శాతాలు (Percentages)

శాతం (Percentage) అంటే 'వందకు ఇన్ని' అని అర్థం. % గుర్తు అంటే '/100'. ఏ సంఖ్యనైనా 100 ను పోలికగా తీసుకుని చెప్పే పద్ధతే శాతం. పరీక్షల్లో లాభ నష్టాలు, వడ్డీ, డేటా ఇంటర్‌ప్రిటేషన్ అన్నింటికీ ఇదే పునాది.

• శాతం → భిన్నం: x% = x/100. ఉదా: 25% = 25/100 = 1/4.
• భిన్నం → శాతం: భిన్నాన్ని 100 తో గుణించాలి. ఉదా: 3/5 × 100 = 60%.
• దశాంశం → శాతం: 100 తో గుణించాలి (దశాంశ బిందువును రెండు స్థానాలు కుడివైపు జరపాలి). ఉదా: 0.35 = 35%, 1.2 = 120%.
• శాతం → దశాంశం: 100 తో భాగించాలి. ఉదా: 8% = 0.08.
• ఒక సంఖ్యలో x%: (x/100) × సంఖ్య. ఉదా: 360 లో 15% = 360 × 15/100 = 54.
• ఒక సంఖ్య మరొక దానిలో ఎంత శాతం?: (భాగం / మొత్తం) × 100.
• ఉదా: 600 మార్కులకు 480 వస్తే శాతం = 480/600 × 100 = 80%.
• గుర్తుంచుకోండి: 100% అంటే మొత్తం. ఆధారం (Base) ఎప్పుడూ 'దేనిలో' లేదా 'దేని కంటే' అనే పదం తర్వాతి సంఖ్య.

కొన్ని భిన్నాల శాతాలు కంఠస్థం చేసుకుంటే లెక్కలు సెకన్లలో అయిపోతాయి. పరీక్షల్లో సమయం ఆదా చేసే అతి ముఖ్యమైన షార్ట్‌కట్ ఇదే. దీన్ని 'భిన్న పద్ధతి (Fraction Method)' అంటారు.

• తప్పనిసరిగా గుర్తుంచుకోవలసినవి:
  1. 1/2 = 50%, 1/3 = 33⅓%, 1/4 = 25%, 1/5 = 20%
  2. 1/6 = 16⅔%, 1/7 = 14²⁄₇% (సుమారు 14.28%), 1/8 = 12.5%
  3. 1/9 = 11⅑%, 1/10 = 10%, 1/11 = 9¹⁄₁₁%, 1/12 = 8⅓%
  4. 1/15 = 6⅔%, 1/16 = 6.25%, 1/20 = 5%, 1/25 = 4%
• మిగతా భిన్నాలు:
  1. లవాన్ని గుణించాలి. ఉదా: 3/8 = 3 × 12.5% = 37.5%
  2. 5/6 = 5 × 16⅔% = 83⅓%.
• రివర్స్ ఉపయోగం: ప్రశ్నలో 16⅔% అని ఉంటే '1/6' అని, 37.5% అని ఉంటే '3/8' అని మార్చుకోవాలి.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• 540 లో 16⅔% ఎంత? → 540 × 1/6 = 90.
• 480 లో 37.5% ఎంత? → 480 × 3/8 = 180.
• ఒక సంఖ్యలో 12.5% = 25 అయితే ఆ సంఖ్య? → 12.5% = 1/8, కాబట్టి సంఖ్య = 25 × 8 = 200.

రెండు సంఖ్యలను పోల్చేటప్పుడు 'A కంటే B ఎంత శాతం ఎక్కువ' అని అడుగుతారు. ఇక్కడ ఆధారం (Base) ఎప్పుడూ 'కంటే' అనే పదం తర్వాత వచ్చే సంఖ్య. ఆధారం మారితే శాతం మారిపోతుంది, ఇదే చాలామంది చేసే పొరపాటు.

