రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణ జత (Pair of Linear Equations in Two Variables) · Practice MCQs

Correct: A — 7.5 చ.యూ.

ఖండన (2, 3); x-అక్షంపై ఖండనలు (−1, 0), (4, 0). భూమి 5, ఎత్తు 3 → ½ × 5 × 3 = 7.5.

Correct: B — 2x + y = 6 మరియు 4x + 2y = 12

2/4 = 1/2 = 6/12 → ఏకీభావం. మిగిలినవి: x + y = 2 & 2x + 2y = 5 → 1/2 = 1/2 ≠ 2/5 (సమాంతరం); x − y = 1 & x + y = 3 → 1 ≠ −1 (ఖండన); 2x + 3y = 5 & 4x + 6y = 11 → 5/11 ≠ 1/2 (సమాంతరం).

Correct: C — 1 మాత్రమే సరైనది

1 సరైనది (dependent ⟹ consistent). 2 తప్పు: అస్థిర జత రేఖలు సమాంతరం, కలవవు. కాబట్టి 1 మాత్రమే సరైనది.

Correct: D — సమాంతరం లేదా ఏకీభావం (c అనుపాతంపై ఆధారపడి)

a₁/a₂ = b₁/b₂ అయినప్పుడు రేఖలకు ఒకే వాలు ఉంటుంది. c₁/c₂ కూడా సమానమైతే ఏకీభావం, లేకపోతే సమాంతరం; ఖండన కాదు.

Correct: A — 10

3x − y − 5 = 0 మరియు 6x − 2y − k = 0: 3/6 = (−1)/(−2) = (−5)/(−k) → 1/2 = 5/k → k = 10. అప్పుడు రెండో సమీకరణం మొదటిదానికి 2 రెట్లు.

Correct: A — 4

సమాంతరం కావాలి: 3/6 = 2/k → k = 4. అప్పుడు c లు: 5/7 ≠ 1/2 ✓. కాబట్టి k = 4 అయితే మాత్రమే సాధన లేదు.

Correct: B — −6

సమాంతరం: k/12 = 3/k ≠ (k − 3)/k. k² = 36 → k = ±6. k = 6 అయితే 3/k = 1/2 = (k−3)/k = 3/6 → ఏకీభావం (అనంతం). k = −6 అయితే 3/k = −1/2 ≠ (−9)/(−6) = 3/2 → సాధన లేదు. కాబట్టి k = −6.

Correct: C — ₹2500

ఆదాయాలు 5x, 4x; ఖర్చులు 3y, 2y: 5x − 3y = 1000, 4x − 2y = 1000. రెండో సమీకరణంలో y = 2x − 500; 5x − 6x + 1500 = 1000 → x = 500, y = 500. ఆదాయాలు ₹2500, ₹2000.

Correct: D — 16

11x − 9y = −4 మరియు 6x − 5y = −3 → x = 7, y = 9. భిన్నం 7/9; మొత్తం 7 + 9 = 16. తనిఖీ: 9/11 ✓ (7 + 2 = 9, 9 + 2 = 11), 10/12 = 5/6 ✓.

Correct: A — 4 రెట్లు

J − 3S = 10 మరియు J − 7S = −30 → 4S = 40 → S = 10, J = 40. 40/10 = 4 రెట్లు.