గురుత్వాకర్షణ (Gravitation)

రాయిని పైకి విసిరితే అది తిరిగి కిందికే వస్తుంది; ఎత్తు నుండి వదిలిన వస్తువు భూమివైపే పడుతుంది; గ్రహాలు సూర్యుని చుట్టూ, చంద్రుడు భూమి చుట్టూ తిరుగుతాయి. ఈ అన్ని సందర్భాల్లో ఏదో ఒక బలం పనిచేస్తుందని ఐజాక్ న్యూటన్ గ్రహించాడు.

ఆ బలమే గురుత్వాకర్షణ బలం (Gravitational force).

• చలనం–బలం సంబంధం: వస్తువు వేగాన్ని లేదా దిశను మార్చడానికి బలం అవసరమని ముందు అధ్యాయాల్లో తెలుసుకున్నాం. ఈ అధ్యాయం గురుత్వాకర్షణ, విశ్వ గురుత్వాకర్షణ నియమం, భూమిపై గురుత్వ ప్రభావంతో చలనం, స్థలాన్ని బట్టి బరువులో మార్పు, ద్రవాల్లో వస్తువులు తేలే నియమాలను చర్చిస్తుంది.
• న్యూటన్ ఆలోచన: చెట్టు కింద కూర్చున్న న్యూటన్‌పై ఆపిల్ పడిందని చెప్పే కథనం ప్రసిద్ధం. 'భూమి ఆపిల్‌ను ఆకర్షించగలిగితే చంద్రుణ్ణి ఎందుకు ఆకర్షించలేదు? రెండింటిలో బలం ఒకటేనా?' అని ఆయన ఆలోచించాడు.
• చంద్రుడు తన కక్ష్యలో ప్రతి బిందువు వద్ద సరళరేఖలో వెళ్లిపోకుండా భూమివైపు పడుతూనే ఉంటాడని ఆయన వాదన
• అందువల్ల భూమి చంద్రుణ్ణి ఆకర్షిస్తోంది. అయితే చంద్రుడు భూమిపై పడటం మనకు కనిపించదు.
• స్పర్శరేఖ (Tangent): వృత్తాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకే సరళరేఖ. ABC రేఖ B వద్ద వృత్తానికి స్పర్శరేఖ.
• కృత్యం (దారానికి రాయి):
  1. దారం కొనకు చిన్న రాయి కట్టి తిప్పితే రాయి వృత్తాకార మార్గంలో స్థిర పరిమాణం గల వేగంతో తిరుగుతుంది
  2. కానీ ప్రతి బిందువు వద్ద దిశ మారుతుంది. దిశ మారడం అంటే వేగం మారడం (త్వరణం) కాబట్టి ఈ త్వరణానికి కారణమైన బలం వృత్తకేంద్రం వైపు పనిచేస్తుంది.
• అభికేంద్ర బలం (Centripetal force): వస్తువును వృత్తాకార మార్గంలో ఉంచే, కేంద్రం వైపు పనిచేసే బలం. 'Centripetal' అంటే 'కేంద్రాన్ని వెదికేది'.
• దారాన్ని వదిలేస్తే రాయి వృత్తానికి స్పర్శరేఖ దిశలో సరళరేఖలో ఎగిరిపోతుంది. అభికేంద్ర బలం లేకపోతే వస్తువు ఏకరీతి సరళరేఖా చలనంలో వెళ్తుంది.
• చంద్రుని చలనం: చంద్రుడు భూమి చుట్టూ తిరగడానికి కావలసిన అభికేంద్ర బలాన్ని భూమి ఆకర్షణ బలం ఇస్తుంది. ఆ బలం లేకపోతే చంద్రుడు సరళరేఖలో వెళ్లిపోయేవాడు.
• ఆపిల్ భూమిని ఆకర్షిస్తుందా? అవును. న్యూటన్ మూడో నియమం ప్రకారం ఆపిల్ కూడా భూమిని ఆకర్షిస్తుంది. కానీ రెండో నియమం ప్రకారం ఒకే బలానికి త్వరణం ద్రవ్యరాశికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఆపిల్ ద్రవ్యరాశి భూమితో పోలిస్తే అత్యల్పం కాబట్టి భూమి ఆపిల్‌వైపు కదలడం మనకు కనిపించదు. భూమి చంద్రునివైపు కదలకపోవడానికీ ఇదే వాదన వర్తిస్తుంది.
• సౌరకుటుంబం: గ్రహాలు సూర్యుని చుట్టూ తిరుగుతున్నాయి కాబట్టి సూర్యునికి, గ్రహాలకు మధ్య కూడా బలం ఉంటుంది. ఈ వాస్తవాల ఆధారంగా భూమి ఆపిల్‌ను, చంద్రుణ్ణి ఆకర్షించడమే కాక విశ్వంలోని అన్ని వస్తువులూ ఒకదాన్నొకటి ఆకర్షించుకుంటాయని న్యూటన్ నిర్ధారించాడు. ఆ ఆకర్షణ బలమే గురుత్వాకర్షణ బలం.

విశ్వంలోని ప్రతి వస్తువు మరో ప్రతి వస్తువును ఒక బలంతో ఆకర్షిస్తుంది. ఈ ఆకర్షణ బలం ఏ అంశాలపై ఆధారపడుతుందో న్యూటన్ రూపొందించిన విశ్వ గురుత్వాకర్షణ నియమం చెబుతుంది.

