వర్గ సమీకరణాలు (Quadratic Equations) · Practice MCQs

Correct: C — (3 + √3)/2, (3 − √3)/2

D = 36 − 24 = 12, √12 = 2√3. x = (6 ± 2√3)/(2·2) = (6 ± 2√3)/4 = (3 ± √3)/2. మూలాల మొత్తం = 3 = −b/a ✔.

Correct: D — ±2√6

D = k² − 4(2)(3) = k² − 24 = 0 ⇒ k² = 24 ⇒ k = ±√24 = ±2√6.

Correct: A — 6

kx² − 2kx + 6 = 0 ⇒ D = 4k² − 24k = 4k(k − 6) = 0 ⇒ k = 0 లేదా 6. k = 0 అయితే వర్గ సమీకరణం కాదు (a ≠ 0) ⇒ k = 6.

Correct: B — 40 మీ.

వెడల్పు x ⇒ x · 2x = 800 ⇒ x² = 400 ⇒ x = 20 మీ. పొడవు = 40 మీ.; 20 × 40 = 800 ✔.

Correct: C — −48

(x − 4)(16 − x) = 48 ⇒ x² − 20x + 112 = 0. D = 400 − 448 = −48 < 0 ⇒ వాస్తవ మూలాలు లేవు ⇒ ఈ పరిస్థితి సాధ్యం కాదు.

Correct: D — 20 మీ. భుజం గల చతురస్రం

పొడవు x ⇒ వెడల్పు 40 − x ⇒ x(40 − x) = 400 ⇒ x² − 40x + 400 = 0 ⇒ D = 1600 − 1600 = 0 ⇒ x = 20. కాబట్టి 20 × 20 చతురస్రం మాత్రమే సాధ్యం. (25 × 16 = 400 కానీ చుట్టుకొలత 82.)

Correct: A — 12 మీ.

BP = x, AP = x + 7; ∠APB = 90° ⇒ (x+7)² + x² = 169 ⇒ x² + 7x − 60 = 0 ⇒ x = 5 (−12 తిరస్కరణ). AP = 12 మీ. (5² + 12² = 13²).

Correct: B — x³ − 4x² − x + 1 = (x − 2)³

(x−2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8; సమీకరణం సరళీకరిస్తే 2x² − 13x + 9 = 0 ✔ (వర్గం). (x+2)³ = 2x(x²−1) లో x³ మిగులుతుంది (ఘనం); మూడవది −3x + 1 = 0 (రేఖీయం); నాల్గవది 7x − 3 = 0 (రేఖీయం).

Correct: C — x² − 45x + 324 = 0

(x − 5)(40 − x) = 124 ⇒ −x² + 45x − 200 = 124 ⇒ x² − 45x + 324 = 0 ⇒ (x − 9)(x − 36) = 0.

Correct: D — 40 కి.మీ./గం.

480/(x−8) − 480/x = 3 ⇒ 160x − 160(x − 8) = x(x − 8) ⇒ x² − 8x − 1280 = 0 ⇒ (x − 40)(x + 32) = 0 ⇒ x = 40. తనిఖీ: 480/32 − 480/40 = 15 − 12 = 3 ✔.