కాంతి – పరావర్తనం & వక్రీభవనం (Light – Reflection and Refraction)

మెరుగు పెట్టిన నున్నని ఉపరితలం (దర్పణం) తనపై పడిన కాంతిలో చాలా భాగాన్ని వెనక్కి పంపుతుంది. దీన్నే కాంతి పరావర్తనం (Reflection) అంటారు. పరావర్తన నియమాలు సమతలంతో పాటు గోళాకార ఉపరితలాలతో సహా అన్ని పరావర్తక తలాలకూ వర్తిస్తాయి.

• మొదటి నియమం: పతన కోణం (Angle of incidence) పరావర్తన కోణానికి (Angle of reflection) సమానం.
• రెండో నియమం: పతన కిరణం, పతన బిందువు వద్ద దర్పణానికి గీసిన లంబం (Normal), పరావర్తన కిరణం – ఈ మూడూ ఒకే తలంలో ఉంటాయి.
• సమతల దర్పణం (Plane mirror) ప్రతిబింబ లక్షణాలు:
  1. ప్రతిబింబం ఎల్లప్పుడూ మిథ్యా ప్రతిబింబం (Virtual) మరియు నిటారుగా (Erect) ఉంటుంది.
  2. ప్రతిబింబ పరిమాణం వస్తువు పరిమాణానికి సమానం.
  3. వస్తువు దర్పణం ముందు ఎంత దూరంలో ఉంటే, ప్రతిబింబం దర్పణం వెనుక అంతే దూరంలో ఏర్పడుతుంది.
  4. ప్రతిబింబం పార్శ్వ విలోమం (Laterally inverted) – అంటే ఎడమ, కుడి మారినట్టు కనిపిస్తాయి.
• వంపు తిరిగిన ఉపరితలాలు:
  1. మెరిసే పెద్ద చెంచా లోపలి (లోతట్టు) వైపు చూస్తే ముఖం తలకిందులుగా, చిన్నగా కనిపించవచ్చు
  2. చెంచాను ముఖం నుండి దూరం జరిపితే ప్రతిబింబం మారుతుంది. చెంచా వెనుక (ఉబ్బెత్తు) వైపు చూస్తే ముఖం నిటారుగా, చిన్నగా కనిపిస్తుంది. అంటే వంగిన తలాలు సమతల దర్పణం కంటే వేరే రకమైన ప్రతిబింబాలనిస్తాయి.
• గోళాకార దర్పణాలు (Spherical mirrors): పరావర్తక తలం గోళంలో ఒక భాగంగా ఉండే దర్పణాలు. వంగిన దర్పణాల్లో ఎక్కువగా వాడేవి ఇవే.

గోళంలో కొంత భాగాన్ని కత్తిరించి దాని ఒక ఉపరితలాన్ని పరావర్తక తలంగా చేస్తే గోళాకార దర్పణం (Spherical mirror) ఏర్పడుతుంది. పరావర్తక తలం లోపలికి (గోళం కేంద్రం వైపు) వంగి ఉంటే అది పుటాకార దర్పణం; బయటికి ఉబ్బి ఉంటే కుంభాకార దర్పణం.

• పుటాకార దర్పణం (Concave mirror): పరావర్తక తలం లోపలికి వంగి ఉంటుంది, అంటే గోళం కేంద్రం వైపు చూస్తుంది. చెంచా లోపలి వైపు దీనికి సమీప రూపం.
• కుంభాకార దర్పణం (Convex mirror): పరావర్తక తలం బయటికి ఉబ్బి ఉంటుంది. చెంచా వెనుక వైపు దీనికి సమీప రూపం.
• పటాల్లో గుర్తు: దర్పణం వెనుక భాగం (పరావర్తనం చేయని వైపు) నీడగా (shaded) చూపిస్తారు.
• పోల్ (Pole, P):
  1. పరావర్తక తలం మధ్య బిందువు
  2. ఇది దర్పణం ఉపరితలంపైనే ఉంటుంది.
• వక్రతా కేంద్రం (Centre of curvature, C): దర్పణం ఏ గోళంలో భాగమో ఆ గోళం కేంద్రం.
• ఇది దర్పణంలో భాగం కాదు
• పరావర్తక తలం వెలుపల ఉంటుంది.
• పుటాకార దర్పణంలో C దర్పణం ముందు ఉంటుంది
• కుంభాకార దర్పణంలో C దర్పణం వెనుక ఉంటుంది.
• వక్రతా వ్యాసార్థం (Radius of curvature, R):
  1. ఆ గోళం వ్యాసార్థం
  2. దూరం PC = R.
• ప్రధాన అక్షం (Principal axis): పోల్, వక్రతా కేంద్రం గుండా పోయే ఊహా రేఖ. ఇది పోల్ వద్ద దర్పణానికి లంబంగా ఉంటుంది.
• ద్వారం (Aperture): పరావర్తక తలం వృత్తాకార అంచు వ్యాసం (పటంలో MN). ఈ పాఠంలో ద్వారం వక్రతా వ్యాసార్థం కంటే చాలా తక్కువగా ఉన్న దర్పణాలనే పరిగణిస్తారు.

సూర్యకాంతి (సమాంతర కిరణాలు) ని పుటాకార దర్పణం ఒకే బిందువుకు కేంద్రీకరిస్తుంది. ఈ బిందువే ప్రధాన నాభి. దీని వల్లే దర్పణం మనకు సూర్యుడి ప్రతిబింబాన్ని ఒక ప్రకాశవంతమైన చిన్న మచ్చగా తెరపై చూపిస్తుంది.

• కృత్యం (సూర్యకాంతి): పుటాకార దర్పణాన్ని సూర్యుని వైపు పట్టి, పరావర్తనమైన కాంతిని కాగితంపై పడేలా చేసి కాగితాన్ని ముందు వెనుకకు జరిపితే ఒక పదునైన ప్రకాశవంతమైన చుక్క వస్తుంది. కొంతసేపటికి కాగితం పొగ రావడం, మండడం మొదలవుతుంది.
• ఆ చుక్క సూర్యుని నిజ, తలకిందులు, అతి చిన్న ప్రతిబింబం.
• సూర్యకాంతి కేంద్రీకరించడం వల్ల ఏర్పడిన ఉష్ణమే కాగితాన్ని మండిస్తుంది.
• ముందు జాగ్రత్త:
  1. సూర్యుని వైపు లేదా సూర్యకాంతిని పరావర్తనం చేసే అద్దం వైపు నేరుగా చూడకూడదు
  2. కళ్లకు హాని కలుగుతుంది.
• పుటాకార దర్పణ నాభి: ప్రధాన అక్షానికి సమాంతరంగా పడిన కిరణాలు పరావర్తనం తర్వాత ప్రధాన అక్షంపై ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి. ఇదే ప్రధాన నాభి (Principal focus, F). ఇది నిజ నాభి.
• కుంభాకార దర్పణ నాభి:
  1. ప్రధాన అక్షానికి సమాంతర కిరణాలు పరావర్తనం తర్వాత ప్రధాన అక్షంపై ఒక బిందువు నుండి వెలువడుతున్నట్టు కనిపిస్తాయి (అపసరణం). ఆ బిందువే కుంభాకార దర్పణ నాభి
  2. ఇది దర్పణం వెనుక ఉంటుంది.
• నాభ్యంతరం (Focal length, f): పోల్ నుండి ప్రధాన నాభికి ఉన్న దూరం (PF).
• ఆచరణలో నాభ్యంతరం: దర్పణం స్థానానికి, సూర్య ప్రతిబింబం ఏర్పడే స్థానానికి మధ్య దూరం దర్పణ నాభ్యంతరానికి సుమారు విలువ. దూరంగా ఉన్న వస్తువు ప్రతిబింబాన్ని తెరపై పొంది కూడా దీన్ని తెలుసుకోవచ్చు.
• సంబంధం: చిన్న ద్వారం ఉన్న గోళాకార దర్పణాల్లో వక్రతా వ్యాసార్థం, నాభ్యంతరానికి రెండింతలు: R = 2f.
• అర్థం: ప్రధాన నాభి F, పోల్ P కి, వక్రతా కేంద్రం C కి సరిగ్గా మధ్యలో ఉంటుంది.