• నియమం: ప్రతి వస్తువు ఇతర వస్తువును, వాటి ద్రవ్యరాశుల లబ్ధానికి అనులోమానుపాతంలో, వాటి మధ్య దూరం వర్గానికి విలోమానుపాతంలో ఉండే బలంతో ఆకర్షిస్తుంది. బలం రెండు వస్తువుల కేంద్రాలను కలిపే రేఖ వెంట పనిచేస్తుంది.
• సూత్ర రాబట్టడం:
  1. M, m ద్రవ్యరాశులు గల రెండు వస్తువులు d దూరంలో ఉన్నాయనుకుందాం
  2. వాటి మధ్య ఆకర్షణ బలం F.
• F ∝ M × m (ద్రవ్యరాశుల లబ్ధానికి అనులోమానుపాతం) ... (5.1)
• F ∝ 1/d² (దూరం వర్గానికి విలోమానుపాతం) ... (5.2)
• రెండింటినీ కలిపితే F ∝ Mm/d² ... (5.3)
• అనుపాత స్థిరాంకం G తో: F = G Mm / d² ... (5.4)
• G (సార్వత్రిక గురుత్వ స్థిరాంకం – Universal gravitation constant):
  1. అనుపాత స్థిరాంకం. సమీకరణాన్ని అడ్డంగా గుణిస్తే F d² = G M m
  2. కాబట్టి G = F d² / (M m).
• G ప్రమాణం: బలం (N), దూరం (m), ద్రవ్యరాశి (kg) ప్రమాణాలు ఉంచితే G SI ప్రమాణం N m² kg⁻².
• ఉపయోగించే విలువలు:
  1. పాఠంలో G = 6.7 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² తీసుకున్నారు
  2. ఆమోదించిన విలువ 6.673 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².
• విలోమ వర్గ సంబంధం (Inverse-square): దూరం 6 రెట్లు పెరిగితే బలం 1/36 రెట్లకు తగ్గుతుంది.
• వర్తించే పరిధి:
  1. వస్తువులు పెద్దవైనా చిన్నవైనా, ఖగోళ (Celestial) వస్తువులైనా భూమిపై (Terrestrial) వస్తువులైనా నియమం వర్తిస్తుంది
  2. అందుకే ఇది 'విశ్వ' (Universal) నియమం.

G విలువను ప్రయోగాత్మకంగా కొలిచినవారు, నియమం వివరించే దృగ్విషయాలు, గురుత్వాకర్షణ బలం స్వభావం పరీక్షల్లో తరచూ అడిగే అంశాలు.

• హెన్రీ కావెండిష్ (Henry Cavendish, 1731–1810): అత్యంత సున్నితమైన త్రాసును వాడి G విలువను కనుగొన్నాడు. ఆమోదించిన విలువ G = 6.673 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².
• నియమం వివరించిన సంగతులు: ఒకదానికొకటి సంబంధం లేనివని భావించిన నాలుగు దృగ్విషయాలను విశ్వ గురుత్వాకర్షణ నియమం విజయవంతంగా వివరించింది:
• (i) మనల్ని భూమికి కట్టిపడేసే బలం.
• (ii) భూమి చుట్టూ చంద్రుని చలనం.
• (iii) సూర్యుని చుట్టూ గ్రహాల చలనం.
• (iv) చంద్రుడు, సూర్యుల వల్ల కలిగే ఆటుపోట్లు (Tides).
• నియమం ప్రాముఖ్యత: భూమిపై వస్తువులు కింద పడటం నుండి ఖగోళ గతుల వరకు అన్నింటికీ ఒకే బలం కారణమని ఈ నియమం చూపింది.
• ఇద్దరు వ్యక్తుల మధ్య బలం:
  1. ప్రక్కన కూర్చున్న ఇద్దరి మధ్య కూడా ఆకర్షణ బలం ఉంటుంది. కానీ G విలువ చాలా చిన్నది కాబట్టి, ద్రవ్యరాశులు చిన్నవైతే ఈ బలం అత్యల్పం
  2. అందువల్ల మనం దాన్ని అనుభవించం.
• గురుత్వాకర్షణ బలహీన బలం: పెద్ద ద్రవ్యరాశులు ఉన్నప్పుడు తప్ప గురుత్వాకర్షణ బలం చాలా బలహీనమైనది.
• గురుత్వ బలం మార్పులు (పాఠం సారాంశం): ఎత్తు పెరిగే కొద్దీ గురుత్వ బలం తగ్గుతుంది. భూమి ఉపరితలంపై కూడా ధ్రువాల నుండి భూమధ్యరేఖకు వెళ్లే కొద్దీ తగ్గుతుంది.
• పాఠంలోని ప్రశ్న:
  1. 'విశ్వ గురుత్వాకర్షణ నియమం ప్రాముఖ్యత ఏమిటి?' – సమాధానం పై నాలుగు దృగ్విషయాల వివరణే
  2. ఆకర్షణ విశ్వవ్యాప్తం అని చూపడం.

విశ్వ గురుత్వాకర్షణ సూత్రం F = G Mm/d² ను వాడి చేసే లెక్కల్లో దూరాన్ని మీటర్లలోకి మార్చడం, 10 యొక్క ఘాతాలను సరిగా వాడటం ముఖ్యం.

