• కారణం: విడుదలైన క్షణంలో ఏ దిశలో కదులుతూ ఉందో అదే దిశలో కొనసాగుతుంది.
• వృత్తంలో వేర్వేరు బిందువుల వద్ద వదిలితే రాయి వెళ్లే దిశ వేర్వేరు
• అంటే వృత్తంపై ప్రతి బిందువు వద్ద చలన దిశ మారుతూ ఉంటుంది.
• ఉదాహరణలు:
  1. సుత్తి విసురు (hammer throw), డిస్కస్ విసురులో క్రీడాకారుడు శరీరాన్ని తిప్పుతూ వృత్తాకార చలనం ఇస్తాడు
  2. వదిలిన తర్వాత అవి విడుదల క్షణంలోని దిశలో వెళ్తాయి.
• చంద్రుడు–భూమి చలనం, భూమి చుట్టూ వృత్తాకార కక్ష్యలో ఉపగ్రహం, స్థిర వడితో వృత్తాకార ట్రాక్‌పై సైకిల్ నడిపే వ్యక్తి.
• ఉపగ్రహ లెక్క: 42250 km వ్యాసార్థం గల వృత్తాకార కక్ష్యలో ఉపగ్రహం భూమి చుట్టూ 24 h లో ఒక చుట్టు తిరిగితే v = 2π × 42250 / 24 ≈ 11,060 km h⁻¹ ≈ 3.07 km s⁻¹ (≈ 3070 m s⁻¹).

అధ్యాయం చివర ఇచ్చిన సారాంశం, అభ్యాస ప్రశ్నల్లో దాగి ఉన్న ముఖ్యమైన వాస్తవాలు ఈ గమనికలో ఉన్నాయి.

• సారాంశం:
  1. చలనం అంటే స్థానం మారడం; దీన్ని దూరం లేదా స్థానభ్రంశంతో వివరించవచ్చు.
  2. వేగం స్థిరంగా ఉంటే ఏకరీతి, మారుతుంటే అఏకరీతి చలనం.
  3. వడి = ప్రమాణ కాలంలో ప్రయాణించిన దూరం; వేగం = ప్రమాణ కాలంలో స్థానభ్రంశం.
  4. త్వరణం = ప్రమాణ కాలంలో వేగ మార్పు.
  5. ఏకరీతి, అఏకరీతి చలనాలను గ్రాఫ్‌ల ద్వారా చూపవచ్చు.
  6. ఏకరీతి త్వరణంలో చలనాన్ని v = u + at, s = ut + ½at², 2as = v² − u² వివరిస్తాయి.
  7. వృత్తాకార మార్గంలో ఏకరీతి వడితో కదిలితే అది ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం.
• వాదన–కారణం ప్రశ్న:
  1. A – వేగం–కాల గ్రాఫ్ కింద వైశాల్యం వస్తువు స్థానభ్రంశాన్ని సూచిస్తుంది
  2. R – స్థానభ్రంశం = వేగం × కాలం. A, R రెండూ సత్యం
  3. R, A కి సరైన వివరణ.
• అవి సాధ్యమా? (పాఠ్యాంశ ప్రశ్న 10):
• స్థిర త్వరణం ఉండి వేగం సున్నా: సాధ్యం – పైకి విసిరిన రాయి గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద క్షణకాలం వేగం సున్నా, త్వరణం (గురుత్వం) 10 m s⁻² కిందివైపు ఉంటుంది.
• త్వరణం ఉండి వడి స్థిరం: సాధ్యం – ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం.
• ఒక దిశలో కదులుతూ లంబ దిశలో త్వరణం: సాధ్యం – వృత్తాకార చలనంలో త్వరణం వేగానికి లంబంగా ఉంటుంది.
• గ్రాఫ్ ప్రశ్నల భావాలు:
  1. నడక వేగంగా మొదలై, అలసటతో ఆగి, తర్వాత పెరిగే వడితో వెళ్లే వ్యక్తి: ప్రారంభంలో సరళరేఖ, ఆగినప్పుడు సమాంతర రేఖ, చివర పెరిగే ఏటవాలు వక్రం.
  2. బ్రేకు వేసిన కారు (52 km h⁻¹): వేగం–కాల గ్రాఫ్ కింద వైశాల్యం ప్రయాణించిన దూరం; సమాంతర భాగం ఏకరీతి చలనం.
  3. మూడు వస్తువుల దూరం–కాల గ్రాఫ్ (పటం 1.10): అత్యధిక ఏటవాలున్న రేఖ వేగంగా కదిలే వస్తువుది; రేఖలు కలిసే బిందువు వద్ద ఆ వస్తువులు ఒకే స్థానంలో ఉంటాయి.
• వేగం–కాల గ్రాఫ్ (పటం 1.11):
  1. మొదటి 4 s లో దూరం గ్రాఫ్ కింద వైశాల్యం నుండి
  2. సమాంతరంగా ఉన్న భాగం ఏకరీతి చలనం.
• ప్రమాణాలు:
  1. వడి, వేగం → m s⁻¹
  2. త్వరణం → m s⁻²
  3. దూరం, స్థానభ్రంశం → m.
• సాధారణ పొరపాట్లు:
  1. దూరం, స్థానభ్రంశం ఒకటే అనుకోవడం
  2. సగటు వడి = వేగాల సరాసరి అనుకోవడం (కాదు – మొత్తం దూరం/మొత్తం కాలం)
  3. ఏకరీతి త్వరణం లేనప్పుడు సమీకరణాలు వాడటం.