ర్యాంకింగ్ & క్రమం (Ranking & Order)

ర్యాంకింగ్ (Ranking) ప్రశ్నల్లో ఒక వరుసలో ఒకరి స్థానం ఇచ్చి, మొత్తం ఎంతమంది ఉన్నారో లేదా వేరొకరి స్థానం ఎంతో అడుగుతారు. దీనికి ఒకే ఒక్క సూత్రం గుర్తుంటే చాలు.

• మొత్తం సంఖ్య సూత్రం: మొత్తం = (పై/ఎడమ నుండి ర్యాంక్) + (కింది/కుడి నుండి ర్యాంక్) − 1
• '−1' ఎందుకంటే ఆ వ్యక్తిని రెండుసార్లు లెక్కించాం.
• కింది నుండి ర్యాంక్ = మొత్తం − పై నుండి ర్యాంక్ + 1
• పై నుండి ర్యాంక్ = మొత్తం − కింది నుండి ర్యాంక్ + 1
• ముందు ఉన్నవారు = (పై నుండి ర్యాంక్) − 1
• వెనుక ఉన్నవారు = (కింది నుండి ర్యాంక్) − 1

పరిష్కరించిన ఉదాహరణలు ఉదా 1: ఒక తరగతిలో రవి ర్యాంక్ పై నుండి 12, కింది నుండి 19. మొత్తం విద్యార్థులు ఎంతమంది?

• మొత్తం = 12 + 19 − 1 = 30

ఉదా 2: 40 మంది ఉన్న తరగతిలో సీత పై నుండి 15వ ర్యాంక్. కింది నుండి ఆమె ర్యాంక్ ఎంత?

• 40 − 15 + 1 = 26

ఉదా 3: ఒక వరుసలో అజయ్ ఎడమ నుండి 7వ, కుడి నుండి 14వ స్థానంలో ఉన్నాడు. మొత్తం ఎంతమంది? అజయ్ ముందు, వెనుక ఎంతమంది?

• మొత్తం = 7 + 14 − 1 = 20
• ఎడమ వైపు 6 మంది, కుడి వైపు 13 మంది ఉన్నారు (6 + 13 + 1 = 20 ✓).

ఉదా 4: ఒక వరుసలో ముందు నుండి 9 మంది, వెనుక నుండి 11 మంది ఉన్న వ్యక్తి ఎన్నో స్థానంలో ఉంటాడు?

• ముందు 9 మంది అంటే అతను 10వ
• వెనుక 11 మంది అంటే మొత్తం = 9 + 11 + 1 = 21.

ఒకరి కంటే మరొకరు కొన్ని ర్యాంకులు పైన లేదా కింద ఉన్నారని ఇచ్చే ప్రశ్నలు పరీక్షల్లో చాలా వస్తాయి. ఇక్కడ 'పైన' అంటే ర్యాంక్ సంఖ్య తగ్గుతుంది, 'కింద' అంటే సంఖ్య పెరుగుతుంది.

• X కంటే Y, n ర్యాంకులు కింద ఉంటే: Y ర్యాంక్ (పై నుండి) = X ర్యాంక్ + n
• X కంటే Y, n ర్యాంకులు పైన ఉంటే: Y ర్యాంక్ (పై నుండి) = X ర్యాంక్ − n
• ర్యాంక్ మెరుగుపడటం: ర్యాంక్ 25 నుండి 10కి వస్తే 15 స్థానాలు పైకి వెళ్లినట్లు (25 − 10 = 15).
• ఇద్దరి మధ్య ఉన్నవారు: రెండు స్థానాల తేడా − 1
• ఉదా: 8వ, 15వ ర్యాంక్‌ల మధ్య 15 − 8 − 1 = 6 మంది ఉంటారు.
• రెండు వైపుల ర్యాంక్ ఇచ్చినప్పుడు: ముందు ఒకే వైపు (పై నుండి) ర్యాంక్‌గా మార్చుకుని, తర్వాత మొత్తం సూత్రం వాడాలి.

పరిష్కరించిన ఉదాహరణలు ఉదా 1: ప్రియ ర్యాంక్ పై నుండి 14. లత ప్రియ కంటే 9 ర్యాంకులు కింద ఉంది. లత కింది నుండి 18వ ర్యాంక్ అయితే మొత్తం ఎంతమంది?

• లత పై ర్యాంక్ = 14 + 9 = 23
• మొత్తం = 23 + 18 − 1 = 40

ఉదా 2: A, B కంటే 5 ర్యాంకులు పైన ఉన్నాడు. B పై నుండి 20వ అయితే A ఎన్నో ర్యాంక్?