పుటాకార దర్పణం ఏర్పరచే ప్రతిబింబం స్వభావం, స్థానం, పరిమాణం వస్తువు P, F, C లకు సంబంధించి ఎక్కడ ఉందనే దానిపై ఆధారపడతాయి. దీన్ని మండుతున్న కొవ్వొత్తి, తెరతో పరిశీలించి పట్టికలో నమోదు చేశారు. పట్టిక దాదాపు ప్రతి పోటీ పరీక్షలో అడిగే భాగం.

(వస్తువు స్థానం → ప్రతిబింబ స్థానం, పరిమాణం, స్వభావం)

• అనంత దూరంలో → నాభి F వద్ద
• అతి చిన్నది (బిందు పరిమాణం)
• నిజ, తలకిందులు.
• C కు ఆవల → F, C ల మధ్య
• చిన్నది
• నిజ, తలకిందులు.
• C వద్ద → C వద్దే
• వస్తువు అంత పరిమాణం
• నిజ, తలకిందులు.
• C, F ల మధ్య → C కు ఆవల
• పెద్దది
• నిజ, తలకిందులు.
• F వద్ద → అనంత దూరంలో
• అత్యధికంగా పెద్దది
• నిజ, తలకిందులు.
• P, F ల మధ్య → దర్పణం వెనుక
• పెద్దది
• మిథ్యా, నిటారు.
• కృత్యం గురించి:
  1. కొవ్వొత్తిని C కు ఆవల, C కు కొంచెం ఆవల, C వద్ద, C–F మధ్య, F వద్ద, P–F మధ్య ఉంచి తెరపై ప్రతిబింబాన్ని పరిశీలించారు. ఒక స్థితిలో (P, F మధ్య) తెరపై ప్రతిబింబం పడదు
  2. అప్పుడు దర్పణంలోనే చూడాలి (మిథ్యా ప్రతిబింబం).

గుర్తుపెట్టుకునే సూత్రాలు

• P, F మధ్య తప్ప మిగిలిన అన్ని స్థానాల్లో ప్రతిబింబం నిజమైనది, తలకిందులుగా ఉంటుంది.
• వస్తువు దర్పణానికి దగ్గరగా వస్తున్న కొద్దీ (అనంతం నుండి F వరకు) ప్రతిబింబం దర్పణం నుండి దూరమై, పెద్దదవుతుంది.
• వస్తువు C వద్ద ఉన్నప్పుడే ప్రతిబింబం సమాన పరిమాణంలో ఉంటుంది.
• పెద్ద ప్రతిబింబం కావాలంటే వస్తువును C, F ల మధ్య ఉంచాలి
• నిటారు, పెద్ద ప్రతిబింబానికి P, F ల మధ్య ఉంచాలి.

ఏదైనా వస్తువులోని ప్రతి బిందువు నుండి అనంత కిరణాలు బయలుదేరుతాయి. ప్రతిబింబ స్థానం కనుగొనడానికి అన్నీ అవసరం లేదు; పరావర్తనం తర్వాత దిశ సులభంగా తెలిసే రెండు కిరణాలను తీసుకుంటే చాలు.

రెండు పరావర్తన కిరణాలు ఖండించుకునే (లేదా ఖండించుకుంటున్నట్టు కనిపించే) బిందువే ఆ వస్తు బిందువు ప్రతిబింబం.

(నాలుగు కిరణాల సూత్రాలు)

• (i) ప్రధాన అక్షానికి సమాంతర కిరణం:
  1. పుటాకార దర్పణంలో: పరావర్తనం తర్వాత నాభి F గుండా పోతుంది.
  2. కుంభాకార దర్పణంలో: పరావర్తనం తర్వాత F నుండి వెలువడినట్టు కనిపిస్తుంది.
• (ii) నాభి గుండా పోయే కిరణం:
  1. పుటాకార దర్పణంలో నాభి గుండా పోయే కిరణం, పరావర్తనం తర్వాత ప్రధాన అక్షానికి సమాంతరంగా వెళ్తుంది.
  2. కుంభాకార దర్పణంలో నాభి వైపు గురి పెట్టిన కిరణం, పరావర్తనం తర్వాత ప్రధాన అక్షానికి సమాంతరంగా వెళ్తుంది.
• (iii) వక్రతా కేంద్రం గుండా పోయే కిరణం:
  1. పుటాకార దర్పణంలో C గుండా పోయే (లేదా కుంభాకారంలో C వైపు గురిపెట్టిన) కిరణం పరావర్తనం తర్వాత అదే దారిలో వెనక్కి వస్తుంది.
  2. కారణం: అలాంటి కిరణం దర్పణ తలంపై లంబంగా పడుతుంది (పతన కోణం 0°).
• (iv) పోల్ P వైపు ఏటవాలుగా పడే కిరణం:
  1. ప్రధాన అక్షంతో కొంత కోణం చేస్తూ P వద్ద పడిన కిరణం, పరావర్తన నియమాల ప్రకారం ప్రధాన అక్షంతో అంతే కోణం చేస్తూ ఏటవాలుగా పరావర్తనం చెందుతుంది.
• అన్ని సందర్భాల్లోనూ పరావర్తన నియమాలు (పతన కోణం = పరావర్తన కోణం) పాటిస్తాయి.

పుటాకార దర్పణంలో వస్తువు స్థానాన్ని బట్టి కిరణ చిత్రం మారుతుంది. రెండు ప్రధాన సందర్భాలను అర్థం చేసుకుంటే మిగిలినవన్నీ అర్థమవుతాయి: వస్తువు C కు ఆవల ఉన్నప్పుడు నిజ ప్రతిబింబం, P, F ల మధ్య ఉన్నప్పుడు మిథ్యా ప్రతిబింబం.

• వస్తువు C కు ఆవల: సమాంతర కిరణం F గుండా, F గుండా పోయే కిరణం అక్షానికి సమాంతరంగా పరావర్తనం చెందుతాయి. అవి F, C ల మధ్య ఖండించుకుంటాయి → నిజ, తలకిందులు, చిన్న ప్రతిబింబం.
• వస్తువు P, F ల మధ్య: పరావర్తన కిరణాలు ఖండించుకోవు, వేరుగా పోతాయి. వాటిని వెనక్కి పొడిగిస్తే దర్పణం వెనుక కలుస్తాయి → మిథ్యా, నిటారు, పెద్ద ప్రతిబింబం. మిథ్యా ప్రతిబింబాన్ని తెరపై పొందలేం.
• కిరణ చిత్రాలు గీసే కృత్యం: పట్టికలోని ప్రతి వస్తు స్థానానికి కిరణ చిత్రాలు గీసి, ప్రతిబింబ స్వభావం, స్థానం, పరిమాణం పోల్చి నమోదు చేస్తారు.
• పుటాకార దర్పణాల ఉపయోగాలు:
  1. టార్చిలైట్లు, సెర్చ్‌లైట్లు, వాహనాల హెడ్‌లైట్లలో శక్తివంతమైన సమాంతర కాంతి పుంజం కోసం (బల్బును నాభి వద్ద ఉంచుతారు).
  2. షేవింగ్ అద్దాలుగా (ముఖం పెద్ద ప్రతిబింబం కోసం).
  3. దంత వైద్యులు రోగి పళ్ల పెద్ద ప్రతిబింబం చూడటానికి.
  4. సోలార్ ఫర్నేస్‌లలో సూర్యకాంతిని కేంద్రీకరించి ఉష్ణం పొందడానికి (పెద్ద పుటాకార దర్పణాలు).

