పజిల్స్ (Puzzles)

రీజనింగ్ పజిల్స్ చూడటానికి కష్టంగా అనిపించినా, వాటిలో ఇచ్చిన సమాచారాన్ని సరిగా అమర్చితే సమాధానం దానంతట అదే వస్తుంది. ముఖ్యమైనది తొందరపడకుండా క్రమంగా ముందుకు వెళ్లడం.

• పజిల్స్ రకాలు:
  1. క్రమం/అంతస్తు/వరుస పజిల్స్ (Ordering).
  2. జతపరచే పజిల్స్ (వ్యక్తి – వృత్తి – రంగు మొదలైనవి).
  3. నిజం చెప్పేవారు – అబద్ధం చెప్పేవారు.
  4. సంఖ్యా పజిల్స్ (వయస్సు, నాణేలు, అంకెలు).
  5. తూకం, కౌంటింగ్ పజిల్స్.
• దశలు:
  1. 1. ప్రశ్నను పూర్తిగా చదవండి; ప్రతి వాక్యం ఒక్కో 'క్లూ'.
  2. 2. వ్యక్తులు, వస్తువులు, లక్షణాలను పట్టికలో లేదా వరుసలో రాయండి.
  3. 3. ఖచ్చితమైన క్లూలతో మొదలుపెట్టండి (ఉదా: 'అగ్రభాగంలో ఉన్నాడు').
  4. 4. 'కాదు' (negative) క్లూలను ఉపయోగించి అవకాశాలను తొలగించండి (elimination).
  5. 5. మిగిలిన ఒక్క అవకాశాన్ని నిర్ధారించి, అన్ని క్లూలతో మళ్లీ సరిచూడండి.
• చిట్కా:
  1. పెన్సిల్‌తో గుర్తులు వేయండి
  2. ఒక అంచనా తప్పని తేలితే సులభంగా చెరిపి మళ్లీ ప్రయత్నించవచ్చు.

కొందరు వ్యక్తులను అంతస్తుల్లో, వరుసలో లేదా బల్ల చుట్టూ అమర్చే పజిల్స్ చాలా తరచుగా వస్తాయి. ఇందులో 'పైన', 'కింద', 'వెంటనే పైన', 'వెంటనే కింద' వంటి పదాలు ముఖ్యం.

• ముఖ్య పదాల అర్థం:
  1. 'వెంటనే పైన' = ఒక్క అంతస్తు పైన (ప్రక్కనే).
  2. 'పైన' = ఎక్కడైనా ఎక్కువ అంతస్తులో ఉండవచ్చు (ప్రక్కనే ఉండాల్సిన అవసరం లేదు).
  3. 'మధ్యలో' = రెండు వ్యక్తుల మధ్యలో.
• పద్ధతి: 5 ఖాళీ గడులు గీసి (అంతస్తు 1 నుండి 5), ఖచ్చితమైన క్లూలను ముందు ఉంచి, మిగిలినవారిని తొలగింపు ద్వారా నింపాలి.
• గమనిక: 'వెంటనే' అనే క్లూ రెండు వ్యక్తులను జతగా కలిపి ఒక బ్లాక్‌గా పరిగణించాలి.

పరిష్కరించిన ఉదాహరణ

• ప్రశ్న: P, Q, R, S, T అనే ఐదుగురు 5 అంతస్తుల భవనంలో ఒక్కొక్కరు ఒక్కో అంతస్తులో ఉంటారు (1 = అన్నిటికన్నా కింద, 5 = పైన). క్లూలు: (i) T అంతస్తు 1 లో ఉంటాడు. (ii) P పైఅంతస్తు (5) లో ఉంటాడు. (iii) S అంతస్తు 2 లో ఉంటాడు. (iv) Q వెంటనే R కి పైన ఉంటాడు. Q ఏ అంతస్తులో ఉంటాడు?
• సాధన:
  1. T = 1, P = 5, S = 2 ఇవి ఖచ్చితమైన క్లూలు.
  2. మిగిలిన అంతస్తులు 3, 4; మిగిలిన వ్యక్తులు Q, R.
  3. Q వెంటనే R పైన → R = 3, Q = 4.
  4. తనిఖీ: 1 T, 2 S, 3 R, 4 Q, 5 P – అన్ని క్లూలు సరిపోతాయి ✓.
  5. సమాధానం: Q అంతస్తు 4.