• A = 20 − 5 = 15వ ర్యాంక్

ఉదా 3: 35 మంది ఉన్న తరగతిలో కిరణ్ కింది నుండి 10వ ర్యాంక్. అతనికి 6 ర్యాంకులు పైన ఉన్న మోహన్ పై నుండి ఎన్నో?

• కిరణ్ పై ర్యాంక్ = 35 − 10 + 1 = 26
• మోహన్ = 26 − 6 = 20వ ర్యాంక్

కొన్ని ప్రశ్నల్లో ఇద్దరు వ్యక్తులు స్థానాలు మార్చుకుంటారు (interchange) లేదా ఒకరు కొన్ని స్థానాలు కదులుతారు. అప్పుడు మొత్తం సంఖ్య మారదు; ఖాళీ అయిన పాత స్థానాలనే గుర్తించడం కీలకం.

• ఇంటర్‌ఛేంజ్ నియమం: ఇద్దరు స్థానాలు మార్చుకుంటే, మొదటి వ్యక్తి కొత్త స్థానం = రెండో వ్యక్తి పాత స్థానం (రెండో వ్యక్తికీ అంతే).
• మొత్తం సంఖ్య మారదు: స్థానాలు మారినా వరుసలో ఉన్నవారి సంఖ్య అదే.
• కొత్త స్థానం ఇచ్చినప్పుడు: 'మారిన తర్వాత A ఎడమ నుండి 15వ' అంటే B పాత స్థానం ఎడమ నుండి 15.
• కదలిక (Shift):
  1. ఒకరు ఎడమ వైపు n స్థానాలు కదిలితే ఎడమ ర్యాంక్ n తగ్గుతుంది
  2. కుడివైపు కదిలితే n పెరుగుతుంది.

పరిష్కరించిన ఉదాహరణలు ఉదా 1: ఒక వరుసలో రాము ఎడమ నుండి 8వ, శ్యామ్ కుడి నుండి 12వ స్థానంలో ఉన్నారు. ఇద్దరూ స్థానాలు మార్చుకున్నాక రాము ఎడమ నుండి 15వ అయ్యాడు. మొత్తం ఎంతమంది?

• శ్యామ్ పాత స్థానం (ఎడమ నుండి) = 15
• మొత్తం = 15 + 12 − 1 = 26

ఉదా 2: ఒక వరుసలో 30 మంది ఉన్నారు. సీత ఎడమ నుండి 12వ. ఆమె కుడివైపు 4 స్థానాలు కదిలితే కుడి నుండి ఎన్నో?

• కొత్త ఎడమ స్థానం = 12 + 4 = 16
• కుడి నుండి = 30 − 16 + 1 = 15వ

ఉదా 3: 25 మంది వరుసలో A ఎడమ నుండి 10వ. A, B స్థానాలు మార్చుకున్నాక B ఎడమ నుండి 10వ అయ్యాడు; మార్చుకోక ముందు B కుడి నుండి 8వ అయితే A కొత్త ఎడమ స్థానం?

• B పాత ఎడమ స్థానం = 25 − 8 + 1 = 18
• A కొత్త స్థానం = 18వ (ఎడమ నుండి)

'A, B మధ్య ఎంతమంది ఉన్నారు?' అనే ప్రశ్న రెండు రకాలుగా వస్తుంది – ఒకే వైపు నుండి స్థానాలు ఇచ్చినప్పుడు, లేదా రెండు వేర్వేరు వైపుల నుండి ఇచ్చినప్పుడు.

• ఒకే వైపు స్థానాలు (p < q):
  1. మధ్యలో ఉన్నవారు = q − p − 1
  2. ఇద్దరితో కలిపి = q − p + 1
• A ఎడమ నుండి, B కుడి నుండి ఇచ్చినప్పుడు (A ఎడమ వైపు ఉంటే): మధ్యలో = మొత్తం − (A స్థానం + B స్థానం)
• B స్థానం తెలుసుకోవడం: B ఎడమ నుండి = మొత్తం − (B కుడి స్థానం) + 1
• A, B మధ్య n మంది ఉంటే: B స్థానం = A స్థానం + n + 1 (B కుడివైపు ఉంటే)

పరిష్కరించిన ఉదాహరణలు ఉదా 1: 40 మంది వరుసలో A ఎడమ నుండి 12వ, B కుడి నుండి 15వ. వీరి మధ్య ఎంతమంది?

• B ఎడమ స్థానం = 40 − 15 + 1 = 26
• మధ్యలో = 26 − 12 − 1 = 13 (లేదా 40 − 27 = 13 ✓)

ఉదా 2: ఒక వరుసలో రవి ఎడమ నుండి 9వ. రవి, గోపి మధ్య 8 మంది ఉన్నారు. గోపి కుడివైపు ఉంటే అతని స్థానం ఎడమ నుండి?