కుంభాకార దర్పణం వస్తువు ఎక్కడ ఉన్నా ఒకే రకమైన ప్రతిబింబాన్ని ఇస్తుంది: దర్పణం వెనుక, మిథ్యా, నిటారు, చిన్న ప్రతిబింబం. దీన్ని రెండు వస్తు స్థానాలకు (అనంతం వద్ద, పరిమిత దూరంలో) అధ్యయనం చేస్తారు.

• వస్తువు అనంత దూరంలో:
  1. ప్రతిబింబం దర్పణం వెనుక నాభి F వద్ద
  2. అతి చిన్నది (బిందు పరిమాణం)
  3. మిథ్యా, నిటారు.
• వస్తువు అనంతం – పోల్ P మధ్య:
  1. ప్రతిబింబం దర్పణం వెనుక P, F ల మధ్య
  2. చిన్నది
  3. మిథ్యా, నిటారు.
• కృత్యం (పెన్సిల్): కుంభాకార దర్పణం ముందు పెన్సిల్‌ను నిటారుగా పట్టి చూస్తే ప్రతిబింబం నిటారుగా, చిన్నగా ఉంటుంది. పెన్సిల్‌ను దర్పణం నుండి దూరం జరిపే కొద్దీ ప్రతిబింబం ఇంకా చిన్నదై, నాభికి దగ్గరవుతుంది.
• పెద్ద వస్తువు పూర్తి ప్రతిబింబం కృత్యం: దూరంలోని చెట్టు/భవనాన్ని సమతల దర్పణంలో చూస్తే చిన్న అద్దంలో పూర్తి ప్రతిబింబం కనిపించదు. పుటాకార దర్పణంలో కూడా పూర్తిగా కనిపించదు. కానీ చిన్న కుంభాకార దర్పణంలో పొడవైన భవనం/చెట్టు పూర్తి ప్రతిబింబం కనిపిస్తుంది, ఎందుకంటే అది ఎక్కువ వీక్షణ క్షేత్రాన్ని (Field of view) ఇస్తుంది.
• ఆగ్రా కోట ఉదాహరణ:
  1. ఆగ్రా కోట గోడకు తాజ్‌మహల్ వైపు ఒక చిన్న కుంభాకార దర్పణం అమర్చి ఉంది
  2. దానిలో తాజ్‌మహల్ పూర్తి ప్రతిబింబం కనిపిస్తుంది.
• కుంభాకార దర్పణాల ఉపయోగాలు:
  1. వాహనాల పక్క/వెనుక వీక్షణ (రియర్ వ్యూ) అద్దాలుగా.
  2. కారణం 1: ఎల్లప్పుడూ నిటారు, అయితే చిన్న ప్రతిబింబం ఇస్తుంది.
  3. కారణం 2: బయటికి ఉబ్బి ఉండటంతో వీక్షణ క్షేత్రం విశాలంగా ఉంటుంది; సమతల దర్పణం కంటే ఎక్కువ ప్రాంతం డ్రైవర్‌కు కనిపిస్తుంది.

గోళాకార దర్పణాల సూత్రాలు, లెక్కల్లో దూరాల గుర్తులు (+ లేదా −) సరిగా వేయడానికి ఒక ఉమ్మడి నియమావళి వాడతారు. దాన్ని కొత్త కార్టేసియన్ గుర్తుల సంప్రదాయం (New Cartesian Sign Convention) అంటారు.

• మూలబిందువు: దర్పణం పోల్ (P) మూలబిందువు (origin). ప్రధాన అక్షం x-అక్షం (X'X)గా తీసుకుంటారు.
• నియమాలు:
  1. (i) వస్తువును ఎల్లప్పుడూ దర్పణానికి ఎడమవైపున ఉంచుతారు, అంటే కాంతి ఎడమ నుండి కుడికి దర్పణంపై పడుతుంది.
  2. (ii) ప్రధాన అక్షానికి సమాంతరంగా కొలిచే అన్ని దూరాలను పోల్ నుండే కొలుస్తారు.
  3. (iii) మూలబిందువుకు కుడివైపు (+x) కొలిచిన దూరాలు ధనం; ఎడమవైపు (−x) కొలిచినవి ఋణం.
  4. (iv) ప్రధాన అక్షానికి లంబంగా, పైకి (+y) కొలిచిన ఎత్తులు ధనం.
  5. (v) ప్రధాన అక్షానికి లంబంగా, కిందికి (−y) కొలిచిన ఎత్తులు ఋణం.
• ఫలితంగా:
  1. వస్తు దూరం u ఎల్లప్పుడూ ఋణం (వస్తువు ఎడమవైపు ఉంటుంది కాబట్టి).
  2. పుటాకార దర్పణ నాభ్యంతరం f ఋణం (నాభి దర్పణం ముందు, ఎడమవైపు).
  3. కుంభాకార దర్పణ నాభ్యంతరం f ధనం (నాభి దర్పణం వెనుక, కుడివైపు).
  4. మిథ్యా ప్రతిబింబం (దర్పణం వెనుక) v ధనం; నిజ ప్రతిబింబం (ముందు) v ఋణం.
• వాడే సందర్భం: ఈ సంప్రదాయాన్ని అనుసరించి దర్పణ సూత్రంలో, లెక్కల్లో u, v, f, R విలువలు ఉంచాలి.

గోళాకార దర్పణం ముందున్న వస్తువు దూరం (u), ప్రతిబింబ దూరం (v), నాభ్యంతరం (f) మధ్య సంబంధాన్ని దర్పణ సూత్రం ఇస్తుంది. ప్రతిబింబం వస్తువు కంటే ఎంత పెద్దదో లేదా చిన్నదో వివర్ధనం (Magnification) తెలియజేస్తుంది.