• ఉదాహరణ 5.1 – భూమి చంద్రునిపై బలం:
  1. భూమి ద్రవ్యరాశి M = 6 × 10²⁴ kg; చంద్రుని ద్రవ్యరాశి m = 7.4 × 10²² kg.
  2. దూరం d = 3.84 × 10⁵ km = 3.84 × 10⁵ × 1000 m = 3.84 × 10⁸ m.
  3. G = 6.7 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² తో, F = (6.7 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ × 7.4 × 10²²) / (3.84 × 10⁸)² = 2.02 × 10²⁰ N.
  4. చంద్రుడు భూమిని ఆకర్షించే బలం కూడా ఇంతే (మూడో నియమం).
• భూమి – 1 kg వస్తువు (ప్రశ్న 3): ఉపరితలంపై 1 kg వస్తువుకు భూమి బలం = G M m / R² = 9.8 N (M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m).
• భూమి – సూర్యుడు (ప్రశ్న 16): భూమి ద్రవ్యరాశి 6 × 10²⁴ kg, సూర్యుని ద్రవ్యరాశి 2 × 10³⁰ kg, సగటు దూరం 1.5 × 10¹¹ m అయితే గురుత్వ బలం ≈ 3.56 × 10²² N.
• దూరం సగమైతే (ప్రశ్న 1): F ∝ 1/d² కాబట్టి దూరం సగమైతే బలం 4 రెట్లు అవుతుంది.
• ద్రవ్యరాశి/దూరం మారితే (ప్రశ్న 6):
  1. ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి రెట్టింపైతే బలం రెట్టింపు.
  2. దూరం రెట్టింపైతే బలం 1/4; మూడు రెట్లైతే 1/9.
  3. రెండు వస్తువుల ద్రవ్యరాశులు రెట్టింపైతే బలం 4 రెట్లు.
• భూమి–చంద్రుడు బలాలు (ప్రశ్న 4, 5):
  1. భూమి చంద్రుణ్ణి ఆకర్షించే బలం, చంద్రుడు భూమిని ఆకర్షించే బలం సమానం (చర్య–ప్రతిచర్య). భూమి ద్రవ్యరాశి చాలా ఎక్కువ కాబట్టి దాని త్వరణం (a = F/M) అతి చిన్నది
  2. అందువల్ల భూమి చంద్రునివైపు కదలదు.
• భారీ వస్తువు వేగంగా పడదు (ప్రశ్న 2): గురుత్వ బలం ద్రవ్యరాశికి అనులోమానుపాతమైనా, త్వరణం = బలం/ద్రవ్యరాశి కాబట్టి ద్రవ్యరాశి రద్దయి, అన్ని వస్తువులూ ఒకే త్వరణంతో (g) పడతాయి.
• సమాధానాల పట్టిక సూచనలు:
  1. ప్రశ్న 3 → 9.8 N
  2. ప్రశ్న 16 → 3.56 × 10²² N.

రాయిని పైకి విసిరితే అది కొంత ఎత్తుకు వెళ్లి కిందికి పడుతుంది. భూమి గురుత్వ బలం ఒక్కటే పనిచేస్తూ వస్తువులు భూమివైపు పడే స్థితిని స్వేచ్ఛా పతనం అంటారు.

• స్వేచ్ఛా పతనం (Free fall): భూమి గురుత్వ బలం మాత్రమే పనిచేస్తూ వస్తువు భూమివైపు పడటం.
• పడేటప్పుడు కదిలే దిశ మారదు, కానీ వేగం పరిమాణం మారుతుంది. వేగంలో మార్పు అంటే త్వరణం
• ఇది భూమి గురుత్వ బలం వల్ల కలుగుతుంది.
• గురుత్వ త్వరణం (Acceleration due to gravity) g: భూమి గురుత్వ బలం వల్ల పడే వస్తువుకు కలిగే త్వరణం. ప్రమాణం m s⁻² (త్వరణం ప్రమాణమే).
• సూత్రాలు:
  1. రెండో నియమం ప్రకారం F = m a; ఇక్కడ a = g కాబట్టి F = m g ... (5.6).
  2. విశ్వ నియమం నుండి m g = G M m / d²; కాబట్టి g = G M / d² ... (5.7). M = భూమి ద్రవ్యరాశి; d = వస్తువుకు, భూమికి (కేంద్రం) మధ్య దూరం.
  3. భూమి ఉపరితలంపై లేదా సమీపంలో d = R (భూమి వ్యాసార్ధం) అవుతుంది: m g = G M m / R² ... (5.8), g = G M / R² ... (5.9).
• g విలువ: G = 6.7 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻², M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m ఉంచితే g = 9.8 m s⁻².
• స్థిరత్వం: భూమిపై లేదా దగ్గరలో గణనల్లో g ని స్థిరంగా తీసుకుంటారు. భూమికి దూరంగా ఉన్న వస్తువులకు మాత్రం సమీకరణం (5.7) వాడాలి.
• స్థానాన్ని బట్టి g:
  1. భూమి పరిపూర్ణ గోళం కాదు
  2. ధ్రువాల నుండి భూమధ్యరేఖకు వ్యాసార్ధం పెరుగుతుంది. కాబట్టి g విలువ ధ్రువాల వద్ద ఎక్కువ, భూమధ్యరేఖ వద్ద తక్కువ.
• ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు:
  1. సమీకరణం (5.9)లో వస్తువు ద్రవ్యరాశి లేదు
  2. కాబట్టి బోలు/ఘన, పెద్ద/చిన్న వస్తువులన్నీ ఒకే రేటుతో పడాలి. కథనం ప్రకారం గెలీలియో ఇటలీలోని పీసా వాలు గోపురం పైనుండి వేర్వేరు వస్తువులను వదిలి దీన్ని చూపాడు.
• కాగితం, రాయి కృత్యం:
  1. ఒక కాగితం, రాయిని ఒకేసారి వదిలితే కాగితం కొంచెం ఆలస్యంగా నేలకు చేరుతుంది. కారణం గాలి నిరోధం (Air resistance) – గాలి ఘర్షణ వల్ల పడే వస్తువుల చలనాన్ని అడ్డుకుంటుంది
  2. కాగితంపై నిరోధం ఎక్కువ. గాలి తీసేసిన గాజు జాడీలో రెండూ ఒకే రేటుతో పడతాయి.
• నలిపిన కాగితం (ప్రశ్న 11):
  1. సమాంతర కాగితంపై గాలి నిరోధం ఎక్కువ
  2. నలిపి బంతిలా చేస్తే నిరోధం తగ్గి త్వరగా పడుతుంది.
• ప్రశ్న 8, 9: ఉచిత పతన త్వరణం = g = 9.8 m s⁻². భూమి, వస్తువు మధ్య గురుత్వ బలాన్ని 'బరువు' అంటారు (తర్వాతి నోట్స్‌లో).
• బంగారం ప్రశ్న (ప్రశ్న 10):
  1. ధ్రువాల వద్ద g ఎక్కువ కాబట్టి అక్కడ కొన్న కొన్ని గ్రాముల బంగారం బరువు, భూమధ్యరేఖ వద్ద తక్కువగా ఉంటుంది
  2. స్ప్రింగ్ త్రాసుతో కొలిస్తే స్నేహితుడు అంగీకరించడు (ద్రవ్యరాశి మారదు, బరువు మారుతుంది).

