గతిజ శక్తి సూత్రం (Ek = ½mv²) – ఉత్పాదన, ఉదాహరణలు

Correct: C — ½ m v²

పని–శక్తి సంబంధం నుండి W = ½ m (v² − u²) వస్తుంది; u = 0 అయితే వస్తువు గతిజ శక్తి ½ m v². m g h స్థితిజ శక్తి సూత్రం; m v ద్రవ్యవేగం (Momentum). ఈ సూత్రంలో వేగం వర్గంగా ఉండటం వల్లే వేగం పెరిగితే శక్తి చాలా వేగంగా పెరుగుతుంది; ½ కారకం చలన సమీకరణం నుండి వస్తుంది.

Correct: D — 4 రెట్లు

Ek = ½mv² లో వేగం వర్గంగా ఉంటుంది. v ను 2v చేస్తే Ek ∝ (2v)² = 4v² కాబట్టి 4 రెట్లు పెరుగుతుంది. గణనలో 2² = 4 వస్తుంది, 2 కాదు; అదే విధంగా వేగం మూడు రెట్లైతే 9 రెట్లు అవుతుంది. ద్రవ్యరాశి మారలేదు కాబట్టి దాని ప్రభావం లేదు.

Correct: A — 120 J

Ek = ½ × 15 × 4² = ½ × 15 × 16 = 120 J. వేగాన్ని వర్గం చేయకుండా లెక్కిస్తే 30 వస్తుంది (తప్పు); ½ మరచిపోతే 240 వస్తుంది. యూనిట్లు kg m² s⁻² = J కాబట్టి ఫలితం జౌల్‌లో వస్తుంది; ఉదాహరణ 7.3 లో కూడా ఇదే విలువ వచ్చింది.

Correct: B — 225 J

Ek ∝ v², వేగం 3 రెట్లైతే Ek 9 రెట్లు; 25 × 9 = 225 J. 75 అనేది 3 రెట్లు అనుకునే తప్పు, 100 అనేది వేగం రెట్టింపైన సందర్భానికి సమాధానం. ద్రవ్యరాశి తెలియకపోయినా నిష్పత్తి సరిపోతుంది, ఎందుకంటే Ek ∝ v² అయినప్పుడు ద్రవ్యరాశి రెండు సందర్భాల్లోనూ ఒకటే.

Correct: D — −210 J

పని = Ek లో మార్పు = ½ × 20 × (2² − 5²) = 10 × (4 − 25) = −210 J. వేగం తగ్గింది కాబట్టి పని రుణాత్మకం; +210 అనేది గుర్తు తప్పు, −90 అనేది (5−2)² వాడిన తప్పు.

Correct: A — 156250 J

వేగాలు 25/3, 50/3 m s⁻¹. Ek₁ = ½×1500×(25/3)² = 156250/3 J; Ek₂ = 625000/3 J; పని = తేడా = 468750/3 = 156250 J. చివరి Ek (625000/3 ≈ 208333 J) మాత్రమే తీసుకోవడం తప్పు, ఎందుకంటే ప్రారంభ Ek ను తీసివేయాలి.

Correct: B — 2.08 × 10⁵ J

60 km/h = 50/3 ≈ 16.67 m s⁻¹. Ek = ½ × 1500 × (16.67)² ≈ 750 × 277.8 ≈ 2.08 × 10⁵ J. ఆపడానికి చేసే పని ఈ Ek కు సమానం (రుణాత్మకం). km/h ను m s⁻¹ గా మార్చకుండా 60 వాడితే 2.7 × 10⁶ J వస్తుంది (తప్పు).

Correct: C — −½ m v²

చివరి వేగం 0, కాబట్టి పని = Ek లో మార్పు = 0 − ½mv² = −½mv². ఆపే బలం చలన దిశకు వ్యతిరేకం కాబట్టి రుణ పని. mv² అనేది ½ మరచిన తప్పు. పని రుణాత్మకం కావడానికి కారణం, ఆపే బలం స్థానభ్రంశానికి వ్యతిరేకంగా పనిచేసి వస్తువు శక్తిని తగ్గించడమే.