• వస్తు దూరం (u): పోల్ నుండి వస్తువుకు ఉన్న దూరం.
• ప్రతిబింబ దూరం (v): పోల్ నుండి ప్రతిబింబానికి ఉన్న దూరం.
• నాభ్యంతరం (f): పోల్ నుండి ప్రధాన నాభికి ఉన్న దూరం.
• దర్పణ సూత్రం (Mirror formula): 1/v + 1/u = 1/f
• ఈ సూత్రం అన్ని గోళాకార దర్పణాలకు, వస్తువు అన్ని స్థానాలకు చెల్లుతుంది.
• విలువలు ఉంచేటప్పుడు కొత్త కార్టేసియన్ గుర్తుల సంప్రదాయాన్ని తప్పనిసరిగా పాటించాలి.
• వక్రతా వ్యాసార్థం: f = R/2.
• వివర్ధనం (Magnification, m): ప్రతిబింబ ఎత్తు (h') ను వస్తు ఎత్తు (h) తో భాగిస్తే వచ్చే నిష్పత్తి.
• m = h'/h
• దూరాలతో సంబంధం: m = h'/h = −v/u
• ఎత్తుల గుర్తులు:
  1. వస్తువు సాధారణంగా అక్షానికి పైన ఉంటుంది కాబట్టి h ధనం. మిథ్యా ప్రతిబింబానికి h' ధనం
  2. నిజ ప్రతిబింబానికి h' ఋణం.
• m గుర్తు అర్థం:
  1. m ఋణం → ప్రతిబింబం నిజమైనది (తలకిందులు).
  2. m ధనం → ప్రతిబింబం మిథ్యా (నిటారు).
  3. |m| > 1 అయితే ప్రతిబింబం పెద్దది; |m| < 1 అయితే చిన్నది; |m| = 1 అయితే సమాన పరిమాణం.
• సమతల దర్పణం: వివర్ధనం +1 (ప్రతిబింబం సమాన పరిమాణం, మిథ్యా, నిటారు).

దర్పణ సూత్రాన్ని, వివర్ధన సూత్రాన్ని వాడే లెక్కలను సరైన గుర్తులతో చేయడం పరీక్షల్లో ముఖ్యం. పాఠంలోని ఉదాహరణలు, ప్రశ్నలు, అభ్యాసాల లెక్కలు ఇక్కడ ఫలితాలతో ఇస్తున్నాం.

• ఉదాహరణ 9.1 (కుంభాకార దర్పణం):
  1. వాహన రియర్ వ్యూ దర్పణం R = +3.00 m
  2. బస్సు u = −5.00 m.
• f = R/2 = +1.50 m.
• 1/v = 1/f − 1/u = 1/1.50 + 1/5.00 = 6.50/7.50 → v = +1.15 m.
• ప్రతిబింబం దర్పణం వెనుక 1.15 m దూరంలో
• m = −v/u = +0.23 → మిథ్యా, నిటారు, వస్తువు కంటే 0.23 రెట్లు చిన్నది.
• ఉదాహరణ 9.2 (పుటాకార దర్పణం): వస్తువు ఎత్తు 4.0 cm, u = −25.0 cm, f = −15.0 cm.
• 1/v = −1/15 + 1/25 = −2/75 → v = −37.5 cm.
• తెర దర్పణం ముందు 37.5 cm వద్ద ఉంచాలి
• ప్రతిబింబం నిజమైనది.
• m = −v/u = −1.5
• h' = −6.0 cm → తలకిందులు, పెద్దది.
• ప్రశ్న: కుంభాకార దర్పణ R = 32 cm అయితే f = R/2 = +16 cm.
• ప్రశ్న: పుటాకార దర్పణం 10 cm ముందున్న వస్తువుకు 3 రెట్లు పెద్ద నిజ ప్రతిబింబం ఇస్తే m = −3 = −v/u, u = −10 కాబట్టి v = −30 cm. ప్రతిబింబం దర్పణం ముందు 30 cm వద్ద ఉంటుంది.
• అభ్యాసం 12:
  1. కుంభాకార దర్పణం f = +15 cm, u = −10 cm → v = +6 cm
  2. ప్రతిబింబం దర్పణం వెనుక, మిథ్యా, నిటారు, చిన్నది (m = +0.6).
• అభ్యాసం 14:
  1. కుంభాకార దర్పణం R = 30 cm (f = +15 cm), వస్తువు 5.0 cm, u = −20 cm → v ≈ +8.6 cm
  2. m ≈ +0.43
  3. h' ≈ 2.1 cm
  4. మిథ్యా, నిటారు, చిన్నది.
• అభ్యాసం 15:
  1. పుటాకార దర్పణం f = −18 cm, వస్తువు 7.0 cm, u = −27 cm → v = −54 cm
  2. తెరను 54 cm వద్ద ఉంచాలి
  3. m = −2, h' = −14 cm
  4. నిజ, తలకిందులు, పెద్దది.

కాంతి పారదర్శక యానకంలో సరళరేఖా మార్గంలో ప్రయాణిస్తున్నట్టు కనిపిస్తుంది. కానీ ఒక పారదర్శక యానకం నుండి మరో యానకంలోకి ఏటవాలుగా ప్రవేశించినప్పుడు దాని దిశ మారుతుంది. ఈ దృగ్విషయమే కాంతి వక్రీభవనం (Refraction of light).

• రోజువారీ అనుభవాలు:
  1. నీటితో నిండిన ట్యాంకు/చెరువు అడుగు కొంచెం పైకి లేచినట్టు కనిపిస్తుంది.
  2. ముద్రిత అక్షరాలపై మందపాటి గాజు పలక ఉంచితే అక్షరాలు పైకి లేచినట్టు కనిపిస్తాయి.
  3. గ్లాసు నీటిలో సగం ముంచిన పెన్సిల్ గాలి–నీరు తలం వద్ద విరిగినట్టు (స్థానభ్రంశం చెందినట్టు) కనిపిస్తుంది.
  4. నీటి గ్లాసులో ఉంచిన నిమ్మకాయ పక్క నుండి చూస్తే అసలు పరిమాణం కంటే పెద్దదిగా కనిపిస్తుంది.
• కారణం: నీటిలోని పెన్సిల్ భాగం నుండి వచ్చే కాంతి, నీటి పైన ఉన్న భాగం నుండి వచ్చే కాంతికి భిన్నమైన దిశ నుండి వస్తున్నట్టు కనిపిస్తుంది.
• యానకాలను బట్టి మారుతుంది: నీటికి బదులు కిరోసిన్ లేదా టర్పెంటైన్ వాడినా, గాజుకు బదులు ప్లాస్టిక్ పలక వాడినా ఆ ప్రభావం వేరువేరుగా ఉంటుంది. అంటే కాంతి అన్ని యానకాల్లో ఒకే దిశలో ప్రయాణించదు.
• నిర్వచనం: ఒక యానకం నుండి మరో యానకంలోకి ఏటవాలుగా ప్రయాణించేటప్పుడు రెండో యానకంలో కాంతి వ్యాపన దిశ మారే దృగ్విషయం వక్రీభవనం.
• కృత్యాలు:
  1. బకెట్ నీటి అడుగున ఉన్న నాణేన్ని పక్క నుండి చూసి ఒక్క ప్రయత్నంలో తీయడం కష్టం – నాణెం ఉన్నట్టు కనిపించే చోటు, అసలు స్థానం వేరు.
  2. లోతు తక్కువగా ఉన్న గిన్నెలో నాణెం కనిపించకుండా పోయే చోటికి వెళ్లి నిలబడాలి; గిన్నెలో నీరు పోస్తే నాణెం మళ్లీ కనిపిస్తుంది. నాణెం అసలు స్థానం కంటే కొంచెం పైన ఉన్నట్టు కనిపించడమే కారణం.
  3. కాగితంపై ఇంకుతో గీసిన గీతపై గాజు పలకను ఏటవాలుగా ఉంచితే గీత అంచుల వద్ద వంగినట్టు కనిపిస్తుంది; లంబంగా ఉంచితే వంగదు; పై నుండి చూస్తే గీత పైకి లేచినట్టు కనిపిస్తుంది.