ఇందులో వ్యక్తులను వారి వృత్తి, రంగు, ఇష్టాలతో జతపరచాలి. ప్రతి వ్యక్తికి ఒక్కొక్కటే వర్తిస్తుంది. పట్టిక గీసి 'అవును' (✓) మరియు 'కాదు' (✗) గుర్తులు వేస్తే ఇది సులభమే.

• పట్టిక పద్ధతి: అడ్డు వరుసల్లో వ్యక్తులు, నిలువు వరుసల్లో వృత్తులు ఉంచండి.
• నియమం 1:
  1. ఒక వ్యక్తికి ఒక వృత్తి ✓ అయితే, అదే వరుసలో మిగిలిన గడులన్నీ ✗
  2. అదే నిలువు వరుసలోని ఇతరులు కూడా ✗.
• నియమం 2: ఒక వరుసలో ఒక్క గడి మాత్రమే మిగిలితే అదే సమాధానం.
• నియమం 3: 'కాదు' క్లూలతో ముందు ✗ గుర్తులు వేయండి.

పరిష్కరించిన ఉదాహరణ

• ప్రశ్న: రవి, సీత, కిరణ్ ముగ్గురూ డాక్టర్, ఉపాధ్యాయుడు, ఇంజనీర్ – ఒక్కొక్కరు ఒక్కో వృత్తిలో ఉన్నారు. క్లూలు: (i) రవి డాక్టర్ కాదు. (ii) సీత డాక్టర్ కాదు, ఉపాధ్యాయురాలు కూడా కాదు. ఎవరు ఏ వృత్తి?
• సాధన:
  1. సీత డాక్టర్ కాదు, ఉపాధ్యాయురాలు కాదు → సీత ఇంజనీర్.
  2. రవి డాక్టర్ కాదు, ఇంజనీర్ కాదు (సీత ఇంజనీర్ కాబట్టి) → రవి ఉపాధ్యాయుడు.
  3. మిగిలింది కిరణ్ → డాక్టర్.
  4. సమాధానం: రవి – ఉపాధ్యాయుడు, సీత – ఇంజనీర్, కిరణ్ – డాక్టర్.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా ఎక్కువ 'కాదు' క్లూలు ఉన్న వ్యక్తి నుండి మొదలుపెట్టండి. అతనికి తక్కువ ఎంపికలు మిగులుతాయి కాబట్టి సమాధానం త్వరగా వస్తుంది.

ఈ పజిల్స్‌లో కొందరు ఎప్పుడూ నిజమే చెబుతారు (సత్యవాది), కొందరు ఎప్పుడూ అబద్ధమే చెబుతారు (అసత్యవాది). వారి మాటల ఆధారంగా ఎవరు ఎవరో కనుగొనాలి.

• నియమం:
  1. సత్యవాది ప్రకటన నిజం
  2. అసత్యవాది ప్రకటన పూర్తిగా అబద్ధం.
• పద్ధతి (ఊహించి పరీక్షించడం): ఒకరిని సత్యవాది అనుకొని, అతని మాటల ప్రకారం మిగిలినవారిని నిర్ణయించి, ఎక్కడైనా విరుద్ధత (contradiction) వస్తే ఆ ఊహ తప్పు.
• అసత్య ప్రకటనకు వ్యతిరేకం: 'A మరియు B ఇద్దరూ నిజం చెబుతారు' అనేది అబద్ధం అయితే, కనీసం ఒకరు అబద్ధం చెబుతారు (ఇద్దరూ అబద్ధం చెప్పాల్సిన అవసరం లేదు).

