కాలం & పని (Time & Work)

ఒక పనిని ఒక వ్యక్తి ఎన్ని రోజుల్లో చేయగలడో తెలిస్తే, ఆ వ్యక్తి రోజుకు ఎంత భాగం పని చేస్తాడో లెక్కించవచ్చు. కాలం–పని లెక్కలన్నీ ఈ 'ఒక రోజు పని' ఆలోచనపైనే ఆధారపడతాయి.

• పూర్తి పనిని 1 గా తీసుకోవాలి: పని పరిమాణం ఇవ్వకపోతే మొత్తం పని = 1.
• ఒక రోజు పని: ఒకరు ఒక పనిని n రోజుల్లో చేస్తే, ఒక రోజులో చేసే పని = 1/n.
• x రోజుల పని: x రోజుల్లో చేసే పని = x/n.
• మిగిలిన పని: 1 − (చేసిన పని).
• సామర్థ్యం (Efficiency): ఒకరు ఒక రోజులో చేసే పని భాగం. తక్కువ రోజుల్లో పూర్తి చేసేవారి సామర్థ్యం ఎక్కువ.
• పని సమానమైతే సామర్థ్యం, రోజులకు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
• ముఖ్య సూత్రం: పని = సామర్థ్యం × కాలం.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• A ఒక పనిని 10 రోజుల్లో చేస్తాడు. 4 రోజుల్లో చేసిన పని = 4/10 = 2/5
• మిగిలిన పని = 3/5.
• A పనిని 12 రోజుల్లో, B 15 రోజుల్లో చేస్తారు. A సామర్థ్యం : B సామర్థ్యం = 1/12 : 1/15 = 5 : 4.
• ఒక వ్యక్తి 20 రోజుల్లో చేసే పనిని 'రెండింతల సామర్థ్యం' గల వ్యక్తి 10 రోజుల్లో చేస్తాడు.

ఇద్దరు లేదా ఎక్కువ మంది కలిసి పని చేస్తే, వారి ఒక రోజు పనులను కూడాలి. భిన్నాలు చేయడం కష్టంగా అనిపిస్తే, 'LCM పద్ధతి' అనే సులభ మార్గం ఉంది. దీన్ని పరీక్షల్లో ఎక్కువమంది వాడతారు.

• భిన్న పద్ధతి: A, B లు వరుసగా a, b రోజుల్లో చేస్తే, కలిసి పనిచేస్తే ఒక రోజు పని = 1/a + 1/b.
• కలిసి పూర్తి చేసే కాలం = ab/(a + b) రోజులు.
• LCM పద్ధతి:
  1. 1) వారు తీసుకునే రోజుల LCM ను మొత్తం పనిగా (యూనిట్లు) తీసుకోవాలి.
  2. 2) ఒక్కొక్కరి రోజువారీ యూనిట్లు = మొత్తం యూనిట్లు ÷ వారి రోజులు.
  3. 3) అందరి యూనిట్లు కూడి, మొత్తం యూనిట్లను భాగించాలి.
• ఒకరి కాలం కనుక్కోవడం: ఇద్దరూ కలిసి t రోజులు, A ఒక్కడే a రోజులు అయితే B ఒక్కడే = at/(a − t).
• ముగ్గురికి: 1/a + 1/b + 1/c = కలిసి చేసే ఒక రోజు పని.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• A 10 రోజుల్లో, B 15 రోజుల్లో చేస్తే కలిసి = (10 × 15)/25 = 6 రోజులు.
• LCM పద్ధతి:
  1. మొత్తం పని 30 యూనిట్లు
  2. A = 3, B = 2 యూనిట్లు/రోజు
  3. కలిసి 5 యూనిట్లు → 30/5 = 6 రోజులు.
• A, B కలిసి 8 రోజుల్లో
• A ఒక్కడే 12 రోజుల్లో చేస్తే B ఒక్కడే = 8 × 12/(12 − 8) = 24 రోజులు.
• A, B, C లు 12, 15, 20 రోజుల్లో చేస్తారు. LCM = 60
• యూనిట్లు 5, 4, 3 = 12
• కలిసి 60/12 = 5 రోజులు.

