బార్ గ్రాఫ్‌లు & పై చార్టులు (Bar & Pie Charts)

బార్ గ్రాఫ్ (Bar Graph)లో సంఖ్యలను దీర్ఘచతురస్రాకార కడ్డీల (bars) ఎత్తు లేదా పొడవుతో చూపిస్తారు. కడ్డీ ఎంత ఎత్తు ఉంటే విలువ అంత ఎక్కువ. పరీక్షల్లో గ్రాఫ్ ఇచ్చి 4–5 ప్రశ్నలు అడుగుతారు.

• బార్ గ్రాఫ్ రకాలు:
  1. సాధారణ బార్ గ్రాఫ్ (Simple): ప్రతి అంశానికి ఒకే కడ్డీ.
  2. ద్వి/బహుళ బార్ గ్రాఫ్ (Double/Multiple): ఒకే అంశానికి రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కడ్డీలు (ఉదా: ఏటా అబ్బాయిలు, అమ్మాయిలు).
  3. స్టాక్డ్ బార్ గ్రాఫ్ (Stacked/Component): ఒకే కడ్డీలో పైపైన భాగాలుగా వివిధ విలువలు.
• అక్షాలు (Axes): అడ్డంగా ఉండే అక్షం X-axis (సాధారణంగా సంవత్సరాలు, నెలలు), నిలువు అక్షం Y-axis (సంఖ్యలు).
• స్కేలు (Scale): Y-axisపై ఒక గడి విలువ ఎంతో చూడాలి. ఉదా: ఒక గడి = 10 యూనిట్లు అయితే 3½ గడుల కడ్డీ = 35.
• లెజెండ్ (Legend/Key): ఏ రంగు కడ్డీ దేనిని సూచిస్తుందో చెప్పే గుర్తు.
• ప్రమాణాలు: 'వేలల్లో', 'లక్షల్లో' వంటి ప్రమాణాన్ని గమనించండి.

బార్ గ్రాఫ్ నుండి వచ్చే ప్రశ్నలు పట్టిక ప్రశ్నల్లాగే ఉంటాయి. ముందు కడ్డీల నుండి సంఖ్యలను రాసుకుని, తర్వాత సూత్రాలు వాడాలి.

ఇచ్చిన గ్రాఫ్: ఒక కంపెనీ ఉత్పత్తి (వేల యూనిట్లలో)

• 2019 → 40
• 2020 → 50
• 2021 → 45
• 2022 → 65

ప్రశ్నలు, సాధన

• ప్ర.1. 2019 నుండి 2020కి శాతం పెరుగుదల?
• మార్పు = 10. శాతం = 10/40 × 100 = 25%.
• ప్ర.2. 2020 నుండి 2021కి శాతం తగ్గుదల?
• తగ్గుదల = 5. శాతం = 5/50 × 100 = 10%.
• ప్ర.3. ఏ సంవత్సరంలో శాతం పెరుగుదల ఎక్కువ?
• 2020:
  1. 25%
  2. 2022: (65 − 45)/45 × 100 = 20/45 × 100 ≈ 44.4%.
• కాబట్టి 2022లో ఎక్కువ.
• ప్ర.4. నాలుగేళ్ల సగటు ఉత్పత్తి?
• (40 + 50 + 45 + 65) ÷ 4 = 200 ÷ 4 = 50 వేలు.
• ప్ర.5. 2022 ఉత్పత్తి, 2019 ఉత్పత్తికి ఎన్ని రెట్లు?
• 65/40 = 1.625 రెట్లు.

ఒక చిట్కా రెండు సంవత్సరాల తేడా అడిగితే పెద్దదాని నుండి చిన్నది తీసివేయండి. 'శాతం' అడిగితే హారం పాత విలువ (లేదా 'దానికంటే' అన్న విలువ).

మరో ఉదాహరణ ప్ర. 2019 ఉత్పత్తి, 2021 ఉత్పత్తికంటే ఎంత శాతం తక్కువ? ఇక్కడ పోలిక 2021తో కాబట్టి హారం 45. తేడా = 45 − 40 = 5. శాతం = 5/45 × 100 ≈ 11.1% తక్కువ. ప్రశ్న 'గ్రాఫ్ ప్రకారం' అని ఉంటే గ్రాఫ్ విలువలనే వాడాలి, ఊహించకూడదు.

ద్వి బార్ గ్రాఫ్‌లో ఒకే సంవత్సరానికి రెండు కడ్డీలు ఉంటాయి – ఉదాహరణకు ఆదాయం (Income), ఖర్చు (Expenditure). ప్రశ్నల్లో 'లాభం', 'నిష్పత్తి', 'శాతం' అడుగుతారు.