భూమి దగ్గర g స్థిరం కాబట్టి ఏకరీతి త్వరణ చలన సమీకరణాలన్నీ a స్థానంలో g ఉంచి వాడవచ్చు.

• సమీకరణాలు:
  1. v = u + at ... (5.10)
  2. s = ut + ½at² ... (5.11)
  3. v² = u² + 2as ... (5.12). ఇక్కడ u = తొలి వేగం, v = తుది వేగం, s = దూరం, t = కాలం.
• గుర్తుల నియమం:
  1. త్వరణం వేగం దిశలోనే (చలన దిశలో) ఉంటే a ధనాత్మకం (+)
  2. చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తే ఋణాత్మకం (−). కింది వైపు చలనంలో a = +g
  3. పైకి విసిరిన వస్తువుకు a = −g.
• ఉదాహరణ 5.2 (కారు కొండ అంచు నుండి పడటం): కాలం t = 0.5 s, u = 0, g = 10 m s⁻² (లెక్క సులభం కోసం).
• (i) భూమిని తాకే వేగం v = at = 10 × 0.5 = 5 m s⁻¹.
• (ii) సగటు వేగం = (u + v)/2 = (0 + 5)/2 = 2.5 m s⁻¹.
• (iii) ఎత్తు s = ½ a t² = ½ × 10 × (0.5)² = 1.25 m.
• ఉదాహరణ 5.3 (పైకి విసిరిన వస్తువు): 10 m ఎత్తుకు చేరింది. s = 10 m, పై బిందువు వద్ద v = 0, a = −9.8 m s⁻².
• (i) v² = u² + 2as → 0 = u² − 2 × 9.8 × 10 → u² = 196 → u = 14 m s⁻¹.
• (ii) v = u + at → 0 = 14 − 9.8 t → t = 1.43 s (గరిష్ఠ బిందువుకు చేరే కాలం).
• ఎత్తైన బిందువు వద్ద:
  1. వస్తువు వేగం శూన్యం
  2. కానీ త్వరణం ఇంకా g (కిందివైపు).
• పైకి వెళ్లే కాలం = కిందికి వచ్చే కాలం: విసిరిన చోటికే తిరిగి వచ్చే చలనంలో ఆ రెండు కాలాలు సమానం.

అధ్యాయం చివర ఇచ్చిన లెక్కలు పరీక్షలకు అనువైనవి. ఇక్కడ పద్ధతి, సమాధానాలు సంక్షిప్తంగా ఉన్నాయి.

• లెక్క 13: బంతిని 49 m/s వేగంతో నిలువుగా పైకి విసిరారు.
• గరిష్ఠ ఎత్తు h = u²/2g = 49²/(2 × 9.8) = 122.5 m.
• పైకి వెళ్లే కాలం = u/g = 5 s
• కిందికి వచ్చే కాలం 5 s
• మొత్తం కాలం = 10 s.
• లెక్క 14: 19.6 m ఎత్తు గోపురం పైనుండి రాయిని వదిలితే నేలను తాకే ముందు వేగం v = √(2gh) = 19.6 m/s.
• లెక్క 15: 40 m/s తొలి వేగం, g = 10 m/s²:
• గరిష్ఠ ఎత్తు = 40²/(2 × 10) = 80 m.
• నికర స్థానభ్రంశం (Net displacement) = 0 (తిరిగి విసిరిన చోటికే వచ్చింది).
• మొత్తం ప్రయాణించిన దూరం = 80 + 80 = 160 m.
• లెక్క 17:
  1. 100 m ఎత్తు గోపురం పైనుండి ఒక రాయిని వదిలిన క్షణమే, మరో రాయిని నేలనుండి 25 m/s తో పైకి విసిరారు. g = 10 m/s² తో ఇవి కలిసే సమయం 4 s
  2. కలిసే చోటు గోపురం పై నుండి 80 m కింద. (ఒక రాయి కిందికి వెళ్లిన దూరం + రెండో రాయి పైకి వెళ్లిన దూరం = 100 m, దాన్నుండే t = 100/25 = 4 s వస్తుంది.)
• లెక్క 18: పైకి విసిరిన బంతి 6 s లో విసిరినవారి దగ్గరికి తిరిగి వచ్చింది.
• పైకి వెళ్లడానికి 3 s పడుతుంది
• (a) తొలి వేగం u = g × 3 = 29.4 m/s.
• (b) గరిష్ఠ ఎత్తు = ½ × 9.8 × 3² = 44.1 m.
• (c) 4 s తర్వాత:
  1. ఇది కిందికి వస్తున్న దశలో ఉంది
  2. పై బిందువు నుండి 1 s పడటంతో 4.9 m కింద, అంటే గరిష్ఠ ఎత్తు నుండి 4.9 m కింద లేదా నేలనుండి 39.2 m ఎత్తులో ఉంటుంది.
• ఉపయోగించిన ఆలోచన:
  1. పైకి వెళ్లే చలనంలో గరిష్ఠ బిందువు వద్ద తుది వేగం శూన్యం
  2. కిందికి పడే చలనంలో తొలి వేగం శూన్యం.