• 9 + 8 + 1 = 18వ

ఉదా 3: పై నుండి 5వ, 17వ ర్యాంక్‌ల మధ్య ఎంతమంది?

• 17 − 5 − 1 = 11 మంది

ఉదా 4: 30 మంది వరుసలో A ఎడమ నుండి 6వ, B కుడి నుండి 10వ. A ఎడమ వైపే ఉంటే వీరి మధ్య ఎంతమంది?

• మధ్యలో = 30 − (6 + 10) = 14 మంది

'A, B కంటే పొడవు; B, C కంటే పొడవు' లాంటి వాక్యాలు ఇచ్చి, ఎవరు పొడవు/పొట్టి/మధ్యలో అని అడుగుతారు. ఇలాంటి ప్రశ్నలకు గొలుసు (chain) పద్ధతి ఉత్తమం.

• గొలుసు పద్ధతి: ప్రతి వాక్యాన్ని '>' లేదా '<' గుర్తులతో రాసి, అన్నీ కలిపి ఒకే వరుస చేయండి.
• సాధారణ పదాలు:
  1. పొడవు/ఎత్తు, పెద్దవాడు, ఎక్కువ బరువు, ధనవంతుడు → '>'
  2. పొట్టి, చిన్నవాడు, తక్కువ బరువు, పేదవాడు → '<'
• తెలియని సందర్భం: A > B, A > C అని మాత్రమే ఉంటే B, C లో ఎవరు పెద్ద అనేది చెప్పలేము.
• మధ్య వ్యక్తి: 5 మంది ఉంటే 3వ వారు, 7 మంది ఉంటే 4వ వారు.
• 'సమానం' అయితే: A = B అని గుర్తుతో రాసి కలపాలి.

పరిష్కరించిన ఉదాహరణలు ఉదా 1: P, Q కంటే పెద్దవాడు. R, Q కంటే చిన్నవాడు. S, P కంటే పెద్దవాడు. ఎవరు పెద్ద? ఎవరు చిన్న?

• S > P > Q > R
• పెద్దవాడు S, చిన్నవాడు R.

ఉదా 2: A, B కంటే బరువు. C, B కంటే తేలిక. D, A కంటే బరువు. అందరిలో తేలికైన వారు?

• D > A > B > C → C తేలికైనవాడు

ఉదా 3: రాధ, సీత కంటే పొడవు. గీత, సీత కంటే పొట్టి. రాధ, గీత లలో ఎవరు పొడవు?

• రాధ > సీత > గీత → రాధ పొడవు

ర్యాంకింగ్ పద్ధతిని అక్షరాలకు, పదాలకు కూడా వర్తింపజేస్తారు. ఇంగ్లీష్ వర్ణమాల (Alphabet)లో A నుండి Z వరకు 26 అక్షరాలు ఉన్నాయి. నిఘంటువు (Dictionary) క్రమం, జీవిత చక్ర క్రమం కూడా పరీక్షల్లో వస్తాయి.

• అక్షరాల ర్యాంకింగ్: ఎడమ నుండి n వ అక్షరం, కుడి నుండి (27 − n) వ అక్షరం.
• ఉదా: ఎడమ నుండి 10వ అక్షరం J, కుడి నుండి 17వ.
• Z కుడి నుండి 1వ, A ఎడమ నుండి 1వ.
• నిఘంటు క్రమం (Dictionary Order):
  1. మొదటి అక్షరం పోల్చండి
  2. సమానమైతే రెండో అక్షరం, తర్వాత మూడో అక్షరం.
• తార్కిక క్రమం (Logical Order): చిన్న నుండి పెద్ద, లేదా సంఘటనలు జరిగే వరుస.
• ఉదా: విత్తనం → మొక్క → పువ్వు → కాయ.
• ఉదా: రోజు → వారం → నెల → సంవత్సరం.

పరిష్కరించిన ఉదాహరణలు ఉదా 1: Pen, Pencil, Page, Paper – నిఘంటు క్రమంలో రాయండి.

• Pa-ge, Pa-per (g < p), తర్వాత Pe-n, Pe-ncil
• క్రమం: Page, Paper, Pen, Pencil

ఉదా 2: PLANT అక్షరాలను వర్ణమాల క్రమంలో అమర్చితే ఎడమ నుండి 3వ అక్షరం?

• A, L, N, P, T → 3వ అక్షరం N

ఉదా 3: కుడి నుండి 5వ అక్షరం ఏది?

• 27 − 5 = 22వ అక్షరం → V

ఉదా 4: ఎడమ నుండి 8వ అక్షరం కుడి నుండి ఎన్నో?

• 27 − 8 = 19వ (ఎడమ నుండి 8వ అక్షరం H)