కౌంటింగ్ ట్రిక్స్ – కోతలు, కరచాలనాలు, స్తంభాలు (Counting Tricks)

Correct: A — 10

కరచాలనాలు = n(n − 1)/2 = 5 × 4/2 = 10. 20 అనేది 5 × 4 అంటే ప్రతి కరచాలనాన్ని రెండుసార్లు లెక్కించడం (A–B, B–A). ప్రతి జంట ఒక్కసారే కరచాలనం చేస్తుంది కాబట్టి 2 తో భాగించాలి.

Correct: D — 4

n ముక్కలు చేయడానికి n − 1 కోతలు కావాలి: 5 ముక్కలకు 4 కోతలు. ప్రతి కోత ఒక ముక్కను రెండుగా చేస్తుంది, కాబట్టి ముక్కల సంఖ్య కోతల సంఖ్య కన్నా ఒకటి ఎక్కువ. 5 కోతలు చేస్తే 6 ముక్కలు వస్తాయి.

Correct: B — 11

దూరాల సంఖ్య = 100 ÷ 10 = 10. రెండు చివరల్లో కూడా నాటితే చెట్లు = దూరాలు + 1 = 11. 10 అనేది దూరాల సంఖ్య మాత్రమే (లేదా ఒకే చివర నాటితే). చివరి బిందువు కూడా చెట్టు కాబట్టి ఒకటి అదనంగా వస్తుంది.

Correct: B — 66

కరచాలనాలు = n(n − 1)/2 = 12 × 11/2 = 66. 132 అనేది 12 × 11, ప్రతి కరచాలనాన్ని రెండుసార్లు లెక్కించడం. కొన్ని పజిల్స్‌లో 12C2 = 66 అని కూడా రాస్తారు. తనిఖీ: 11 మందికి 55 కరచాలనాలు, 12 మందికి 66; ఒక్కొక్కరు 11 మందితో చేతులు కలుపుతారు కాబట్టి ప్రతి జంటను రెండుసార్లు లెక్కించకుండా 2 తో భాగించాలి.

Correct: C — 21 నిమిషాలు

5 ముక్కలకు 4 కోతలు, ఒక్క కోతకు 12 ÷ 4 = 3 నిమిషాలు. 8 ముక్కలకు 7 కోతలు, 7 × 3 = 21 నిమిషాలు. 19.2 అనేది 12 × 8/5, అంటే కోతల సంఖ్యను కాకుండా ముక్కల సంఖ్యతో నిష్పత్తి వాడటం (తప్పు).

Correct: A — 280 మీటర్లు

15 స్తంభాల మధ్య దూరాలు 14, కాబట్టి పొడవు = 14 × 20 = 280 మీటర్లు. 300 అనేది 15 × 20 అంటే స్తంభాల సంఖ్యతో గుణించడం (తప్పు); దూరాల సంఖ్య = స్తంభాలు − 1.

Correct: D — 10 నిమిషాలు

6 ముక్కలకు 5 కోతలు, ఒక్కో కోతకు 2 నిమిషాలు, కాబట్టి 5 × 2 = 10 నిమిషాలు. 12 అనేది 6 × 2 అంటే ముక్కల సంఖ్యతో గుణించడం (తప్పు). ముక్కలు n అయితే కోతలు n − 1.

Correct: B — 13

n(n − 1)/2 = 78 ⇒ n(n − 1) = 156 = 13 × 12, కాబట్టి n = 13. తనిఖీ: 13 × 12/2 = 78. 12 మందికి 66 కరచాలనాలు, 14 మందికి 91; కాబట్టి 13 మాత్రమే 78 ఇస్తుంది.

Correct: C — 204

మొత్తం చతురస్రాలు = 1² + 2² + … + 8² = 204 (n(n + 1)(2n + 1)/6 = 8 × 9 × 17/6 = 204). 64 అనేవి 1 × 1 చిన్న చతురస్రాలు మాత్రమే. 2 × 2, 3 × 3, … 8 × 8 పరిమాణాల చతురస్రాలను కూడా లెక్కించాలి.

Correct: A — 14

1 × 1 చతురస్రాలు 9, 2 × 2 చతురస్రాలు 4, 3 × 3 చతురస్రం 1: మొత్తం 9 + 4 + 1 = 14 (1² + 2² + 3²). 9 అనేది చిన్న చతురస్రాలు మాత్రమే. అన్ని పరిమాణాలనూ కలిపి లెక్కించడం ఈ ప్రశ్న సారాంశం.