ద్రవ్యరాశి, బరువు వేర్వేరు భావనలు. పరీక్షల్లో ఈ తేడా తరచూ అడుగుతారు.

• ద్రవ్యరాశి (Mass):
  1. వస్తువు జడత్వానికి కొలమానం (Measure of inertia). ద్రవ్యరాశి ఎక్కువైతే జడత్వం ఎక్కువ. భూమిపైనైనా, చంద్రునిపైనైనా, అంతరిక్షంలోనైనా ఒకేలా ఉంటుంది
  2. కాబట్టి స్థలం మారినా మారదు.
• బరువు (Weight): వస్తువును భూమి తనవైపు ఆకర్షించే బలం. భూమి ఏ వస్తువునైనా దాని ద్రవ్యరాశి m, గురుత్వ త్వరణం g లపై ఆధారపడే బలంతో ఆకర్షిస్తుంది.
• F = m a (5.13)
• F = m g (5.14). ఈ బలాన్ని W తో సూచిస్తారు: W = m g ... (5.15).
• ప్రమాణం:
  1. బరువు ఒక బలం కాబట్టి SI ప్రమాణం న్యూటన్ (N). బరువు నిలువుగా కిందికి పనిచేసే బలం
  2. దానికి పరిమాణం, దిశ రెండూ ఉంటాయి.
• అనులోమానుపాతం: ఒక స్థలంలో g స్థిరం, కాబట్టి W ∝ m. అందుకే ఒక స్థలంలో వస్తువు బరువును దాని ద్రవ్యరాశి కొలతగా ఉపయోగించవచ్చు.
• స్థలం మారినప్పుడు:
  1. ద్రవ్యరాశి ఎక్కడైనా (భూమిపై, ఏ గ్రహంపై అయినా) అదే
  2. బరువు స్థానాన్ని బట్టి మారుతుంది ఎందుకంటే g స్థానంపై ఆధారపడుతుంది.
• ఉదాహరణ 5.4: ద్రవ్యరాశి m = 10 kg, g = 9.8 m s⁻² → W = 10 × 9.8 = 98 N.
• ప్రశ్న 1 (42 kg): త్రాసు 42 kg చూపిందంటే ద్రవ్యరాశి 42 kg గానే ఉంటుంది.
• ప్రశ్న 23 (వ్యోమగామి టూల్‌బాక్స్):
  1. 10 kg పెట్టె భూమిపై బరువు సుమారు 100 N
  2. చంద్రునిపై గురుత్వం ఆరో వంతు. కాబట్టి ద్రవ్యరాశి 10 kg గానే ఉంటుంది, బరువు సుమారు 16.7 N అవుతుంది (ద్రవ్యరాశి మారదు, బరువు ఆరో వంతు).
• ప్రశ్న 2 (దూది, ఇనుప కడ్డీ):
  1. రెండూ 100 kg చూపినా నిజానికి ఒకటి బరువైనది
  2. ఈ పాఠంలో సమాధానం లేదు. సాధారణ భౌతిక శాస్త్ర వివరణ: దూది ఎక్కువ గాలిని తొలగిస్తుంది కాబట్టి గాలి ఉత్ప్లావకత దానిపై ఎక్కువ
  3. అందువల్ల త్రాసు చూపే విలువ నిజం కంటే తక్కువ, నిజానికి దూదే ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి గలది.

చంద్రుని ద్రవ్యరాశి భూమి కంటే తక్కువ కాబట్టి చంద్రుడు వస్తువులను తక్కువ బలంతో ఆకర్షిస్తాడు.

• చంద్రునిపై బరువు: వస్తువును చంద్రుడు ఆకర్షించే బలం. చంద్రుని ద్రవ్యరాశి Mm, వ్యాసార్ధం Rm అయితే Wm = G Mm m / Rm² ... (5.16).
• భూమిపై బరువు We = G M m / R² ... (5.17).
• పట్టిక 5.1 విలువలు:
  1. భూమి ద్రవ్యరాశి 5.98 × 10²⁴ kg, వ్యాసార్ధం 6.37 × 10⁶ m
  2. చంద్రుడు: ద్రవ్యరాశి 7.36 × 10²² kg, వ్యాసార్ధం 1.74 × 10⁶ m.
• విలువలు ఉంచితే Wm = 2.431 × 10¹⁰ G·m ... (5.18a), We = 1.474 × 10¹¹ G·m ... (5.18b).
• భాగిస్తే Wm/We = 0.165 ≈ 1/6 ... (5.19). అంటే చంద్రునిపై బరువు = భూమిపై బరువులో 1/6 వంతు.
• కారణం:
  1. చంద్రుని ద్రవ్యరాశి భూమి కంటే తక్కువ
  2. అందువల్ల అది వస్తువుపై చూపే బలమూ తక్కువ.
• ఉదాహరణ 5.5: భూమిపై 10 N బరువున్న వస్తువు చంద్రునిపై = 10/6 = 1.67 N.
• ప్రశ్న 12:
  1. 10 kg వస్తువు భూమిపై బరువు 98 N
  2. చంద్రునిపై 98/6 ≈ 16.3 N (గురుత్వం ఆరో వంతు).
• చంద్రునిపై g: భూమి g లో ఆరో వంతు (సుమారు 1.6 m s⁻²) – ఇది ఇదే నిష్పత్తి నుండి వస్తుంది.
• ద్రవ్యరాశి మారదు
• 1 kg వస్తువు చంద్రునిపై కూడా 1 kg.