పరిష్కరించిన ఉదాహరణ

• ప్రశ్న: ఇద్దరు వ్యక్తులు A, B లలో ప్రతి ఒక్కరూ సత్యవాది లేదా అసత్యవాది. A ఇలా అంటాడు: 'B అసత్యవాది.' B ఇలా అంటాడు: 'A మరియు నేను ఇద్దరం సత్యవాదులం.' ఎవరు ఎవరు?
• సాధన:
  1. ఊహ 1: A సత్యవాది అనుకుందాం. అప్పుడు 'B అసత్యవాది' నిజం. B అసత్యవాది కాబట్టి అతని మాట 'A, B ఇద్దరూ సత్యవాదులు' అబద్ధం కావాలి – నిజంగా B సత్యవాది కాదు కాబట్టి అది అబద్ధమే ✓. ఏ విరుద్ధతా లేదు.
  2. ఊహ 2: A అసత్యవాది అనుకుందాం. అప్పుడు 'B అసత్యవాది' అబద్ధం → B సత్యవాది. కానీ B సత్యవాది అయితే అతని మాట 'A సత్యవాది' నిజం కావాలి – ఇది A అసత్యవాది అనే ఊహకు విరుద్ధం ✗.
  3. కాబట్టి A సత్యవాది, B అసత్యవాది.

సంఖ్యల ఆధారంగా చేసే పజిల్స్‌లో ఒక చిన్న సమీకరణం రాసి సాధిస్తే సమాధానం వస్తుంది. సూచనలను సరళమైన సమీకరణాలుగా మార్చడమే ముఖ్య నైపుణ్యం.

• రెండంకెల సంఖ్య:
  1. పదుల అంకె x, ఒకట్ల అంకె y అయితే సంఖ్య = 10x + y
  2. అంకెలు తిరగేస్తే 10y + x.
• తేడా నియమం: సంఖ్యకు, దాని తిరగేసిన సంఖ్యకు మధ్య తేడా ఎప్పుడూ 9 యొక్క గుణిజం (9 × (x − y)).
• తలలు & కాళ్ల పజిల్స్:
  1. మొత్తం తలలు = జంతువుల సంఖ్య
  2. కాళ్లు = ఆవులకు 4, కోళ్లకు 2.

పరిష్కరించిన ఉదాహరణలు

• ఉదాహరణ 1: ఒక రెండంకెల సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం 9. అంకెలు తిరగేస్తే వచ్చే సంఖ్య ఒరిజినల్ కంటే 27 ఎక్కువ. ఆ సంఖ్య ఎంత?
• x + y = 9
• (10y + x) − (10x + y) = 27 → 9(y − x) = 27 → y − x = 3.
• x + y = 9, y − x = 3 → y = 6, x = 3. సంఖ్య = 36.
• తనిఖీ:
  1. తిరగేస్తే 63
  2. 63 − 36 = 27 ✓.
• ఉదాహరణ 2: ఒక రైతు వద్ద ఆవులు, కోళ్లు కలిపి 20 తలలు, 56 కాళ్లు ఉన్నాయి. ఆవులు ఎన్ని?
• ఆవులు c, కోళ్లు h అనుకుంటే c + h = 20
• 4c + 2h = 56.
• రెండో సమీకరణం ÷ 2 → 2c + h = 28. దీని నుండి మొదటిది తీసివేస్తే c = 8.
• కోళ్లు = 12. తనిఖీ: 8 × 4 + 12 × 2 = 32 + 24 = 56 ✓.

గుర్తుంచుకునే చిట్కా ప్రతి పజిల్‌లో తెలియని విలువలకు అక్షరాలు (x, y) పెట్టి, ప్రతి వాక్యాన్ని ఒక సమీకరణంగా రాయండి. చివరగా సమాధానాన్ని అసలు వాక్యాల్లో పెట్టి తనిఖీ చేయండి.

అనేక ఒకేలాంటి వస్తువుల్లో బరువులో తేడా ఉన్న ఒక్క వస్తువును కనీస తూకాలతో కనుగొనమని అడిగే పజిల్స్ ఉంటాయి. త్రాసు (balance) రెండు వైపుల బరువులను పోల్చడానికి మాత్రమే ఉపయోగపడుతుంది అనే విషయం గుర్తుంచుకోండి.

