వర్గ సమీకరణాలు (Quadratic Equations) · Practice MCQs

Correct: B — 17

మూలాలు 5 మరియు −12 ⇒ భేదం 17. షార్ట్‌కట్: భేదం = √D/|a| = √289/1 = 17.

Correct: C — 12

చిన్న సంఖ్య x ⇒ x(x + 5) = 84 ⇒ x² + 5x − 84 = 0 ⇒ (x + 12)(x − 7) = 0 ⇒ x = 7. పెద్ద సంఖ్య 12; 7 × 12 = 84 ✔.

Correct: D — 48 చ.సెం.మీ.

l + b = 14 ⇒ పొడవు x, వెడల్పు 14 − x ⇒ x² + (14 − x)² = 100 ⇒ x² − 14x + 48 = 0 ⇒ x = 8 లేదా 6. కొలతలు 8 × 6 ⇒ వైశాల్యం 48 (6-8-10 త్రికం).

Correct: A — 40 కి.మీ./గం.

360/x − 360/(x+5) = 1 ⇒ 1800 = x² + 5x ⇒ x² + 5x − 1800 = 0 ⇒ D = 25 + 7200 = 7225 = 85² ⇒ x = (−5 + 85)/2 = 40. తనిఖీ: 360/40 = 9 గం., 360/45 = 8 గం. ✔.

Correct: B — 3/2 లేదా 2/3

రెండు వైపులా 6x తో గుణిస్తే 6x² + 6 = 13x ⇒ 6x² − 13x + 6 = 0. D = 169 − 144 = 25 ⇒ x = (13 ± 5)/12 = 3/2 లేదా 2/3. తనిఖీ: 3/2 + 2/3 = 13/6 ✔.

Correct: C — 0 మరియు 3

D = 4(k − 1)² − 4(k + 1) = 0 ⇒ k² − 3k = 0 ⇒ k = 0 లేదా 3. k = 0: x² + 2x + 1 = 0 ✔ (a = 1 ≠ 0); k = 3: 4x² − 4x + 1 = 0 ✔. (k = −1 అయితే a = 0 కాబట్టి అది ఇక్కడ రాదు.)

Correct: D — సాధ్యం కాదు (D = −36)

l + b = 22; పొడవు x ⇒ x(22 − x) = 130 ⇒ x² − 22x + 130 = 0 ⇒ D = 484 − 520 = −36 < 0 ⇒ సాధ్యం కాదు. (గరిష్ఠ వైశాల్యం (44/4)² = 121 < 130.)

Correct: A — 12 సెం.మీ.

భూమి b ⇒ ½·b(b − 6) = 36 ⇒ b² − 6b − 72 = 0 ⇒ (b − 12)(b + 6) = 0 ⇒ b = 12. ఎత్తు 6; ½ × 12 × 6 = 36 ✔.

Correct: B — 1, √2

మొత్తం √2 + 1, లబ్ధం √2 ⇒ మూలాలు 1 మరియు √2. కారణాంకాలు: (x − 1)(x − √2) = x² − (1 + √2)x + √2 ✔.

Correct: C — 1, 2 రెండూ సరైనవి

ac < 0 ⇒ −4ac > 0 ⇒ D = b² − 4ac > 0 ⇒ రెండు భిన్న వాస్తవ మూలాలు ✔ (ప్రవచనం 1 సరైనది). D = 0 అయితే x = −b/2a, ఈ మూలం రెండుసార్లు (రెండు సమాన మూలాలు) ✔ (ప్రవచనం 2 కూడా సరైనదే). కాబట్టి రెండూ సరైనవి.