వర్గ సమీకరణాలు (Quadratic Equations) · Practice MCQs

Correct: A — 2

x = 2 ప్రతిక్షేపిస్తే 4 − 6 + k = 0 ⇒ k = 2. సమీకరణం x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) ✔.

Correct: B — √2/√3, √2/√3

3x² − 2√6x + 2 = (√3x − √2)² ⇒ √3x = √2 ⇒ x = √2/√3 (రెండుసార్లు). D = 24 − 24 = 0 ✔.

Correct: C — 2/3, −1/2

a·c = −12; −1 = 3 + (−4). 6x² + 3x − 4x − 2 = 3x(2x + 1) − 2(2x + 1) = (3x − 2)(2x + 1) = 0 ⇒ x = 2/3 లేదా −1/2.

Correct: D — −√2, −5/√2

a·c = 10; 7 = 2 + 5. √2x² + 2x + 5x + 5√2 = √2x(x + √2) + 5(x + √2) = (√2x + 5)(x + √2) = 0 ⇒ x = −5/√2 లేదా −√2.

Correct: A — 13 మరియు 14

x² + (x+1)² = 365 ⇒ x² + x − 182 = 0 ⇒ (x + 14)(x − 13) = 0 ⇒ x = 13 (−14 తిరస్కరణ). సంఖ్యలు 13, 14: 169 + 196 = 365 ✔.

Correct: B — 13

x² − 27x + 182 = 0 ⇒ (x − 13)(x − 14) = 0. సంఖ్యలు 13, 14 (మొత్తం 27, లబ్ధం 182 ✔). చిన్నది 13.

Correct: C — 12 సెం.మీ.

x² + (x−7)² = 169 ⇒ 2x² − 14x − 120 = 0 ⇒ x² − 7x − 60 = 0 ⇒ (x − 12)(x + 5) = 0 ⇒ x = 12. ఎత్తు 5; 5² + 12² = 13² ✔.

Correct: D — 6

n వస్తువులు ⇒ n(2n + 3) = 90 ⇒ 2n² + 3n − 90 = 0 ⇒ (2n + 15)(n − 6) = 0 ⇒ n = 6. ఒక్కో వస్తువు ఖర్చు 2(6) + 3 = ₹15; 6 × 15 = 90 ✔.

Correct: A — 0

D = (−4√3)² − 4(3)(4) = 48 − 48 = 0 ⇒ రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు (x = 4√3/6 = 2/√3).

Correct: B — వాస్తవ మూలాలు లేవు

D = (−3)² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31 < 0 ⇒ వాస్తవ మూలాలు ఉండవు.