• త్రాసులో 3 ఫలితాలు: ఎడమ బరువు, కుడి బరువు, లేదా సమానం. అందుకే పద్ధతి 3 భాగాల (3-3-n) విభజన.
• అన్నిటికన్నా బరువైన నాణెం కనుగొనడం:
  1. 3 నాణేలు: 1 తూకం.
  2. 9 నాణేలు: 2 తూకాలు.
  3. 8 నాణేలు: 2 తూకాలు (3-3-2 గా విభజించి).
  4. 27 నాణేలు: 3 తూకాలు.
• సూత్రం: 3ⁿ నాణేల్లో బరువైన ఒక్క నాణెం కనుగొనడానికి n తూకాలు సరిపోతాయి.
• 12 నాణేలు (ఒకటి బరువుగా లేదా తేలికగా ఉంది, ఏదో తెలియదు): 3 తూకాలు అవసరం.

పరిష్కరించిన ఉదాహరణ

• ప్రశ్న: 8 ఒకేలాంటి నాణేల్లో ఒకటి మిగిలిన వాటి కంటే బరువు ఎక్కువ. త్రాసుతో కనీసం ఎన్ని తూకాల్లో కనుగొనవచ్చు?
• సాధన:
  1. మొదటి తూకం: 8 నాణేలను 3, 3, 2 గా విభజించండి. త్రాసుపై 3 – 3 పెట్టండి.
  2. సమానమైతే బరువైనది మిగిలిన 2 లో ఉంది; రెండో తూకంలో ఆ 2 ను ఒక్కొక్కటి తూచి కనుగొనవచ్చు.
  3. సమానం కాకపోతే బరువైన వైపు 3 నాణేల్లో ఉంది. రెండో తూకంలో వాటిలో 1 – 1 పెట్టండి: సమానమైతే మూడోది; లేకపోతే బరువైనది.
  4. కాబట్టి గరిష్ఠంగా 2 తూకాల్లో కనుగొనవచ్చు.

కొన్ని పజిల్స్ చిన్న సూత్రాలతో సెకన్లలో పరిష్కారమవుతాయి. ఈ సూత్రాలను గుర్తుంచుకుంటే ప్రశ్నను చూడగానే సమాధానం చెప్పవచ్చు.

• కరచాలనాలు (Handshakes): n మంది ఒకరితో ఒకరు ఒక్కసారి కరచాలనం చేస్తే మొత్తం కరచాలనాలు = n(n − 1) ÷ 2.
• 10 మందికి = 10 × 9 ÷ 2 = 45.
• 5 మందికి = 10
• 6 మందికి = 15.
• దుంగ కోత (Cutting a log): దుంగను n ముక్కలు చేయడానికి కావలసిన కోతలు = n − 1.
• స్తంభాలు/చెట్లు (Poles and trees): రెండు చివరల్లో కూడా ఉంచితే స్తంభాల సంఖ్య = దూరాల సంఖ్య + 1.
• చదరంగం పలకలో చతురస్రాలు: 8 × 8 చదరంగం పలకలో మొత్తం చతురస్రాలు = 1² + 2² + ... + 8² = 204.

పరిష్కరించిన ఉదాహరణలు

• ఉదాహరణ 1: ఒక దుంగను 5 ముక్కలు చేయడానికి 12 నిమిషాలు పడుతుంది. 8 ముక్కలకు ఎంత సమయం?
• 5 ముక్కలకు కోతలు = 4 → ఒక కోతకు 12 ÷ 4 = 3 నిమిషాలు.
• 8 ముక్కలకు కోతలు = 7 → 7 × 3 = 21 నిమిషాలు.
• ఉదాహరణ 2: 100 మీటర్ల రహదారికి ఒక వైపు ప్రతి 10 మీటర్లకు ఒక చెట్టు, రెండు చివరల్లో కూడా నాటితే ఎన్ని చెట్లు?
• దూరాల సంఖ్య = 100 ÷ 10 = 10
• చెట్లు = 10 + 1 = 11.
• ఉదాహరణ 3: 12 మంది సమావేశంలో ప్రతి ఒక్కరూ మిగిలిన అందరికీ కరచాలనం చేస్తే? 12 × 11 ÷ 2 = 66.