గాజు పలకలో కాంతి రెండు తలాల వద్ద వక్రీభవనం చెందుతుంది: గాలి–గాజు తలం వద్ద, గాజు–గాలి తలం వద్ద. ఫలితంగా పలక నుండి బయటకు వచ్చే కిరణం పతన కిరణానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది కానీ కొద్దిగా పక్కకు జరుగుతుంది.

• కృత్యం 9.10 (నాలుగు పిన్నుల పద్ధతి):
  1. డ్రాయింగ్ బోర్డుపై తెల్ల కాగితం బిగించి, దీర్ఘచతురస్ర గాజు పలకను ఉంచి అంచులను పెన్సిల్‌తో గీసి ABCD అని పేరు పెట్టాలి.
  2. AB అంచుకు ఏటవాలుగా E, F పిన్నులు, వ్యతిరేక అంచు నుండి చూస్తూ వాటి ప్రతిబింబాల సరళరేఖలో G, H పిన్నులు నాటాలి.
  3. పిన్నులు, పలకను తీసివేసి EF ను AB వరకు, HG ను CD వరకు పొడిగించి ఆ రెండు బిందువులను కలపాలి.
• పదాలు:
  1. EO – పతన కిరణం
  2. OO' – వక్రీభవన కిరణం
  3. O'H – నిర్గత కిరణం (Emergent ray). లంబాలు NN', MM'.
• దిశలో మార్పు:
  1. గాలి (విరళ యానకం) నుండి గాజు (ఘన యానకం) లోకి ప్రవేశించేటప్పుడు కిరణం లంబం వైపు వంగుతుంది.
  2. గాజు నుండి గాలిలోకి వచ్చేటప్పుడు కిరణం లంబం నుండి దూరంగా వంగుతుంది.
• నిర్గత కిరణం సమాంతరం: రెండు సమాంతర తలాల (AB, CD) వద్ద కిరణం వంగే పరిమాణం సమానం, వ్యతిరేకం. కాబట్టి నిర్గత కిరణం పతన కిరణానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.
• పార్శ్వ విస్థాపనం (Lateral shift): నిర్గత కిరణం కొంత పక్కకు జరుగుతుంది.
• లంబ పతనం: కిరణం రెండు యానకాల తలానికి లంబంగా పడితే దిశ మారదు (వంగదు).
• వక్రీభవనానికి కారణం: ఒక పారదర్శక యానకం నుండి మరో యానకంలోకి వెళ్లినప్పుడు కాంతి వేగంలో కలిగే మార్పు. వక్రీభవనం కొన్ని నియమాలను అనుసరిస్తుంది.

వక్రీభవనం కొన్ని నిర్దిష్ట నియమాల ప్రకారం జరుగుతుందని ప్రయోగాలు చూపాయి. వాటిలో రెండో నియమాన్ని స్నెల్ నియమం (Snell's law) అంటారు.

• మొదటి నియమం: పతన కిరణం, వక్రీభవన కిరణం, రెండు పారదర్శక యానకాలను వేరుచేసే తలానికి పతన బిందువు వద్ద గీసిన లంబం – ఈ మూడూ ఒకే తలంలో ఉంటాయి.
• రెండో నియమం (స్నెల్ నియమం): ఇచ్చిన రంగు కాంతికి, ఇచ్చిన యానకాల జతకు, పతన కోణం (i) సైన్ విలువ, వక్రీభవన కోణం (r) సైన్ విలువ నిష్పత్తి స్థిరం.
• సూత్రం: sin i / sin r = స్థిరాంకం.
• ఇది 0 < i < 90° మధ్య కోణాలకు నిజం.
• స్థిరాంకం పేరు: ఈ స్థిరాంకాన్ని మొదటి యానకానికి సంబంధించి రెండో యానకపు వక్రీభవన గుణకం (Refractive index) అంటారు.
• ఆధారపడే అంశాలు: స్థిరాంకం విలువ కాంతి రంగు (తరంగదైర్ఘ్యం)పై, యానకాల జతపై ఆధారపడుతుంది.
• వక్రీభవన గుణకం ప్రాముఖ్యత: ఒక జత యానకాల్లో కాంతి దిశ ఎంత మారుతుందో (వంపు ఎంతో) ఈ స్థిరాంకంతో తెలుస్తుంది.
• దిశ మార్పు:
  1. i > r అయితే కిరణం లంబం వైపు వంగింది (ఘన యానకంలోకి)
  2. i < r అయితే లంబం నుండి దూరంగా వంగింది (విరళ యానకంలోకి).

వక్రీభవన గుణకం కాంతి వేర్వేరు యానకాల్లో ప్రయాణించే వేగంతో నేరుగా ముడిపడి ఉంటుంది. కాంతి వేగం ఎంత తగ్గితే, యానకం వక్రీభవన గుణకం అంత ఎక్కువ.

• కాంతి వేగం: శూన్యంలో కాంతి వేగం అత్యధికం: 3 × 10^8 m/s. గాలిలో ఇది శూన్యంలో కంటే కొద్దిగా మాత్రమే తక్కువ. గాజు, నీటిలో గణనీయంగా తగ్గుతుంది.
• సాపేక్ష వక్రీభవన గుణకం: యానకం 1 నుండి యానకం 2 లోకి కాంతి వెళ్తున్నప్పుడు, యానకం 1 కి సంబంధించి యానకం 2 వక్రీభవన గుణకం:
• n21 = యానకం 1 లో కాంతి వేగం / యానకం 2 లో కాంతి వేగం = v1 / v2.
• అలాగే n12 = v2 / v1 (యానకం 2 కి సంబంధించి యానకం 1 వక్రీభవన గుణకం).
• పరమ వక్రీభవన గుణకం (Absolute refractive index):
  1. యానకం 1 శూన్యం లేదా గాలి అయితే యానకం 2 వక్రీభవన గుణకాన్ని శూన్యానికి సంబంధించి లెక్కిస్తారు
  2. దీన్ని n2 అని రాస్తారు.
• nm = గాలి/శూన్యంలో కాంతి వేగం / యానకంలో కాంతి వేగం = c / v.
• సాధారణంగా దీన్నే యానకం వక్రీభవన గుణకం అంటారు.
• ఉదాహరణలు: నీటి వక్రీభవన గుణకం nw = 1.33 – అంటే గాలిలో కాంతి వేగం, నీటిలో కాంతి వేగానికి 1.33 రెట్లు. క్రౌన్ గాజు వక్రీభవన గుణకం ng = 1.52.
• ఆచరణ: పట్టికలోని విలువలు గుర్తుంచుకోనక్కర్లేదని పాఠం చెబుతుంది.
• పాఠంలోని ప్రశ్న ఫలితాలు:
  1. 1.50 వక్రీభవన గుణకం ఉన్న గాజులో కాంతి వేగం = c/n = (3 × 10^8)/1.50 = 2 × 10^8 m/s.
  2. వజ్రం వక్రీభవన గుణకం 2.42 అంటే గాలిలో కాంతి వేగం, వజ్రంలో కాంతి వేగానికి 2.42 రెట్లు (వజ్రంలో వేగం ≈ 1.24 × 10^8 m/s).
  3. గాలి నుండి నీటిలోకి ఏటవాలుగా వెళ్లిన కాంతి కిరణం లంబం వైపు వంగుతుంది, ఎందుకంటే నీరు గాలి కంటే ఘన యానకం (కాంతి నెమ్మదిస్తుంది).

యానకం కాంతిని వక్రీభవనం చేసే సామర్థ్యాన్ని దృశా సాంద్రత (Optical density) ద్వారా కూడా చెబుతారు. ఇది ద్రవ్యరాశి సాంద్రత (Mass density) కాదు; వేరే భావన.