ఎడారిలో ఒంటె సులభంగా నడవడం, ట్యాంకు గొలుసు పట్టాలపై నిలవడం, ట్రక్కుకు వెడల్పు టైర్లు, కత్తికి పదునైన అంచు వంటి వాటికి కారణం తోపు, పీడనం అనే భావనలు.

• తోపు (Thrust): వస్తువు ఉపరితలానికి లంబంగా పనిచేసే బలం.
• పీడనం (Pressure): ప్రమాణ వైశాల్యంపై పనిచేసే తోపు. పీడనం = తోపు / వైశాల్యం ... (5.20).
• SI ప్రమాణం:
  1. తోపు (N), వైశాల్యం (m²) ప్రమాణాల నుండి పీడన ప్రమాణం N/m² లేదా N m⁻²
  2. దీన్ని బ్లేజ్ పాస్కల్ (Blaise Pascal) గౌరవార్థం పాస్కల్ (Pa) అంటారు.
• స్థితి 1 (గుండు పిన్):
  1. పోస్టర్ అతికించేటప్పుడు బొటనవేలితో పిన్ తలపై బలం వేస్తారు
  2. ఈ బలం బోర్డు ఉపరితలానికి లంబంగా ఉంటుంది
  3. పిన్ మొనవద్ద చాలా చిన్న వైశాల్యంపై పనిచేస్తుంది.
• స్థితి 2 (ఇసుక):
  1. వదులు ఇసుకపై నిలబడితే కాళ్లు లోపలికి దిగుతాయి
  2. పడుకుంటే అంతగా దిగవు. రెండు సందర్భాల్లోనూ ఇసుకపై శరీరం బరువే (తోపు) సమానం
  3. కానీ నిలబడితే వైశాల్యం పాదాలంత
  4. పడుకుంటే శరీరమంతా. తోపు ఒకటే అయినా ప్రభావం భిన్నం
  5. అంటే తోపు ప్రభావం అది పనిచేసే వైశాల్యంపై ఆధారపడుతుంది.
• ఉదాహరణ 5.6: 5 kg చెక్క దిమ్మె, కొలతలు 40 cm × 20 cm × 10 cm. తోపు = mg = 5 × 9.8 = 49 N.
• 20 cm × 10 cm తలం: వైశాల్యం 200 cm² = 0.02 m² → పీడనం = 49/0.02 = 2450 N m⁻².
• 40 cm × 20 cm తలం: వైశాల్యం 800 cm² = 0.08 m² → పీడనం = 49/0.08 = 612.5 N m⁻².
• నిర్ధారణ:
  1. అదే బలం చిన్న వైశాల్యంపై పనిచేస్తే పీడనం ఎక్కువ
  2. పెద్ద వైశాల్యంపై పనిచేస్తే పీడనం తక్కువ. అందుకే మేకుకు మొన, కత్తులకు పదును, భవనాలకు వెడల్పాటి పునాది ఉంటాయి. వెడల్పాటి టైర్లు, ట్యాంకు గొలుసు పట్టాలు, ఒంటె పాదాలు వైశాల్యాన్ని పెంచి పీడనాన్ని తగ్గిస్తాయి.
• ద్రవాలు, వాయువులు (ప్రవాహులు – Fluids):
  1. ఇవన్నీ ప్రవాహులు. ఘనపదార్థం తన బరువుతో ఉపరితలంపై పీడనం కలిగిస్తుంది
  2. అలాగే ప్రవాహులకు బరువు ఉంటుంది కాబట్టి అవి తమ పాత్ర అడుగుపైన, గోడలపైన పీడనం చూపిస్తాయి.
• పాస్కల్ నియమ భావన: పరిమిత ప్రవాహ ద్రవ్యరాశిలో ప్రయోగించిన పీడనం అన్ని దిశలకు తగ్గకుండా ప్రసారమవుతుంది.
• ప్రశ్న 1 (పుస్తకాల సంచి):
  1. సన్నని దారం పట్టీ చాలా తక్కువ వైశాల్యంపై బరువును మోపుతుంది, కాబట్టి పీడనం ఎక్కువై భుజం/చేతికి బాధ కలుగుతుంది
  2. వెడల్పాటి పట్టీ పీడనాన్ని తగ్గిస్తుంది.

ఈతకొలనులో తేలికగా అనిపించడం, నూతి నుండి బయటకు తీసిన బకెట్ బరువుగా అనిపించడం, ఇనుప నౌక మునగకపోవడం – వీటికి కారణం ఉత్ప్లావకత (Buoyancy).