• A కంటే B ఎంత % ఎక్కువ: (B − A)/A × 100 (ఆధారం A).
• A కంటే B ఎంత % తక్కువ: (A − B)/A × 100 (ఆధారం A).
• పరస్పర సంబంధం: A కంటే B, x% ఎక్కువ అయితే, B కంటే A తక్కువ శాతం = x/(100 + x) × 100.
• A కంటే B, x% తక్కువ అయితే, B కంటే A ఎక్కువ శాతం = x/(100 − x) × 100.
• త్వరిత జతలు:
  1. 25% ఎక్కువ ↔ 20% తక్కువ
  2. 20% ఎక్కువ ↔ 16⅔% తక్కువ
  3. 50% ఎక్కువ ↔ 33⅓% తక్కువ
  4. 100% ఎక్కువ ↔ 50% తక్కువ.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• 80 కంటే 100 ఎంత % ఎక్కువ? → (100 − 80)/80 × 100 = 25%.
• రాము జీతం శ్యామ్ జీతం కంటే 25% ఎక్కువ అయితే, శ్యామ్ జీతం రాము కంటే ఎంత % తక్కువ? → శ్యామ్ = 100 అనుకుంటే రాము = 125. తేడా 25, ఆధారం 125 → 25/125 × 100 = 20%.
• A, B కంటే 20% తక్కువ అయితే B, A కంటే ఎంత % ఎక్కువ? → 20/(100 − 20) × 100 = 25%.

ఒకే సంఖ్యపై వరుసగా రెండు శాతం మార్పులు జరిగితే మొత్తం ప్రభావం ఆ రెండింటి కూడిక కాదు. రెండో మార్పు, మొదటి మార్పు తర్వాత వచ్చిన కొత్త విలువపై పడుతుంది. దీనికి చిన్న సూత్రం ఉంది.

• సూత్రం: రెండు మార్పులు a% మరియు b% అయితే నికర మార్పు = a + b + (a × b)/100 %.
• పెరుగుదలను (+), తగ్గుదలను (−) గా తీసుకోవాలి.
• గుణక పద్ధతి (Multiplier Method):
  1. 10% పెరుగుదల = ×1.10
  2. 20% తగ్గుదల = ×0.80. అన్నింటినీ గుణిస్తే చాలు.
• మూడు మార్పులకు: ముందు రెండింటికి సూత్రం వేసి, వచ్చిన ఫలితాన్ని మూడో దానితో మళ్లీ కలపాలి.
• ప్రాంతఫలం (Area): దీర్ఘచతురస్ర పొడవు x% పెరిగి, వెడల్పు y% పెరిగితే వైశాల్యం మార్పు = x + y + xy/100 %.
• చతురస్ర భుజం x% పెరిగితే వైశాల్యం మార్పు = 2x + x²/100 %.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• వరుసగా 10%, 20% పెరుగుదల → 10 + 20 + (10 × 20)/100 = 32% పెరుగుదల.
• 20% పెరిగి, తర్వాత 20% తగ్గితే → 20 − 20 + (20 × −20)/100 = −4%, అంటే 4% నష్టం.
• ధర 25% పెరిగి, తర్వాత 20% తగ్గితే → 25 − 20 − 5 = 0%, ధర మారదు.
• చతురస్ర భుజం 10% పెరిగితే వైశాల్యం → 20 + 1 = 21% పెరుగుతుంది.

ఒక ఊరి జనాభా ప్రతి ఏడాది కొంత శాతం పెరుగుతుంటే, ప్రతి ఏడాది పెరుగుదల కొత్త జనాభాపైనే లెక్కిస్తారు. వాహనం లేదా యంత్రం విలువ ఏటా కొంత శాతం తగ్గడాన్ని తరుగుదల (Depreciation) అంటారు. రెండూ చక్రవడ్డీ సూత్రం లాంటివే.

• పెరుగుదల సూత్రం: ప్రస్తుత జనాభా P, ఏటా r% పెరుగుదల అయితే n ఏళ్ల తర్వాత = P × (1 + r/100)ⁿ.
• తగ్గుదల సూత్రం: ప్రస్తుత విలువ P, ఏటా r% తగ్గితే n ఏళ్ల తర్వాత = P × (1 − r/100)ⁿ.
• n ఏళ్ల క్రితం విలువ: ఇప్పుడు P అయితే n ఏళ్ల క్రితం = P / (1 + r/100)ⁿ.
• ఏడాదికి వేర్వేరు రేట్లు: మొదటి ఏడాది r₁%, రెండో ఏడాది r₂% అయితే = P × (1 + r₁/100) × (1 + r₂/100).