• పట్టికలోని వక్రీభవన గుణకాలు (సుమారు విలువలు): గాలి 1.0003
• మంచు 1.31
• నీరు 1.33
• ఆల్కహాల్ 1.36
• కిరోసిన్ 1.44
• ఫ్యూజ్డ్ క్వార్ట్జ్ 1.46
• టర్పెంటైన్ నూనె 1.47
• బెంజీన్ 1.50
• క్రౌన్ గాజు 1.52
• కెనడా బాల్సమ్ 1.53
• రాతి ఉప్పు 1.54
• కార్బన్ డైసల్ఫైడ్ 1.63
• దట్టమైన ఫ్లింట్ గాజు 1.65
• రూబీ 1.71
• నీలమణి (సఫైర్) 1.77
• వజ్రం 2.42.
• అత్యధిక, అత్యల్ప దృశా సాంద్రత:
  1. పట్టికలో వజ్రం అత్యధిక దృశా సాంద్రత గల యానకం (2.42)
  2. గాలి అత్యల్పం (1.0003).
• దృశా సాంద్రత నిర్వచనం:
  1. రెండు యానకాలను పోల్చినప్పుడు ఎక్కువ వక్రీభవన గుణకం ఉన్నది దృశా సాంద్రత ఎక్కువైన (optically denser) యానకం
  2. తక్కువ గుణకం ఉన్నది దృశా విరళ (optically rarer) యానకం.
• ద్రవ్యరాశి సాంద్రతతో తేడా: ఎక్కువ దృశా సాంద్రత ఉన్న యానకానికి ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి సాంద్రత ఉండాలని లేదు. ఉదాహరణకు కిరోసిన్ (1.44) నీటి (1.33) కంటే దృశా సాంద్రత ఎక్కువ, కానీ దాని ద్రవ్యరాశి సాంద్రత నీటి కంటే తక్కువ.
• పాఠంలో 'విరళ, ఘన యానకం': అంటే దృశా విరళ, దృశా ఘన యానకాలనే అర్థం.
• వేగం, వంపు సంబంధం:
  1. కాంతి వేగం విరళ యానకంలో ఎక్కువ, ఘన యానకంలో తక్కువ.
  2. విరళ యానకం నుండి ఘన యానకంలోకి వెళ్లేటప్పుడు కాంతి నెమ్మదించి లంబం వైపు వంగుతుంది.
  3. ఘన యానకం నుండి విరళంలోకి వెళ్లేటప్పుడు కాంతి వేగం పెరిగి లంబం నుండి దూరంగా వంగుతుంది.
• ప్రశ్న: కిరోసిన్, టర్పెంటైన్, నీరు – వీటిలో నీటికి అతి తక్కువ వక్రీభవన గుణకం (1.33) ఉంది కాబట్టి కాంతి అత్యంత వేగంగా నీటిలో ప్రయాణిస్తుంది.

రెండు తలాలతో పరిమితమైన పారదర్శక పదార్థంలో కనీసం ఒక తలం గోళాకారంగా ఉంటే దాన్ని కటకం (Lens) అంటారు. అంటే కటకంలో కనీసం ఒక గోళాకార తలం ఉంటుంది; మరొకటి సమతలం కావచ్చు. వాచీ మరమ్మతు చేసేవారి భూతద్దం, కళ్లద్దాల గాజులు కటకాలకు ఉదాహరణలు.

• ద్వికుంభాకార కటకం (Double convex lens): రెండు తలాలు బయటికి ఉబ్బి ఉంటాయి. దీన్ని కుంభాకార కటకం అంటారు.
• మధ్యలో మందంగా, అంచుల్లో సన్నగా ఉంటుంది.
• కాంతి కిరణాలను అభిసరణం (Converge) చేస్తుంది కాబట్టి అభిసారి కటకం (Converging lens).
• ద్విపుటాకార కటకం (Double concave lens): రెండు తలాలు లోపలికి వంగి ఉంటాయి. దీన్ని పుటాకార కటకం అంటారు.
• మధ్యలో సన్నగా, అంచుల్లో మందంగా ఉంటుంది.
• కాంతి కిరణాలను అపసరణం (Diverge) చేస్తుంది కాబట్టి అపసారి కటకం (Diverging lens).
• వక్రతా కేంద్రాలు (C₁, C₂):
  1. కటకంలోని రెండు గోళాకార తలాలు రెండు గోళాల భాగాలు
  2. ఆ గోళాల కేంద్రాలు వక్రతా కేంద్రాలు.
• ప్రధాన అక్షం: రెండు వక్రతా కేంద్రాల గుండా పోయే ఊహా సరళరేఖ.
• ఆప్టికల్ కేంద్రం (Optical centre, O): కటకం కేంద్ర బిందువు. దీని గుండా పోయే కాంతి కిరణం ఎలాంటి విచలనం (deviation) లేకుండా నేరుగా వెళ్తుంది.
• ద్వారం (Aperture): గోళాకార కటకం వృత్తాకార రూపురేఖ ప్రభావవంతమైన వ్యాసం.
• పలుచని కటకాలు: ఈ పాఠంలో ద్వారం వక్రతా వ్యాసార్థం కంటే చాలా తక్కువగా ఉండి, రెండు వక్రతా కేంద్రాలు ఆప్టికల్ కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉండే పలుచని, చిన్న ద్వారం గల కటకాలనే పరిగణిస్తారు.
• కటకం తయారీ పదార్థం:
  1. నీరు, గాజు, ప్లాస్టిక్ వంటి పారదర్శక పదార్థాలతో కటకం చేయవచ్చు
  2. బంకమట్టి (clay) వంటి అపారదర్శక పదార్థంతో కాదు.

సూర్యకాంతి సమాంతర కిరణాలను కుంభాకార కటకం ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకరించి, నిజ ప్రతిబింబం ఏర్పరుస్తుంది. కటకంలో కూడా ప్రతిబింబం స్వభావం వస్తువు స్థానంపై ఆధారపడుతుంది.