ఇచ్చిన గ్రాఫ్: ఒక దుకాణం (లక్షల రూపాయల్లో)

• 2021: ఆదాయం 40, ఖర్చు 30
• 2022: ఆదాయం 60, ఖర్చు 45
• 2023: ఆదాయం 50, ఖర్చు 40

• లాభం (Profit) = ఆదాయం − ఖర్చు.
• 2021:
  1. 40 − 30 = 10
  2. 2022: 60 − 45 = 15
  3. 2023: 50 − 40 = 10.
• లాభ శాతం (ఖర్చు ఆధారంగా) = లాభం ÷ ఖర్చు × 100.
• 2022: 15/45 × 100 = 33⅓%.
• 2021: 10/30 × 100 = 33⅓% – రెండు సంవత్సరాల లాభ శాతం సమానం.
• ఆదాయం : ఖర్చు నిష్పత్తి: 2023లో 50 : 40 = 5 : 4.
• ఆదాయం మొత్తం: 40 + 60 + 50 = 150 లక్షలు. ఖర్చు మొత్తం: 30 + 45 + 40 = 115 లక్షలు. మూడేళ్ల మొత్తం లాభం = 35 లక్షలు.
• సగటు లాభం: 35 ÷ 3 ≈ 11.67 లక్షలు.

గమనిక 'లాభ శాతం' అడిగినప్పుడు అది ఖర్చుపై ఆధారపడినదా లేక ఆదాయంపై ఆధారపడినదా ప్రశ్నలో చెప్పి ఉంటుంది. చెప్పకపోతే సాధారణంగా ఖర్చు (Cost) ఆధారంగా లెక్కిస్తారు.

పై చార్టు (Pie Chart) అంటే వృత్తాన్ని (circle) భాగాలుగా విభజించి, మొత్తంలో ప్రతి భాగం వాటాను చూపించే చిత్రం. వృత్తం మొత్తం కోణం 360°. ప్రతి భాగం (sector) కోణం ఆ భాగపు వాటాకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

• మొత్తం కోణం: 360° = 100% కాబట్టి 1% = 3.6°.
• శాతం నుండి కోణం: కోణం = శాతం × 3.6°.
• 10% = 36°, 20% = 72°, 25% = 90°, 50% = 180°, 12.5% = 45°.
• కోణం నుండి శాతం: శాతం = (కోణం ÷ 360) × 100.
• 54° → 54/360 × 100 = 15%.
• 72° → 72/360 × 100 = 20%.
• విలువ నుండి కోణం: కోణం = (భాగం విలువ ÷ మొత్తం) × 360°.
• విలువ కనుగొనడం: భాగం విలువ = (కోణం ÷ 360) × మొత్తం, లేదా శాతం × మొత్తం ÷ 100.
• అన్ని భాగాల మొత్తం: శాతాలన్నీ కలిపితే 100%, కోణాలన్నీ కలిపితే 360° రావాలి.

పై చార్టు ప్రశ్నలు సాధారణంగా 'ఒక భాగం విలువ ఎంత?', 'రెండు భాగాల మధ్య తేడా?', 'నిష్పత్తి?' అని ఉంటాయి. ఒక కుటుంబ నెలవారీ ఖర్చుల ఉదాహరణ తీసుకుందాం.

ఇచ్చిన పై చార్టు: కుటుంబ నెలవారీ ఆదాయం ₹40,000 – ఖర్చుల వాటా

• ఆహారం: 30% (కోణం 108°)
• ఇంటి అద్దె: 25% (కోణం 90°)
• విద్య: 15% (కోణం 54°)
• రవాణా: 10% (కోణం 36°)
• పొదుపు: 20% (కోణం 72°)

(శాతాల మొత్తం 100%; కోణాల మొత్తం 108 + 90 + 54 + 36 + 72 = 360°)

ప్రశ్నలు, సాధన

• ప్ర.1. ఆహారంపై ఖర్చు ఎంత? – 40,000 × 30/100 = ₹12,000.
• ప్ర.2. అద్దె, విద్య మధ్య తేడా?
• అద్దె 25% – విద్య 15% = 10% → 40,000 × 10/100 = ₹4,000.
• ప్ర.3. ఆహారం : పొదుపు నిష్పత్తి? – 30 : 20 = 3 : 2.
• ప్ర.4. రవాణా భాగం కోణం? – 10 × 3.6 = 36°.
• ప్ర.5. పొదుపు, రవాణా కలిపి శాతం? – 20% + 10% = 30% → ₹12,000.
• ప్ర.6. ఖర్చు 10% పెరిగితే కొత్త ఖర్చు? – 40,000 × 10/100 = 4,000 పెరుగుదల కాబట్టి ₹44,000.