• కృత్యం 5.4 (ఖాళీ సీసా):
  1. గాలి చొరబడని మూతతో ఖాళీ ప్లాస్టిక్ సీసాను బకెట్ నీటిలో ఉంచితే అది తేలుతుంది. సీసాను నీటిలోకి నెడితే పైకి నెట్టే బలం తెలుస్తుంది
  2. ఇంకా లోతుకు నెట్టడం కష్టమవుతుంది. అంటే నీరు సీసాపై పైవైపు బలం చూపుతోంది. సీసా ఎంత ఎక్కువగా ముంచితే ఈ బలం అంత పెరుగుతుంది
  3. పూర్తిగా మునిగిన తర్వాత పెరగదు. వదిలితే సీసా తిరిగి ఉపరితలానికి వచ్చేస్తుంది.
• గురుత్వ బలం vs ఊర్ధ్వ బలం:
  1. సీసాపై భూమి గురుత్వ బలం కిందికి పనిచేస్తుంది
  2. నీరు పైకి బలాన్ని ప్రయోగిస్తుంది. సీసాను ముంచినప్పుడు నీరు చూపే పైబలం దాని బరువు కంటే ఎక్కువ
  3. అందువల్ల వదిలితే పైకి వస్తుంది.
• సీసాను పూర్తిగా మునిగి ఉంచాలంటే బయటినుండి కిందివైపు బలాన్ని ప్రయోగించాలి
• ఆ బలం కనీసం పైబలానికి, సీసా బరువుకు మధ్య తేడాకు సమానంగా ఉండాలి.
• ఉత్ప్లావక బలం (Upthrust / Buoyant force): ప్రవాహి (నీరు) అందులో ఉన్న వస్తువుపై పైవైపు ప్రయోగించే బలం. ప్రవాహిలో ముంచిన అన్ని వస్తువులు ఉత్ప్లావక బలాన్ని అనుభవిస్తాయి.
• ఈ బలం పరిమాణం ప్రవాహి సాంద్రతపై ఆధారపడుతుంది.
• ప్రశ్న 2: ఉత్ప్లావకత అంటే ప్రవాహిలో ముంచిన వస్తువుపై ప్రవాహి పైవైపు చూపే బలం.
• ప్రశ్నలు (పాఠంలోవి): ఇనుప నౌక సముద్రంలో మునగదు కానీ అంతే ఇనుప పదార్థం రేకుగా ఉంటే మునిగిపోతుంది – దీనికి ఉత్ప్లావకతే సమాధానం (ఆకారం వల్ల ఎక్కువ నీరు తొలగించబడుతుంది).
• ప్రశ్న 19, 20: ద్రవంలో ముంచిన వస్తువుపై ఉత్ప్లావక బలం నిలువుగా పైవైపు పనిచేస్తుంది. నీటి కింద వదిలిన ప్లాస్టిక్ దిమ్మె పైకి రావడానికి కారణం దానిపై పైబలం దాని బరువు కంటే ఎక్కువ కావడం (ప్లాస్టిక్ సాంద్రత నీటికంటే తక్కువ).

ఒక వస్తువు ద్రవంలో తేలుతుందా, మునుగుతుందా అనేది ఆ వస్తువు సాంద్రతను ద్రవ సాంద్రతతో పోల్చడం ద్వారా తెలుస్తుంది.

• సాంద్రత (Density): ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలోని ద్రవ్యరాశి (mass per unit volume).
• కృత్యం 5.5 (ఇనుప మేకు):
  1. నీటిపై ఇనుప మేకును ఉంచితే అది మునుగుతుంది. కారణం: మేకుపై భూమి గురుత్వ బలం కిందికి ఉంటుంది
  2. నీటి ఊర్ధ్వ బలం పైకి ఉంటుంది
  3. కిందికి బలం పైకి బలం కంటే ఎక్కువ.
• కృత్యం 5.6 (కార్క్, మేకు): సమాన ద్రవ్యరాశి గల కార్క్ ముక్క, ఇనుప మేకును నీటిపై ఉంచితే కార్క్ తేలుతుంది, మేకు మునుగుతుంది. సాంద్రతల్లో తేడాయే కారణం.
• కార్క్ సాంద్రత నీటికంటే తక్కువ
• కాబట్టి నీటి ఊర్ధ్వ బలం కార్క్ బరువు కంటే ఎక్కువ → తేలుతుంది.
• ఇనుప మేకు సాంద్రత నీటికంటే ఎక్కువ
• కాబట్టి ఊర్ధ్వ బలం మేకు బరువు కంటే తక్కువ → మునుగుతుంది.
• నియమం:
  1. ద్రవం కంటే తక్కువ సాంద్రత గల వస్తువులు ద్రవంపై తేలుతాయి
  2. ద్రవం కంటే ఎక్కువ సాంద్రత గల వస్తువులు ద్రవంలో మునుగుతాయి.
• ప్రశ్న 3: నీటిపై వస్తువు తేలడానికి లేదా మునగడానికి కారణం – ఉత్ప్లావక బలం, బరువు (గురుత్వ బలం) మధ్య సంబంధం, అంటే వస్తువు సాంద్రత.
• ప్రశ్న 21: 50 g పదార్థం ఘనపరిమాణం 20 cm³ → సాంద్రత = 50/20 = 2.5 g cm⁻³ > 1 g cm⁻³ (నీరు) కాబట్టి మునుగుతుంది.
• ప్రశ్న 22: 500 g మూసిన ప్యాకెట్ ఘనపరిమాణం 350 cm³ → సాంద్రత = 500/350 ≈ 1.43 g cm⁻³ > 1 కాబట్టి మునుగుతుంది. తొలగించే నీటి ద్రవ్యరాశి = 350 g (350 cm³ × 1 g cm⁻³).
• ఇనుప నౌక:
  1. ఇనుప రేకు మునుగుతుంది కానీ అదే ఇనుప పదార్థంతో చేసిన నౌక సముద్రంలో తేలుతుంది
  2. ఉత్ప్లావకతే దీనికి కారణం.

ఉత్ప్లావక బలం పరిమాణం ఎంత? అన్ని ప్రవాహుల్లో అదే ఉంటుందా? అనే ప్రశ్నలకు సమాధానం ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం.