• ప్రధాన నాభి (Principal focus):
  1. కుంభాకార కటకం: ప్రధాన అక్షానికి సమాంతర కిరణాలు వక్రీభవనం తర్వాత అక్షంపై ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి.
  2. పుటాకార కటకం: ప్రధాన అక్షానికి సమాంతర కిరణాలు వక్రీభవనం తర్వాత అక్షంపై ఒక బిందువు నుండి వెలువడుతున్నట్టు కనిపిస్తాయి.
  3. కటకానికి రెండు నాభులు: F₁, F₂ (రెండు వైపులా). నాభ్యంతరం (f): ఆప్టికల్ కేంద్రం నుండి నాభికి దూరం.
• కృత్యం 9.11: సూర్యకాంతిని కుంభాకార కటకంతో కాగితంపై కేంద్రీకరిస్తే పదునైన ప్రకాశవంతమైన చుక్క (సూర్యుని నిజ ప్రతిబింబం) ఏర్పడి కాగితం మండుతుంది. కటక స్థానానికి, చుక్కకు మధ్య దూరం సుమారు నాభ్యంతరం. (సూర్యుని వైపు నేరుగా చూడకూడదు.)
• కుంభాకార కటకం – ప్రతిబింబ పట్టిక (వస్తువు స్థానం → ప్రతిబింబ స్థానం, పరిమాణం, స్వభావం):
• అనంతంలో → F₂ వద్ద
• అతి చిన్నది (బిందువు)
• నిజ, తలకిందులు.
• 2F₁ కు ఆవల → F₂, 2F₂ ల మధ్య
• చిన్నది
• నిజ, తలకిందులు.
• 2F₁ వద్ద → 2F₂ వద్ద
• సమాన పరిమాణం
• నిజ, తలకిందులు.
• F₁, 2F₁ ల మధ్య → 2F₂ కు ఆవల
• పెద్దది
• నిజ, తలకిందులు.
• F₁ వద్ద → అనంతంలో
• అత్యంత పెద్దది
• నిజ, తలకిందులు.
• F₁, ఆప్టికల్ కేంద్రం O ల మధ్య → వస్తువు ఉన్న వైపే
• పెద్దది
• మిథ్యా, నిటారు.
• పుటాకార కటకం – పట్టిక:
  1. అనంతంలో → F₁ వద్ద; అతి చిన్నది (బిందువు); మిథ్యా, నిటారు.
  2. అనంతం – ఆప్టికల్ కేంద్రం మధ్య ఎక్కడైనా → F₁, O ల మధ్య; చిన్నది; మిథ్యా, నిటారు.
  3. నిర్ధారణ: పుటాకార కటకం వస్తువు స్థానంతో సంబంధం లేకుండా ఎల్లప్పుడూ మిథ్యా, నిటారు, చిన్న ప్రతిబింబం ఇస్తుంది.
• కృత్యం పద్ధతి: కటకం చుట్టూ F, 2F స్థానాలను నాభ్యంతరానికి సమాన దూరాల్లో గీతలతో గుర్తించి (2F₁, F₁, F₂, 2F₂), కొవ్వొత్తిని ఉంచి తెరపై ప్రతిబింబాన్ని పరిశీలిస్తారు.

కటకాల ప్రతిబింబ నిర్మాణాన్ని కూడా కిరణ చిత్రాలతో చూపవచ్చు. దర్పణాల మాదిరిగానే కటకంలోనూ దిశ సులభంగా తెలిసే రెండు కిరణాలను తీసుకుంటే చాలు.

(మూడు కిరణాలు)

• (i) అక్షానికి సమాంతర కిరణం:
  1. కుంభాకార కటకంలో: వక్రీభవనం తర్వాత కటకం అవతలి వైపు ఉన్న ప్రధాన నాభి గుండా వెళ్తుంది.
  2. పుటాకార కటకంలో: వక్రీభవనం తర్వాత అదే వైపు ఉన్న ప్రధాన నాభి నుండి వెలువడినట్టు కనిపిస్తుంది.
• (ii) ప్రధాన నాభి గుండా కిరణం:
  1. కుంభాకార కటకంలో నాభి గుండా పోయే కిరణం వక్రీభవనం తర్వాత ప్రధాన అక్షానికి సమాంతరంగా వెళ్తుంది.
  2. పుటాకార కటకంలో నాభి వద్ద కలుస్తున్నట్టు కనిపించే (నాభి వైపు గురిపెట్టిన) కిరణం వక్రీభవనం తర్వాత అక్షానికి సమాంతరంగా వెళ్తుంది.
• (iii) ఆప్టికల్ కేంద్రం గుండా కిరణం: కుంభాకార, పుటాకార రెండింటిలోనూ ఎలాంటి విచలనం లేకుండా నేరుగా బయటకు వస్తుంది.
• కిరణ చిత్రాల ఫలితాలు:
  1. కుంభాకార కటకం వివిధ వస్తు స్థానాలకు (పట్టికలోని విధంగా) నిజ లేదా మిథ్యా ప్రతిబింబాలు ఇస్తుంది
  2. పుటాకార కటకం అన్ని సందర్భాల్లో F₁, O ల మధ్య మిథ్యా, నిటారు, చిన్న ప్రతిబింబం ఇస్తుంది.
• భూతద్దం:
  1. కుంభాకార కటకంతో వస్తువును F₁, O మధ్య ఉంచితే పెద్ద, నిటారు మిథ్యా ప్రతిబింబం
  2. అందుకే చిన్న అక్షరాలు చదవడానికి చిన్న నాభ్యంతరం గల కుంభాకార కటకం ఉత్తమం.

కటకాలకు కూడా దర్పణాల తరహా గుర్తుల సంప్రదాయమే వర్తిస్తుంది. తేడా ఏమిటంటే దూరాలన్నీ ఆప్టికల్ కేంద్రం నుండి కొలుస్తారు.

• గుర్తులు:
  1. దర్పణాలకు వాడిన గుర్తుల నియమాలే
  2. కొలతలు ఆప్టికల్ కేంద్రం నుండి.
• కుంభాకార కటక నాభ్యంతరం ధనం (+)
• పుటాకార కటక నాభ్యంతరం ఋణం (−).
• u, v, f, వస్తు ఎత్తు h, ప్రతిబింబ ఎత్తు h' లకు సరైన గుర్తులు వేయాలి.
• వస్తు దూరం u ఎల్లప్పుడూ ఋణం.
• కటక సూత్రం (Lens formula): 1/v − 1/u = 1/f.
• ఇది అన్ని గోళాకార కటకాలకు, అన్ని సందర్భాలకు చెల్లుతుంది.
• దర్పణ సూత్రం (1/v + 1/u = 1/f) తో తేడా: కటకంలో 1/u కు ముందు మైనస్ చిహ్నం ఉంటుంది.
• వివర్ధనం (Magnification): m = h'/h = v/u.
• దర్పణంలో m = −v/u
• కటకంలో m = v/u – గుర్తులో తేడా గమనించాలి.
• m ఋణం → నిజ, తలకిందులు ప్రతిబింబం
• m ధనం → మిథ్యా, నిటారు.
• ఉదాహరణ 9.3 (పుటాకార కటకం): f = −15 cm, v = −10 cm. 1/u = 1/v − 1/f = −1/10 + 1/15 = −1/30 → u = −30 cm (వస్తువు 30 cm దూరంలో). m = v/u = (−10)/(−30) = +0.33 → ప్రతిబింబం వస్తువు మూడో వంతు పరిమాణంలో, నిటారు, మిథ్యా.
• ఉదాహరణ 9.4 (కుంభాకార కటకం): h = +2.0 cm, f = +10 cm, u = −15 cm. 1/v = 1/10 − 1/15 = 1/30 → v = +30 cm (కటకానికి అవతలి వైపు).
• m = v/u = −2
• h' = −4.0 cm.
• ప్రతిబింబం నిజమైనది, తలకిందులు, 4 cm ఎత్తు, వస్తువుకు రెండింతలు పెద్దది.
• అభ్యాసం 10:
  1. కుంభాకార కటకం f = +10 cm, వస్తువు 5 cm, u = −25 cm → 1/v = 1/10 − 1/25 = 3/50 → v ≈ +16.7 cm
  2. m ≈ −0.67
  3. h' ≈ −3.3 cm
  4. నిజ, తలకిందులు, చిన్నది.

కటకం కాంతి కిరణాలను ఎంత ఎక్కువగా అభిసరణం లేదా అపసరణం చేయగలదో దాని నాభ్యంతరంపై ఆధారపడుతుంది. ఈ అభిసరణ/అపసరణ స్థాయిని కటక సామర్థ్యం (Power) తో కొలుస్తారు.