'A, B కంటే రెండింతలు వేగంగా పని చేస్తాడు' వంటి ప్రశ్నల్లో సామర్థ్యాల నిష్పత్తి ఇస్తారు. ఈ రకంలో రోజుల నిష్పత్తి, సామర్థ్య నిష్పత్తికి విలోమంగా ఉంటుందని గుర్తుంచుకుంటే సులభంగా చేయవచ్చు.

• సామర్థ్యం : రోజులు: సామర్థ్యాల నిష్పత్తి a : b అయితే, అదే పనికి రోజుల నిష్పత్తి b : a.
• 'రెండింతలు వేగంగా':
  1. A సామర్థ్యం = 2 × B సామర్థ్యం
  2. A రోజులు = B రోజులలో సగం.
• 'k రెట్లు మంచి పనివాడు': A, B కంటే k రెట్లు సమర్థుడైతే A రోజులు = B రోజులు ÷ k.
• కలిసి చేసే కాలం ఇస్తే: సామర్థ్య నిష్పత్తి ఆధారంగా మొత్తం యూనిట్లు = కలిసి కాలం × (యూనిట్ల మొత్తం).

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• A, B కంటే 3 రెట్లు సమర్థుడు. ఇద్దరూ కలిసి 12 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తే A ఒక్కడే ఎన్ని రోజులు?
• A :
  1. B సామర్థ్యం = 3 : 1 → యూనిట్లు 3 + 1 = 4 /రోజు
  2. మొత్తం పని = 4 × 12 = 48 యూనిట్లు.
• A ఒక్కడే = 48/3 = 16 రోజులు
• B ఒక్కడే = 48/1 = 48 రోజులు.
• A సామర్థ్యం B కంటే 25% ఎక్కువ. B పనిని 20 రోజుల్లో చేస్తే A = 20 ÷ 1.25 = 16 రోజులు.
• A :
  1. B సామర్థ్య నిష్పత్తి 2 : 3
  2. A ఒక్కడే 30 రోజుల్లో చేస్తే B = 30 × 2/3 = 20 రోజులు.

కొన్ని ప్రశ్నల్లో ఇద్దరూ రోజు విడిచి రోజు పని చేస్తారు, లేదా ఒకరు మధ్యలో వెళ్లిపోతారు. ఇలాంటి వాటిని LCM యూనిట్ల పద్ధతిలో సులభంగా చేయవచ్చు.

• ఒకరోజు విడిచి ఒకరోజు (Alternate days):
  1. A, B ల రోజువారీ యూనిట్లను కూడి 2 రోజుల పనిగా తీసుకోవాలి.
  2. మొత్తం పనిని ఆ మొత్తంతో భాగించి 2 తో గుణించాలి.
  3. చివరిలో మిగిలిన భాగాన్ని విడిగా లెక్కించాలి.
• మధ్యలో వెళ్లిపోవడం: ఎంత కాలం కలిసి చేశారో లెక్కించి, ఆ పని తీసివేసి, మిగిలినది మిగిలినవారు చేసే కాలం కనుక్కోవాలి.
• ప్రారంభంలో ఒకరు, తర్వాత ఇద్దరు: ముందు ఒక్కరి పనిని విడిగా లెక్కించాలి.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• A 10 రోజుల్లో, B 15 రోజుల్లో చేస్తారు. A మొదలు పెట్టి రోజు విడిచి రోజు పని చేస్తే?
• LCM = 30
• A = 3, B = 2 యూనిట్లు/రోజు
• రెండు రోజులు = 5 యూనిట్లు.
• 30 యూనిట్లకు 6 జతలు = 12 రోజులు.
• A, B లు 20, 30 రోజుల్లో చేస్తారు. ఇద్దరూ కలిసి మొదలు పెట్టి 6 రోజుల తర్వాత A వెళ్లిపోతే?
• LCM = 60
• A = 3, B = 2
• 6 రోజుల్లో 6 × 5 = 30 యూనిట్లు
• మిగిలింది 30.
• B ఒక్కడే 30/2 = 15 రోజులు → మొత్తం 21 రోజులు.
• A 12 రోజుల్లో చేసే పనిని 4 రోజులు చేసి వెళ్లిపోతే, మిగిలిన పనిని B 16 రోజుల్లో పూర్తి చేశాడు. B ఒక్కడే మొత్తం పనికి = 16/(2/3) = 24 రోజులు (A 4 రోజుల్లో 1/3 చేశాడు, మిగిలింది 2/3).