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ఒక పట్టణ జనాభా 10,000, ఏటా 10% పెరిగితే 2 ఏళ్ల తర్వాత = 10,000 × 1.1 × 1.1 = 12,100.
• ₹ 20,000 విలువైన బైక్ ఏటా 10% తరుగుదల అయితే 2 ఏళ్ల తర్వాత = 20,000 × 0.9 × 0.9 = ₹ 16,200.
• జనాభా 50,000
• మొదటి ఏడాది 4%, రెండో ఏడాది 5% పెరిగితే = 50,000 × 1.04 × 1.05 = 54,600.
• ఇప్పుడు జనాభా 12,100, ఏటా 10% పెరుగుదల అయితే 2 ఏళ్ల క్రితం = 12,100 / (1.1 × 1.1) = 10,000.

ఒక వస్తువు ధర పెరిగినప్పుడు ఖర్చు పెరగకూడదంటే వినియోగం తగ్గించాలి. ధర తగ్గినప్పుడు అదే ఖర్చుతో ఎక్కువ కొనవచ్చు. ఈ రకం ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో చాలా సాధారణం.

• ధర r% పెరిగితే: ఖర్చు స్థిరంగా ఉండాలంటే వినియోగం తగ్గింపు = r/(100 + r) × 100 %.
• ధర r% తగ్గితే: ఖర్చు స్థిరంగా ఉండాలంటే వినియోగం పెంపు = r/(100 − r) × 100 %.
• ప్రాథమిక సంబంధం: ఖర్చు = ధర × వినియోగం. ఖర్చు స్థిరమైతే ధర, వినియోగం విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
• ఖర్చు మార్పు: ధర a% మారి, వినియోగం b% మారితే ఖర్చు మార్పు = a + b + ab/100 %.
• త్వరిత జతలు:
  1. ధర 25% పెరిగితే 20% తగ్గించాలి
  2. ధర 20% తగ్గితే 25% ఎక్కువ కొనవచ్చు.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• చక్కెర ధర 20% పెరిగింది. కుటుంబం ఖర్చు పెంచకూడదనుకుంటే వినియోగం తగ్గింపు = 20/120 × 100 = 16⅔%.
• బియ్యం ధర 20% తగ్గింది. అదే డబ్బుతో ఎంత % ఎక్కువ కొనవచ్చు? → 20/80 × 100 = 25%.
• నూనె ధర 10% పెరిగి, వినియోగం 10% తగ్గితే ఖర్చు మార్పు = 10 − 10 − 1 = −1%, అంటే 1% తగ్గింది.

శాతాల నుండి పరీక్షల్లో ఎక్కువగా వచ్చే రకాలు: పాస్ మార్కుల సమస్యలు, ఎన్నికల ఓట్ల సమస్యలు, మరియు 'A, B లో ఇంత శాతం – B, C లో ఇంత శాతం' అనే శృంఖల (Chain) సమస్యలు. వీటిని సమీకరణం లేకుండా శాతాల తేడా పద్ధతిలో చేయవచ్చు.

• పాస్ మార్కులు: రెండు శాతాల తేడా = రెండు మార్కుల తేడా. దీని నుండి మొత్తం మార్కులు కనుగొనాలి.
• ఎన్నికలు: గెలిచిన అభ్యర్థి ఓట్ల శాతం − ఓడిన అభ్యర్థి ఓట్ల శాతం = మెజారిటీ శాతం.
• ఇద్దరే అభ్యర్థులు ఉంటే, గెలిచినవారికి 60% వస్తే ఓడినవారికి 40% (చెల్లని ఓట్లు లేకపోతే).
• శృంఖల శాతం: A = B లో x%, B = C లో y% అయితే A = C లో (x × y)/100 %.
• ఆదాయం–పొదుపు: ఆదాయం పెరిగి, ఖర్చు పెరిగితే పొదుపు = ఆదాయం − ఖర్చు అని లెక్క వేయాలి.

సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణలు

• ఒక విద్యార్థి 30% మార్కులతో 15 మార్కుల తేడాతో ఫెయిల్
• మరొకరు 40% తెచ్చి 25 మార్కులతో పాస్. పాస్ మార్కులు? → 10% = 15 + 25 = 40, కాబట్టి మొత్తం 400. పాస్ మార్కులు = 30% (120) + 15 = 135.
• ఇద్దరు అభ్యర్థుల ఎన్నికలో విజేతకు 60% ఓట్లు, మెజారిటీ 2,000. మొత్తం ఓట్లు? → 60 − 40 = 20% = 2,000, కాబట్టి మొత్తం = 10,000.
• A అనేది B లో 20%, B అనేది C లో 25% అయితే A అనేది C లో = 20 × 25/100 = 5%.