• నాభ్యంతరం–సామర్థ్యం సంబంధం: తక్కువ నాభ్యంతరం గల కుంభాకార కటకం కిరణాలను పెద్ద కోణాల్లో వంచి ఆప్టికల్ కేంద్రానికి దగ్గరగా కేంద్రీకరిస్తుంది. అలాగే చాలా తక్కువ నాభ్యంతరం గల పుటాకార కటకం ఎక్కువ అపసరణం కలిగిస్తుంది.
• నిర్వచనం: కటకం సామర్థ్యం దాని నాభ్యంతరానికి వ్యుత్క్రమం (reciprocal). సూత్రం: P = 1/f (f మీటర్లలో).
• SI ప్రమాణం: డయాప్టర్ (Dioptre), సంకేతం D. 1 డయాప్టర్ అంటే 1 మీటర్ నాభ్యంతరం గల కటక సామర్థ్యం: 1 D = 1 m⁻¹.
• గుర్తు:
  1. కుంభాకార కటక సామర్థ్యం ధనం
  2. పుటాకార కటక సామర్థ్యం ఋణం.
• ఆప్టీషియన్ సూచన:
  1. +2.0 D సామర్థ్యం అంటే కుంభాకార కటకం; నాభ్యంతరం +0.50 m.
  2. −2.5 D అంటే పుటాకార కటకం; నాభ్యంతరం −0.40 m.
• కటకాల కలయిక: అనేక పరికరాల్లో ఎక్కువ వివర్ధనం, స్పష్టత కోసం పలు కటకాలను కలిపి వాడతారు. ఒకదానికొకటి తాకుతూ ఉన్న కటకాల నికర సామర్థ్యం వాటి సామర్థ్యాల బీజీయ మొత్తం: P = P₁ + P₂ + P₃ + ...
• ఉదా: +2.0 D, +0.25 D కటకాలు కలిపితే +2.25 D కటకానికి సమానం.
• ఆప్టీషియన్లు కంటి పరీక్షలో తెలిసిన సామర్థ్యం గల వివిధ కటకాలను కలిపి చూసి, సామర్థ్యాన్ని సులభంగా కూడికతో లెక్కిస్తారు.
• కెమెరా, సూక్ష్మదర్శిని, దూరదర్శిని కటకాల రూపకల్పనలో ఏకైక కటకం వల్ల వచ్చే లోపాలను తగ్గించడానికి ఈ లక్షణం ఉపయోగపడుతుంది.
• లెక్కల ఫలితాలు:
  1. −2.0 D కటకం నాభ్యంతరం −0.5 m; అది పుటాకార (అపసారి) కటకం.
  2. +1.5 D కటకం నాభ్యంతరం ≈ +0.67 m; అది కుంభాకార (అభిసారి) కటకం.
  3. నాభ్యంతరం 2 m ఉన్న పుటాకార కటక సామర్థ్యం = −1/2 = −0.5 D.
  4. కుంభాకార కటకం ఒక సూదికి సమాన పరిమాణ నిజ ప్రతిబింబాన్ని 50 cm వద్ద ఇస్తే సూది 2F వద్ద (కటకం ముందు 50 cm) ఉంటుంది; అప్పుడు f = 25 cm = 0.25 m; సామర్థ్యం +4 D.

కాంతి – పరావర్తనం, వక్రీభవనం అధ్యాయంలోని ముఖ్య భావనలను, అభ్యాస ప్రశ్నల్లో ఇచ్చిన పరిస్థితుల సమాధానాలను ఈ నోట్ సంక్షిప్తంగా ఇస్తుంది. పరీక్షల్లో ఈ పరిస్థితులే తరచూ ప్రశ్నలుగా వస్తాయి.

• సారాంశ సూత్రాలు:
  1. కాంతి సరళరేఖలో ప్రయాణిస్తున్నట్టు కనిపిస్తుంది; దర్పణాలు, కటకాలు వస్తువుల ప్రతిబింబాలు ఏర్పరుస్తాయి.
  2. అన్ని పరావర్తక తలాలు పరావర్తన నియమాలను, వక్రీభవన తలాలు వక్రీభవన నియమాలను పాటిస్తాయి.
  3. దర్పణాలు, కటకాల్లో కొత్త కార్టేసియన్ గుర్తుల సంప్రదాయం వాడతారు.
  4. దర్పణ సూత్రం 1/v + 1/u = 1/f; గోళాకార దర్పణ నాభ్యంతరం వక్రతా వ్యాసార్థంలో సగం.
  5. కటక సూత్రం 1/v − 1/u = 1/f; కటక సామర్థ్యం = 1/f, ప్రమాణం డయాప్టర్.
  6. ఘన యానకం నుండి విరళ యానకంలోకి ఏటవాలుగా వెళ్లే కాంతి లంబం నుండి దూరంగా, విరళం నుండి ఘనంలోకి వెళ్తే లంబం వైపు వంగుతుంది.
  7. శూన్యంలో కాంతి వేగం 3 × 10^8 m/s; వక్రీభవన గుణకం = శూన్యంలో వేగం ÷ యానకంలో వేగం.
  8. గాజు పలకలో నిర్గత కిరణం పతన కిరణానికి సమాంతరం.
• అభ్యాస ప్రశ్నల సమాధానాలు:
  1. కటకం తయారీకి వాడలేని పదార్థం: బంకమట్టి (clay).
  2. మిథ్యా, నిటారు, పెద్ద ప్రతిబింబం పుటాకార దర్పణంలో రావాలంటే వస్తువు పోల్, ప్రధాన నాభి మధ్య ఉండాలి.
  3. కుంభాకార కటకంలో సమాన పరిమాణ నిజ ప్రతిబింబానికి వస్తువును నాభ్యంతరానికి రెండింతల దూరంలో (2F వద్ద) ఉంచాలి.
  4. నాభ్యంతరం −15 cm గల దర్పణం, కటకం రెండూ పుటాకారం అయి ఉండే అవకాశం ఎక్కువ (పుటాకార దర్పణం f ఋణం, పుటాకార కటకం f ఋణం).
  5. ఎంత దూరం నిలబడినా ప్రతిబింబం నిటారుగా కనిపించే దర్పణం: సమతల లేదా కుంభాకార.
  6. నిఘంటువులోని చిన్న అక్షరాలు చదవడానికి 5 cm నాభ్యంతరం గల కుంభాకార కటకం ఉత్తమం.
  7. నిటారు ప్రతిబింబం కోసం 15 cm నాభ్యంతరం గల పుటాకార దర్పణం ముందు వస్తువు 0–15 cm పరిధిలో ఉండాలి; ప్రతిబింబం మిథ్యా, నిటారు, పెద్దది.
  8. వాహన హెడ్‌లైట్లు – పుటాకార దర్పణం (సమాంతర పుంజం); పక్క/వెనుక వీక్షణ అద్దం – కుంభాకార (నిటారు ప్రతిబింబం, విశాల వీక్షణ క్షేత్రం); సోలార్ ఫర్నేస్ – పుటాకార (కాంతిని కేంద్రీకరించడానికి).
  9. కుంభాకార కటకంలో సగం భాగాన్ని నల్ల కాగితంతో కప్పినా పూర్తి ప్రతిబింబం ఏర్పడుతుంది, కానీ ప్రకాశం తగ్గుతుంది (కాంతి కిరణాలు తగ్గడం వల్ల).
  10. సమతల దర్పణ వివర్ధనం +1 అంటే ప్రతిబింబం వస్తువు పరిమాణంలోనే, మిథ్యా, నిటారుగా ఉంటుంది.