పైపులు–ట్యాంకుల సమస్యలు కాలం–పని సూత్రాలకే మరో రూపం. నీటిని నింపే పైపును ఇన్‌లెట్ (Inlet) అనీ, ఖాళీ చేసే పైపును అవుట్‌లెట్ (Outlet) అనీ అంటారు. ఇన్‌లెట్ పనిని ధనాత్మకంగా, అవుట్‌లెట్ పనిని ఋణాత్మకంగా తీసుకోవాలి.

• ఇన్‌లెట్ (Inlet): ట్యాంకును నింపుతుంది → ఒక గంట పని = +1/n.
• అవుట్‌లెట్ (Outlet): ట్యాంకును ఖాళీ చేస్తుంది → ఒక గంట పని = −1/n.
• పైపులు కలిపి: అన్ని పైపులు తెరిస్తే నికర పని = ఇన్‌లెట్ల కూడిక − అవుట్‌లెట్ల కూడిక.
• లీక్ (Leak): ట్యాంకులో రంధ్రం ఉంటే అది కూడా అవుట్‌లెట్ లాగే లెక్కించాలి.
• LCM పద్ధతి: ట్యాంకు సామర్థ్యంగా LCM యూనిట్లు తీసుకోవడం సులభం.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• A పైపు 12 గంటల్లో, B పైపు 15 గంటల్లో నింపుతాయి
• C పైపు 20 గంటల్లో ఖాళీ చేస్తుంది. మూడూ తెరిస్తే?
• LCM = 60
• A = +5, B = +4, C = −3
• నికరం = 6 యూనిట్లు/గంట.
• ట్యాంకు నిండడానికి 60/6 = 10 గంటలు.
• A, B పైపులు వరుసగా 20, 30 నిమిషాల్లో నింపుతాయి. రెండూ కలిసి నింపితే 20 × 30/50 = 12 నిమిషాలు.
• ఒక ట్యాంకును ఒక పైపు 6 గంటల్లో నింపుతుంది. రంధ్రం ఉండటం వల్ల 8 గంటలు పట్టింది. రంధ్రం ఒక్కటే ట్యాంకు ఖాళీ చేయడానికి = 6 × 8/(8 − 6) = 24 గంటలు.

పని చేసిన వారికి కూలీ పంచేటప్పుడు, ప్రతి ఒక్కరు చేసిన పని పరిమాణం ఆధారంగా పంచాలి. అలాగే మనుషుల సంఖ్య, రోజులు, గంటలు మారినప్పుడు పనిని లెక్కించడానికి 'మ్యాన్-డేస్' సూత్రం ఉపయోగపడుతుంది.

• వేతనం పంపిణీ: మొత్తం కూలీ ఎవరెంత పని చేశారో ఆ నిష్పత్తిలో పంచాలి.
• ఒకే కాలం పని చేస్తే సామర్థ్య నిష్పత్తిలో
• వేర్వేరు కాలం పని చేస్తే (సామర్థ్యం × రోజులు) నిష్పత్తిలో.
• మ్యాన్-డేస్ సూత్రం: M₁ × D₁ × H₁ / W₁ = M₂ × D₂ × H₂ / W₂ (M = మనుషులు, D = రోజులు, H = రోజుకు గంటలు, W = పని).
• మనుషులు ఎక్కువైతే రోజులు తక్కువ: పని సమానమైతే మనుషులు, రోజులు విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
• స్త్రీ, పురుష, పిల్లల పని: వారి సామర్థ్యాల నిష్పత్తిని ఇస్తే అందరినీ ఒకే యూనిట్‌గా మార్చాలి.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• A 10 రోజుల్లో, B 15 రోజుల్లో చేస్తారు. ఇద్దరూ కలిసి పని చేసి ₹ 600 పొందారు. పని నిష్పత్తి = 1/10 : 1/15 = 3 : 2 → A కు ₹ 360, B కు ₹ 240.
• 12 మంది ఒక పనిని 10 రోజుల్లో చేస్తే, 15 మంది అదే పనిని = 12 × 10/15 = 8 రోజుల్లో చేస్తారు.
• 8 మంది రోజుకు 6 గంటలు పని చేసి 10 రోజుల్లో చేసే పనిని, 10 మంది రోజుకు 8 గంటలు పని చేస్తే = (8 × 6 × 10)/(10 × 8) = 6 రోజుల్లో చేస్తారు.