సాధన చిట్కా శాతం ఇచ్చినప్పుడు కోణాలు లెక్కించాల్సిన పని లేదు. కోణం ఇస్తేనే శాతానికి మార్చాలి. రెండు భాగాల తేడా అడిగితే ముందు శాతాల తేడా తీసి, తర్వాత మొత్తంతో గుణించండి.

కొన్నిసార్లు ఒక ప్రశ్నా సముదాయంలో పై చార్టు, బార్ గ్రాఫ్ రెండూ ఇస్తారు. ఒకదాని నుండి మొత్తం, రెండో దాని నుండి భాగం తీసుకుని జవాబు కనుగొనాలి. ముందు మొత్తం ఎంతో గుర్తించడమే కీలకం.

ఉదాహరణ సమాచారం ఒక కళాశాలలో మొత్తం 1,200 మంది విద్యార్థులు. పై చార్టు ప్రకారం కోర్సుల వారీగా వాటా:

• గణితం 25%, సైన్స్ 30%, ఆర్ట్స్ 20%, కామర్స్ 25%.

బార్ గ్రాఫ్ ప్రకారం ప్రతి కోర్సులో అమ్మాయిల శాతం: గణితం 40%, సైన్స్ 40%, ఆర్ట్స్ 60%, కామర్స్ 50%.

ప్రశ్నలు, సాధన

• ప్ర.1. సైన్స్ విద్యార్థులు ఎంతమంది?
• 1,200 × 30/100 = 360.
• ప్ర.2. సైన్స్‌లో అమ్మాయిలు?
• 360 × 40/100 = 144. అబ్బాయిలు = 360 − 144 = 216.
• ప్ర.3. ఆర్ట్స్ విద్యార్థుల్లో అమ్మాయిలు?
• ఆర్ట్స్ = 1,200 × 20/100 = 240
• అమ్మాయిలు = 240 × 60/100 = 144.
• ప్ర.4. సైన్స్ అమ్మాయిలు, ఆర్ట్స్ అమ్మాయిలు నిష్పత్తి?
• 144 : 144 = 1 : 1.
• ప్ర.5. కామర్స్ అబ్బాయిలు?
• కామర్స్ = 1,200 × 25/100 = 300
• అబ్బాయిలు = 300 × 50/100 = 150.

గమనిక బార్ గ్రాఫ్‌లో ఇచ్చిన శాతం మొత్తం విద్యార్థులపై కాదు, ఆ కోర్సులోని విద్యార్థులపైనే. ఇది గమనించకపోతే తప్పు వస్తుంది.

గ్రాఫ్‌లు, చార్టులు పట్టిక కంటే సులభంగా కనిపించినా, స్కేలు, శాతం, ప్రమాణాల్లో తప్పులు జరుగుతాయి. ఈ చిట్కాలు పాటిస్తే సమయం ఆదా అవుతుంది, తప్పులు తగ్గుతాయి.

• స్కేలు చూడండి: Y-axis 0 నుండి మొదలుకాకపోతే కడ్డీల ఎత్తు చూసి పోల్చడం తప్పు అవుతుంది. సంఖ్యలను చదవాలి.
• శాతం పాయింట్లు (Percentage Points):
  1. పై చార్టు వాటా 20% నుండి 25%కి పెరిగితే అది 5 పాయింట్లు
  2. శాతం పెరుగుదల 25%.
• కోణం ఇచ్చినప్పుడు: ముందు శాతానికి మార్చండి (కోణం ÷ 360 × 100).
• రెండు ప్రమాణాలు: ఒక గ్రాఫ్ 'వేలల్లో', మరొకటి 'లక్షల్లో' ఇచ్చినప్పుడు ఒకే ప్రమాణానికి మార్చాలి. 1 లక్ష = 100 వేలు.
• 'సుమారు' ప్రశ్నలు: 'సుమారు ఎంత శాతం?' అని అడిగితే దగ్గరి సంఖ్యలతో లెక్కించవచ్చు. ఉదా: 49 లేదా 51ని 50గా తీసుకోవచ్చు.
• మొత్తం తెలియకపోతే: పై చార్టులో మొత్తం విలువ ఇవ్వకపోతే ఒక భాగం విలువ, దాని శాతం ఉపయోగించి మొత్తాన్ని కనుగొనండి. ఉదా: 15% = 90 అయితే మొత్తం = 90 × 100/15 = 600.