• కృత్యం 5.7 (రబ్బరు దారం/స్ప్రింగ్ త్రాసు):
  1. రాయిని రబ్బరు దారానికి లేదా స్ప్రింగ్ త్రాసుకు కట్టి గాలిలో వేలాడదీస్తే రాయి బరువు వల్ల సాగుదల/రీడింగ్ వస్తుంది. రాయిని నీటిలో మెల్లగా దించితే సాగుదల, రీడింగ్ తగ్గుతాయి
  2. పూర్తిగా మునిగిన తర్వాత ఇంకా మార్పు ఉండదు.
• నిర్ధారణ:
  1. దారం/త్రాసుపై నికర బలం తగ్గింది అంటే రాయిపై నీరు పైవైపు బలం చూపుతోందని
  2. అదే ఉత్ప్లావక బలం.
• ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం: ఒక వస్తువును ప్రవాహిలో పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా ముంచినప్పుడు, అది తొలగించే (Displaced) ప్రవాహి బరువుకు సమానమైన పైవైపు బలాన్ని అనుభవిస్తుంది.
• పూర్తిగా మునిగిన తర్వాత తొలగే ద్రవ ఘనపరిమాణం మారదు కాబట్టి మరింత సాగుదల తగ్గదు.
• ఆర్కిమెడిస్: గ్రీకు శాస్త్రవేత్త. స్నానపు తొట్టిలోకి దిగినప్పుడు నీరు పొర్లిపోవడం గమనించి ఈ సూత్రాన్ని కనుగొన్నాడు. 'యురేకా!' (అర్థం: 'నేను కనుగొన్నాను') అని అరుస్తూ వీధుల్లో పరుగెత్తాడు. రాజు కోసం చేసిన కిరీటంలోని బంగారం స్వచ్ఛతను నిర్ణయించడానికి ఈ జ్ఞానం ఉపయోగపడింది.
• జ్యామితి, యాంత్రిక శాస్త్రంలో ఆయన కృషి ప్రసిద్ధి
• లీవర్లు, కప్పీలు, చక్రం–ఇరుసుల అవగాహన రోమన్ సైన్యంతో యుద్ధంలో గ్రీకు సైన్యానికి సహాయపడింది.
• అనువర్తనాలు:
  1. ఓడలు, జలాంతర్గాముల (Submarines) రూపకల్పన.
  2. లాక్టోమీటర్ (Lactometer): పాల స్వచ్ఛత నిర్ణయించడానికి.
  3. హైడ్రోమీటర్ (Hydrometer): ద్రవాల సాంద్రత కొలవడానికి.
• అనుబంధం:
  1. తొలగించిన ద్రవం బరువు వస్తువు బరువుకు సమానమైతే తేలుతుంది
  2. తక్కువైతే మునుగుతుంది.

అధ్యాయం చివరి సారాంశంలో ఇచ్చిన ప్రకటనలు పరీక్షలకు ఒక్క చూపులో గుర్తుంచుకోదగ్గవి.

• నియమం: ఏ రెండు వస్తువుల మధ్య ఆకర్షణ బలం వాటి ద్రవ్యరాశుల లబ్ధానికి అనులోమానుపాతంలో, వాటి మధ్య దూరం వర్గానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఈ నియమం విశ్వంలో ఎక్కడైనా వర్తిస్తుంది, కాబట్టి దీన్ని విశ్వ నియమం అంటారు.
• గురుత్వాకర్షణ పెద్ద ద్రవ్యరాశులు ఉంటే తప్ప బలహీన బలం.
• గురుత్వ బలంలో మార్పులు:
  1. ఎత్తు పెరిగితే తగ్గుతుంది
  2. భూమి ఉపరితలంపై ధ్రువాల నుండి భూమధ్యరేఖకు తగ్గుతుంది.
• బరువు:
  1. భూమి వస్తువును ఆకర్షించే బలం
  2. W = m g. బరువు స్థలాన్ని బట్టి మారవచ్చు, ద్రవ్యరాశి స్థిరం.
• ఉత్ప్లావకత: ప్రవాహిలో ముంచిన అన్ని వస్తువులు ఉత్ప్లావక బలాన్ని అనుభవిస్తాయి.
• తేలడం/మునగడం:
  1. ద్రవ సాంద్రత కంటే వస్తువు సాంద్రత తక్కువైతే తేలుతుంది
  2. ఎక్కువైతే మునుగుతుంది.
• ముఖ్య సూత్రాలు:
  1. F = G Mm/d²
  2. g = G M/R²
  3. F = m g
  4. W = m g
  5. పీడనం = తోపు/వైశాల్యం
  6. Wm = We/6.
• ముఖ్య విలువలు:
  1. G = 6.673 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
  2. g = 9.8 m s⁻²
  3. భూమి ద్రవ్యరాశి 6 × 10²⁴ kg
  4. భూమి వ్యాసార్ధం 6.4 × 10⁶ m
  5. చంద్రుని ద్రవ్యరాశి 7.4 × 10²² kg
  6. భూమి–చంద్రుల దూరం 3.84 × 10⁵ km.
• ప్రశ్న 23 (బహుళైచ్ఛిక): ద్రవ్యరాశి 10 kg గానే ఉండి బరువు 16.7 N అయ్యే ఎంపిక సరైనది.
• ప్రశ్న 12 సమాధానం: 10 kg వస్తువు భూమిపై 98 N, చంద్రునిపై సుమారు 16.3 N.
• గణిత సమాధానాల పట్టిక (అధ్యాయం 5):
  1. ప్ర.3 → 9.8 N
  2. ప్ర.13 → 122.5 m, 10 s
  3. ప్ర.14 → 19.6 m/s
  4. ప్ర.15 → 80 m, 0, 160 m
  5. ప్ర.16 → 3.56 × 10²² N
  6. ప్ర.17 → 4 s, 80 m
  7. ప్ర.18 → 29.4 m/s, 44.1 m, 4.9 m (పై నుండి)
  8. ప్ర.21 → మునుగుతుంది
  9. ప్ర.22 → మునుగుతుంది, 350 g.